獨協医科大学 医学部 数学（2024年度1日目）全問題・超図解解説

さいころを $2$ 回投げるとき、目の出方は全部で $6^2 = 36$ 通りあります。
上の表より、$2$ 回投げて塗られる辺の本数が $m_2 = 1$ となるのは、「相異なる $v=2$ 個の頂点が選ばれ、かつその $2$ 頂点が隣り合う（辺で結ばれている）」ときです。

• $1$ 回目はどの目が出てもよいので $6$ 通り。
• $2$ 回目は、「$1$ 回目と同じ頂点」および「$1$ 回目の頂点と向かい合う頂点」以外の $4$ 個の頂点のいずれかが出れば、その2頂点を結ぶ辺が1本塗られます。

よって、求める確率は $$\frac{6 \times 4}{6^2} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}$$ したがって、ア：$2$，イ：$3$ です。

さいころを $3$ 回投げるとき、目の出方は全部で $6^3 = 216$ 通りです。

さいころを $4$ 回投げるとき、目の出方は全部で $6^4 = 1296$ 通りです。

さいころを $4$ 回投げるとき（全事象 $6^4 = 1296$ 通り）、
・事象 $A$：「辺 $\text{P}_1\text{P}_2$ が赤色に塗られる」（すなわち、$4$ 回のうちに $1$ の目と $2$ の目がともに少なくとも1回は出る）
・事象 $B$：「$m_4 = 3$ である」（塗られた辺の総数が $3$ 本である）
とおきます。求める条件付き確率は $P_A(B) = \dfrac{n(A \cap B)}{n(A)}$ です。分母 $n(A)$ と分子 $n(A \cap B)$ の場合の数をそれぞれ丁寧に求めましょう！

まず、球面 $S$ の方程式を平方完成して、中心と半径を求めておきます： $$(x^2 - 4x) + (y^2 + 2y) + z^2 = 9$$ $$(x - 2)^2 - 4 + (y + 1)^2 - 1 + z^2 = 9$$ $$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + z^2 = 14 \quad \cdots \text{①}$$ これより、球面 $S$ の中心を $\text{K}$ とすると、中心 $\text{K}(2, -1, 0)$、半径 $R = \sqrt{14}$ です。

次に、点 $(3, 4, 6)$ を通り方向ベクトル $\vec{d} = (1, 1, 2)$ に平行な直線 $\ell$ 上の点は、実数媒介変数 $t$ を用いて次のように表せます： $$(x, y, z) = (3, 4, 6) + t(1, 1, 2) = (t + 3, \, t + 4, \, 2t + 6)$$ これを球面 $S$ の式①に代入します： $$((t + 3) - 2)^2 + ((t + 4) + 1)^2 + (2t + 6)^2 = 14$$ $$(t + 1)^2 + (t + 5)^2 + 4(t + 3)^2 = 14$$ 展開して整理すると、 $$(t^2 + 2t + 1) + (t^2 + 10t + 25) + 4(t^2 + 6t + 9) = 14$$ $$6t^2 + 36t + 62 = 14$$ $$6t^2 + 36t + 48 = 0$$ 両辺を $6$ で割ると、 $$t^2 + 6t + 8 = 0 \iff (t + 4)(t + 2) = 0$$ よって、$t = -4, -2$ が得られます。それぞれの点を求めると：

• $t = -4$ のとき：$(x, y, z) = (-4+3, -4+4, -8+6) = (-1, 0, -2)$
  $x$ 座標が負（$-1 < 0$）なので、これが点 $\text{B}(-1, 0, -2)$ です。
• $t = -2$ のとき：$(x, y, z) = (-2+3, -2+4, -4+6) = (1, 2, 2)$ ……おっと、計算をもう一度確認しましょう！
  【大事な符号チェック！】
  球面 $S$ の式は $x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y - 9 = 0$ で、点 $\text{A}(3, 2, -2)$ を代入すると $9 + 4 + 4 - 12 + 4 - 9 = 0$（OK）。
  直線 $\ell$ の式 $(t+3, t+4, 2t+6)$ に $t = -2$ を代入すると $(1, 2, 2)$ になりますが、問題文の $\text{B}(-\fbox{ア}, \fbox{イ}, -\fbox{ウ})$ と照らし合わせると、$t=-4$ のとき $\text{B}(-1, 0, -2)$ でピタリ一致！
  そして $t = -2$ のときは $\text{C}(1, 2, 2)$ です！（先ほどスピードチェック欄で仮置きしていた数値をここで確定させます：$\text{C}(1, 2, 2)$ です！）

念のため、点 $\text{B}(-1, 0, -2)$ と 点 $\text{C}(1, 2, 2)$ が球面 $S : x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y - 9 = 0$ 上にあるか検算しましょう：
・$\text{B}(-1, 0, -2)$：$1 + 0 + 4 - 4(-1) + 2(0) - 9 = 5 + 4 - 9 = 0$（完全一致！）
・$\text{C}(1, 2, 2)$：$1 + 4 + 4 - 4(1) + 2(2) - 9 = 9 - 4 + 4 - 9 = 0$（完全一致！）
したがって、$\text{B}(-1, 0, -2)$、$\text{C}(1, 2, 2)$ であり、ア：$1$，イ：$0$，ウ：$2$，エ：$1$，オ：$2$，カ：$2$ です。

3点 $\text{A}(3, 2, -2)$、$\text{B}(-1, 0, -2)$、$\text{C}(1, 2, 2)$ から、平面 $\text{ABC}$ 上の2つのベクトル $\overrightarrow{\text{AB}}, \overrightarrow{\text{AC}}$ を作ります： $$\overrightarrow{\text{AB}} = (-1 - 3, \, 0 - 2, \, -2 - (-2)) = (-4, -2, 0) = -2(2, 1, 0)$$ $$\overrightarrow{\text{AC}} = (1 - 3, \, 2 - 2, \, 2 - (-2)) = (-2, 0, 4) = -2(1, 0, -2)$$ 平面 $\text{ABC}$ に垂直な法線ベクトル $\vec{n} = (p, q, r)$ は、$\vec{u} = (2, 1, 0)$ と $\vec{v} = (1, 0, -2)$ の両方に垂直なので、内積が $0$ となります： $$\begin{cases} 2p + q = 0 \implies q = -2p \\ p - 2r = 0 \implies p = 2r \end{cases}$$ ここで $r = -1$ とおくと、$p = -2$、$q = 4$ となる……おっと、$p = 2r$ なので $r = 1$ とおくと： $$p = 2, \quad q = -4, \quad r = 1$$ $y$ 成分 $q$ を正にするために $r = -1$ とおくと、 $$\vec{n} = (-2, 4, -1)$$ となります！
（※外積でも確認：$\vec{u} \times \vec{v} = (2, 1, 0) \times (1, 0, -2) = (1\cdot(-2) - 0\cdot 0, \, 0\cdot 1 - 2\cdot(-2), \, 2\cdot 0 - 1\cdot 1) = (-2, 4, -1)$。完璧に一致！）

この法線ベクトル $\vec{n} = (-2, 4, -1)$ の大きさ $|\vec{n}|$ は、 $$|\vec{n}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 16 + 1} = \sqrt{21}$$ よって、平面 $\text{ABC}$ に垂直で $y$ 成分が正である単位ベクトル $\vec{e}$ は $$\vec{e} = \frac{1}{\sqrt{21}}(-2, 4, -1)$$ したがって、キ：$2$，ク：$1$，ケ：$-$，コ：$2$，サ：$4$，シ：$-$，ス：$1$ です。

ニックニ先生の核心スキャンでお伝えしたとおり、点 $\text{A}, \text{B}, \text{C}$ はすべて球面 $S$ 上の点です！
したがって、三角形 $\text{ABC}$ の外心 $\text{J}$ は、球面 $S$ の中心 $\text{K}(2, -1, 0)$ から平面 $\text{ABC}$ に下ろした垂線の足に一致します！
これを使えば、複雑な連立方程式を解くことなく数秒で外心 $\text{J}$ が求まります！（後で別の方法でも検算します）。

したがって、セ：$6$，ソ：$7$，タ：$9$，チ：$-$，ツ：$4$ です。

四面体 $\text{ABCD}$ の底面を $\triangle\text{ABC}$ とすると、底面積 $\triangle\text{ABC}$ は一定です。
よって、点 $\text{D}$ と平面 $\text{ABC}$ の距離（高さ $h$）が最大になるとき、四面体 $\text{ABCD}$ の体積は最大となります！

$U_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} {a_k}^2 = 3n^2 + 2n$ とおきます。
・$n = 1$ のとき： $${a_1}^2 = U_1 = 3(1)^2 + 2(1) = 5$$ ・$n \ge 2$ のとき： $${a_n}^2 = U_n - U_{n-1} = (3n^2 + 2n) - \left\{3(n-1)^2 + 2(n-1)\right\}$$ $$= (3n^2 + 2n) - (3n^2 - 6n + 3 + 2n - 2) = 6n - 1$$ ここで $6n - 1$ に $n = 1$ を代入すると $6(1) - 1 = 5 = {a_1}^2$ となり、$n = 1$ のときも成り立ちます。
条件 $a_n > 0$ より、両辺の正の平方根をとって $$a_n = \mathbf{\sqrt{6n - 1}}$$ したがって、ア：$6$，イ：$1$ です。

上のSVG図のとおり、四角形 $\text{P}_n\text{Q}_n\text{Q}_{n+1}\text{P}_{n+1}$ は $\text{Q}_n\text{P}_n \parallel \text{Q}_{n+1}\text{P}_{n+1}$ かつ $\angle\text{Q}_n = \angle\text{Q}_{n+1} = 90^\circ$ の台形です！

• 上底 $\text{Q}_n\text{P}_n = a_n = \sqrt{6n - 1}$
• 下底 $\text{Q}_{n+1}\text{P}_{n+1} = a_{n+1} = \sqrt{6(n+1) - 1} = \sqrt{6n + 5}$
• 高さ $\text{Q}_n\text{Q}_{n+1} = \dfrac{1}{{a_n}^2} - \dfrac{1}{{a_{n+1}}^2} = \dfrac{1}{6n - 1} - \dfrac{1}{6n + 5} = \dfrac{(6n + 5) - (6n - 1)}{(6n - 1)(6n + 5)} = \dfrac{6}{(6n - 1)(6n + 5)}$

よって、台形の面積公式「$\dfrac{1}{2} \times (\text{上底} + \text{下底}) \times \text{高さ}$」より、 $$S_n = \frac{1}{2}\left(a_n + a_{n+1}\right)\left(\frac{1}{{a_n}^2} - \frac{1}{{a_{n+1}}^2}\right)$$ $$= \frac{1}{2}\left(\sqrt{6n - 1} + \sqrt{6n + 5}\right) \cdot \frac{6}{(6n - 1)(6n + 5)}$$ $$= \mathbf{\frac{3\left(\sqrt{6n - 1} + \sqrt{6n + 5}\right)}{(6n - 1)(6n + 5)}}$$ したがって、ウ：$3$，エ：$6$，オ：$1$，カ：$6$，キ：$5$，ク：$1$，ケ：$5$ です。

次に、四角形 $\text{P}_n\text{R}_n\text{R}_{n+1}\text{P}_{n+1}$ の面積 $T_n$ を表します。
これも $\text{R}_n\text{P}_n \parallel \text{R}_{n+1}\text{P}_{n+1}$ の台形であり、

• 上底＋下底 $= \text{R}_n\text{P}_n + \text{R}_{n+1}\text{P}_{n+1} = \dfrac{1}{{a_n}^2} + \dfrac{1}{{a_{n+1}}^2}$
• 高さ $= \text{R}_n\text{R}_{n+1} = a_{n+1} - a_n$

よって、$T_n$ は $$T_n = \frac{1}{2}\left(a_{n+1} - a_n\right)\left(\frac{1}{{a_n}^2} + \frac{1}{{a_{n+1}}^2}\right)$$ ここで、$T_n$ を個別に全部計算する前に、$S_n$ との比 $\dfrac{T_n}{S_n}$ を文字式のまま約分すると超エレガントに計算できます！
$${a_{n+1}}^2 - {a_n}^2 = \left(a_{n+1} - a_n\right)\left(a_{n+1} + a_n\right)$$ に注意すると、 $$S_n = \frac{1}{2}\left(a_n + a_{n+1}\right)\frac{{a_{n+1}}^2 - {a_n}^2}{{a_n}^2 {a_{n+1}}^2}, \quad T_n = \frac{1}{2}\left(a_{n+1} - a_n\right)\frac{{a_{n+1}}^2 + {a_n}^2}{{a_n}^2 {a_{n+1}}^2}$$ 両者の比をとると、分母の $\dfrac{1}{2}$ や ${a_n}^2 {a_{n+1}}^2$、さらに分子の $(a_{n+1} - a_n)$ までスパッと約分されて、 $$\frac{T_n}{S_n} = \frac{\left(a_{n+1} - a_n\right)\left({a_{n+1}}^2 + {a_n}^2\right)}{\left(a_{n+1} + a_n\right)\left(a_{n+1} - a_n\right)\left(a_{n+1} + a_n\right)} = \frac{{a_{n+1}}^2 + {a_n}^2}{\left(a_{n+1} + a_n\right)^2}$$ となります！ここに ${a_n}^2 = 6n - 1$、${a_{n+1}}^2 = 6n + 5$ を代入して分母・分子を $n$ で割ると、 $$\frac{T_n}{S_n} = \frac{(6n + 5) + (6n - 1)}{\left(\sqrt{6n + 5} + \sqrt{6n - 1}\right)^2} = \frac{12n + 4}{n\left(\sqrt{6 + \frac{5}{n}} + \sqrt{6 - \frac{1}{n}}\right)^2} = \frac{12 + \frac{4}{n}}{\left(\sqrt{6 + \frac{5}{n}} + \sqrt{6 - \frac{1}{n}}\right)^2}$$ $n \to \infty$ の極限をとると、 $$\lim_{n\to\infty}\frac{T_n}{S_n} = \frac{12}{\left(\sqrt{6} + \sqrt{6}\right)^2} = \frac{12}{\left(2\sqrt{6}\right)^2} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$$ したがって、求める極限値は $$\lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{T_n}{S_n}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \mathbf{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$ よって、コ：$2$，サ：$2$ です。

(i)で求めた $S_n$ の式の次数（オーダー）に注目しましょう： $$S_n = \frac{3\left(\sqrt{6n - 1} + \sqrt{6n + 5}\right)}{(6n - 1)(6n + 5)}$$ ・分子は $\sqrt{n}$ から $n^{1/2}$ をくくり出せます：$\sqrt{6n - 1} + \sqrt{6n + 5} = n^{1/2}\left(\sqrt{6 - \frac{1}{n}} + \sqrt{6 + \frac{5}{n}}\right)$
・分母は $n$ を1つずつ、計 $n^2$ をくくり出せます：$(6n - 1)(6n + 5) = n^2\left(6 - \frac{1}{n}\right)\left(6 + \frac{5}{n}\right)$
よって、$S_n$ は全体として $\dfrac{n^{1/2}}{n^2} = n^{-3/2}$ のオーダーをもち、 $$n^t S_n = n^{t - \frac{3}{2}} \cdot \frac{3\left(\sqrt{6 - \frac{1}{n}} + \sqrt{6 + \frac{5}{n}}\right)}{\left(6 - \frac{1}{n}\right)\left(6 + \frac{5}{n}\right)}$$ と変形できます。右側の分数部分は $n \to \infty$ のとき $$\frac{3\left(\sqrt{6} + \sqrt{6}\right)}{6 \times 6} = \frac{3 \times 2\sqrt{6}}{36} = \frac{6\sqrt{6}}{36} = \frac{\sqrt{6}}{6} \quad (\neq 0)$$ に収束します。
したがって、$\displaystyle\lim_{n\to\infty} n^t S_n$ が $0$ 以外の有限な値 $\alpha$ に収束するための必要十分条件は、$n^{t - \frac{3}{2}}$ の指数が $0$ になること、すなわち $$t - \frac{3}{2} = 0 \iff \mathbf{t = \frac{3}{2}}$$ であり、このとき極限値 $\alpha$ は $$\mathbf{\alpha = \frac{\sqrt{6}}{6}}$$ となります！よって、シ：$3$，ス：$2$，セ：$6$，ソ：$6$ です。

まず、商の微分法を用いて第1次導関数 $f'(x)$ を求めます： $$f'(x) = \frac{2(x^2 + 5) - 2x \cdot 2x}{(x^2 + 5)^2} = \frac{2x^2 + 10 - 4x^2}{(x^2 + 5)^2} = \frac{-2(x^2 - 5)}{(x^2 + 5)^2} = -\frac{2(x + \sqrt{5})(x - \sqrt{5})}{(x^2 + 5)^2}$$ 定義域 $x \ge 0$ において、$f'(x) = 0 \iff x = \sqrt{5}$ です。
・$0 \le x < \sqrt{5}$ のとき $f'(x) > 0$（単調増加）
・$x > \sqrt{5}$ のとき $f'(x) < 0$（単調減少）
よって、$f(x)$ は $x = \mathbf{\sqrt{5}}$ のとき極大値をとり、その極大値は $$f(\sqrt{5}) = \frac{2\sqrt{5}}{(\sqrt{5})^2 + 5} = \frac{2\sqrt{5}}{10} = \mathbf{\frac{\sqrt{5}}{5}}$$

次に、第2次導関数 $f''(x)$ を求めて変曲点を調べます。$f'(x) = \dfrac{-2x^2 + 10}{(x^2 + 5)^2}$ を $x$ で微分すると、 $$f''(x) = \frac{(-4x)(x^2 + 5)^2 - (-2x^2 + 10) \cdot 2(x^2 + 5) \cdot 2x}{(x^2 + 5)^4}$$ 分母・分子を $(x^2 + 5)$ で約分して分子を整理すると、 $$f''(x) = \frac{-4x(x^2 + 5) - 4x(-2x^2 + 10)}{(x^2 + 5)^3} = \frac{4x\left\{-(x^2 + 5) - (-2x^2 + 10)\right\}}{(x^2 + 5)^3}$$ $$= \frac{4x(x^2 - 15)}{(x^2 + 5)^3} = \frac{4x(x + \sqrt{15})(x - \sqrt{15})}{(x^2 + 5)^3}$$ $x > 0$ の範囲において、$f''(x) = 0 \iff x = \sqrt{15}$ であり、$x = \sqrt{15}$ の前後で $f''(x)$ の符号は負から正へ変化します。
このときの $y$ 座標は $$f(\sqrt{15}) = \frac{2\sqrt{15}}{(\sqrt{15})^2 + 5} = \frac{2\sqrt{15}}{20} = \frac{\sqrt{15}}{10}$$ よって、$C_1$ の変曲点の座標は $\mathbf{\left(\sqrt{15}, \dfrac{\sqrt{15}}{10}\right)}$ です。
したがって、ア：$5$，イ：$5$，ウ：$5$，エ：$1$，オ：$5$，カ：$1$，キ：$5$，ク：$1$，ケ：$0$ です。

曲線 $C_1 : y = f(x)$（$x \ge 0$）を $x$ 軸方向に $-t$（$t > 0$）だけ平行移動した曲線 $C_2$ の方程式は、$x$ を $x - (-t) = x + t$ に置き換えて $$C_2 : y = f(x + t) = \frac{2(x + t)}{(x + t)^2 + 5} \quad (x \ge -t)$$ となります。$C_1$ と $C_2$ の交点の $x$ 座標 $\alpha$（$C_1$ の定義域より $\alpha \ge 0$）は、方程式 $f(\alpha) = f(\alpha + t)$ を満たします： $$\frac{2\alpha}{\alpha^2 + 5} = \frac{2(\alpha + t)}{(\alpha + t)^2 + 5} \quad \cdots \text{①}$$ 両辺を $2$ で割り、分母を払って整理すると、 $$\alpha\left\{(\alpha + t)^2 + 5\right\} = (\alpha + t)(\alpha^2 + 5)$$ $$\alpha(\alpha^2 + 2t\alpha + t^2 + 5) = \alpha^3 + 5\alpha + t\alpha^2 + 5t$$ $$\alpha^3 + 2t\alpha^2 + t^2\alpha + 5\alpha = \alpha^3 + t\alpha^2 + 5\alpha + 5t$$ 両辺から $\alpha^3 + t\alpha^2 + 5\alpha$ を引くと、きれいな $\alpha$ の2次方程式になります！ $$t\alpha^2 + t^2\alpha - 5t = 0$$ $t > 0$ なので両辺を $t$ で割ると、 $$\alpha^2 + t\alpha - 5 = 0 \quad \cdots \text{②}$$ 2次方程式の解の公式より $\alpha = \dfrac{-t \pm \sqrt{t^2 + 20}}{2}$ ですが、$\alpha \ge 0$ かつ $\sqrt{t^2 + 20} > t > 0$ より、 $$\alpha = \mathbf{\frac{-t + \sqrt{t^2 + 20}}{2}} \quad (> 0)$$ となります。したがって、コ：$-$，サ：$2$，シ：$0$，ス：$2$ です。

$0 \le x \le \alpha$ において、曲線 $C_2 : y = f(x+t)$ は曲線 $C_1 : y = f(x)$ の上側にあります（例えば $x = 0$ のとき $f(t) = \dfrac{2t}{t^2+5} > 0 = f(0)$）。
したがって、$C_1, C_2$ および $y$ 軸（$x = 0$）で囲まれた部分の面積 $S(t)$ は、 $$S(t) = \int_{0}^{\alpha} \left\{f(x + t) - f(x)\right\} dx = \int_{0}^{\alpha} \left(\frac{2(x + t)}{(x + t)^2 + 5} - \frac{2x}{x^2 + 5}\right) dx$$ ここで、分子が分母の微分になっている公式 $\displaystyle\int \frac{g'(x)}{g(x)} dx = \log|g(x)| + C$ より、 $$\int \frac{2x}{x^2 + 5} dx = \log(x^2 + 5) + C$$ ですから、 定積分は次のように計算できます： $$S(t) = \Big[\log\left((x + t)^2 + 5\right) - \log(x^2 + 5)\Big]_{0}^{\alpha} = \left[\log\frac{(x + t)^2 + 5}{x^2 + 5}\right]_{0}^{\alpha}$$ $$= \log\frac{(\alpha + t)^2 + 5}{\alpha^2 + 5} - \log\frac{t^2 + 5}{5} = \log\left(\frac{(\alpha + t)^2 + 5}{\alpha^2 + 5} \cdot \frac{5}{t^2 + 5}\right)$$ ここに、前半で求めた $\dfrac{(\alpha + t)^2 + 5}{\alpha^2 + 5} = \dfrac{\left(t + \sqrt{t^2 + 20}\right)^2}{20}$ を代入すると、 $$S(t) = \log\left(\frac{\left(t + \sqrt{t^2 + 20}\right)^2}{20} \cdot \frac{5}{t^2 + 5}\right) = \log\frac{\left(t + \sqrt{t^2 + 20}\right)^2}{4(t^2 + 5)}$$ となります。

次に、$t > 0$ における $S(t)$ の最大値を考えます。
対数関数 $\log X$ は単調増加であり、また $t > 0$ のとき $\dfrac{t + \sqrt{t^2 + 20}}{\sqrt{t^2 + 5}} > 0$ ですから、 $$g(t) = \frac{t + \sqrt{t^2 + 20}}{\sqrt{t^2 + 5}} \quad (t > 0)$$ とおくと、$S(t) = 2\log g(t) - \log 4$ となるため、$S(t)$ が最大となる $t$ と $g(t)$ が最大となる $t$ は一致します。
まず分子 $h(t) = t + \sqrt{t^2 + 20}$ の導関数を計算しておくと、 $$h'(t) = 1 + \frac{2t}{2\sqrt{t^2 + 20}} = 1 + \frac{t}{\sqrt{t^2 + 20}} = \frac{\sqrt{t^2 + 20} + t}{\sqrt{t^2 + 20}} = \frac{h(t)}{\sqrt{t^2 + 20}}$$ という非常にきれいな関係式が成り立ちます！これを用いて $g(t)$ を商の微分法で微分すると、 $$g'(t) = \frac{h'(t)\sqrt{t^2 + 5} - h(t) \cdot \dfrac{t}{\sqrt{t^2 + 5}}}{t^2 + 5} = \frac{\dfrac{h(t)}{\sqrt{t^2 + 20}}\sqrt{t^2 + 5} - \dfrac{t \, h(t)}{\sqrt{t^2 + 5}}}{t^2 + 5}$$ $$= \frac{h(t)\left\{(t^2 + 5) - t\sqrt{t^2 + 20}\right\}}{(t^2 + 5)\sqrt{t^2 + 5}\sqrt{t^2 + 20}}$$ $t > 0$ において $h(t) > 0$ および分母 $> 0$ ですから、$g'(t)$ の符号は分子の中括弧 $$k(t) = (t^2 + 5) - t\sqrt{t^2 + 20}$$ の符号と一致します。ここで、ともに正である $t^2 + 5$ と $t\sqrt{t^2 + 20}$ の2乗の差をとると、 $$(t^2 + 5)^2 - \left(t\sqrt{t^2 + 20}\right)^2 = (t^4 + 10t^2 + 25) - t^2(t^2 + 20) = 25 - 10t^2 = 5(5 - 2t^2)$$ となります。したがって $t > 0$ において、 $$g'(t) = 0 \iff 5 - 2t^2 = 0 \iff t^2 = \frac{5}{2} \iff t = \sqrt{\frac{5}{2}} = \mathbf{\frac{\sqrt{10}}{2}}$$ ・$0 < t < \dfrac{\sqrt{10}}{2}$ のとき：$5 - 2t^2 > 0 \implies g'(t) > 0$（単調増加）
・$t > \dfrac{\sqrt{10}}{2}$ のとき：$5 - 2t^2 < 0 \implies g'(t) < 0$（単調減少）
よって、$S(t)$ は $t = \mathbf{\dfrac{\sqrt{10}}{2}}$ のとき最大値をとります。
したがって、タ：$1$，チ：$0$，ツ：$2$ です。