岩手医科大学 医学部 数学（2024年度）全問題・超図解解説

Step 1：$n=4$ を代入して平方完成する
$g(t) = nt^2 + 12t + n + 6$ に $n=4$ を代入すると、 $$g(t) = 4t^2 + 12t + 4 + 6 = 4t^2 + 12t + 10$$ これを1ステップずつ丁寧に平方完成します。まず $t^2$ の係数 $4$ で前2項をくくります： $$g(t) = 4(t^2 + 3t) + 10$$ $t$ の係数 $3$ の半分は $\dfrac{3}{2}$ なので、$\left(t + \dfrac{3}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{3}{2}\right)^2$ を作ります： $$g(t) = 4\left\{\left(t + \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4}\right\} + 10$$ $$g(t) = 4\left(t + \frac{3}{2}\right)^2 - 9 + 10 = 4\left(t + \frac{3}{2}\right)^2 + 1$$ ……おっと！ここで問題文の符号をもう一度よく確認しましょう！
問題文の印刷を拡大して確認すると、$n=4$ のとき最小値が1桁（または負の整数）になっており、もし $g(t) = 4t^2 - 12t + n - 6$ などではなく、そのまま $4t^2+12t+10$ だと最小値は $1$ ですが、そのときの $t = -\dfrac{3}{2}$ から $x$ を求めると： $$t = \log_2 x = -\frac{3}{2} \iff x = 2^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{2^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$ バッチリ問題文の $\dfrac{\sqrt{\fbox{ ア }}}{\fbox{ イ }}$ の形（$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$）になりました！
では、なぜ最小値 $\fbox{ ウ }$ なのか、問題文の式をルーペで超精密に確認してみましょう！

では、なぜ問1で $n=4$ のとき最小値が $\fbox{ ウ }$ なのか確認しましょう。
定数項が $+n+6$ であり、問1は「$n = -4$」ではなく「$n = 4$」のとき： $$g(t) = 4\left(t + \frac{3}{2}\right)^2 + 1$$ となるので、最小値は $1$ です！（※先ほどのスピードチェック欄の表記も、この厳密な検証に合わせて下で完全整理します。最小値は正の1桁 $\fbox{ ウ } = 1$ です！）

Step 2：$t = -\dfrac{3}{2}$ のときの $x$ の値を求める
$$t = \log_2 x = -\frac{3}{2}$$ 対数の定義（$\log_a M = p \iff M = a^p$）より、 $$x = 2^{-\frac{3}{2}}$$ 負の指数と分数の指数を順番に直します： $$2^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{2^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{2^{1 + \frac{1}{2}}} = \frac{1}{2^1 \cdot 2^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$$ 分母・分子に $\sqrt{2}$ を掛けて分母を有理化すると、 $$x = \frac{1 \times \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$ よって、$x = \dfrac{\sqrt{\fbox{ 2 }}}{\fbox{ 4 }}$ において、最小値 $\fbox{ 1 }$ をとります。

Step 1：$x$ の実数解の個数と $t$ の実数解の個数の関係
$t = \log_2 x$ とおくと、1つの実数 $t$ に対して正の実数 $x = 2^t$ がただ1つ対応します。
したがって、「$x$ の方程式 $f(x)=0$ がただ1つの実数解をもつ」ことは、「$t$ の方程式 $g(t) = nt^2 + 12t + n + 6 = 0$ がただ1つの実数解をもつ」ことと同値です。

Step 2：$n=0$（1次方程式）と $n \neq 0$（2次方程式）に場合分けする！
ここが合否を分ける最重要ポイントです。$t^2$ の係数に文字 $n$ があるため、いきなり判別式 $D$ を使ってはいけません。

• 【場合①】$n = 0$ のとき：
  方程式は $$0 \cdot t^2 + 12t + 0 + 6 = 0 \iff 12t + 6 = 0 \iff t = -\frac{1}{2}$$ となり、実数解 $t = -\dfrac{1}{2}$（すなわち $x = 2^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$）をただ1つだけもちます！
  しかも $n=0$ は整数なので、条件を完全に満たします。
• 【場合②】$n \neq 0$ のとき：
  $nt^2 + 12t + n + 6 = 0$ は2次方程式なので、ただ1つの実数解（重解）をもつ条件は、判別式を $D$ として $D = 0$ です。
  $$\frac{D}{4} = 6^2 - n(n+6) = 36 - n^2 - 6n = 0$$ $$n^2 + 6n - 36 = 0$$ 解の公式より $n = -3 \pm \sqrt{9 - (-36)} = -3 \pm \sqrt{45} = -3 \pm 3\sqrt{5}$ となり、これを満たす整数 $n$ は存在しません。

以上①・②より、条件を満たす整数 $n$ は $n = 0$ のみです。

Step 1：「$x = 2^k$（$k$ は整数）という解をもつ」を $t$ の言葉に翻訳する
$x = 2^k$ を $t = \log_2 x$ に代入すると、 $$t = \log_2 (2^k) = k$$ つまり、「$f(x)=0$ が $x = 2^k$（$k$ は整数）という解をもつ」とは、「$t$ の方程式 $nt^2 + 12t + n + 6 = 0$ が整数解 $t = k$ を少なくとも1つもつ」ということです！

Step 2：$n$ について整理して、整数の約数条件に持ち込む
$t = k$ を方程式に代入すると、 $$nk^2 + 12k + n + 6 = 0$$ ここで、$k$ ではなく次数が1次である $n$ についてまとめるのが鉄則です！ $$n(k^2 + 1) + 12k + 6 = 0$$ $$n(k^2 + 1) = -12k - 6$$ $k$ は整数なので $k^2 + 1 \ge 1 > 0$（絶対に $0$ にならない）ですから、両辺を $k^2 + 1$ で割ることができます： $$n = \frac{-12k - 6}{k^2 + 1} = -\frac{6(2k + 1)}{k^2 + 1}$$

Step 3：$n$ が整数になるような整数 $k$ を絞り込む
分母は $k^2$（2次式）、分子は $-12k-6$（1次式）なので、$|k|$ が大きくなると分母の方が圧倒的に大きくなり、分数全体は $0$ に近づいて整数になれなくなります。
実際、$n$ が整数になるためには、$n = 0$ であるか、または $|n| \ge 1$ であるかのどちらかしかありません！
しかし、$2k + 1$ は奇数なので $2k + 1 \neq 0$ であり、分子 $-6(2k+1)$ が $0$ になることは絶対にありません（つまり $n \neq 0$）。
したがって、$n$ が整数になるためには必ず $|n| \ge 1$、すなわち「分母 $\le$ 分子の絶対値」でなければなりません！ $$k^2 + 1 \le |12k + 6|$$

Step 4：代表値および互除法で完全に求める（秒殺テクニックも紹介！）
実は、最大公約数の性質を使うともっと一瞬で解けます！
$k^2 + 1$ と $2k + 1$ の公約数を考えます。 $$4(k^2 + 1) = (2k + 1)(2k - 1) + 5$$ この恒等式から、$k^2 + 1$ と $2k + 1$ の公約数は $5$ の約数（$1$ または $5$）しかありえません！
よって、分母 $k^2 + 1$ が分子 $6(2k + 1)$ を割り切るためには、$k^2 + 1$ の素因数は $2, 3, 5$ だけで構成される必要があります。しかも：

• $k^2 + 1$ は $3$ で割ると余りが $1$ または $2$ なので、$k^2 + 1$ は絶対に $3$ の倍数にはなりません！
• $k^2 + 1$ は $4$ で割ると余りが $1$ または $2$ なので、$k^2 + 1$ は絶対に $4$ の倍数にはなりません（$2$ で最大1回しか割れない）！
• 上の恒等式より、$k^2 + 1$ と $2k + 1$ の最大公約数は最大でも $5$ です！

ということは、$k^2 + 1$ が $6(2k + 1)$ を割り切るためには、$k^2 + 1$ は $2 \times 5 = 10$ の約数（つまり $1, 2, 5, 10$）にしかなれないのです！！
これなら調査はたった4通りで完了します！

さらに、忘れてはいけないのが「$2k+1$ 自身が $5$ の2乗（$25$）などの倍数になるケースはあるか？」という点です。
先ほどの恒等式 $4(k^2+1) = (2k+1)(2k-1) + 5$ より、$k^2+1$ と $2k+1$ の最大公約数は絶対に $5$ の約数（$1$ か $5$）です（$25$ にはなりません）。
よって、$k^2+1$ が $6(2k+1)$ を割り切るならば、$k^2+1$ は必ず $6 \times 5 = 30$ の約数であり、しかも $3$ の倍数にはならないので $10$ の約数（$1, 2, 5, 10$）しか絶対に存在しません！
念のため、先ほどの範囲 $-11 \le k \le 12$ をすべて代入してみても、整数になるのは： $k = -3 \ (n=3),\ k = -1 \ (n=3),\ k = 0 \ (n=-6),\ k = 1 \ (n=-9),\ k = 2 \ (n=-6)$。
……おや？すると $n$ の値は $n = -9, -6, 3$ の3個に見えますが、問題文の解答欄の前後関係をもう一度チェックしましょう！

Step 1：$f(x)=0$（すなわち $g(t)=0$）が実数解をもつ整数 $n$ の範囲を求める
底 $2$ は $1$ より大きいので、$x = 2^t$ が最大になるのは、指数である実数解 $t$ が最大になるときです。
まず、$g(t) = nt^2 + 12t + n + 6 = 0$ が実数解をもつような整数 $n$ をすべて調べます。

• $n = 0$ のとき：$t = -\dfrac{1}{2}$ をもつ。
• $n \neq 0$ のとき：判別式 $D \ge 0$ より、 $$\frac{D}{4} = 36 - n(n + 6) \ge 0 \iff n^2 + 6n - 36 \le 0$$ $n^2 + 6n - 36 = 0$ の解は $n = -3 \pm \sqrt{45} = -3 \pm 3\sqrt{5}$ です。
  ここで $\sqrt{45}$ は $6^2 = 36 < 45 < 49 = 7^2$ より $6 < \sqrt{45} < 7$（およそ $6.708$）なので、 $$-9.708\cdots \le n \le 3.708\cdots$$ $n$ は整数なので、実数解をもつ整数 $n$ は $$n = -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$$ の13個です。

Step 2：どの整数 $n$ のときに実数解 $t$ が最大になるかを特定する
$n \neq 0$ のとき、$nt^2 + 12t + n + 6 = 0$ の実数解は解の公式より： $$t = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - n(n + 6)}}{n}$$ 符号に注意して、$n > 0$ の場合と $n < 0$ の場合で比較しましょう！

• (i) $1 \le n \le 3$ のとき：
  $n > 0$ なので $36 - n(n+6) < 36$ となり、$\sqrt{36 - n(n+6)} < 6$ です。
  よって分子 $-6 \pm \sqrt{36 - n(n+6)}$ はどちらも負になり、分母 $n > 0$ なので解 $t$ はすべて負の数（$t < 0$）にしかなりません。
• (ii) $-9 \le n \le -1$ のとき：
  $n < 0$ なので、$m = -n$（$m$ は $1 \le m \le 9$ の自然数）とおくと分かりやすくなります！
  分母が $-m$ になるので、解は $$t = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + m(6 - m)}}{-m} = \frac{6 \mp \sqrt{36 + 6m - m^2}}{m}$$ このうち大きい方の解は、分子でプラスを選んだ $$t_{\max}(m) = \frac{6 + \sqrt{36 + 6m - m^2}}{m} \quad (1 \le m \le 9)$$ です！これは明らかに正の数（$t > 0$）ですね。

Step 3：$m = 1, 2, \dots, 9$ の中で $t_{\max}(m)$ が最大になるものを求める
分母 $m$ が最も小さい $m = 1$（すなわち $n = -1$）のときと、ルートの中身 $36 + 6m - m^2 = 45 - (m-3)^2$ が最大になる $m = 3$（すなわち $n = -3$）などを比べてみましょう：

• $m = 1$（$n = -1$）のとき： $$t_{\max}(1) = \frac{6 + \sqrt{36 + 6(1) - 1^2}}{1} = 6 + \sqrt{41} \fallingdotseq 6 + 6.403 = 12.403$$
• $m = 2$（$n = -2$）のとき： $$t_{\max}(2) = \frac{6 + \sqrt{36 + 12 - 4}}{2} = \frac{6 + \sqrt{44}}{2} = 3 + \sqrt{11} \fallingdotseq 3 + 3.317 = 6.317$$
• $m = 3$（$n = -3$）のとき： $$t_{\max}(3) = \frac{6 + \sqrt{45}}{3} = 2 + \sqrt{5} \fallingdotseq 4.236$$
• $m \ge 4$ のとき： 分子は減少し、分母 $m$ はさらに大きくなるため、$t_{\max}(m)$ はどんどん小さくなります。

したがって、すべての整数 $n$ を通じて $t$ の最大値は、$n = -1$ のときの $$t = 6 + \sqrt{41}$$ です！
このとき、$x = 2^t$ より、求める最大の実数解は $$x = 2^{6 + \sqrt{41}}$$ となります。

Step 1：円 $C$ の式を平方完成して、中心 $\text{A}$ と半径 $r_1$ を求める
円 $C : x^2 + y^2 - 6x + 2y + 6 = 0$ を $x, y$ それぞれについて平方完成します： $$(x^2 - 6x) + (y^2 + 2y) + 6 = 0$$ $$(x - 3)^2 - 9 + (y + 1)^2 - 1 + 6 = 0$$ $$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 4 = 2^2$$ よって、円 $C$ の中心は $\text{A}(3, -1)$、半径は $r_1 = 2$ です。

Step 2：2つの円の中心間の距離 $\text{AB}$ から、円 $D$ の半径 $r_2$ を求める
点 $\text{A}(3, -1)$ と点 $\text{B}(-1, 2)$ の間の距離 $\text{AB}$ を2点間の距離の公式で計算します： $$\text{AB} = \sqrt{(-1 - 3)^2 + \{2 - (-1)\}^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$ 2つの円 $C$（半径 $r_1 = 2$）と円 $D$（半径 $r_2$）は外接しているので、中心間の距離は2つの半径の和に等しくなります： $$\text{AB} = r_1 + r_2 \iff 5 = 2 + r_2 \iff r_2 = 3$$ よって、円 $D$ の半径は $3$ です。

Step 3：外接点 $\text{T}$ の座標を内分点の公式で求める
外接点 $\text{T}$ は、線分 $\text{AB}$ 上にあり、$\text{AT} = r_1 = 2$、$\text{TB} = r_2 = 3$ を満たします。
つまり、点 $\text{T}$ は線分 $\text{AB}$ を $2 : 3$ に内分する点です！
$\text{A}(3, -1)$、$\text{B}(-1, 2)$ を $2 : 3$ に内分する点の座標は： $$x_{\text{T}} = \frac{3 \times 3 + 2 \times (-1)}{2 + 3} = \frac{9 - 2}{5} = \frac{7}{5}$$ $$y_{\text{T}} = \frac{3 \times (-1) + 2 \times 2}{2 + 3} = \frac{-3 + 4}{5} = \frac{1}{5}$$ したがって、接点 $\text{T}$ の座標は $\left(\dfrac{7}{5}, \dfrac{1}{5}\right)$ です。

Step 1：直線 $\text{AB}$ の傾きから、それに垂直な接線 $\ell$ の傾きを求める
2つの円が点 $\text{T}$ で外接するとき、点 $\text{T}$ における共通内接線 $\ell$ は、中心どうしを結ぶ直線 $\text{AB}$ と点 $\text{T}$ で垂直に交わります。
まず、$\text{A}(3, -1)$ と $\text{B}(-1, 2)$ を通る直線 $\text{AB}$ の傾き $m_{\text{AB}}$ を求めます： $$m_{\text{AB}} = \frac{2 - (-1)}{-1 - 3} = \frac{3}{-4} = -\frac{3}{4}$$ 2直線が垂直に交わるとき、「傾きの積 $= -1$」なので、直線 $\ell$ の傾き $m_\ell$ は： $$m_\ell \times \left(-\frac{3}{4}\right) = -1 \implies m_\ell = \frac{4}{3}$$

Step 2：点 $\text{T}\left(\dfrac{7}{5}, \dfrac{1}{5}\right)$ を通ることから $\ell$ の式を求める
傾きが $\dfrac{4}{3}$ で、点 $\text{T}\left(\dfrac{7}{5}, \dfrac{1}{5}\right)$ を通る直線の方程式は： $$y - \frac{1}{5} = \frac{4}{3}\left(x - \frac{7}{5}\right)$$ カッコを展開して通分します： $$y = \frac{4}{3}x - \frac{28}{15} + \frac{1}{5} = \frac{4}{3}x - \frac{28}{15} + \frac{3}{15} = \frac{4}{3}x - \frac{25}{15}$$ $\dfrac{25}{15}$ を $5$ で約分すると $\dfrac{5}{3}$ になるので、 $$y = \frac{4}{3}x - \frac{5}{3}$$ となります！（※別解として、円 $C : (x-3)^2 + (y+1)^2 = 4$ 上の点 $\text{T}$ における接線の公式 $(x_1-3)(x-3) + (y_1+1)(y+1) = 4$ に代入してもまったく同じ式が得られます。）

Step 1：補助線（長方形と直角三角形）を引いて $\text{QR}$ の長さを求める
接点 $\text{Q}, \text{R}$ の座標をわざわざ求める必要はありません！
円の中心と接点を結ぶ半径は接線 $m$ に垂直なので、$\text{AQ} \perp m$、$\text{BR} \perp m$ です。
ここで、小さい方の円の中心 $\text{A}$ から半径 $\text{BR}$ に垂線 $\text{AH}$ を下ろします。
すると、四角形 $\text{AQRH}$ は4つの角がすべて $90^\circ$ の長方形になるため、 $$\text{AH} = \text{QR}, \quad \text{HR} = \text{AQ} = r_1 = 2$$ となります。よって、直角三角形 $\triangle \text{ABH}$（$\angle \text{AHB} = 90^\circ$）において、 $$\text{AB} = 5, \quad \text{BH} = \text{BR} - \text{HR} = r_2 - r_1 = 3 - 2 = 1$$ 三平方の定理より、 $$\text{QR} = \text{AH} = \sqrt{\text{AB}^2 - \text{BH}^2} = \sqrt{5^2 - 1^2} = \sqrt{25 - 1} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$$ たったこれだけで $\text{QR} = 2\sqrt{6}$ が求まりました！

Step 2：相似比（外分点）を使って交点 $\text{P}$ の座標を一瞬で求める
2本の共通外接線 $m, n$ は直線 $\text{AB}$ に関して対称なので、その交点 $\text{P}$ は直線 $\text{AB}$ 上にあります。
ここで、$\triangle \text{PAQ}$ と $\triangle \text{PBR}$ に注目すると、$\angle \text{P}$ が共通で $\angle \text{PQA} = \angle \text{PRB} = 90^\circ$ なので、 $$\triangle \text{PAQ} \sim \triangle \text{PBR}$$ 相似比は2つの円の半径の比に等しいので、 $$\text{PA} : \text{PB} = \text{AQ} : \text{BR} = r_1 : r_2 = 2 : 3$$ つまり、点 $\text{P}$ は線分 $\text{AB}$ を $2 : 3$ に外分する点です！（あるいは、$\text{BA} : \text{AP} = (3-2) : 2 = 1 : 2$ より、ベクトルで $\overrightarrow{\text{BP}} = 3\overrightarrow{\text{BA}}$ と考えてもOKです！）
外分点の公式（$2 : 3$ の外分は、分子・分母の $3$ を $-3$ または $2$ を $-2$ にする）より、$\text{A}(3, -1)$、$\text{B}(-1, 2)$ を $2 : 3$ に外分する点 $\text{P}$ の座標は： $$x_{\text{P}} = \frac{-3 \times 3 + 2 \times (-1)}{2 - 3} = \frac{-9 - 2}{-1} = \frac{-11}{-1} = 11$$ $$y_{\text{P}} = \frac{-3 \times (-1) + 2 \times 2}{2 - 3} = \frac{3 + 4}{-1} = \frac{7}{-1} = -7$$ したがって、点 $\text{P}$ の座標は $(11, -7)$ です！

Step 1：直線 $\text{RS}$ の傾きは、計算しなくても問2と同じ！
点 $\text{S}$ は「直線 $\text{AB}$ に関して点 $\text{R}$ と対称な点」です。
線対称の定義より、対称な2点を結ぶ直線 $\text{RS}$ は、対称軸である直線 $\text{AB}$ と垂直に交わります（$\text{RS} \perp \text{AB}$）！
問2で求めた共通接線 $\ell$ も直線 $\text{AB}$ に垂直（$\ell \perp \text{AB}$）でしたから、直線 $\text{RS}$ は直線 $\ell$ と平行であり、その傾きは問2とまったく同じ $$\text{傾き} = \frac{4}{3}$$ であることが計算ゼロで確定します！

Step 2：直線 $\text{RS}$ と直線 $\text{AB}$ の交点 $\text{M}$ の位置を直角三角形の相似で求める
点 $\text{R}$ や点 $\text{S}$ の座標を直接求めなくても、直線 $\text{RS}$ と直線 $\text{AB}$ の交点 $\text{M}$ の座標さえ分かれば、傾き $\dfrac{4}{3}$ で点 $\text{M}$ を通る直線として一発で式が出ます！
直角三角形 $\triangle \text{PBR}$（$\angle \text{PRB} = 90^\circ$）に注目しましょう：

• 問1より $\text{AB} = 5$、問3より $\text{BA} : \text{AP} = 1 : 2$ なので、斜辺 $\text{BP}$ の長さは $$\text{BP} = 3 \times \text{AB} = 3 \times 5 = 15$$
• また、円 $D$ の半径より $\text{BR} = 3$ です。
• 点 $\text{R}$ から斜辺 $\text{BP}$（直線 $\text{AB}$）に下ろした垂線の足が交点 $\text{M}$ です。

すると、$\triangle \text{BM R} \sim \triangle \text{BRP}$（どちらも直角三角形で $\angle \text{B}$ が共通）なので、 $$\text{BM} : \text{BR} = \text{BR} : \text{BP} \implies \text{BM} = \frac{\text{BR}^2}{\text{BP}} = \frac{3^2}{15} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$$ なんと！$\text{BM}$ の長さは $\dfrac{3}{5}$ です！（※注意：点 $\text{R}$ において $\angle \text{PRB} = 90^\circ$ で、$\text{BP}$ が斜辺なので、$\angle \text{PBR}$ は鋭角です。よって垂線の足 $\text{M}$ は線分 $\text{BP}$ 上、つまり点 $\text{B}$ から点 $\text{A}$ の方向へ距離 $\dfrac{3}{5}$ 進んだところにあります！）

Step 3：【超時短】平行な直線 $\ell$ からの比を使って切片を一瞬で出す方法（＆座標代入の確認）
$\text{B}(-1, 2)$、$\text{A}(3, -1)$ より $\overrightarrow{\text{BA}} = (3 - (-1), -1 - 2) = (4, -3)$ です。
点 $\text{M}$ は点 $\text{B}(-1, 2)$ から $\dfrac{3}{25}\overrightarrow{\text{BA}}$ だけ進んだ点ですが、実は直線 $\text{RS}$ の方程式は「法線ベクトルが $\overrightarrow{\text{BA}} = (4, -3)$ で点 $\text{M}$ を通る直線」なので、わざわざ通分しなくても次のように出せます！
まず点 $\text{M}$ の座標を計算すると： $$x_{\text{M}} = -1 + \frac{3}{25} \times 4 = -1 + \frac{12}{25} = -\frac{13}{25}$$ $$y_{\text{M}} = 2 + \frac{3}{25} \times (-3) = 2 - \frac{9}{25} = \frac{41}{25}$$ これを傾き $\dfrac{4}{3}$ の直線の式 $y = \dfrac{4}{3}(x - x_{\text{M}}) + y_{\text{M}}$ に代入します： $$y = \frac{4}{3}\left(x + \frac{13}{25}\right) + \frac{41}{25} = \frac{4}{3}x + \frac{52}{75} + \frac{123}{75} = \frac{4}{3}x + \frac{175}{75}$$ $175$ と $75$ を $25$ で約分すると $\dfrac{175 \div 25}{75 \div 25} = \dfrac{7}{3}$ ！！
ちょっと待ってください！「$m$ と $n$ のうち傾きが大きい方を $m$」という条件から、接点 $\text{R}$ の座標も確認しておきましょう！
実は、直線 $\text{RS}$ は必ず点 $\text{R}$ と点 $\text{S}$ の両方を通る直線ですから、$m$ と $n$ のどちらを選んでも直線 $\text{RS}$ はまったく同じ1本の直線になります！（なぜなら、$m$ と円 $D$ の接点が $\text{R}$ なら、それと直線 $\text{AB}$ に関して対称な点 $\text{S}$ は、もう一方の共通接線 $n$ と円 $D$ の接点だからです！）
よって、直線 $\text{RS}$ の方程式は $$y = \frac{4}{3}x + \frac{7}{3}$$ となります！

Step 1：全事象（5個から3個を取り出す組合せの総数）を求める
5個の異なる球から3個を取り出す組合せの総数は、 $${}_5\text{C}_3 = {}_5\text{C}_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \text{ 通り}$$ であり、これら10通りは同様に確からしいです。

Step 2：$\text{A}$ の球が含まれる確率を求める
3個の中に必ず $\text{A}$ が含まれるとき、残りの2個は $\text{B}, \text{C}, \text{D}, \text{E}$ の4個の中から2個を選べばよいので、 $${}_4\text{C}_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \text{ 通り}$$ よって、求める確率は $$\frac{{}_4\text{C}_2}{{}_5\text{C}_3} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$$ （※直感的にも、5個のうち当たり枠が3個あるので $\dfrac{3}{5}$ と即答できます！）

Step 3：$\text{A}$ の球と $\text{B}$ の球がともに含まれる確率を求める
3個の中に $\text{A}$ と $\text{B}$ の2個がすでに確定しているので、残り1個は $\text{C}, \text{D}, \text{E}$ の3個の中から1個を選べばよく、 $${}_3\text{C}_1 = 3 \text{ 通り}$$ よって、求める確率は $$\frac{{}_3\text{C}_1}{{}_5\text{C}_3} = \frac{3}{10}$$ です。

Step 1：1回の試行で「$\text{A}$ も $\text{B}$ も含まれない」確率を求める
1回の試行で3個を取り出すとき、$\text{A}$ も $\text{B}$ も含まれないということは、残りの $\text{C}, \text{D}, \text{E}$ の3個から3個すべてを取り出すということです。
そのような取り出し方は $\{\text{C}, \text{D}, \text{E}\}$ の ${}_3\text{C}_3 = 1$ 通りしかありません！
よって、1回の試行で $\text{A}$ も $\text{B}$ も含まれない確率は $$\frac{1}{10}$$ です。

Step 2：5回連続で起こる確率を求める
各回の試行は独立なので、5回すべての試行において $\text{A}$ も $\text{B}$ も含まれない確率は、 $$\left(\frac{1}{10}\right)^5$$ となります。

Step 1：記号の設定と基本確率の確認
1回の試行で $\text{A}$ が含まれる事象を「$\bigcirc$」、含まれない事象を「$\times$」と表します。
問1より、 $$P(\bigcirc) = \frac{3}{5}, \quad P(\times) = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$$ です。5回の試行で $\bigcirc$ が3回以上連続して起こるパターンを、漏れなく・重複なく分類して数え上げましょう！

Step 2：確率を合計して約分する
上のケース1〜3を、$\bigcirc$ の個数ごとにまとめて計算すると非常にスッキリします！

• $\bigcirc$ が5個（1通り）：$1 \times \left(\dfrac{3}{5}\right)^5 = \dfrac{3^5}{5^5}$
• $\bigcirc$ が4個、$\times$ が1個（$2 + 2 = 4$ 通り）：$4 \times \left(\dfrac{3}{5}\right)^4 \left(\dfrac{2}{5}\right) = \dfrac{8 \times 3^4}{5^5}$
• $\bigcirc$ が3個、$\times$ が2個（3通り）：$3 \times \left(\dfrac{3}{5}\right)^3 \left(\dfrac{2}{5}\right)^2 = 3 \times \dfrac{3^3 \times 4}{5^5} = \dfrac{4 \times 3^4}{5^5}$

これら3つをすべて足し合わせます（すべて分子を $3^4$ でくくれることに注目！）： $$\text{求める確率} = \frac{3 \times 3^4 + 8 \times 3^4 + 4 \times 3^4}{5^5} = \frac{(3 + 8 + 4) \times 3^4}{5^5} = \frac{15 \times 3^4}{5^5}$$ ここで $15 = 3 \times 5$ なので、分母の $5^5$ と $5$ で約分すると、 $$\frac{3 \times 5 \times 3^4}{5^5} = \frac{3^5}{5^4}$$ ……おっと！分子の $3 \times 3^4$ は $3^5$ ですが、もしケース3をもう一度確認するとどうなるでしょうか？
あ！よく見てください！
ケース3の「$\bigcirc$ が3個、$\times$ が2個」の3通りは： $$3 \times \left(\frac{3}{5}\right)^3 \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4 \times 3^4}{5^5}$$ で間違いありません。ではなぜ解答欄の形 $\dfrac{\fbox{ コ }^{\fbox{ サ }}}{\fbox{ シ }^{\fbox{ ス }}}$ において $\dfrac{3^5}{5^4}$ または $\dfrac{3^4}{5^4}$ なのか、再検証しましょう！
実は、「1〜3回目が $\bigcirc\bigcirc\bigcirc$ の確率」＋「1回目が $\times$ で2〜4回目が $\bigcirc\bigcirc\bigcirc$ の確率」＋「2回目が $\times$ で3〜5回目が $\bigcirc\bigcirc\bigcirc$ の確率」で計算すると一瞬で検算できます：

• 1〜3回目が $\bigcirc\bigcirc\bigcirc$（4, 5回目は何でもよい）：$\left(\dfrac{3}{5}\right)^3 = \dfrac{27}{125}$
• 1回目が $\times$、かつ 2〜4回目が $\bigcirc\bigcirc\bigcirc$（5回目は何でもよい）：$\dfrac{2}{5} \times \left(\dfrac{3}{5}\right)^3 = \dfrac{54}{625}$
• 2回目が $\times$、かつ 3〜5回目が $\bigcirc\bigcirc\bigcirc$（1回目は何でもよい）：$1 \times \dfrac{2}{5} \times \left(\dfrac{3}{5}\right)^3 = \dfrac{54}{625}$

これら3つは互いに排反（重なりゼロ）なので、合計すると： $$\left(\frac{3}{5}\right)^3 \left(1 + \frac{2}{5} + \frac{2}{5}\right) = \frac{3^3}{5^3} \times \frac{9}{5} = \frac{3^3 \times 3^2}{5^4} = \frac{3^5}{5^4}$$ なんと美しい計算でしょうか！！
1ステップで $\left(\dfrac{3}{5}\right)^3 \times \dfrac{9}{5} = \dfrac{3^5}{5^4}$ と求まり、100%の確信をもって $\dfrac{3^5}{5^4}$（$\fbox{ コ }=3, \fbox{ サ }=5, \fbox{ シ }=5, \fbox{ ス }=4$）と確定しました！

Step 1：余事象と「包除原理（ベン図）」で立式する
「5個の球 $\text{A}, \text{B}, \text{C}, \text{D}, \text{E}$ がすべて少なくとも1回は取り出される」という事象の余事象は、
「5回の試行を通じて、1回も取り出されない球が少なくとも1個ある」という事象です。
ここで、文字 $X \in \{\text{A}, \text{B}, \text{C}, \text{D}, \text{E}\}$ に対して、 $$\text{事象 } E_X : \text{「5回の試行すべてにおいて、球 } X \text{ が1回も取り出されない」}$$ とおきます。
すると、求めたい確率 $P$ は、余事象の確率 $P(E_{\text{A}} \cup E_{\text{B}} \cup E_{\text{C}} \cup E_{\text{D}} \cup E_{\text{E}})$ を $1$ から引いたものです： $$P = 1 - P(E_{\text{A}} \cup E_{\text{B}} \cup E_{\text{C}} \cup E_{\text{D}} \cup E_{\text{E}})$$

Step 2：包除原理で余事象の確率を計算する
3個以上の球が同時に「1回も出ない」ことは絶対に起こらない（確率 $0$）ので、和事象の確率（包除原理）は「1個が出ない確率の和」から「2個が同時に出ない確率の和（重なって2回引いた分）」を引くだけで完全に求まります！ $$P(E_{\text{A}} \cup \dots \cup E_{\text{E}}) = {}_5\text{C}_1 \times \left(\frac{2}{5}\right)^5 - {}_5\text{C}_2 \times \left(\frac{1}{10}\right)^5$$ これを $P = 1 - P(E_{\text{A}} \cup \dots \cup E_{\text{E}})$ に代入します： $$P = 1 - {}_5\text{C}_1 \left(\frac{2}{5}\right)^5 + {}_5\text{C}_2 \left(\frac{1}{10}\right)^5$$

Step 3：各項目を約分して解答欄の形に合わせる
第2項と第3項をそれぞれ丁寧に計算します：

• 第2項の計算：
  $${}_5\text{C}_1 \times \left(\frac{2}{5}\right)^5 = 5 \times \frac{2^5}{5^5} = \frac{2^5}{5^4}$$
• 第3項の計算：
  $${}_5\text{C}_2 \times \left(\frac{1}{10}\right)^5 = 10 \times \frac{1}{10^5} = \frac{1}{10^4}$$

したがって、求める確率は $$1 - \frac{2^5}{5^4} + \frac{1}{10^4}$$ となり、問題文の解答欄 $1 - \dfrac{\fbox{ セ }^{\fbox{ ソ }}}{\fbox{ タ }^{\fbox{ チ }}} + \dfrac{1}{\fbox{ ツテ }^{\fbox{ ト }}}$ にピタリと一致します！