① 分母を決める。条件に合う取り出し方（順序つき）を数えます。白玉を取り出す回が3通り、その白玉が3通り、赤玉2個を順に取り出すのが $3\times2=6$ 通りなので、
📌 このページの使い方
- 過去問集をお持ちの方：本番と同じ90分で解き、答え一覧で採点してから解説へ
- お持ちでない方：各大問の「どういう問題か」を読めば、問題の中身がそのまま分かります
- 最後にそっくり類題セット（PDF版あり）を90分で解き、初見でも同じ解き方ができるか確かめる
※ 著作権に配慮し、入試問題の本文・図は掲載していません。第1問の空欄の記号（ア・イ）は、本番の解答欄との対応を示すためのものです。※ 第2問〜第4問は、小問ごとに「調べよ」「求めよ」「示せ」などの指示があります。解答欄が答えだけか途中も書くかは、過去問集の指示で確かめてください（要確認）。
⚠️ 問題等で誤りを発見された場合、修正しますので、TMPS医学館までLINEを下さい。（迅速に確認・更新いたします）
LINEで誤りを連絡3分で分かる 2024年度の慈恵医大の数学
- ✅ 全4大問・試験時間90分・配点100点。第1問だけ空欄（ア・イ）に数値を入れる形で、第2問〜第4問は小問ごとに「調べよ」「求めよ」「示せ」などの指示があります（解答欄の形式は過去問集で要確認）。
- ✅ 第1問は玉の取り出しと条件付き確率。赤玉と白玉に同じ番号がある袋から、戻さずに3個取り出す。「赤2個・白1個だった」という条件のもとで、番号の大小関係が成り立つ確率を2つ求めます。分母（条件に合う取り出し方）の数え方が出発点です。
- ✅ 第2問は絶対値つきの積分。対数の差の絶対値を積分し、$a$ の関数として表して最小値を求めます。符号が変わる点が積分区間に入るかどうかで場合分けし、最後は増減を調べます。
- ✅ 第3問は2次式の整数条件。連続する3つの整数での値が整数、かつ1次式で割り切れるという条件から、係数の整数性を示し、命題の正誤を判断して反例を探します。
- ✅ 第4問は平面上の円板を回した立体の体積。3点が決める平面と垂線の足を求め、高さ $t$ の断面が線分になることを使って、回転体を円環の重なりとして積分します。
- ✅ 差がつくのは「数え方・場合分けを最初に決める力」と「小さい例を試す発想」。第1問の分母、第2問の場合分けの境目、第3問(2)の反例づくり、第4問の断面の見方。この4点が型です。
Yuiちゃん
第3問の(2)は、正しいか正しくないかを自分で決めるんですよね。どっちか分からないと手が止まりそうです…。
ニックニ先生
正しいと思って証明に入る前に、いちばん小さい例を1つ試す。$p=q=1$ のような小さい例で、条件をみたす2次式を探してみる。それで見つかれば、正しくないとはっきり決まる。Yuiちゃん
第2問は、絶対値を外すところで迷いそうです。ニックニ先生
対数の中身は $x$ について単調に動く。だから符号が変わるのは1回だけ。その場所が積分区間に入るかどうかで場合分けする。それが決まれば、あとは計算だ。90分の立ち回りマップ
時間はTMPSの目安です。解く順番と「粘りどころ」をセットで覚えておきましょう。
🧭 おすすめの解く順番
第1問 → 第3問 → 第2問 → 第4問 → 見直し10分
第3問は(1)を取れれば短く終わる整数の問題なので、第1問のあとに先に確保しておくと安心です。計算の重い第2問と図形の第4問に、時間を厚く残します。迷ったときは、問題番号順に解いて構いません。
本番の答え一覧（採点用）
解説を読む前の採点用です。すべての答えを、厳密計算・全探索・数値計算のスクリプトで独立に確かめています（結果は下の注記）。
第1問（条件付き確率）
ア 1/18イ 2/9
第2問（絶対値つき積分と最小値）
(1) $1<a<\frac32$ のとき0個、$\frac32\le a<2$ のとき1個(2) $1<a\le\frac32$：$3\log3-4\log2-\log a$ $\frac32\le a<2$：$5\log a-2\log(a-1)-3\log3$(3) $a=\dfrac53$ のとき最小値 $5\log5-2\log2-6\log3$
第3問（2次式と整数の条件）
(1) 証明(2) 正しくない。反例：$p=q=1,\ f(x)=\dfrac{x(x-1)}{2}$
第4問（空間図形と回転体）
(1) $\dfrac{1-\sqrt3}{2}\le t\le\dfrac{1+\sqrt3}{2}$(2) $V=\dfrac{2\sqrt3}{3}\pi$
⚠️ 要確認：第2問〜第4問の解答欄の形式（答えのみか、途中の記述も求めるか）は、問題冊子の指示で確かめてください。このページの途中式は、どちらにも対応できる形で書いています。第3問(2)の反例は一例で、条件をみたす別の反例も答えになります。
※ 検算：第1問は赤2・白1の全54通り（全体120通り）の全探索と手計算ルートの一致、第2問は $a=1.005\sim1.995$ の199点での数値積分と式の一致・臨界点・格子探索での最小、第3問は $p,q\le5$・係数 $1/12$ 刻みでの全探索（条件をみたす1800個すべてで $2a/p,\ 2c/q$ が整数）と反例の確認、第4問は垂線の足と平面の式の記号計算・体積の厳密積分とサンプリングによる数値確認で、すべて一致しました。
採点したら → 30秒の得点診断へ第1問 玉の取り出しと条件付き確率 ── 「分母は条件に合う取り出し方」
条件付き確率は、「条件に合う取り出し方」を分母にした割合です。全体の120通りではなく、赤2個・白1個になる54通りの中で数えます。
現場戦略試験会場でのリアルな立ち回り（第1問）
⏱ 目標時間 & 死守ライン目標10分。ア（3分）→イ（7分）。分母の54通りを先に決め、ア・イとも「その中で何通りか」を数える。
⚠️ 損切り・警戒ラインイで場合分けが多くなる。$a_2$（真ん中の番号）の値で分けると、数える単位がそろう。
💡 初手の思考トリガー分母は「赤2・白1」の順序つき取り出し→赤と白は別の玉（番号が同じでも別物）→イは真ん中の番号 $a_2$ で場合分け。
📝 どういう問題か？
1〜3の番号がついた赤玉3個と、1〜3の番号がついた白玉3個が入った袋から、玉を1個ずつ、戻さずに3回取り出し、番号を順に $a_1,\ a_2,\ a_3$ とする。取り出した3個が「赤玉2個・白玉1個」だったという条件のもとで、2つの確率を求める（空欄ア・イに入れる）。
- ア：取り出した番号が $a_1<a_2<a_3$ となる条件付き確率
- イ：$a_1<a_2$ かつ $a_2>a_3$（真ん中が両隣より大きい）となる条件付き確率
$$3\times3\times6=54\ \text{（通り）}$$
（全体は $6\times5\times4=120$ 通りですが、条件付き確率の分母は54通りです。）
② ア：番号が小さい順に並ぶ。$a_1<a_2<a_3$ なので、番号は1，2，3が順に並びます。それぞれの番号の玉は赤と白の2個ありますが、白玉は1個だけ使うので、どの番号を白にするかの3通りです。
$$\frac{3}{54}=\frac{1}{18}\ \text{（ア）}$$
③ イ：真ん中が両隣より大きい。$a_2$ の値で分けます。赤玉と白玉は番号が同じでも別の玉なので、$a_1=a_3$ になる場合（同じ番号の赤と白が両隣に来る）も数えます。
| $a_2$ の値 | $(a_1,\ a_3)$ の候補 | 色の決め方（赤2・白1） | 通り数 |
|---|---|---|---|
| 2 | 両方とも1（赤1と白1） | $a_2$ は赤2。両隣の赤1・白1の並べ方が2通り | $2$ |
| 3（赤3） | $a_1,a_3\in\{1,2\}$ | 両隣は赤1個・白1個：位置2通り×番号 $2\times2=4$ 通り | $8$ |
| 3（白3） | $a_1,a_3\in\{1,2\}$（赤2個） | 両隣はどちらも赤で番号が違う：$(1,2),(2,1)$ | $2$ |
$$2+8+2=12$$
$$\frac{12}{54}=\frac29\ \text{（イ）}$$
🎯 第1問の答え
ア：1/18イ：2/9
⚠️ 分母を120通りにしてしまうと、条件付き確率ではなくなります。もう1つの落とし穴は、赤玉と白玉に同じ番号がある点。イでは「$a_1<a_2$ かつ $a_2>a_3$」に $a_1=a_3$ が含まれるので、$a_1\ne a_3$ と決めつけずに数えます。
Yuiちゃん
イは、場合を数えるうちに、赤と白のどっちを使ったか分からなくなりそうです…。ニックニ先生
先に「$a_2$ の番号」を決める。そのうえで、両隣の番号と、赤が何個・白が何個かを順に決める。表を1枚つくれば足りる。数え終えたら、別の方法（たとえば色の並びから数える）でも確かめる。ニックニ先生の総整理表
第1問：条件付き確率の型
| 場面 | 数え方 | 理由 |
|---|---|---|
| 分母 | 条件に合う順序つき取り出し 54通り | 赤2・白1の位置と玉の選び方 |
| ア | 番号が1<2<3、白にする番号を選ぶ | $3$ 通り。$\frac{3}{54}=\frac1{18}$ |
| イ | $a_2$ の値で場合分け | $a_1=a_3$（赤と白）も数える。$\frac{12}{54}=\frac29$ |
TMPSコーチング診断
🩺【自己診断】第1問で手が止まった人への処方箋
- 分母条件付き確率で何を割ればいいか分からない → 「条件に合う場合」が全体。まずそれを順序つきで数える
- ア数え方が決まらない → 番号が1，2，3の順に決まるので、残る自由度は「どの番号を白にするか」だけ
- イ場合が多すぎる → $a_2$ の値で分け、$a_1=a_3$ になる場合（赤と白の2個）も忘れずに数える
第2問 絶対値つきの積分 ── 符号が変わる点が区間に入るかで場合分け
3つの小問はつながっています。(1)で絶対値の中の符号が変わる点を調べ、(2)でその点が区間に入るかどうかで積分を2通りに分け、(3)で $a$ の関数として最小値を求めます。
現場戦略試験会場でのリアルな立ち回り（第2問）
⏱ 目標時間 & 死守ライン目標25分。(1)（5分）→(2)（12分）→(3)（8分）。(1)の結果が(2)の場合分けそのものになる。
⚠️ 損切り・警戒ライン(2)で絶対値の外し方が決まらないときは、中身の符号を $x=\frac{1}{a-1}$ の左右で考える。(3)は(2)の2つの式をそれぞれ微分する。
💡 初手の思考トリガー(1)：$1+x=ax$ を解いて $x=\frac{1}{a-1}$→(2)：この点が $[1,2]$ に入るかで場合分け→(3)：区間ごとに増減を調べる。
📝 どういう問題か？
$1<a<2$ の実数 $a$ に対して、$\log(1+x)$ と $\log ax$ の差の絶対値を $x=1$ から $x=2$ まで積分したものを $S(a)$ とする（対数は自然対数）。解の個数、$S(a)$ の式、最小値の3段構成。
- (1)：$a$ の値に応じて、$1\le x\le2$ の範囲での方程式の解の個数を調べる
- (2)：絶対値つきの積分 $S(a)$ を、$a$ の式で表す
- (3)：$S(a)$ の最小値と、そのときの $a$ の値を求める
(1)方程式を解いて、解が範囲に入る条件を調べる
方針：対数の差が $0$ になるのは、真数が等しいときです。$x>0$ では
$$\log(1+x)-\log ax=0\iff 1+x=ax\iff x=\frac{1}{a-1}$$
（$a>1$ なので $a-1>0$ です。）この解が $1\le x\le2$ に入る条件を調べます。
$$1\le\frac{1}{a-1}\le2\iff\frac12\le a-1\le1\iff\frac32\le a\le2$$
$1<a<2$ の範囲では、$\dfrac32\le a<2$ のとき解は1個、$1<a<\dfrac32$ のとき解は0個です。
(2)符号が変わる点で積分を2つに分ける
① 中身の符号。$g(x)=\log(1+x)-\log ax=\log\dfrac{1+x}{ax}$ とおくと、$\dfrac{1+x}{ax}=\dfrac1a\left(1+\dfrac1x\right)$ は $x$ について減少します。したがって $g(x)$ は減少関数で、$x_0=\dfrac{1}{a-1}$ の左で正、右で負です。
② 原始関数。$g(x)$ の原始関数を1つ決めておきます（微分すると $g(x)$ に戻ることを確かめてください）。
$$G(x)=(1+x)\log(1+x)-x\log x-x\log a-1$$
$$\begin{aligned}G(1)&=2\log2-\log a-1\\ G(2)&=3\log3-2\log2-2\log a-1\end{aligned}$$
③ $1<a\le\dfrac32$ のとき。$x_0\ge2$ なので、$[1,2]$ で $g\ge0$ です。絶対値はそのまま外せて、
$$S(a)=G(2)-G(1)=3\log3-4\log2-\log a$$
④ $\dfrac32\le a<2$ のとき。$x_0\in(1,2]$ で符号が変わるので、$[1,x_0]$ は $g\ge0$、$[x_0,2]$ は $g\le0$ です。
$$S(a)=\bigl(G(x_0)-G(1)\bigr)-\bigl(G(2)-G(x_0)\bigr)=2G(x_0)-G(1)-G(2)$$
$G(x_0)$ は、$1+x_0=\dfrac{a}{a-1}$ を使って整理します。
$$\begin{aligned}G(x_0)&=\frac{a}{a-1}\bigl(\log a-\log(a-1)\bigr)+\frac{1}{a-1}\log(a-1)-\frac{1}{a-1}\log a-1\\&=\log a-\log(a-1)-1\end{aligned}$$
$$S(a)=5\log a-2\log(a-1)-3\log3$$
（$a=\dfrac32$ でつなぎ目の値が一致します：どちらの式でも $2\log3-3\log2$ です。）
(3)区間ごとに増減を調べる
$1<a\le\dfrac32$ では $S(a)=3\log3-4\log2-\log a$ なので、$a$ が増えると減少します。
$\dfrac32\le a<2$ では、
$$S^{\prime}(a)=\frac5a-\frac{2}{a-1}=\frac{3a-5}{a(a-1)}$$
$a<\dfrac53$ で負、$a>\dfrac53$ で正です。したがって $S(a)$ は $1<a<\dfrac53$ で減少、$\dfrac53<a<2$ で増加し、最小は $a=\dfrac53$。
$$\begin{aligned}S\!\left(\tfrac53\right)&=5\log\tfrac53-2\log\tfrac23-3\log3\\&=5\log5-2\log2-6\log3\ (\approx0.0692)\end{aligned}$$
🎯 第2問の答え
(1) $1<a<\frac32$ で0個、$\frac32\le a<2$ で1個(2) $1<a\le\frac32$：$3\log3-4\log2-\log a$(2) $\frac32\le a<2$：$5\log a-2\log(a-1)-3\log3$(3) $a=\dfrac53$、最小値 $5\log5-2\log2-6\log3$
⚠️ (2)では、$x_0=\frac{1}{a-1}$ が区間 $[1,2]$ のどこにあるかが場合分けの境目です。境目 $a=\frac32$ は、どちらの式に入れても同じ値になります（等号をどちらに付けても答えは変わりません）。(3)で、$1<a\le\frac32$ の式は減少なので最小にはなりません。最小は $\frac32\le a<2$ の内側の $a=\frac53$ で決まります。
Yuiちゃん
(2)で、$G(x_0)$ の計算が長くて、途中で符号を間違えそうです。ニックニ先生
$1+x_0=\frac{a}{a-1}$ と $x_0=\frac{1}{a-1}$ だけを使って、$\log a$ と $\log(a-1)$ の係数をそれぞれまとめる。最後に $a=\frac32$ を代入して、(2)の場合分けのつなぎ目で2つの式が一致するか確かめれば、計算ミスに気づける。ニックニ先生の総整理表
第2問：絶対値つき積分の型
| 小問 | やること | ポイント |
|---|---|---|
| (1) | $1+x=ax$ から $x=\frac{1}{a-1}$ | $[1,2]$ に入るのは $\frac32\le a<2$ |
| (2) | 符号が変わる点で積分を分ける | $1<a\le\frac32$ は分けない。$\frac32\le a<2$ は $2G(x_0)-G(1)-G(2)$ |
| (3) | 区間ごとに増減 | $S^{\prime}(a)=\frac{3a-5}{a(a-1)}$、最小は $a=\frac53$ |
TMPSコーチング診断
🩺【自己診断】第2問で手が止まった人への処方箋
- (1)解の個数が分からない → 真数を等しいとおいて $x=\frac{1}{a-1}$。これが $1\le x\le2$ に入る $a$ の範囲を不等式で出す
- (2)絶対値が外せない → $g(x)=\log\frac{1+x}{ax}$ は $x$ で減少。符号が変わる点 $x_0$ が区間に入るかで場合分け
- (2)計算が合わない → $a=\frac32$ で2つの式が一致するかを確かめる（$2\log3-3\log2$）
- (3)最小値が決まらない → 場合分けした区間ごとに増減を調べ、内側の極小点を探す
第3問 2次式と整数の条件 ── 係数を整数にして互いに素で約数を取り出し、正誤は小さい例で試す
条件の「連続する3つの整数での値が整数」は、差をとって係数を取り出すための材料です。(1)は証明、(2)は命題の正誤を判断して、正しくなければ反例を1つ作ります。
現場戦略試験会場でのリアルな立ち回り（第3問）
⏱ 目標時間 & 死守ライン目標20分。(1)（12分）→(2)（8分）。(1)の「係数が整数になる」ところまでを先に書く。
⚠️ 損切り・警戒ライン(2)で証明を探し続けない。まず $p=q=1$ のような小さい例を試して、条件をみたすのに命題が成り立たない例を探す。
💡 初手の思考トリガー(1)：差をとって $2a,\ 2b,\ 2c$ の整数性→$f(\frac qp)=0$ から整数の等式→互いに素から $p\mid 2a,\ q\mid 2c$。(2)：$f(x)=\frac{(px-q)(Rx+S)}{2}$ の形で例を作る。
📝 どういう問題か？
互いに素な自然数 $p,\ q$ と、$a\ne0$ の2次式 $f(x)=ax^2+bx+c$（係数は実数）を考える。「ある整数 $k$ について $f(k-1),\ f(k),\ f(k+1)$ がすべて整数」かつ「$f(x)$ が $px-q$ で割り切れる」という条件をみたす $f$ について、係数の整数性を調べる。
- (1)：$\dfrac{2a}{p}$ と $\dfrac{2c}{q}$ が整数であることを示す（証明）
- (2)：「$\dfrac ap,\ \dfrac cq$ はともに整数である」という命題が正しいか判断し、正しくなければ反例を1つあげる
(1)差をとって $2a,\ 2b,\ 2c$ が整数であることを出す
① 係数を取り出す。$f(k-1),\ f(k),\ f(k+1)$ が整数なので、
$$\begin{aligned}f(k+1)-2f(k)+f(k-1)&=2a\\ f(k+1)-f(k-1)&=4ak+2b\\ 2f(k)&=2ak^2+2bk+2c\end{aligned}$$
上の式から $2a$ は整数。次に $4ak=2k\cdot(2a)$ は整数なので $2b$ も整数、最後の式から $2c$ も整数です。$A=2a,\ B=2b,\ C=2c$ とおきます。
② 割り切れる条件を使う。$f(x)$ が $px-q$ で割り切れるので $f\left(\dfrac qp\right)=0$。両辺に $2p^2$ を掛けて、
$$q^2A+pqB+p^2C=0$$
③ 互いに素を使う。$A,B,C$ は整数なので、この式を $p$ で割った余りを見ると $q^2A\equiv0\pmod p$。$p$ と $q$ は互いに素だから $p\mid A$。同じく $q$ で割った余りを見ると $p^2C\equiv0\pmod q$ から $q\mid C$。
$$\frac{2a}{p}=\frac Ap,\quad\frac{2c}{q}=\frac Cq\ \text{は整数}$$
(2)小さい例で反例を作る
④ 条件を整理する。(1)の $R=\dfrac{2a}{p}$、$S=-\dfrac{2c}{q}$（整数）を使うと、条件をみたす $f$ は
$$f(x)=\frac{(px-q)(Rx+S)}{2}$$
と書けます。「$\dfrac ap$ が整数」は「$R$ が偶数」と同じことなので、命題を崩すには、$R$ が奇数なのに、連続する3つの整数で $f$ の値が整数になる例を探します。
⑤ 反例。$p=q=1,\ R=1,\ S=0$ とすると
$$f(x)=\frac{x(x-1)}{2}$$
連続する2つの整数の積は偶数なので、すべての整数 $x$ で $f(x)$ は整数です（どの $k$ でも条件をみたします）。また $f(1)=0$ なので $x-1$ で割り切れ、$a=\dfrac12\ne0$。ところが $\dfrac ap=\dfrac12$ は整数ではありません。
よって命題は正しくありません。
🎯 第3問の答え
(1) 証明(2) 正しくない。反例：$p=q=1,\ f(x)=\dfrac{x(x-1)}{2}$
⚠️ (1)で、$2b$ が整数であることを使わずに③に進むと、$q^2A+pqB+p^2C=0$ から $p\mid A$ を言えません（$B,C$ が整数でないと余りで考えられない）。(2)は、反例に使う $f$ が条件を3つともみたすことを書きます：連続する3つの整数での値が整数、$px-q$ で割り切れる、$a\ne0$。
Yuiちゃん
(2)で、証明も反例も思いつかなくて、時間だけが過ぎてしまいそうです…。ニックニ先生
正しいか分からない命題は、まず一番小さい場合を試す。$p=q=1$ のとき、$x-1$ で割り切れて、整数の値をとる2次式は何があるか。$x(x-1)$ を2で割った形が見つかれば、それで決まりだ。ニックニ先生の総整理表
第3問：2次式の整数条件の型
| 段階 | やること | 着眼点 |
|---|---|---|
| (1)① | 3つの整数値の差をとる | $2a,\ 2b,\ 2c$ が整数になる |
| (1)② | $f(\frac qp)=0$ に $2p^2$ を掛ける | $q^2A+pqB+p^2C=0$ |
| (1)③ | 互いに素から約数を取り出す | $p\mid A,\ q\mid C$ |
| (2) | 小さい例を試す | $f=\frac{(px-q)(Rx+S)}{2}$ で $R$ を奇数に。$p=q=1$、$f=\frac{x(x-1)}{2}$ |
TMPSコーチング診断
🩺【自己診断】第3問で手が止まった人への処方箋
- (1)①条件が使えない → $f(k\pm1),\ f(k)$ の差を作って $a,\ b,\ c$ を取り出す（$2a=f(k+1)-2f(k)+f(k-1)$）
- (1)②互いに素が使えない → $q^2A+pqB+p^2C=0$ を $p$ と $q$ のそれぞれで割った余りで見る
- (2)正誤が決まらない → $p=q=1$ で例を試す。連続2整数の積は偶数、を利用して $\frac{x(x-1)}{2}$ にたどり着く
- (2)反例を書くとき → 条件を3つとも確かめて書く
第4問 平面上の円板を回した立体 ── 高さ $t$ の断面は線分、回すと円環
(1)で円板の高さの範囲を求め、(2)で高さごとの断面（線分）を $z$ 軸のまわりに回すと円環になることを使って、断面積を積分します。
現場戦略試験会場でのリアルな立ち回り（第4問）
⏱ 目標時間 & 死守ライン目標25分。平面と垂線の足（8分）→(1)（5分）→(2)（12分）。平面の式から $H$ を出す。
⚠️ 損切り・警戒ライン(2)で立体の形が思い浮かばない。「高さ $t$ で切る」と、$D$ の切り口は線分になる。線分を回すと円環。
💡 初手の思考トリガー平面の式と垂線の足 $H$→円板を $H+u\vec e_1+v\vec e_2$ で表す→高さ $t$ の断面は $v$ 一定の線分→回転は円環、面積 $\pi w^2$。
📝 どういう問題か？
原点 $O$、点 $A,\ B,\ C$ が決める平面 $ABC$ に $O$ から垂線 $OH$ を下ろす。$H$ を中心とする半径1の円板 $D$（平面 $ABC$ 上、内部を含む）について、高さの範囲と、$z$ 軸まわりの回転体の体積を調べる。$A,\ B$ は $z=0$ の平面上で $x$ 軸に平行な線分の両端、$C$ は $z$ 軸上の点。
- (1)：平面 $z=t$ が円板 $D$ と交わるような $t$ の範囲を求める
- (2)：$D$ を $z$ 軸のまわりに1回転させてできる立体 $K$ の体積 $V$ を求める
① 平面の式。$A,B$ は $y=-\dfrac{2}{\sqrt3},\ z=0$ の直線上にあり、$C$ は $(0,0,2)$ なので、平面は $y$ と $z$ の1次式で表せます。3点を代入して確かめると、
$$-\sqrt3\,y+z=2\qquad\text{（法線ベクトル }(0,-\sqrt3,1),\ \text{大きさ }2\text{）}$$
② 垂線の足 $H$。$OH$ は法線ベクトルに平行なので、
$$H=\frac{2}{4}\,(0,-\sqrt3,1)=\left(0,\ -\frac{\sqrt3}{2},\ \frac12\right),\qquad OH=1$$
③ 円板を表す。平面上で、$x$ 軸方向の単位ベクトル $\vec e_1=(1,0,0)$ と、それに垂直な単位ベクトル $\vec e_2=\left(0,\dfrac12,\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$ をとります（$\vec e_2$ は法線ベクトルに垂直）。$D$ の点は、$u^2+v^2\le1$ をみたす $u,v$ を使って
$$H+u\vec e_1+v\vec e_2=\left(u,\ -\frac{\sqrt3}{2}+\frac v2,\ \frac12+\frac{\sqrt3}{2}v\right)$$
(1)$z$ 座標は $v$ だけで決まる
$z=\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}v$ で、$v$ は $-1\le v\le1$ を動くので、
$$\frac{1-\sqrt3}{2}\le t\le\frac{1+\sqrt3}{2}$$
(2)断面は線分、回すと円環
④ 高さ $t$ の断面。$z=t$ のとき $v$ が決まり、$v=v_0=\dfrac{2t-1}{\sqrt3}$。そこでの $D$ の切り口は、$y$ が一定の線分です。
$$y_0=-\frac{\sqrt3}{2}+\frac{v_0}{2},\qquad |x|\le w,\quad w=\sqrt{1-v_0^2}$$
⑤ 回転させる。この線分は $x=0$ の点（$z$ 軸に一番近い点）を含みます。$z$ 軸からの距離は、一番近い点で $|y_0|$、端点で $\sqrt{y_0^2+w^2}$。回すと、内側の半径が $|y_0|$、外側の半径が $\sqrt{y_0^2+w^2}$ の円環になります（$y_0\ne0$ なので真ん中に穴があきます）。その面積は
$$\pi\bigl\{(y_0^2+w^2)-y_0^2\bigr\}=\pi w^2=\pi(1-v_0^2)$$
⑥ 積分する。$t$ と $v_0$ の関係 $dt=\dfrac{\sqrt3}{2}dv_0$ を使って、
$$\begin{aligned}V&=\int\pi(1-v_0^2)\,dt=\frac{\sqrt3}{2}\pi\int_{-1}^{1}(1-v_0^2)\,dv_0\\&=\frac{\sqrt3}{2}\pi\cdot\frac43=\frac{2\sqrt3}{3}\pi\end{aligned}$$
🎯 第4問の答え
(1) $\dfrac{1-\sqrt3}{2}\le t\le\dfrac{1+\sqrt3}{2}$(2) $V=\dfrac{2\sqrt3}{3}\pi$
⚠️ 断面積は円環の面積です。外側の円の面積だけを使うと、穴の分まで含めてしまいます。また、線分が $z$ 軸に一番近い点（$x=0$）を含むことが、円環の内側の半径が $|y_0|$ になる理由です。$y_0$ は断面ごとに変わりますが、面積 $\pi w^2$ には $y_0$ が出てこないので、積分は $v_0$ の2次式になります。
Yuiちゃん
立体の形がうまく想像できなくて、積分の式が立てられません…。ニックニ先生
立体を想像しなくていい。「高さ $t$ で切った断面の面積」だけを考える。切り口は線分、回すと円環、面積は $\pi w^2$。あとは $t$ で積分すれば体積になる。ニックニ先生の総整理表
第4問：回転体の体積の型
| 段階 | やること | 着眼点 |
|---|---|---|
| ① 平面 | 3点から平面の式 | $-\sqrt3y+z=2$ |
| ② 垂線の足 | 法線ベクトルに平行 | $H=(0,-\frac{\sqrt3}{2},\frac12)$、$OH=1$ |
| (1) | $z$ 座標を $v$ で表す | $\frac12+\frac{\sqrt3}{2}v$、$-1\le v\le1$ |
| (2) | 断面は線分→回して円環 | 面積 $\pi w^2=\pi(1-v_0^2)$、$dt=\frac{\sqrt3}{2}dv_0$ |
TMPSコーチング診断
🩺【自己診断】第4問で手が止まった人への処方箋
- ①平面の式が出ない → $A,B$ は $y,z$ が一定の直線上。$by+cz=d$ の形におき、3点を代入
- ②$H$ が分からない → 垂線の足は、法線ベクトルの実数倍。平面の式に代入して倍率を決める
- (1)範囲が決まらない → 円板の点の $z$ 座標を $v$ で表し、$v$ の範囲 $-1\le v\le1$ から出す
- (2)体積が立てられない → 高さ $t$ の断面を考える。切り口は線分、回すと円環。内側の半径は線分が $z$ 軸に一番近い点までの距離
TMPS ORIGINAL
慈恵医大2024型 そっくり類題セット
慈恵医大2024型 そっくり類題セット
（全4大問・解答解説つき）
2024年度の本番と同じ4大問・同じ型で、数値と設定を変えたTMPSオリジナル問題です。赤玉・白玉の取り出しと条件付き確率、絶対値つき積分と最小値、2次式の整数条件と反例、平面上の円板を回した立体の体積を一通り練習できます。
試験時間の目安 90分条件付き確率・絶対値つき積分・2次式の整数条件・回転体の体積
📄 本番形式の問題冊子PDFをダウンロード（全5ページ）
印刷して本番と同じように90分で解けます。解答・解説はこのページの下に掲載しています。
※ 東京慈恵会医科大学の入試問題ではありません。本文・設問・人物・団体（架空）はすべてTMPS医学館が作成したオリジナルで、出典のある引用ではありません。
類題 第1問
次の ア，イ にあてはまる適切な数値を解答欄に記入せよ。
1から4までの番号をつけた赤玉4個と，1から4までの番号をつけた白玉4個が入った袋から，玉を1個ずつ3回取り出し，玉に書かれた番号を取り出した順に $a_1,\ a_2,\ a_3$ とする。ただし，取り出した玉は元に戻さないものとする。
取り出した3個の玉が，赤玉1個，白玉2個であったとき，
$a_1<a_2<a_3$ となる条件付き確率は ア，
$a_1>a_2$ かつ $a_2<a_3$ となる条件付き確率は イ
である。
取り出した3個の玉が，赤玉1個，白玉2個であったとき，
$a_1<a_2<a_3$ となる条件付き確率は ア，
$a_1>a_2$ かつ $a_2<a_3$ となる条件付き確率は イ
である。
▶ 第1問 の答えと解説を見る
第1問 の答えと解説
ア：1/12イ：1/4
- まず条件に合う取り出し方（順序つき）の数を数える。赤玉を取り出す回が3通り，その赤玉が4通り，白玉2個を順に取り出すのが $4\times3=12$ 通りで，$3\times4\times12=144$ 通り。以下，この144通りを分母にする（どれも同様に確からしい）。
- （ア）$a_1<a_2<a_3$ となるのは，番号が小さい順に並ぶときで，4つの番号から異なる3つを選ぶ $\binom43=4$ 通り。選んだ3つの番号の玉のうち，どれを赤玉にするかが3通り。$4\times3=12$ 通りで，$\dfrac{12}{144}=\dfrac1{12}$。
- （イ）$a_2$ が両隣より小さい場合。$a_2$ の値で分ける。番号は同じでも赤と白は別の玉なので，$a_1=a_3$ になることもある点に注意する。
- $a_1\ne a_3$ のときは，3つの番号がすべて異なるので，赤玉をどの回にするかが3通り。$a_1=a_3$ のときは，同じ番号の赤・白2個を $a_1,a_3$ に使うので並べ方が2通りで，$a_2$ の玉は白玉。
- $a_2=1$：$a_1,a_3\in\{2,3,4\}$。$a_1\ne a_3$ が $3\times2=6$ 組で $6\times3=18$ 通り，$a_1=a_3$ が3組で $3\times2=6$ 通り。計24通り。
- $a_2=2$：$a_1,a_3\in\{3,4\}$。$2\times3=6$ 通りと $2\times2=4$ 通りで計10通り。$a_2=3$：$a_1=a_3=4$ の $1\times2=2$ 通り。
- 合計 $24+10+2=36$ 通りで，$\dfrac{36}{144}=\dfrac14$。
類題 第2問
$1<a<3$ をみたす実数 $a$ について，$S(a)=\displaystyle\int_1^3\left|\log(2+x)-\log ax\right|dx$ とするとき，次の問いに答えよ。ただし，$\log$ は自然対数である。
(1)
$a$ の値に応じて，$1\le x\le3$ の範囲で方程式 $\log(2+x)-\log ax=0$ の解の個数を調べよ。
(2)
$S(a)$ を求めよ。
(3)
$S(a)\ (1<a<3)$ の最小値と，そのときの $a$ の値を求めよ。
▶ 第2問 の答えと解説を見る
第2問 の答えと解説
(1)
答え：1<a<5/3 のとき0個，5/3≦a<3 のとき1個
- $x>0$ のとき，方程式は $2+x=ax$，つまり $x=\dfrac{2}{a-1}$ と同値（$a>1$ なので $a-1>0$）。
- $1\le\dfrac{2}{a-1}\le3$ を解くと，$a-1\le2$ かつ $a-1\ge\dfrac23$ より $\dfrac53\le a\le3$。$a<3$ の範囲では，$\dfrac53\le a<3$ のとき解が1個，$1<a<\dfrac53$ のとき0個（$x=\dfrac{2}{a-1}>3$ となり範囲の外）。
(2)
答え：1<a≦5/3：S(a)＝5log5−6log3−2log a5/3≦a<3：S(a)＝8log a−4log(a−1)＋4log2−5log5
- $g(x)=\log(2+x)-\log x-\log a$ とおくと，$\dfrac{2+x}{ax}=\dfrac1a\left(1+\dfrac2x\right)$ は $x$ について減少するので，$g(x)$ は減少関数。(1) より，$g$ の符号が変わるのは $x_0=\dfrac{2}{a-1}$ のとき。
- 原始関数は $G(x)=(2+x)\log(2+x)-x\log x-x\log a-2$（微分すると $g(x)$ に戻る）。$G(1)=3\log3-\log a-2$，$G(3)=5\log5-3\log3-3\log a-2$。
- 【$1<a\le\dfrac53$】$[1,3]$ 全体で $g\ge0$ なので $S=G(3)-G(1)=5\log5-6\log3-2\log a$。
- 【$\dfrac53\le a<3$】$x_0\in[1,3)$ で符号が変わり，$S=\bigl(G(x_0)-G(1)\bigr)-\bigl(G(3)-G(x_0)\bigr)=2G(x_0)-G(1)-G(3)$。$2+x_0=\dfrac{2a}{a-1}$ を使って整理すると $G(x_0)=2\log2+2\log a-2\log(a-1)-2$。
- よって $S=4\log2+4\log a-4\log(a-1)-4-(3\log3-\log a-2)-(5\log5-3\log3-3\log a-2)=8\log a-4\log(a-1)+4\log2-5\log5$。
(3)
答え：a＝2 のとき最小値 12log2−5log5
- $1<a\le\dfrac53$ では $S(a)=5\log5-6\log3-2\log a$ は減少。
- $\dfrac53\le a<3$ では $S^{\prime}(a)=\dfrac8a-\dfrac4{a-1}=\dfrac{4(a-2)}{a(a-1)}$。$a<2$ で負，$a>2$ で正。
- $a=\dfrac53$ で2つの式はつながっている（連続）ので，$S(a)$ は $1<a<2$ で減少，$2<a<3$ で増加。最小は $a=2$ で，$S(2)=8\log2-4\log1+4\log2-5\log5=12\log2-5\log5$。
類題 第3問
$p,\ q$ は互いに素な自然数とする。実数 $a,\ b,\ c$ に対して，$x$ の2次多項式 $f(x)=ax^2+bx+c$ を考える。ただし，$a\ne0$ とする。
$f(x)$ が条件「ある整数 $k$ について $f(k-1),\ f(k),\ f(k+1)$ は整数となり，$f(x)$ は $px+q$ で割り切れる」をみたすとき，次の問いに答えよ。
$f(x)$ が条件「ある整数 $k$ について $f(k-1),\ f(k),\ f(k+1)$ は整数となり，$f(x)$ は $px+q$ で割り切れる」をみたすとき，次の問いに答えよ。
(1)
$\dfrac{2a}{p},\ \dfrac{2c}{q}$ は整数であることを示せ。
(2)
命題「$f(x)$ が上の条件をみたすならば，$b$ は整数である」は正しいか。正しければそれを示せ。正しくなければ，反例を1つあげよ。
▶ 第3問 の答えと解説を見る
第3問 の答えと解説
(1)
証明問題
- $f(k+1)-2f(k)+f(k-1)=2a$ なので，$2a$ は整数。次に $f(k+1)-f(k-1)=4ak+2b$ で，$4ak=2k\cdot(2a)$ は整数だから $2b$ も整数。さらに $2f(k)=2ak^2+2bk+2c$ より $2c$ も整数。
- $A=2a,\ B=2b,\ C=2c$（整数）とおく。$f(x)$ が $px+q$ で割り切れるので $f\!\left(-\dfrac qp\right)=0$。両辺に $2p^2$ を掛けて $q^2A-pqB+p^2C=0$。
- この式を $p$ で割った余りで見ると $q^2A\equiv0\pmod p$。$p,q$ は互いに素なので $p\mid A$，つまり $\dfrac{2a}{p}$ は整数。同様に $q$ で割った余りで見ると $p^2C\equiv0\pmod q$ より $q\mid C$，つまり $\dfrac{2c}{q}$ も整数。
(2)
答え：正しくない。反例：p＝q＝1，f(x)＝x(x+1)/2（b＝1/2）
- 条件をみたす $f$ は，(1) の $R=\dfrac{2a}{p},\ S=\dfrac{2c}{q}$（整数）を使って $f(x)=\dfrac{(px+q)(Rx+S)}{2}$ と書ける。このとき $b=\dfrac{pS+qR}{2}$ なので，$pS+qR$ が奇数になれば $b$ は整数でない。
- $p=q=1,\ R=1,\ S=0$ とすると $f(x)=\dfrac{x(x+1)}{2}$。連続する2整数の積は偶数なので，すべての整数 $x$ で $f(x)$ は整数（どの $k$ でも条件をみたす）。$f(-1)=0$ なので $x+1$ で割り切れ，$a\ne0$ もみたす。
- しかし $b=\dfrac12$ は整数でない。よって命題は正しくない。
類題 第4問
$O$ を原点とする $xyz$ 空間において，3点 $A\left(1,\ -\dfrac53,\ 0\right),\ B\left(-1,\ -\dfrac53,\ 0\right),\ C\left(0,\ 0,\ \dfrac54\right)$ の定める平面 $ABC$ 上に $O$ から垂線 $OH$ を下ろす。平面 $ABC$ において，$H$ を中心とする半径 $2$ の円板（内部を含む）$D$ を考える。次の問いに答えよ。
(1)
平面 $z=t$ が $D$ と交わるような $t$ の値の範囲を求めよ。
(2)
$D$ を $z$ 軸のまわりに1回転させるとき，$D$ が通過してできる立体 $K$ の体積 $V$ を求めよ。
▶ 第4問 の答えと解説を見る
第4問 の答えと解説
(1)
答え：−2/5 ≦ t ≦ 2
- 平面 $ABC$ は $-3y+4z=5$（3点を代入して確かめられる）。法線ベクトル $(0,-3,4)$ の大きさは $5$ なので $H=\dfrac{5}{25}(0,-3,4)=\left(0,\ -\dfrac35,\ \dfrac45\right)$，$OH=1$。
- 平面内で，$x$ 軸方向の単位ベクトル $\vec e_1=(1,0,0)$ と，それに垂直な単位ベクトル $\vec e_2=\left(0,\dfrac45,\dfrac35\right)$ をとると，$D$ の点は $H+u\vec e_1+v\vec e_2\ (u^2+v^2\le4)$。その $z$ 座標は $\dfrac45+\dfrac35v$。
- $-2\le v\le2$ なので $z$ は $\dfrac45-\dfrac65=-\dfrac25$ から $\dfrac45+\dfrac65=2$ まで動く。よって $-\dfrac25\le t\le2$。
(2)
答え：V＝32π/5
- 平面 $z=t$ による $D$ の切り口は，$v_0=\dfrac{5t-4}{3}$ として，$y=-\dfrac35+\dfrac45v_0$ の直線上の線分 $|x|\le w,\ w=\sqrt{4-v_0^2}$。
- この線分は $x=0$ の点（$z$ 軸に最も近い点）を含み，その $z$ 軸からの距離は $|y|$。端点までの距離は $\sqrt{y^2+w^2}$。回転させると，内側の半径 $|y|$，外側の半径 $\sqrt{y^2+w^2}$ の円環ができ，面積は $\pi\bigl\{(y^2+w^2)-y^2\bigr\}=\pi w^2=\pi(4-v_0^2)$。
- $dt=\dfrac35dv_0$ なので $V=\displaystyle\int_{-2}^{2}\pi(4-v_0^2)\cdot\dfrac35\,dv_0=\dfrac{3\pi}{5}\left(16-\dfrac{16}{3}\right)=\dfrac{32}{5}\pi$。
※ 類題は、本番の解き方の骨格は残しつつ、数値・設定・条件を変えて作っています（第1問は赤・白4個ずつで赤1個・白2個のときの確率、第2問は被積分関数を $\log(2+x)-\log ax$・区間を $[1,3]$ に変更、第3問は割る1次式を $px+q$ にして(2)の命題を「$b$ は整数」に変更、第4問は3点の座標と円板の半径を変更）。全問の答えは、スクリプトで全探索・厳密計算・数値計算により確かめています。
30秒 得点診断
本番の過去問、またはそっくり類題セットを90分で解いた結果を選んでください。次にやるべきことを表示します。
保護者の方へ：慈恵医大の数学で知っておきたい3つのこと
① 「4問を90分」は1問あたり約20分
大問が4つしかなく、1問が重い試験です。取れる問題を取り切る力と、重い問題で最初の一歩を早く踏み出す力の両方が必要です。② 「正しいか決める」問題が出る
2024年度の第3問のように、命題が正しいかどうかを自分で判断する問題があります。証明を探し続けず、小さい例を試して反例を探す習慣があるかで、時間の使い方が変わります。③ 秋からは「答案を見てもらう」
90分で4大問を終える配分や、場合分け・条件の確認の抜けは、独学では直しにくい部分です。どこで時間を失ったか、第三者の目で見ると最短で伸びます。よくある質問
Q. 東京慈恵会医科大学 医学部の数学2024年度は、どの順番で解くのがよいですか？
TMPSの目安は、第1問（条件付き確率）10分、第2問（絶対値つき積分と最小値）25分、第3問（2次式と整数の条件）20分、第4問（空間図形と回転体）25分、見直し10分です。第1問は取り切り、第3問は(1)を確保してから(2)は小さい例で反例を探し、第2問は絶対値の外し方（場合分けの境目）を最初に決め、第4問は断面が線分になることに気づければ短く終わります。
Q. 問題文が載っていなくても、どんな問題か分かりますか？
分かります。著作権に配慮して問題本文・図は掲載していませんが、各大問の最初に「どういう問題か」として、設定・何を答えるかをTMPSの言葉で説明しています。
Q. 第2問〜第4問は、途中の式も書く必要がありますか？
第1問は空欄（ア・イ）に数値を入れる形です。第2問〜第4問は小問ごとに「調べよ」「求めよ」「示せ」などの指示があります。解答欄が答えだけか、途中も書く形かは、過去問集の指示や解答用紙で確かめてください（要確認）。このページでは、どちらでも対応できるよう、途中式を省略せずに解説しています。
Q. そっくり類題セットとは何ですか？
2024年度と同じ4大問の構成（玉の取り出しと条件付き確率・絶対値つき積分と最小値・2次式の整数条件・平面上の円板を回した立体の体積）で、数値・設定・条件を変えたTMPSオリジナル問題です。本文・設問はすべて新しく作ったもので、全問の答え・解説をこのページに掲載し、本番形式の問題冊子PDFも無料で配布しています。
Q. 解説に誤りを見つけたらどうすればいいですか？
公式LINEからお知らせください。確認のうえ修正し、更新日を記載します。
安心安全・継続更新システム
問題等で誤りを発見された場合、修正しますので、TMPS医学館までLINEを下さい。
受験生・指導者の皆様からのご指摘を真摯に受け止め、最も信頼できる過去問解説・類題ライブラリーとして随時アップデートいたします。
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