① 1回の操作で取り除かれる確率。Aから $a$、Bから $b$ を取り出す組は全部で $3\times3=9$ 通り。差の絶対値が1になるのは次の4通りです。
📌 このページの使い方
- 過去問集をお持ちの方：本番と同じ90分で解き、答え一覧で採点してから解説へ
- お持ちでない方：各大問の「どういう問題か」を読めば、問題の中身がそのまま分かります
- 最後にそっくり類題セット（PDF版あり）を90分で解き、初見でも同じ解き方ができるか確かめる
※ 著作権に配慮し、入試問題の本文・図は掲載していません。第1問の空欄の記号（ア・イ）は、本番の解答欄との対応を示すためのものです。※ 第2問〜第4問は「求めよ」の問題で、解答欄が答えだけか途中も書くかは、過去問集の指示で確かめてください（要確認）。
⚠️ 問題等で誤りを発見された場合、修正しますので、TMPS医学館までLINEを下さい。（迅速に確認・更新いたします）
LINEで誤りを連絡3分で分かる 2026年度の慈恵医大の数学
- ✅ 全4大問・試験時間90分・配点100点。第1問だけ空欄（ア・イ）に数値を入れる形で、第2問以降は「求めよ」の問題です（解答欄の形式は過去問集で要確認）。
- ✅ 第1問は確率の操作。2つの袋から1個ずつ取り出し、数の差が1なら取り除く操作の繰り返し。2回後・3回後に「ちょうど何個残るか」の確率を答えます。
- ✅ 第2問は極限と面積。$e^{-nx}+x-1$ のグラフと $x$ 軸で囲まれる面積 $S_n$ の極限。交点の値は求まらないので、文字でおいて関係式で処理します。
- ✅ 第3問は gcd を使う数列。先頭から書き出して規則を見抜き、$\cos$ が最大になる条件（比が偶数）を整数の性質で解きます。
- ✅ 第4問は空間図形の体積。動く線分が通ってできる曲面と、その下の立体の体積。「Q の座標 → 曲面の式 → 変数変換して積分」の順に進みます。
- ✅ 差がつくのは「最初の気づき」と「文字で処理する力」。第3問の規則の見抜き、第2問の $\beta$ の扱い、第4問の変数変換は、型を知っているかで差がつきます。
Yuiちゃん
4問しかないのに、90分で終わるでしょうか…。
ニックニ先生
1問あたりの重さが違う。第1・2問は短く取り切って、浮いた時間で第3・4問に粘る。それが基本の配分だ。Yuiちゃん
求める値が出ても、合っているか自信が持てません。ニックニ先生
確率は別の数え方で、極限は大きな n の数値で、体積は大きさの見当で確かめる。答えの確かめ方まで含めて練習する。90分の立ち回りマップ
時間はTMPSの目安です。解く順番と「粘りどころ」をセットで覚えておきましょう。
🧭 おすすめの解く順番
第1問 → 第2問 → 第3問 → 第4問 → 見直し10分
第1問の確率は、数え方が定まれば短時間で終わります。第3問で規則が見えない場合は、まず数項を書き出す。第4問は、途中で積分が重くなったら、Q の座標と曲面の式までを先に確保しましょう。
本番の答え一覧（採点用）
解説を読む前の採点用です。すべての答えを、厳密計算・全探索・数値計算のスクリプトで独立に確かめています（結果は下の注記）。
第1問（確率）
ア 2/9イ 271/729
第2問（極限と面積）
lim Sn ＝ 1/2
第3問（数列と整数）
n ＝ 1，p，2p−1
第4問（空間図形の体積）
体積 ＝ 16/27
⚠️ 要確認：第2問〜第4問の解答欄の形式（答えのみか、途中の記述も求めるか）は、問題冊子の指示で確かめてください。このページの途中式は、どちらにも対応できる形で書いています。
※ 検算：第1問は全状態の厳密計算（分数）、第2問は $n=10,100,1000,10000$ の数値積分と面積の公式の一致、第3問は $p=3,5,7,\cdots,37$ の全探索（最大 $n<12p$ の範囲）、第4問は記号計算の厳密積分と数値積分の両方で、すべて一致しました。
採点したら → 30秒の得点診断へ第1問 確率の操作 ── 「状態が変わる」ところで確率を切り替える
取り除くと袋の中身が変わり、次の操作の確率も変わります。どこで状態が変わるかを押さえれば、足し算と掛け算だけで終わります。
現場戦略試験会場でのリアルな立ち回り（第1問）
⏱ 目標時間 & 死守ライン目標15分。最初の1回の確率（4/9）と、除去後の確率（1/2）の2つを出せば、あとは順序の場合分けだけ。
⚠️ 損切り・警戒ライン「全部の場合を書き出す」方向に行かない。状態は「各袋に3個→2個→1個」の3段階しかない。
💡 初手の思考トリガー1回で取り除かれる組を数える→取り除いた後の状態の確率を確認→「ちょうど◯回」は順序で場合分け。
📝 どういう問題か？
袋AとBに、それぞれ1・2・3の数字が書かれた玉が1個ずつ入っている。各回、両方の袋から玉を1個ずつ取り出し、数の差の絶対値が1なら2個とも取り除き、そうでなければ袋に戻す。これを繰り返したときの、残りの個数の確率を答える。
- ア：2回目の操作を終えたとき、各袋にちょうど1個ずつ玉が残っている確率
- イ：3回目の操作を終えたとき、各袋にちょうど2個ずつ玉が残っている確率
$$(a,b)=(1,2),\ (2,1),\ (2,3),\ (3,2)\qquad\Rightarrow\qquad \frac49$$
② 取り除いたあとの確率。1回取り除くと、各袋に2個ずつになります。どの状態になっても、$2\times2=4$ 通りの組のうち差が1になるのは2通りです（4つの状態すべてで確かめました）。
たとえば最初に $(1,2)$ を取り除くと A$=\{2,3\}$，B$=\{1,3\}$。差が1になるのは $(2,1)$ と $(2,3)$ の2通りなので、取り除かれる確率は $\dfrac12$、取り除かれない確率も $\dfrac12$。
③ ア（2回で各1個ずつ）。これは「2回続けて取り除く」ことです。
$$\frac49\times\frac12=\frac29\ \text{（ア）}$$
④ イ（3回で各2個ずつ）。各袋に2個ずつ残るのは、3回のうちちょうど1回だけ取り除かれたとき。取り除かれる回で場合分けします（取り除く前は取り除かれない確率が $\frac59$、取り除いた後は $\frac12$）。
$$\begin{array}{ll}\text{1回目に除去：} & \dfrac49\times\dfrac12\times\dfrac12=\dfrac19=\dfrac{81}{729}\\[6pt]\text{2回目に除去：} & \dfrac59\times\dfrac49\times\dfrac12=\dfrac{10}{81}=\dfrac{90}{729}\\[6pt]\text{3回目に除去：} & \dfrac59\times\dfrac59\times\dfrac49=\dfrac{100}{729}\end{array}$$
$$\frac{81+90+100}{729}=\frac{271}{729}\ \text{（イ）}$$
🎯 第1問の答え
ア：2/9イ：271/729
⚠️ 「各袋に2個ずつ残る」はちょうど1回取り除かれた場合だけ。2回以上取り除かれると1個以下になるので含めない。また、取り除いた後は確率が $\frac49$ ではなく $\frac12$ に変わる点が、イの最大の落とし穴。
Yuiちゃん
イで、2回目や3回目に取り除かれる場合の確率が、前と同じ4/9になってしまいました…。ニックニ先生
取り除く前は袋が3個ずつなので4/9、取り除いた後は2個ずつなので1/2。袋の中身が変われば、確率も変わる。「今の状態で何通り中何通り」と毎回数え直すんだ。ニックニ先生の総整理表
第1問：確率の操作の型
| 場面 | 確率 | 理由 |
|---|---|---|
| 最初の1回（各袋3個） | $\dfrac49$ | 9通り中、差が1の組が4通り |
| 取り除いた後（各袋2個） | $\dfrac12$ | 4通り中、差が1の組が2通り（どの状態でも同じ） |
| ちょうど1回だけ取り除く | 順序で3通りを足す | 除去の前は $\frac59$，後は $\frac12$ |
TMPSコーチング診断
🩺【自己診断】第1問で手が止まった人への処方箋
- ア確率が合わない → 「2回続けて取り除く」と言い換えて、1回目と2回目の確率の積にする
- イ数え漏れが出る → 「ちょうど1回」は、何回目に起こるかで場合分け（3通り）
- 全般確率が途中で変わる問題 → 状態（各袋の個数）を書き出して、状態ごとに確率を決める
第2問 面積の極限 ── 求まらない交点は「文字でおいて関係式で消す」
曲線と $x$ 軸の交点のひとつは求まりません。それでも極限は出ます。値が求まらないものは文字でおくのが、この大問の型です。
現場戦略試験会場でのリアルな立ち回り（第2問）
⏱ 目標時間 & 死守ライン目標15分。増減（5分）→面積の式（5分）→極限（5分）。
⚠️ 損切り・警戒ライン交点を方程式で解こうとして時間を使わない。$e^{-nx}+x-1=0$ は解けない。5分で見切って文字 $\beta$ でおく。
💡 初手の思考トリガー$f_n(0)=0$ から出発→増減で、囲まれる区間を決める→$f_n(\beta)=0$ の関係式で $\beta$ だけの式にする。
📝 どういう問題か？
2以上の自然数 $n$ に対して $f_n(x)=e^{-nx}+x-1$ とする。曲線 $y=f_n(x)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S_n$ を考え、$n\to\infty$ のときの $S_n$ の極限を求める。
- 答えは極限値（1つの値）
① グラフの形を決める。$f_n(0)=e^0+0-1=0$ なので、曲線は原点を通ります。微分すると
$$f_n'(x)=1-ne^{-nx}\qquad f_n'(x)=0\iff x=x_0=\frac{\log n}{n}\ (>0)$$
$f_n$ は $x<x_0$ で減少、$x>x_0$ で増加。$f_n(0)=0$ で、$0<x_0$ だから、$0<x\le x_0$ では $f_n(x)<0$。さらに $f_n(1)=e^{-n}>0$ なので、$x_0<\beta<1$ に $f_n(\beta)=0$ となる $\beta$ がただ1つあります。また $x<0$ では $f_n(x)>0$ です。
したがって、曲線と $x$ 軸で囲まれるのは $0\le x\le\beta$ の部分で、その区間では $f_n(x)\le0$（曲線は $x$ 軸の下）。
② 面積を式にする。$x$ 軸の下側なので、符号を反転して積分します。
$$S_n=-\int_0^{\beta}f_n(x)\,dx=-\left[-\frac{e^{-nx}}{n}+\frac{x^2}{2}-x\right]_0^{\beta}=\frac{e^{-n\beta}}{n}-\frac{\beta^2}{2}+\beta-\frac1n$$
③ 関係式で $\beta$ だけの式にする。$f_n(\beta)=0$ より $e^{-n\beta}=1-\beta$。代入すると、
$$S_n=\frac{1-\beta}{n}-\frac{\beta^2}{2}+\beta-\frac1n=\beta-\frac{\beta^2}{2}-\frac{\beta}{n}$$
④ $\beta\to1$ を示す。$\beta>x_0$ だから $e^{-n\beta}<e^{-nx_0}=\dfrac1n$。よって $1-\beta=e^{-n\beta}$ から
$$0<1-\beta<\frac1n\qquad\Rightarrow\qquad \beta\to1\ (n\to\infty)\ \text{（はさみうち）}$$
⑤ 極限。
$$\lim_{n\to\infty}S_n=1-\frac12-0=\frac12$$
🎯 第2問の答え
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=\dfrac12$
⚠️ 「$e^{-n\beta}\to0$ だから…」と直感で進めると、$\beta\to1$ の根拠が飛びます。$e^{-n\beta}$ は $1-\beta$ に置き換えられる、という関係式を使って、はさみうちで $\beta\to1$ を示しましょう。また、$x<0$ 側にも「囲まれる部分」があると考えないこと（$x<0$ では曲線は $x$ 軸の上）。
Yuiちゃん
$\beta$ が求まらないのに、積分の範囲に使っていいんでしょうか？ニックニ先生
いい。求まらない値は文字でおいて、$f_n(\beta)=0$ という関係式を使って式の形を整える。最後に $\beta\to1$ だけ示せば、極限は出る。入試では、この「文字でおく」型が何度も出る。ニックニ先生の総整理表
第2問：極限と面積の型
| 段階 | やること | 着眼点 |
|---|---|---|
| ① 増減 | $f_n(0)=0$ と極小点で、囲まれる区間 $0\le x\le\beta$ を決める | $f_n(1)>0$ から $\beta<1$ を確認 |
| ② 面積 | $x$ 軸の下側は $-\int f_n$ | 原始関数は $-\frac{e^{-nx}}{n}+\frac{x^2}{2}-x$ |
| ③ 整理 | $e^{-n\beta}=1-\beta$ で指数を消す | $S_n=\beta-\frac{\beta^2}{2}-\frac{\beta}{n}$ |
| ④ 極限 | $0<1-\beta<\frac1n$ ではさみうち | $\beta\to1$ から $\frac12$ |
TMPSコーチング診断
🩺【自己診断】第2問で手が止まった人への処方箋
- ①囲まれる範囲が分からない → $f_n(0)=0$ と、極小点の位置・符号をグラフで確認する
- ②面積の符号が逆 → 曲線が $x$ 軸の下にあるときは、積分の前にマイナスをつける
- ③$\beta$ が消えない → $f_n(\beta)=0$ を $e^{-n\beta}=1-\beta$ の形にして、積分の結果に代入
- ④極限が厳密に言えない → $\beta$ を不等式ではさむ（$\beta>x_0$ を使う）
第3問 gcdの漸化式 ── まず書き出して「2段階」の規則を見抜く
漸化式の中に最大公約数が入っています。先頭の項を書き出すと、項が $p$ に達する前と後で、増え方が変わることが見えます。
現場戦略試験会場でのリアルな立ち回り（第3問）
⏱ 目標時間 & 死守ライン目標25分。書き出して規則を作る（8分）→$a_n$ の一般形を示す（7分）→$\cos$ が最大になる条件を整数の性質で解く（10分）。
⚠️ 損切り・警戒ライン$p$ を文字のまま考え込まない。$p=5$ や $p=7$ で書き出して、規則を見つけてから文字に戻す。
💡 初手の思考トリガー$\gcd$ の値は1か $p$ の2通りだけ（$p$ は素数）。$\cos(r\pi)=1\iff r$ が偶数。
📝 どういう問題か？
3以上の素数 $p$ に対して、$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\gcd(p,a_n)$ で数列を定める。比 $\dfrac{a_{n+p}}{a_n}$ を使った $\cos\left(\dfrac{a_{n+p}}{a_n}\pi\right)$ が最大になるような $n$ を、すべて求める。
- 答えは $n$ のすべての値（$p$ を使って表す）
① 書き出して規則を見つける。$p=5$ なら、$a_1=1$ から1ずつ増えて、5に達してから5ずつ増えます。
$$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 10,\ 15,\ 20,\ 25,\ \cdots$$
一般の $p$ でも同じです。$a_k<p$ のあいだは、$p$ が素数なので $\gcd(p,a_k)=1$ で、$a_{k+1}=a_k+1$。$a_p=p$ になると $\gcd(p,a_p)=p$ なので、そこからは $p$ ずつ増えます。
$$a_n=n\ \ (1\le n\le p),\qquad a_n=p\,(n-p+1)\ \ (n\ge p)$$
② $\cos$ が最大になる条件。$\cos\theta\le1$ で、$\cos(r\pi)=1$ となるのは $r$ が偶数のときです。そこで、$\dfrac{a_{n+p}}{a_n}$ が偶数になる $n$ を探します（見つかれば、それが最大値1です）。
③ $1\le n\le p$ のとき。$a_n=n$，$a_{n+p}=p(n+1)$（$n+p\ge p$ なので）。
$$\frac{a_{n+p}}{a_n}=\frac{p(n+1)}{n}=p+\frac pn$$
これが整数になるのは、$n$ が $p$ の約数のとき。$p$ は素数なので $n=1$ または $n=p$。$n=1$ のとき $2p$（偶数）、$n=p$ のとき $p+1$（$p$ が奇数なので偶数）。どちらも条件を満たします。
④ $n>p$ のとき。$m=n-p+1\ (\ge2)$ とおくと、$a_n=pm$，$a_{n+p}=p(n+1)=p(m+p)$。
$$\frac{a_{n+p}}{a_n}=\frac{m+p}{m}=1+\frac pm$$
整数になるのは $m$ が $p$ の約数のとき。$m\ge2$ なので $m=p$（このとき比は $2$、偶数）。$m=p$ は $n=2p-1$ です。
⑤ まとめ。$\cos$ が最大値1をとるのは、次の3つの $n$ です。
$$n=1,\quad n=p,\quad n=2p-1$$
🎯 第3問の答え
n ＝ 1，p，2p−1
⚠️ 比が整数というだけでは足りず、偶数であることまで確かめます。ここでは $p$ が奇数なので、$\frac pn$ や $\frac pm$ も奇数になり、$p+\frac pn$ や $1+\frac pm$ は偶数になります。$p=2$ のときは成り立たないので、問題が「3以上」と指定していることを確認しましょう。
Yuiちゃん
$n\le p$ と $n>p$ で式が違うので、どこで分けるのかが分かりません…。ニックニ先生
$a_n$ の式が $n=p$ で切り替わるからだ。$a_{n+p}$ は常に $n+p\ge p$ の側にあるが、$a_n$ は $n$ の位置で決まる。切り替わる場所を最初に書き出して見つけておけば、場合分けは自然に決まる。ニックニ先生の総整理表
第3問：gcdの数列の型
| 段階 | やること | 着眼点 |
|---|---|---|
| ① 規則 | 先頭を書き出す | $p$ に達する前は $+1$、達した後は $+p$ |
| ② 一般形 | $n\le p$ と $n\ge p$ で式を分ける | $a_n=n$，$a_n=p(n-p+1)$ |
| ③ 条件 | $\cos(r\pi)=1\iff r$ は偶数 | 比 $r$ を $p+\frac pn$，$1+\frac pm$ の形に |
| ④ 整数条件 | 約数で絞る | $p$ は素数なので約数は $1$ と $p$ だけ |
TMPSコーチング診断
🩺【自己診断】第3問で手が止まった人への処方箋
- ①規則が見えない → $p=5$ で $a_1,a_2,\cdots$ を10項くらい書き出す
- ②$a_n$ の一般形が合わない → $a_p=p$ を境に、$+1$ と $+p$ のどちらかを確認
- ③cos の条件が分からない → $\cos\pi=-1$，$\cos2\pi=1$ から、「偶数のとき1、奇数のとき−1」と覚える
- ④整数条件が絞れない → $\frac pn$ が整数 ⇒ $n$ は $p$ の約数 ⇒ 素数なので $1$ か $p$
第4問 動く線分が作る立体 ── 「座標 → 曲面の式 → 変数変換」の3段
線分が動いてできる図形は、平面ではなく曲面です。式にして、その下の体積を二重積分で求めます。
現場戦略試験会場でのリアルな立ち回り（第4問）
⏱ 目標時間 & 死守ライン目標25分。Q の座標（5分）→曲面の式と立体の形（8分）→変数変換と積分（12分）。
⚠️ 損切り・警戒ラインQ の座標が出ないと先へ進めない。ここは5分で確保。曲面の式が出ない場合は、線分上の点を $s$ でパラメータ表示してから考える。
💡 初手の思考トリガー平面の式を $x+(p-1)y+pz=p$ と置く→線分 PQ の点を $(p(1-s),\ ps,\ (2-p)s)$ と表す→$(x,y)\to(p,s)$ で変数変換。
📝 どういう問題か？
空間に原点Oと、A$(2,0,0)$，B$(0,2,0)$，C$(0,0,2)$，D$(1,1,0)$，E$(0,0,1)$ がある。OA上の点P$(p,0,0)$ を動かし、平面PDEと直線BCの交点をQとする。$p$ を $0$ から $2$ まで動かすときに線分PQが通る図形をSとし、Sと平面 $x=0$，平面 $z=0$ で囲まれた立体をKとする。Kのうち $x\le2y$ を満たす部分の体積を求める。
- 答えは体積（1つの値）
① Q の座標を求める。平面PDEを $x+(p-1)y+pz=p$ とおくと、P$(p,0,0)$，D$(1,1,0)$，E$(0,0,1)$ のすべてが式を満たします（Pは $p=p$、Dは $1+(p-1)=p$、Eは $p=p$）。直線BCは $x=0,\ y+z=2$ なので、代入して
$$(p-1)y+p(2-y)=p\quad\Rightarrow\quad y=p,\quad z=2-p$$
よって Q$=(0,\ p,\ 2-p)$。$p=0$ のとき平面は $x-y=0$ で、Q$=$C$(0,0,2)$ となり、式と一致します。
② 曲面 $S$ の式を作る。線分PQ上の点を、$0\le s\le1$ を使って表します。
$$(x,\ y,\ z)=\bigl(p(1-s),\ ps,\ (2-p)s\bigr)$$
$x+y=p$，$s=\dfrac{y}{x+y}$ なので、$z=(2-x-y)\cdot\dfrac{y}{x+y}$。すなわち曲面 $S$ は
$$z=\frac{y\,(2-x-y)}{x+y}$$
③ 立体 $K$ の形。底面は三角形 $T=\{x\ge0,\ y\ge0,\ x+y\le2\}$（平面 $z=0$ 上のOAB）。$x=0$ では $z=2-y$（平面 $x=0$ 上の三角形OBC）、$y=0$ と $x+y=2$ では $z=0$ なので、Kは「$T$ の上で、$0\le z\le\dfrac{y(2-x-y)}{x+y}$ の部分」です。
④ 変数変換して積分する。$(x,y)=(p(1-s),\ ps)$ とおくと、$T$ は $0\le p\le2,\ 0\le s\le1$ にうつります。ヤコビアンは
$$\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(p,s)}\right|=\begin{vmatrix}1-s&-p\\ s&p\end{vmatrix}=p(1-s)+ps=p$$
条件 $x\le2y$ は $1-s\le2s$、すなわち $s\ge\dfrac13$。高さは $z=(2-p)s$ なので、
$$V=\int_{1/3}^{1}\!\!\int_0^2 (2-p)s\cdot p\,dp\,ds=\int_{1/3}^{1}s\,ds\cdot\int_0^2(2p-p^2)\,dp=\frac49\times\frac43=\frac{16}{27}$$
（参考：$K$ 全体の体積は $\dfrac12\times\dfrac43=\dfrac23$ で、条件を満たす部分は全体の $\dfrac{16}{27}\div\dfrac23=\dfrac89$。厳密積分と数値積分の両方で確かめています。）
🎯 第4問の答え
体積 ＝ 16/27
⚠️ 変数変換のヤコビアン $p$ を忘れると、答えが合いません。また、「線分が通る図形」を平面だと思い込むと、立体の形が決まりません。P と Q が同時に動くので曲面になります。
Yuiちゃん
線分が通ってできる図形って、平面じゃなくて曲面なんですね…？ニックニ先生
そうだ。点Pも点Qも動くから、線分を並べた「ねじれた面」になる。式にするには、線分上の点を $s$ で表して、$x,y,z$ を $p$ と $s$ で書く。そこから $p,s$ を消すと、$z$ が $x,y$ の式として出る。ニックニ先生の総整理表
第4問：動く線分と体積の型
| 段階 | やること | 着眼点 |
|---|---|---|
| ① 座標 | Q を $p$ で表す | 平面を $x+(p-1)y+pz=p$ と置けば、D・E・P すべて代入で確認できる |
| ② 曲面 | 線分上の点を $s$ で表す | $x+y=p$，$s=\frac{y}{x+y}$ で $z$ の式に |
| ③ 立体 | 底面 $T$ と高さ $z$ で $K$ を表す | 境界（$x=0$，$y=0$，$x+y=2$）で高さを確認 |
| ④ 積分 | $(x,y)\to(p,s)$ に変換 | ヤコビアンは $p$。条件 $x\le2y$ は $s\ge\frac13$ |
TMPSコーチング診断
🩺【自己診断】第4問で手が止まった人への処方箋
- ①Q が出ない → 平面の式を $x+(p-1)y+pz=p$ とおいて、BC上の $x=0,y+z=2$ を代入
- ②曲面の式が出ない → 線分上の点を $(p(1-s),ps,(2-p)s)$ と置き、$p=x+y$，$s=\frac{y}{x+y}$ を代入
- ③立体の形が分からない → 底面の三角形と、各辺での高さ（$z=2-y$，$0$，$0$）を確認
- ④積分が重い → $(x,y)\to(p,s)$ に変換すると、積が $s\times p(2-p)$ に分かれて簡単になる
TMPS ORIGINAL
慈恵医大2026型 そっくり類題セット
慈恵医大2026型 そっくり類題セット
（全4大問・解答解説つき）
2026年度の本番と同じ4大問・同じ型で、数値と設定を変えたTMPSオリジナル問題です。状態で確率が変わる操作、求まらない値を文字でおく処理、書き出しで規則を見抜く力、動く線分と体積を一通り練習できます。
試験時間の目安 90分確率・極限と面積・数列と整数・空間図形
📄 本番形式の問題冊子PDFをダウンロード（全5ページ）
印刷して本番と同じように90分で解けます。解答・解説はこのページの下に掲載しています。
※ 東京慈恵会医科大学の入試問題ではありません。本文・設問・人物・団体（架空）はすべてTMPS医学館が作成したオリジナルで、出典のある引用ではありません。
類題 第1問
次の ア，イ にあてはまる適切な数値を解答欄に記入せよ。
2つの袋 A，B があり，それぞれに $1,\ 2,\ 3,\ 4$ の数字がひとつずつ書かれた4個の玉が入っている。
袋 A，B から玉を1個ずつ取り出し，取り出した2個の玉に書かれた数の差の絶対値が $2$ であるときはそれらの玉を取り除き，そうでないときはもとの袋に戻す。この操作を繰り返し行う。
このとき，
2回目の操作を終えたとき，袋の中に玉がちょうど2個ずつ残っている確率は ア，
3回目の操作を終えたとき，袋の中に玉がちょうど3個ずつ残っている確率は イ
である。
袋 A，B から玉を1個ずつ取り出し，取り出した2個の玉に書かれた数の差の絶対値が $2$ であるときはそれらの玉を取り除き，そうでないときはもとの袋に戻す。この操作を繰り返し行う。
このとき，
2回目の操作を終えたとき，袋の中に玉がちょうど2個ずつ残っている確率は ア，
3回目の操作を終えたとき，袋の中に玉がちょうど3個ずつ残っている確率は イ
である。
▶ 第1問 の答えと解説を見る
第1問 の答えと解説
ア：1/12イ：217/576
- 1回の操作で取り除かれるのは，$(A,B)=(1,3),(3,1),(2,4),(4,2)$ の4通りで，全体 $16$ 通りのうち $\dfrac{4}{16}=\dfrac14$。
- 最初の除去のあとは，各袋に3個ずつ。どの4つの状態になっても，9通りの組のうち差が $2$ になるのは3通り（たとえば A$=\{2,3,4\}$，B$=\{1,2,4\}$ なら $(2,4),(3,1),(4,2)$）なので，除去される確率は $\dfrac13$，除去されない確率は $\dfrac23$。
- （ア）2回で各2個ずつ残る＝2回とも除去：$\dfrac14\times\dfrac13=\dfrac1{12}$。
- （イ）3回で各3個ずつ残る＝3回のうちちょうど1回だけ除去。除去が1回目・2回目・3回目の3通りを足す：$\dfrac14\left(\dfrac23\right)^2+\dfrac34\cdot\dfrac14\cdot\dfrac23+\left(\dfrac34\right)^2\cdot\dfrac14=\dfrac19+\dfrac18+\dfrac9{64}=\dfrac{217}{576}$。
類題 第2問
$n$ を $3$ 以上の自然数とし，関数 $f_n(x)=e^{-nx}+2x-1$ を考える。曲線 $y=f_n(x)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を $S_n$ とするとき，極限 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$ を求めよ。ただし，$e$ は自然対数の底とする。
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第2問 の答えと解説
答え：1/4
- $f_n'(x)=2-ne^{-nx}$ は $x_0=\dfrac{\log(n/2)}{n}>0$ で $0$ になり，$x<x_0$ で負，$x>x_0$ で正。よって $f_n$ は $x_0$ で最小。
- $f_n(0)=0$ なので $0<x<x_0$ では $f_n(x)<0$。$f_n\left(\dfrac12\right)=e^{-n/2}>0$ だから，$x_0<\beta<\dfrac12$ に $f_n(\beta)=0$ となる $\beta$ がただ1つあり，曲線と $x$ 軸で囲まれるのは $0\le x\le\beta$ の部分（この区間で $f_n\le0$）。
- $S_n=-\displaystyle\int_0^{\beta}f_n(x)\,dx=-\left[-\dfrac{e^{-nx}}{n}+x^2-x\right]_0^{\beta}=\dfrac{e^{-n\beta}}{n}-\beta^2+\beta-\dfrac1n$。
- $f_n(\beta)=0$ より $e^{-n\beta}=1-2\beta$。代入して $S_n=\dfrac{1-2\beta}{n}-\beta^2+\beta-\dfrac1n=\beta-\beta^2-\dfrac{2\beta}{n}$。
- $\beta>x_0$ より $1-2\beta=e^{-n\beta}<e^{-nx_0}=\dfrac2n$。よって $\dfrac12-\dfrac1n<\beta<\dfrac12$ で，はさみうちより $\beta\to\dfrac12$。
- したがって $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=\dfrac12-\dfrac14-0=\dfrac14$。
類題 第3問
素数 $p$ は $3$ 以上の定数とする。自然数の数列 $\{b_n\}$ が
$b_1=2,\quad b_{n+1}=b_n+\gcd(p,\,b_n)\quad(n=1,2,3,\cdots)$
をみたすとき，$\cos\left(\dfrac{b_{n+p}}{b_n}\pi\right)$ を最大にする $n$ をすべて求めよ。ただし，$p$ と $b_n$ の最大公約数を $\gcd(p,\,b_n)$ で表す。
$b_1=2,\quad b_{n+1}=b_n+\gcd(p,\,b_n)\quad(n=1,2,3,\cdots)$
をみたすとき，$\cos\left(\dfrac{b_{n+p}}{b_n}\pi\right)$ を最大にする $n$ をすべて求めよ。ただし，$p$ と $b_n$ の最大公約数を $\gcd(p,\,b_n)$ で表す。
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第3問 の答えと解説
答え：n＝p−1，2p−2
- $b_k<p$ のあいだは $\gcd(p,\,b_k)=1$（$p$ は素数）なので $b_{k+1}=b_k+1$。$b_1=2$ から $b_k=k+1\ (1\le k\le p-1)$，特に $b_{p-1}=p$。
- $b_n$ が $p$ の倍数になってからは $\gcd=p$ なので $b_{n+1}=b_n+p$。よって $n\ge p-1$ で $b_n=p\,(n-p+2)$。
- $\cos\theta\le1$ で，等号は $\dfrac{b_{n+p}}{b_n}$ が偶数のとき。以下，これが成り立つ $n$ を探す。
- (i) $1\le n\le p-1$：$b_n=n+1,\ b_{n+p}=p(n+2)$ より $\dfrac{b_{n+p}}{b_n}=p+\dfrac{p}{n+1}$。整数になるには $n+1$ が $p$ の約数，$n+1\ge2$ なので $n+1=p$。このとき $p+1$ は偶数でOK。$n=p-1$。
- (ii) $n\ge p$：$m=n-p+2\ (\ge2)$ とおくと $b_n=pm,\ b_{n+p}=p(m+p)$ で $\dfrac{b_{n+p}}{b_n}=1+\dfrac pm$。整数になるには $m=p$，このとき $2$ は偶数でOK。$n=2p-2$。
- よって最大値 $1$ をとるのは $n=p-1,\ 2p-2$。
類題 第4問
原点を O とする $xyz$ 空間に，5点 A$(4,0,0)$，B$(0,4,0)$，C$(0,0,4)$，D$(2,2,0)$，E$(0,0,2)$ がある。点 P は線分 OA 上を動き，その座標を $(p,0,0)\ (0\le p\le4)$ とする。平面 PDE と直線 BC の交点を Q とし，$p$ が $0\le p\le4$ の範囲を動くとき，線分 PQ が通過してできる図形を $S$ とする。
図形 $S$，平面 $x=0$，平面 $z=0$ で囲まれた部分からなる立体を $K$ とするとき，$K$ のうち $x\le3y$ をみたす部分の体積を求めよ。
図形 $S$，平面 $x=0$，平面 $z=0$ で囲まれた部分からなる立体を $K$ とするとき，$K$ のうち $x\le3y$ をみたす部分の体積を求めよ。
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第4問 の答えと解説
答え：5
- 平面 PDE を $\dfrac xp+by+\dfrac z2=1$ とおき（$p\ne0$），D を通ることから $b=\dfrac{p-2}{2p}$。$x=0,\ z=4-y$ を代入して $by+\dfrac{4-y}{2}=1$ を解くと $y=p$。よって Q$=(0,\ p,\ 4-p)$（$p=0$ でも Q$=$C で成り立つ）。
- 線分 PQ 上の点は $(x,y,z)=(p(1-s),\ ps,\ (4-p)s)\ (0\le s\le1)$。$p=x+y,\ s=\dfrac{y}{x+y}$ なので，$S$ は $z=\dfrac{y(4-x-y)}{x+y}$。
- $K$ は，三角形 $\{x\ge0,\ y\ge0,\ x+y\le4\}$ の上で $0\le z\le\dfrac{y(4-x-y)}{x+y}$ の部分（$x=0$ では $z\le4-y$ で三角形 OBC，$y=0$ では $z=0$）。
- $(x,y)=(p(1-s),\ ps)$ と変数変換すると $dx\,dy=p\,dp\,ds$。$x\le3y\iff 1-s\le3s\iff s\ge\dfrac14$。
- $V=\displaystyle\int_{1/4}^{1}\!\int_0^4 (4-p)s\cdot p\,dp\,ds=\int_{1/4}^1 s\,ds\cdot\int_0^4(4p-p^2)\,dp=\dfrac{15}{32}\times\dfrac{32}{3}=5$。
※ 類題は、本番の解き方の骨格は残しつつ、数値・設定・条件を変えて作っています（第1問は4個の玉で差が2、第2問は $e^{-nx}+2x-1$、第3問は $b_1=2$ から始まる数列、第4問は座標を2倍にして条件を $x\le3y$ に変更）。全問の答えは、スクリプトで厳密計算・全探索・数値計算により確かめています。
30秒 得点診断
本番の過去問、またはそっくり類題セットを90分で解いた結果を選んでください。次にやるべきことを表示します。
保護者の方へ：慈恵医大の数学で知っておきたい3つのこと
① 「4問を90分」は1問あたり約20分
大問が4つしかなく、1問が重い試験です。取れる問題を取り切る力と、重い問題で最初の一歩を早く踏み出す力の両方が必要です。② 「型を知っているか」が差になる
「求まらない値は文字でおく」「書き出して規則を作る」「動く線分は変数で表す」のように、頻出の型を知っているかで、解き始めの速さが変わります。③ 秋からは「答案を見てもらう」
90分で4大問を終える配分は、独学では直しにくい部分です。どこで時間を失ったか、第三者の目で見ると最短で伸びます。よくある質問
Q. 東京慈恵会医科大学 医学部の数学2026年度は、どの順番で解くのがよいですか？
TMPSのおすすめは、第1問（確率）15分、第2問（極限と面積）15分、第3問（数列と整数）25分、第4問（空間図形の体積）25分、見直し10分です。第1・2問は取り切り、第3・4問は「最初の気づき」に早く着けるかが勝負です。
Q. 問題文が載っていなくても、どんな問題か分かりますか？
分かります。著作権に配慮して問題本文・図は掲載していませんが、各大問の最初に「どういう問題か」として、設定・何を答えるかをTMPSの言葉で説明しています。
Q. 第2問〜第4問は、途中の式も書く必要がありますか？
第1問は空欄（ア・イ）に数値を入れる形です。第2問以降は「求めよ」とだけ書かれた問題で、解答欄が答えだけか、途中も書く形かは、過去問集の指示や解答用紙で確かめてください（要確認）。このページでは、どちらでも対応できるよう、途中式を省略せずに解説しています。
Q. そっくり類題セットとは何ですか？
2026年度と同じ4大問の構成（確率の操作・極限と面積・gcd数列・空間図形の体積）で、数値・設定・条件を変えたTMPSオリジナル問題です。本文・設問はすべて新しく作ったもので、全問の答え・解説をこのページに掲載し、本番形式の問題冊子PDFも無料で配布しています。
Q. 解説に誤りを見つけたらどうすればいいですか？
公式LINEからお知らせください。確認のうえ修正し、更新日を記載します。
安心安全・継続更新システム
問題等で誤りを発見された場合、修正しますので、TMPS医学館までLINEを下さい。
受験生・指導者の皆様からのご指摘を真摯に受け止め、最も信頼できる過去問解説・類題ライブラリーとして随時アップデートいたします。
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