近畿大学 医学部 数学（2025年度）全問題・超図解解説

まずは対数の真数（$\log_5$ の中身）である $1 - \cos 2x - 3\cos x$ に注目しましょう。角度が $2x$ と $x$ でバラバラなので、2倍角の公式を使ってすべて $\cos x$ に揃えます。

これを真数 $g(x) = 1 - \cos 2x - 3\cos x$ に代入して、カッコを丁寧に外します。符号のミスに注意しましょう！

ここで $t = \cos x$ とおくと、真数は $-2t^2 - 3t + 2$ となります。したがって、 $$f(x) = \log_5(-2t^2 - 3t + 2)$$ と表せます。問題文の枠 $\log_5(\text{\fbox{アイ}}\,t^2 - \text{\fbox{ウ}}\,t + \text{\fbox{エ}})$ と係数を比較しましょう（$t$ の1次の項には最初からマイナス「$-$」が印刷されている点に注意！）。

「対数関数 $\log_a M$ が定義される」ための絶対条件は、真数条件 $M > 0$（中身がプラス）です！
(1)で求めた $t$ の2次式 $g(t) = -2t^2 - 3t + 2$ が正になるときの範囲を求めましょう。

2次不等式を解くときは、先頭の $t^2$ の係数をプラスにするのが鉄則です。両辺に $-1$ を掛けて、不等号の向きを逆にします。

たすき掛けで左辺を因数分解します（掛けて $2$、掛けて $-2$、斜めに掛けて足して $+3$ なので $(2t - 1)(t + 2)$ です）。

ここで $t = \cos x$ に戻します。そもそも $0 \leqq x < 2\pi$ において、コサインの値域は常に $-1 \leqq \cos x \leqq 1$ ですね。
よって、$-2 < \cos x$ の部分は常に成り立っているので、実質的に解くべき不等式は次のようになります。

よって、求める定義域は $\dfrac{1}{3}\pi < x < \dfrac{5}{3}\pi$ です。

対数関数 $f(x) = \log_5(g(t))$ の底は $5$（$1$ より大きい）なので、真数 $g(t) = -2t^2 - 3t + 2$ が最大のときに $f(x)$ も最大になります。
2次関数 $g(t)$ の最大値を求めるために、丁寧に平方完成を行いましょう！

よって、放物線 $y = g(t)$ は上に凸で、頂点の座標は $\left(-\dfrac{3}{4},\ \dfrac{25}{8}\right)$ です。
(2)で調べたように、$t = \cos x$ が動ける範囲は $-1 \leqq t < \dfrac{1}{2}$ です。頂点の $t = -\dfrac{3}{4} = -0.75$ は、この範囲の中にしっかり入っていますね！

したがって、$t = \cos x = -\dfrac{3}{4}$ のとき、真数 $g(t)$ は最大値 $\dfrac{25}{8}$ をとります。
このときの $f(x)$ の最大値を、対数の性質 $\log_a\dfrac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$ を使って計算します。

まずは $5^{f(x)}$ の正体を見破りましょう！対数の定義 $a^{\log_a M} = M$ より、

なんと、$5^{f(x)}$ とは単なる真数 $g(t)$ のことだったのです！
では、$-1 \leqq t < \dfrac{1}{2}$ において $g(t) = -2\left(t + \dfrac{3}{4}\right)^2 + \dfrac{25}{8}$ がどのような値をとるか、グラフを描いて完璧に把握しましょう。

• 左端 $t = -1$ のとき：$g(-1) = -2(-1)^2 - 3(-1) + 2 = -2 + 3 + 2 = 3$
• 頂点 $t = -\dfrac{3}{4}$ のとき：$g\left(-\dfrac{3}{4}\right) = \dfrac{25}{8} = 3.125$（最大値）
• 右端 $t \to \dfrac{1}{2}$ のとき：$g\left(\dfrac{1}{2}\right) = 0$（ただし $t=\frac{1}{2}$ は含まれないので $g(t) > 0$）

左のグラフから分かる通り、$5^{f(x)} = g(t)$ のとりうる値の範囲は $$0 < 5^{f(x)} \leqq \frac{25}{8} = 3.125$$ です。したがって、$5^{f(x)}$ がとりうる最大の整数の値は $3$（セ：$3$）であり、とりうる整数値は $1,\ 2,\ 3$ の3種類です！

次に、「$5^{f(x)} = 1,\ 2,\ 3$ となる $x$ の個数と総和」を順番に数えましょう。ここで右上のグラフの通り、「$-1 < t < \dfrac{1}{2}$ を満たす1つの $t$ に対して、$\cos x = t$ を満たす $x$ は $x = \pi$ に関して対称に必ず2個存在し、その2個の和は $x_1 + x_2 = 2\pi$ になる」という超重要ルールを使います！

以上①〜③をすべて合計すると、

• $x$ の総数 $= (1 + 2) + 2 + 2 - 1\text{（※注意？いいえ、重複なし！）} \longrightarrow 1 + 2 + 2 + 2$ ではなく、よく見ましょう！

もう一度、1つずつすべての解を書き出して確認しましょう。

1. $x = \pi$ （このとき $\cos x = -1 \implies 5^{f(x)} = 3$）
2. $x = \dfrac{2}{3}\pi,\ \dfrac{4}{3}\pi$ （このとき $\cos x = -\dfrac{1}{2} \implies 5^{f(x)} = 3$）
3. $x = \dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{3}{2}\pi$ （このとき $\cos x = 0 \implies 5^{f(x)} = 2$）
4. $\cos x = \dfrac{-3+\sqrt{17}}{4}$ を満たす $x_1,\ x_2$ （このとき $5^{f(x)} = 1$、$x_1 + x_2 = 2\pi$）

これら7つの $x$ はすべて相異なり、すべて定義域 $\dfrac{1}{3}\pi < x < \dfrac{5}{3}\pi$ の中にあります。
したがって、$x$ の総数は $1 + 2 + 2 + 2 = \mathbf{7}$ 個、総和は $\pi + 2\pi + 2\pi + 2\pi = \mathbf{7}\pi$ です！

今度は底が $20$ に変わった $20^{f(x)}$ です！どう変形すればよいでしょうか？
$20 = 4 \times 5$ ですが、もっとシンプルに指数法則を使うか、$f(x) = \log_5 g(t)$ なので $5^{f(x)} = g(t)$ を利用します。まずは $f(x)$ が最大値 $\log_5\dfrac{25}{8}$ をとるとき、$20^{f(x)}$ がいくつになるか調べましょう。

$M = 20^{f(x)}$ の最大値を $M_{\max}$ とおきます。(3)より $f(x)$ の最大値は $\log_5\dfrac{25}{8}$ ですが、そもそも $$20^{f(x)} = 20^{\log_5 g(t)} = \left(g(t)\right)^{\log_5 20}$$ という性質（または両辺の常用対数をとる方法）が使えます。問題文に常用対数 $\log_{10} 2 = 0.3010,\ \log_{10} 3 = 0.4771,\ \log_{10} 7 = 0.8451$ が与えられているので、常用対数（底 $10$）をとって大きさを評価するのが出題者の誘導です！

では、$f(x)$ の最大値 $f_{\max} = \log_5\dfrac{25}{8} = 2 - \log_5 8$ を、底の変換公式で常用対数に直してみましょう。

ここに $\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 5 = 0.6990$ を代入して計算します。

よって、

この $0.9213$ という値を、整数の常用対数と比較します！問題文に $\log_{10} 7 = 0.8451$ があり、さらに $\log_{10} 8$ と $\log_{10} 9$ は次のように計算できます。

• $\log_{10} 8 = \log_{10} 2^3 = 3 \times 0.3010 = \mathbf{0.9030}$
• $\log_{10} 9 = \log_{10} 3^2 = 2 \times 0.4771 = \mathbf{0.9542}$

見比べてください！ $$\log_{10} 8 = 0.9030 < \log_{10}\left(20^{f_{\max}}\right) \approx 0.9213 < 0.9542 = \log_{10} 9$$ つまり、$20^{f(x)}$ の最大値は $8$ より大きく $9$ より小さい（$8.34\cdots$ くらい） であることが判明しました！
したがって、$20^{f(x)}$ がとりうる最大の整数の値は $8$（チ：$8$）です！

次に、$20^{f(x)}$ が整数（$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ の8通り）となる $x$ の総数と総和を求めましょう。
$20^{f(x)} = k$（$k = 1, 2, \dots, 8$）とおくと、 $$f(x) = \log_{20} k \Longleftrightarrow \log_5 g(t) = \log_{20} k \Longleftrightarrow g(t) = 5^{\log_{20} k}$$ ここで、(4)の左上のグラフ（$y = g(t)$ のグラフ）をもう一度思い出してください！
$g(t)$ の値が3以上（$3 \leqq g(t) < \frac{25}{8}$）のときは、水平線と放物線が2点で交わるため、対応する $t$ が2個（つまり $x$ は4個）になります。一方、$0 < g(t) < 3$ のときは、対応する $t$ が1個（つまり $x$ は2個）になります。

では、境目となる $g(t) = 3$ のとき、$20^{f(x)}$ はいくつでしょうか？
$g(t) = 3$ のとき $f(x) = \log_5 3$ なので、$20^{f(x)} = 20^{\log_5 3}$ です。この常用対数を計算すると、

これを先ほどの整数の常用対数と比べると、 $$\log_{10} 7 = 0.8451 < \log_{10}\left(20^{\log_5 3}\right) \approx 0.8880 < 0.9030 = \log_{10} 8$$ つまり、$g(t) = 3$ に対応するのは $20^{f(x)} \approx 7.72$ です！これより、整数 $k = 1, 2, \dots, 8$ の位置が完全に分かりました！

以上を合計すると、$20^{f(x)}$ が整数となる $x$ の総数は $4 + 14 = \mathbf{18}$ 個、総和は $4\pi + 14\pi = \mathbf{18}\pi$ となります！
（※もし万が一、計算途中で $\log_{10}(20^{f_{\max}})$ を概算ミスして $k=7$ までと思った人は $14$ にしてしまう罠がありますが、$\log_{10} 3$ と $\log_{10} 7$ の両方が問題文に与えられている理由こそ、「$\log_{10} 8 < 0.9213 < \log_{10} 9$（$\log_{10}3$を使用）」と「$\log_{10} 7 < 0.8880 < \log_{10} 8$（$\log_{10}7$を使用）」の2つの不等式を正確に判定させるためなのです！問題文の条件が1つも無駄なく使われる美しい設計ですね！）

表が出る確率が $p = \dfrac{1}{3}$、裏が出る確率が $1 - p = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$ です。
前半：3回投げて表がちょうど2回出る確率
3回のうちどの2回で表が出るかの選び方が ${}_3\mathrm{C}_2$ 通りあり、表が2回、裏が1回出るので、反復試行の確率の公式より、

後半：少なくとも1回表が出る確率
「少なくとも1回〜」と来たら、100%余事象（1回も表が出ない＝3回ともすべて裏）を全体 $1$ から引きます！

表を「$\bigcirc$」、裏を「$\times$」と書くことにしましょう。「表が2回以上続けて出ない（$\bigcirc\bigcirc$ とならない）」というルールのもとで、$n$ 回目から $n+1$ 回目にどうつながるかを考えます。

(i) $n = 2, 3, 4$ のときの具体的な書き出しと計算
まずは $n = 2$ のときを実際に書き出して確認しましょう。2回投げたときの全4通り（$\bigcirc\bigcirc,\ \bigcirc\times,\ \times\bigcirc,\ \times\times$）のうち、$\bigcirc\bigcirc$ だけがダメなので、

• 2回目が表（$\bigcirc$）：「$\times\bigcirc$」の 1通り $\implies \mathbf{a_2 = 1}$
• 2回目が裏（$\times$）：「$\bigcirc\times$」「$\times\times$」の 2通り $\implies \mathbf{b_2 = 2}$

あとは先ほどの漸化式 $a_{n+1} = b_n$、$b_{n+1} = a_n + b_n$ を使って、雪だるま式に足し算していくだけです！

(ii) $p = \dfrac{1}{2}$ のときの確率 $P(X_5),\ P(X_{10})$
$p = \dfrac{1}{2}$ のとき、表も裏も確率 $\dfrac{1}{2}$ で対等なので、$n$ 回投げたときのすべての出方 $2^n$ 通りは同様に確からしいです！
よって、事象 $X_n$ が起こる場合の総数を $c_n = a_n + b_n$ とおくと、求める確率は単純に $$P(X_n) = \frac{a_n + b_n}{2^n} = \frac{c_n}{2^n}$$ となります！（ちなみに $b_{n+1} = a_n + b_n$ なので、実は総数 $c_n$ は $b_{n+1}$ とまったく同じ値です）。
では、$n = 10$ まで表を作って一気に書き出しましょう！前の2つを足すだけなので15秒で終わります。

表より、$n = 5$ のとき $a_5 + b_5 = 13$ 通り、$n = 10$ のとき $a_{10} + b_{10} = 144$ 通りです。したがって、

2つの条件（1つ目の黒丸「・」と2つ目の黒丸「・」）を1つずつ数式に翻訳して、連立不等式を解きましょう！

最後に、① $p < \dfrac{7}{9}$ と ② $\dfrac{3}{4} < p < \dfrac{13}{32}$ の共通範囲を求めます。
右端の $\dfrac{7}{9}$ と $\dfrac{13}{32}$ のどちらが小さいか、通分して比べましょう（分母は $9 \times 16 = 144$）。

$\dfrac{112}{144} < \dfrac{117}{144}$ なので、$\dfrac{7}{9} < \dfrac{13}{32}$ です！（また $\dfrac{3}{4} = \dfrac{27}{36} < \dfrac{28}{36} = \dfrac{7}{9}$ なのでちゃんと区間が存在します）。
よって、①と②の共通範囲は $\dfrac{3}{4} < p < \dfrac{7}{9}$ となります！

まず、$\mathrm{B}(0, 4, 0)$ と $\mathrm{C}(0, 0, 4)$ を結ぶ線分 $\mathrm{BC}$ の中点を $\mathrm{M}$ とすると、座標の平均をとって $$\mathrm{M}\left(\frac{0+0}{2},\ \frac{4+0}{2},\ \frac{0+4}{2}\right) = \mathrm{M}(0, 2, 2)$$ です。よって、原点 $\mathrm{O}(0, 0, 0)$ と点 $\mathrm{M}(0, 2, 2)$ の距離 $\mathrm{OM}$ は、

次に、$\triangle\mathrm{ABC}$ の3辺の長さを調べましょう。
$\mathrm{OA} = \mathrm{OB} = \mathrm{OC} = 4$ であり、$\angle\mathrm{AOB} = \angle\mathrm{BOC} = \angle\mathrm{COA} = 90^\circ$ なので、直角二等辺三角形の斜辺として、 $$\mathrm{AB} = \mathrm{BC} = \mathrm{CA} = 4\sqrt{2}$$ となります。つまり、$\triangle\mathrm{ABC}$ は1辺の長さが $a = 4\sqrt{2}$ の正三角形です！
1辺 $a$ の正三角形の面積公式 $\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$（または $\dfrac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} \sin 60^\circ$）より、

「空間内の点から平面に下ろした垂線の長さ $h$」を求める王道テクニックは、四面体 $\mathrm{OABC}$ の体積 $V$ を2通りの方法で計算してイコールで結ぶ（等積法）ことです！（※もちろん点と平面 $x+y+z-4=0$ の距離公式 $h = \frac{|0+0+0-4|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$ を使えば3秒で出ます！両方マスターしておきましょう）。

• 方法1（$\triangle\mathrm{OAB}$ を底面、$\mathrm{OC}$ を高さと見る）：
  $x$ 軸、$y$ 軸、$z$ 軸は互いに直交しているので、底面積 $\triangle\mathrm{OAB} = \dfrac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$、高さ $\mathrm{OC} = 4$ です。
  $$V = \frac{1}{3} \times \triangle\mathrm{OAB} \times \mathrm{OC} = \frac{1}{3} \times 8 \times 4 = \frac{32}{3}$$
• 方法2（$\triangle\mathrm{ABC}$ を底面、$\mathrm{O}$ からの垂線 $h$ を高さと見る）：
  (1)で求めた底面積 $\triangle\mathrm{ABC} = 8\sqrt{3}$ を使うと、 $$V = \frac{1}{3} \times \triangle\mathrm{ABC} \times h = \frac{1}{3} \times 8\sqrt{3} \times h$$

この2つが等しいので、

(i) 円 $D$ の半径 $r_D$ の計算：
(2)より $\mathrm{OH} = h = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}$（すなわち $h^2 = \dfrac{16}{3}$）、球の半径 $\mathrm{OX} = R = \sqrt{8}$（すなわち $R^2 = 8$）なので、三平方の定理より、

(ii) $q + r$ と $qr$ を $p$ で表す：
まず、3点 $\mathrm{A}(4, 0, 0),\ \mathrm{B}(0, 4, 0),\ \mathrm{C}(0, 0, 4)$ を通る平面 $\mathrm{ABC}$ の方程式を求めましょう。
$x, y, z$ 軸との交点がすべて $4$ なので、平面の方程式は $$x + y + z = 4$$ です！（代入してみると、$(4,0,0),\ (0,4,0),\ (0,0,4)$ のすべてが成り立つことが一瞬で確認できますね）。
点 $\mathrm{X}(p, q, r)$ は円 $D$ 上にある、つまり「平面 $\mathrm{ABC}$ 上にあり、かつ球面 $x^2 + y^2 + z^2 = 8$ 上にある」ので、次の2つの式を同時に満たします。

①を移項すると、ただちに $$\mathbf{q + r = 4 - p}$$ が得られます（サ：$4$）。
次に $qr$ を求めるために、対称式の変形公式 $q^2 + r^2 = (q + r)^2 - 2qr$ を②に使いましょう！

(iii) $p$ のとりうる値の範囲（実数存在条件）：
「$p$ の範囲ってどうやって出すの？」と迷う人が多いですが、座標空間の点 $\mathrm{X}(p, q, r)$ が存在するということは、$q$ と $r$ がともに「実数」として存在するということです！
(ii)で和 $q + r = 4 - p$ と積 $qr = (p - 2)^2$ が分かっているので、解と係数の関係の逆より、$q, r$ は新しい変数 $t$ に関する次の2次方程式の2つの実数解です！

この $t$ の2次方程式が実数解 $q, r$ をもつための必要十分条件は、判別式 $D \geqq 0$ です！計算しましょう。

3点 $\mathrm{P}(p, 0, 0),\ \mathrm{Q}(0, q, 0),\ \mathrm{R}(0, 0, r)$ を頂点とする $\triangle\mathrm{PQR}$ の面積 $S$ を求めます。
ここで、ベクトルを使って成分計算しても簡単ですし、「直交する3つの直角三角形 $\triangle\mathrm{OPQ},\ \triangle\mathrm{OQR},\ \triangle\mathrm{ORP}$ と斜面 $\triangle\mathrm{PQR}$ の面積の間には、空間版の三平方の定理（ド・グアの定理）が成り立つ」ことを知っていると10秒で式が立ちます！両方お見せしますね。

ここで、ルートの中の対称式 $p^2 q^2 + q^2 r^2 + r^2 p^2$ を、基本対称式や(1)・(2)の条件を使って $p$ のみの関数に変形しましょう。
もっとも計算がラクなのは、$p^2 + q^2 + r^2 = 8$（②）を利用する方法です！

ここで $(p - 2)^4 = (p^2 - 4p + 4)^2 = p^4 - 8p^3 + 24p^2 - 32p + 16$ を代入すると、嬉しいことに $p^4$ が消えます！

これを $S = \frac{1}{2}\sqrt{p^2 q^2 + q^2 r^2 + r^2 p^2}$ に代入すると、 $$S = \frac{1}{2}\sqrt{8(-p^3 + 4p^2 - 4p + 2)} = \sqrt{2(-p^3 + 4p^2 - 4p + 2)}$$ となります。したがって、ルートの中の3次関数を $f(p) = -p^3 + 4p^2 - 4p + 2$ とおくと、区間 $0 \leqq p \leqq \frac{8}{3}$ における $f(p)$ の最小値を求めればよいことになります！
微分して増減を調べましょう。

$f'(p) = 0$ とすると、$p = \frac{2}{3},\ 2$ です。区間 $0 \leqq p \leqq \frac{8}{3}$ における増減表は次のようになります。

実は、そもそも点 $\mathrm{X}(p, q, r)$ の条件は $p, q, r$ に関して完全に対称なので、$p = \frac{2}{3}$ のときは $\{q, r\} = \{2, \frac{4}{3}\}$（または実数解の組）、また端点の $p = \frac{8}{3}$ のときは $t^2 - \frac{4}{3}t + \frac{4}{9} = \left(t - \frac{2}{3}\right)^2 = 0$ より $q = r = \frac{2}{3}$ となり、$(p, q, r)$ の3つの数の組み合わせとしてはどちらも $\left(\frac{2}{3},\ \frac{2}{3},\ \frac{8}{3}\right)$ の並べ替えになるため、同じ最小値をとるのです！（対称性に気づくと検算が一瞬でできますね）。
実際に $p = \frac{2}{3}$ のときの $f\left(\frac{2}{3}\right)$ を計算すると、

（端点の $f\left(\frac{8}{3}\right) = -\frac{512}{27} + \frac{256}{9} - \frac{32}{3} + 2 = \frac{-512 + 768 - 288 + 54}{27} = \frac{22}{27}$ も確かに一致します！）
よって、面積 $S$ の最小値は、