北里大学
医学部 数学
2025年度 解答・解説

N(x) の意味：条件 $N(x)-\dfrac12\le x<N(x)+\dfrac12$ は、「$x$ にいちばん近い整数が $N(x)$（ちょうど真ん中なら大きい方）」という意味です。したがって $f(x)=|x-N(x)|$ はいちばん近い整数までの距離で、いつも $0$ 以上 $\dfrac12$ 以下の値になります。

(ア)：$3\sqrt7=\sqrt{63}$。$7.5^2=56.25<63<72.25=8.5^2$ なので $7.5<3\sqrt7<8.5$、よって $N(3\sqrt7)=8$。

(イ)：$\pi=3.14\cdots$ は $2.5$ と $3.5$ の間なので $N(\pi)=3$。$f(\pi)=|\pi-3|=\pi-3$。

(ウ)：$k$ の文字のまま、$\sqrt{k^2+k+1}$ が「どの整数にいちばん近いか」を調べます。2乗の大小で比べると、

つまり $k+\dfrac12<\sqrt{k^2+k+1}<k+1$。いちばん近い整数は $k+1$ なので、

(エ)：$f$ は周期1の関数です（$x$ が1増えると $N(x)$ も1増えるので $f$ は変わらない）。$-\dfrac12\le x<\dfrac12$ では $f(x)=|x|$ で、1周期のグラフは底辺1・高さ$\dfrac12$の三角形が2つ並んだ形。

周期1の関数は、長さ1の区間ならどこを取っても積分が同じになります。$[0,2025]$ は長さ1の区間が2025個分なので、

まず内積を準備します。$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec b,\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\vec c$ とおくと、

(オ)：$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$ は $\vec c$ を $\vec b$ の方向へ正射影したもの、$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$ は $\vec b$ を $\vec c$ の方向へ正射影したものです。

(カ)：$\overrightarrow{\mathrm{AR}}=s\vec b+t\vec c$ とおき、R が2本の垂線の上にある条件を内積0で立てます（$\mathrm{BR}\perp\mathrm{AC}$、$\mathrm{CR}\perp\mathrm{AB}$）。

上の $tx=3(1-s)$ を下に代入して $12s+3-3s-x=0$、$s=\dfrac{x-3}{9}$。さらに $tx=3(1-s)=\dfrac{12-x}{3}$ より $t=\dfrac{12-x}{3x}$。

(キ)：$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$ は $\overrightarrow{\mathrm{AR}}$ と同じ向きで、点 S は辺 BC 上にあるので、係数の和が1になるように割って $\overrightarrow{\mathrm{AS}}=\dfrac{s\vec b+t\vec c}{s+t}$。これは BC を $t:s$ に分ける点なので、

$\dfrac{12-x}{3x}=6\cdot\dfrac{x-3}{9}$ の両辺に $3x$ を掛けて $12-x=2x(x-3)$、整理すると $2x^2-5x-12=0$、$(2x+3)(x-4)=0$。$x>0$ より $x=4$。

(ク)：$x=4$ のとき $s=\dfrac19,\ t=\dfrac23$。点 R は三角形ABCの内部にあり、重心座標（頂点 A, B, C の重み）は $\left(1-s-t,\ s,\ t\right)=\left(\dfrac29,\dfrac19,\dfrac23\right)$。三角形BCRの面積は、頂点Aの重みの分だけ三角形ABCに比例します。

まず1回の確率を整理します。箱Aから3を引く確率は $\dfrac14$。箱Bから3を引く確率は $\dfrac24=\dfrac12$、4を引く確率は $\dfrac14$、5を引く確率は $\dfrac14$。

(ケ)：和が8になる3回の引き方を、1回目で場合分けします。

1回目が 0, 1, 2 のとき、2回目が3以外だと3回目は箱Aで、和は最大でも $2+2+3=7$ にしかなりません。2回目が3のときだけ、3回目が箱B（最大5）になって8に届きます。合計は、

(コ)：「2回目が3」のもとで「1回目が3」である確率は、(1回目も2回目も3の確率)÷(2回目が3の確率)。

(サ)：$n$ 回目に3を引いたとき（確率 $p_n$）は箱Bなので次に3を引く確率は $\dfrac12$、引かなかったとき（確率 $1-p_n$）は箱Aなので $\dfrac14$。

(シ)：$p_{n+1}-\dfrac13=\dfrac14\left(p_n-\dfrac13\right)$ と変形でき、公比 $\dfrac14$ の等比数列なので $p_n\to\dfrac13$。（収束するなら $p=\dfrac14p+\dfrac14$ の解 $p=\dfrac13$）

$-1<x<1$ で微分します。$\left(\sqrt{1-x^2}\right)^{\prime}=\dfrac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$ なので、

$f^{\prime}(x)=0$ とすると $\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}=-2$。右辺が負なので $x<0$。両辺を2乗して $x^2=4(1-x^2)$、$5x^2=4$、$x=-\dfrac{2}{\sqrt5}$。この前後で $f^{\prime}$ は負から正に変わる（$x\to-1$ で $f^{\prime}\to-\infty$、$x\to1$ で $f^{\prime}\to+\infty$）ので、ここが最小です。

最大値は端点で決まります。$f(1)=2$、$f(-1)=-2$。$f$ は $x=-\dfrac2{\sqrt5}$ で最小になる「谷」の形なので、最大は大きい方の端点 $f(1)=2$。

交点：$f(x)=x+1$ とすると $x-1=\sqrt{1-x^2}$。右辺は0以上なので $x\ge1$、定義域から $x=1$ のみです（$x=0$ は2乗で出てくる「偽の解」で、元の式 $-1=1$ を満たさない）。交点は $(1,2)$ の1つだけ。

$x=0$ では曲線が $y=-1$、直線が $y=1$。したがって図形は $0\le x\le1$ の範囲で、上が直線・下が曲線です。

$\displaystyle\int_0^1(1-x)\,dx=1-\dfrac12=\dfrac12$。$\displaystyle\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx$ は半径1の円の4分の1で $\dfrac\pi4$。

図形の範囲：$f(x)=0$ とすると $2x=\sqrt{1-x^2}$。$x\ge0$ で2乗して $4x^2=1-x^2$、$x=\dfrac1{\sqrt5}$。$f(0)=-1$ なので、曲線は $x=0$ から $x=\dfrac1{\sqrt5}$ まで $x$ 軸の下側にあり、図形は曲線と $x$ 軸と $y$ 軸の間（$0\le x\le\dfrac1{\sqrt5}$）。

$x$ 軸のまわりに回すと、曲線を回してできる曲面と軸の間が体積になるので $V=\pi\displaystyle\int_0^{1/\sqrt5}f(x)^2\,dx$。$f(x)^2$ を展開します。

$a=\dfrac1{\sqrt5}$ とおきます。多項式の部分は $\displaystyle\int_0^a(3x^2+1)\,dx=a^3+a=\dfrac1{5\sqrt5}+\dfrac1{\sqrt5}=\dfrac{6}{5\sqrt5}=\dfrac{6\sqrt5}{25}$。

ルートの部分は $u=1-x^2$ の形の積分で、

ここで $\left(\dfrac45\right)^{3/2}=\dfrac{8}{5\sqrt5}=\dfrac{8\sqrt5}{25}$ を使いました。まとめると、

(2)の図形は、$y$ 軸の右側（$0\le x\le1$）だけにあります。このような図形を $y$ 軸のまわりに回すときは、縦に細長い短冊（幅 $dx$、長さ $h(x)$）を回してできる円筒殻で体積を求めると、$y$ について解き直す必要がありません。

$h(x)$ は(2)で作った「上の直線 − 下の曲線」です。展開して、

$\displaystyle\int_0^1x\sqrt{1-x^2}\,dx=\left[-\dfrac13(1-x^2)^{3/2}\right]_0^1=\dfrac13$ です。$-\dfrac13$ と $+\dfrac13$ が打ち消し合うので、結果はきれいに $\pi$。

点Aを $(x,y)$ とおきます。点 $(1,0)$ からの距離は $\sqrt{(x-1)^2+y^2}$、直線 $x=4$ からの距離は $|x-4|$。比が $1:2$ なので、

両辺を2乗して整理します。

豆知識：点 $(1,0)$ が「焦点」、直線 $x=4$ が「準線」、距離の比 $\dfrac12$ が「離心率」です。この問題は離心率 $\dfrac12$ の楕円（長半径2、短半径$\sqrt3$）になります。

直線 $y=mx+n$ を $3x^2+4y^2=12$ に代入して整理します。

接する条件は判別式が0。判別式の4分の1を計算して、

よって $n^2=4m^2+3$、$n>0$ より $n=\sqrt{4m^2+3}$。原点と直線 $mx-y+n=0$ の距離は点と直線の距離の公式で、

① 長方形は原点が中心。楕円 $C$ は原点に関して対称なので、ある向きの接線は原点をはさんで2本（平行で、原点からの距離が等しい）あります。したがって、各辺が $C$ に接する長方形は、原点が中心の長方形です。

② 隣り合う2辺の距離を足す。隣り合う2辺は垂直なので、傾きを $m$ と $-\dfrac1m$ とすると、原点からの距離の2乗は(2)の式から、

足すと $m$ によらず一定になります。

（辺が軸に平行な場合は $y=\pm\sqrt3,\ x=\pm2$ で、$3+4=7$。同じ値です。）

③ 頂点は円 $x^2+y^2=7$ の上。長方形の頂点は、原点から2辺までの距離が $d,\ d^{\prime}$ の点なので、原点との距離は $\sqrt{d^2+d^{\prime2}}=\sqrt7$。つまり4つの頂点はすべて、半径$\sqrt7$の円の上にあります。

④ 回転で通過する部分。長方形は原点を内部に含み、原点から最も遠い点は頂点（距離 $\sqrt7$）です。長方形の中には、原点から頂点へ向かう線分があり、原点から距離 $r$（$0\le r\le\sqrt7$）の点が必ずあります。それを1回転させると、距離 $r$ の円周全体を通過します。したがって、通過する部分は中心 O・半径 $\sqrt7$ の円の内部（円板）です。