関西医科大学 医学部 数学（2025年度）全問題・超図解解説

$0 < x < 2\pi$ の範囲において、$f(x) = 2\cos x$ と $g(x) = \dfrac{k}{2(1 - \cos x)}$ のグラフの共有点の $x$ 座標は、方程式 $f(x) = g(x)$ の実数解です。
まず分母に注目すると、$0 < x < 2\pi$ の範囲では $\cos x \neq 1$ すなわち $1 - \cos x \neq 0$ が常に成り立っています！
ここで、$\cos x = t$ とおきます。$0 < x < 2\pi$ の範囲で $x$ が動くとき、$t = \cos x$ のとり得る値の範囲は、

そして、1つの $t$ の値に対して $x\ (0 < x < 2\pi)$ が何個対応するかを単位円または $y = \cos x$ のグラフで確認しましょう。これが合否を分ける最重要ステップです！

• $\boldsymbol{t = -1}$ のとき：対応する $x$ は $x = \pi$ の 1個
• $\boldsymbol{-1 < t < 1}$ のとき：対応する $x$ は 2個

方程式 $f(x) = g(x)$ に $\cos x = t$ を代入すると、

$-1 \leqq t < 1$ より $1 - t > 0$ ですから、両辺に $2(1 - t)$ を掛けて分母を払うと、定数 $k$ がきれいに分離できます！

右辺を $h(t) = -4t^2 + 4t\ (-1 \leqq t < 1)$ とおき、平方完成して放物線 $y = h(t)$ のグラフを描きましょう。

$-1 \leqq t < 1$ における $h(t)$ の特徴は次の通りです。

• 頂点：$\left(\dfrac{1}{2}, 1\right)$（上に凸の放物線）
• 左端 $t = -1$ のとき：$h(-1) = -4(-1)^2 + 4(-1) = -8$（黒丸・含む）
• $t = 0$ のとき：$h(0) = 0$
• 右端 $t \to 1-0$ のとき：$h(1) = -4(1)^2 + 4(1) = 0$（白丸・含まない）

ここで、ちょっと待ってください！上の図だけを見ると「$0 < k < 1$ のとき $t$ が2個あるから $x$ は4個？」と思いがちですが、問題文をもう一度よく見てください！
いや、$f(x) = 2\cos x$ と $g(x) = \dfrac{k}{2(1-\cos x)}$ はどちらも $x$ の関数です！
なぜ私が先ほど「待てよ？」と書いたかというと、極方程式の共有点（2024年度入試）では $(r,\theta)$ と $(-r,\theta+\pi)$ の同一視がありましたが、本問（2025年度入試）は極方程式ではなく、直交座標の関数 $y = f(x)$ と $y = g(x)$ のグラフの共有点の個数を聞いています！
もう一度、正確に確認しましょう！

それでは、先ほどの放物線 $y = h(t) = -4t^2 + 4t\ (-1 \leqq t < 1)$ と直線 $y = k$ の共有点 $t$ の個数と、それぞれの $t$ に対する $x\ (0 < x < 2\pi)$ の個数を丁寧に掛け合わせて数え上げましょう！

上のグラフ $y = h(t)$ と直線 $y = k$ の交点 $t$ の値と、それに対応する $x\ (0 < x < 2\pi)$ の個数を $k$ の値で場合分けすると、次のようになります！

1. $\boldsymbol{k > 1}$ または $\boldsymbol{k < -8}$ のとき：
   $-1 \leqq t < 1$ の範囲に $h(t) = k$ を満たす $t$ は存在しない（0個）。
   よって、共有点の個数は 0個。
2. $\boldsymbol{k = 1}$ のとき：
   $h(t) = 1$ を満たすのは $t = \dfrac{1}{2}$ の1個。$-1 < \dfrac{1}{2} < 1$ なので、$\cos x = \dfrac{1}{2}$ を満たす $x$ は $x = \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{3}$ の 2個。
3. $\boldsymbol{0 < k < 1}$ のとき：
   $h(t) = k$ は $0 < t < \dfrac{1}{2}$ と $\dfrac{1}{2} < t < 1$ に1個ずつ、計2個の異なる実数解 $t_1, t_2$ を持つ。
   いずれも $-1 < t < 1$ を満たすので、それぞれに対して $x$ が2個ずつ存在し、共有点の個数は $2 \times 2 =$ 4個。
4. $\boldsymbol{k = 0}$ のとき：
   $h(t) = -4t^2 + 4t = 0 \Longleftrightarrow t = 0, 1$。ここで $t < 1$ より $t = 1$ は不適であり、適する解は $t = 0$ の1個のみ。
   $\cos x = 0$ を満たす $x$ は $x = \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}$ の 2個。
5. $\boldsymbol{-8 < k < 0}$ のとき：
   $h(t) = k$ は $-1 < t < 0$ の範囲にただ1つの実数解 $t$ を持つ。
   $-1 < t < 0$ なので、対応する $x$ は 2個。
6. $\boldsymbol{k = -8}$ のとき：
   $h(t) = -8$ を満たすのは $-1 \leqq t < 1$ では $t = -1$ の1個のみ。
   $\cos x = -1$ を満たす $x\ (0 < x < 2\pi)$ は $x = \pi$ の 1個のみ！

最後に、同じ個数になる $k$ の範囲をきれいにまとめます（2個になるのは $-8 < k \leqq 0$ と $k = 1$ です！）。

※冒頭のスピードチェック欄では簡略表記になっていましたが、正しくは上記の「0個・1個・2個・4個」の4通りの場合分けとなります！特に $k=0$ で $t=1$ が白丸（範囲外）になる点と、$k=-8$ で $t=-1\ (x=\pi)$ の1個になる点が最大の採点ポイントです。

$2025 = 45^2 = (3^2 \times 5)^2$ ですから、素因数分解すると、

よって、$(n - m)(n + m) = 3^4 \times 5^2$ となります。

$2025$ は奇数ですから、その約数はすべて奇数です！
したがって、$2025$ のどの約数のペア $(n-m, n+m)$ を選んでも、$n-m$ と $n+m$ はともに奇数となり、自動的に偶奇が一致します！
$2025 = 3^4 \times 5^2$ の正の約数の個数は、

ここで注意！$2025 = 45^2$ は平方数なので、15個の約数の真ん中に $n - m = n + m = 45$ となるペアが1つだけ含まれています。
しかし $m \geqq 1$ より $n - m < n + m$ でなければならないため、$n - m = n + m = 45$（このとき $m=0$ となり不適）の1個を除いた残りの $15 - 1 = 14$ 個の約数を、大小のペア $(n-m, n+m)$ に分けます。
よって、求める組の個数は、

$m$ から $n\ (m < n)$ までの連続する自然数の和は、初項 $m$、末項 $n$、項数 $n - m + 1$ の等差数列の和ですから、

これが $2025$ に等しいので、両辺を2倍すると次の式が得られます！

ここで、2つの因数 $P = n - m + 1$ と $Q = n + m$ の性質を調べましょう。

1. 大小関係：
   $m, n$ は $1 \leqq m < n$ を満たす自然数なので、$P = n - m + 1 \geqq 2$ です。
   また、$Q - P = (n + m) - (n - m + 1) = 2m - 1 \geqq 2(1) - 1 = 1 > 0$ より、必ず $2 \leqq P < Q$ が成り立ちます。
2. 偶奇の不一致（一方が奇数、他方が偶数）：
   $P + Q = (n - m + 1) + (n + m) = 2n + 1$（奇数）、また $Q - P = 2m - 1$（奇数）です。
   和と差が奇数であるということは、$P$ と $Q$ の偶奇は必ず異なる（一方が奇数、他方が偶数）ということです！
   逆に、$PQ = 4050$ を満たす $2 \leqq P < Q$ かつ偶奇が異なる自然数の組 $(P, Q)$ が決まれば、 $$n = \frac{P + Q - 1}{2}, \quad m = \frac{Q - P + 1}{2}$$ によって $1 \leqq m < n$ を満たす自然数の組 $(m, n)$ がただ1つに定まります。

積 $PQ = 2 \times 3^4 \times 5^2$ には素因数 $2$ が1個しかありません。
したがって、$P$ と $Q$ の一方は $2$ を因数に持たない奇数（すなわち $2025 = 3^4 \times 5^2$ の約数）であり、他方は残りの因数に $2$ を掛けた偶数になります！

図解の通り、$2025 = 3^4 \times 5^2$ の $1$ 以外の正の約数 $d$（すべて奇数）を1つ選ぶごとに、相方の偶数 $\dfrac{4050}{d}$ が決まり、$d$ と $\dfrac{4050}{d}$ のうち小さい方を $P = n - m + 1$、大きい方を $Q = n + m$ とすれば、$2 \leqq P < Q$ を満たす $(P, Q)$ の組が重複なく1つずつ得られます（$d=1$ のときは $(P, Q) = (1, 4050)$ となり $P \geqq 2$ に反するため不適）。
$2025$ の正の約数は全部で $(4+1)(2+1) = 15$ 個あり、そのうち $d = 1$ を除くと、

この問題は2通りの方法で説明できます（どちらも覚えておくと鬼に金棒です！）。

1回目に引き分けとなるのは、$1$ 以外の $m - 1$ 個の数字（$2, 3, \cdots, m$）が出るときなので、

また $k \geqq 2$ のとき、$k-1$ 回目に引き分け（直前の数字を $X \neq 1$ とする）となった状態から、$k$ 回目も引き分けとなるのは、「$1$（勝ち）」でもなく「$X$（負け）」でもない残りの $m - 2$ 個の数字が表示されるときです。
よって、

したがって、数列 $\{c_n\}$ は初項 $c_1 = \dfrac{m-1}{m}$、公比 $\dfrac{m-2}{m}$ の等比数列ですから、

ここまでの設問(1)・(2)・(3)が完璧な誘導になっています！
$A_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k$、$B_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} b_k$ とおくと、(1)と(2)の結果から次の連立方程式が成り立ちます。

ここで、$m$ は $3$ 以上の整数ですから、公比 $\dfrac{m-2}{m}$ は、

を満たします。したがって、$n \to \infty$ のとき $\left(\dfrac{m-2}{m}\right)^{n-1} \to 0$ となり、

です。①と②から $A_n, B_n$ を求めると、

よって、$n \to \infty$ の極限をとると、

したがって、求める比は、

底面の円板 $x^2 + y^2 \leqq 1$ において、$-1 \leqq x \leqq 1$ です。
$x = \cos\theta\ (0 \leqq \theta \leqq \pi)$ とおくと、(1)より、

常に $-1 \leqq \cos 3\theta \leqq 1$ ですから、$-1 \leqq x \leqq 1$ のすべての $x$ において、

が成り立ちます（特に $x = -\dfrac{1}{2}, 1$ のとき最大値 $2$、$x = -1, \dfrac{1}{2}$ のとき最小値 $0$ をとります）。

領域 $T$ は $S$ のうち $\dfrac{1}{2} \leqq x \leqq 1$ を満たす部分です。
$x$ 軸に垂直な平面 $x = t\ \left(\dfrac{1}{2} \leqq t \leqq 1\right)$ で立体 $T$ を切断したときの断面を考えましょう。

平面 $x = t\ \left(\dfrac{1}{2} \leqq t \leqq 1\right)$ において、

• $y$ の動く範囲：$t^2 + y^2 \leqq 1 \Longleftrightarrow -\sqrt{1 - t^2} \leqq y \leqq \sqrt{1 - t^2}$ より、横幅は $\boldsymbol{2\sqrt{1 - t^2}}$
• $z$ の動く範囲：$0 \leqq z \leqq 4t^3 - 3t + 1$ より、高さは $\boldsymbol{4t^3 - 3t + 1}$

断面は横幅 $2\sqrt{1 - t^2}$、高さ $4t^3 - 3t + 1$ の長方形ですから、断面積 $A(t)$ は、

したがって、求める体積 $V$ は次の定積分で表されます！

この積分は、被積分関数を $(4t^3 - 3t)\sqrt{1 - t^2}$ の部分と $1 \cdot \sqrt{1 - t^2}$ の部分に分けても良いですし、まとめて $t = \cos\theta$ と置換しても計算できます。
ここでは、計算ミスが最も起きにくい「代数置換 $u = 1 - t^2$（または置換積分）」＋「円の面積（$t = \cos\theta$）」のハイブリッド法と、「(1)を活用した $t = \cos\theta$ 一括置換法」の両方で完璧に確認しましょう！

領域 $S\ (-1 \leqq x \leqq 1)$ は、平面 $x = \dfrac{1}{2}$ を境目として $T\ \left(\dfrac{1}{2} \leqq x \leqq 1\right)$ と $U\ \left(-1 \leqq x \leqq \dfrac{1}{2}\right)$ の2つに分割されています。
したがって、領域 $S$ 全体の体積を $V(S)$ とすると、$U$ の体積 $V(U)$ は、

となります。ここで領域 $S$ 全体の体積 $V(S)$ を求めると、

右辺の第1項の被積分関数 $2(4t^3 - 3t)\sqrt{1 - t^2}$ は奇関数であり、積分区間 $[-1, 1]$ が原点対称なので、定積分の値は $0$ になります！
また、第2項 $\displaystyle\int_{-1}^{1} 2\sqrt{1 - t^2}\,dt$ は、半径 $1$ の円の面積そのもの（または底面積 $\pi$、高さ $1$ の円柱の体積）ですから、値は $\boldsymbol{\pi}$ です！
よって、