帝京大学 医学部 数学（2009年度）全問題・超図解解説

まず、放物線 $y = x^2$ と直線 $y = -x + 1$ の交点の $x$ 座標を求めます。

$x > 0$ の範囲にある交点の $x$ 座標を $\alpha$ とおくと、解の公式より、

ここで、$\alpha^2 = 1 - \alpha$ を満たすことを利用すると、次数下げができて計算が劇的に楽になります！
区間 $\alpha \leqq x \leqq 1$ においては、放物線 $y = x^2$ が上側、直線 $y = -x + 1$ が下側にあるので、求める面積 $T$ は、

ここで $\alpha^2 = 1 - \alpha$ を代入すると、

さらに $\alpha(\alpha - 4) = \alpha^2 - 4\alpha = (1 - \alpha) - 4\alpha = 1 - 5\alpha$ となるから、

（※検算：$\sqrt{5} \fallingdotseq 2.236$ より $5\sqrt{5} - 9 \fallingdotseq 11.18 - 9 = 2.18 > 0$。面積 $\dfrac{2.18}{12} \fallingdotseq 0.181$ で、図形 $S$ の面積 $\dfrac{1}{3} \fallingdotseq 0.333$ の半分強となっており図形的にも完全に一致します！）
したがって、イ $= 5\sqrt{5} - 9$ です。

直線 $y = -x + k$ と放物線 $y = x^2$ の $0 < x < 1$ における交点の $x$ 座標が $p$ であるから、点 $(p, p^2)$ は直線 $y = -x + k$ 上にあります。よって、

このとき、直線の方程式は $y = -x + p^2 + p$ と表せます。
（なお、$x = 1$ のときの直線の $y$ 座標は $y = -1 + p^2 + p$ です。まずこの直線が $x=1$ において $x$ 軸より上を通るか下を通るかを確認しましょう。(2)で $k=1$ のとき上側の面積が $\dfrac{5\sqrt{5}-9}{12} \fallingdotseq \dfrac{2.18}{12}$ で、二等分の面積 $\dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{12}$ よりほんの少しだけ大きかったので、二等分するときの $k$ は $1$ よりわずかに大きく、直線は $x = 1$ で正の値 $y = p^2 + p - 1 > 0$ をとります！）

したがって、図2の青い部分（直線 $y = -x + k$ より上側の部分）の面積は、区間 $p \leqq x \leqq 1$ で放物線から直線を引いた定積分で表されます。これが $\dfrac{1}{2}S = \dfrac{1}{6}$ に等しいので、

左辺を丁寧に積分して計算します。

これが $\dfrac{1}{6}$ に等しいので、

両辺を $6$ 倍して整理すると、

よって、ウ $= 3$、エ $= 6$、オ $= 4$ です！

最後に、$f(p) = 4p^3 - 3p^2 - 6p + 4$ とおいて、$0 < p < 1$ における解 $p$ の小数第1位の数字（カ）を求めます。
先ほど(2)で調べた $k = 1$ のときの交点 $\alpha = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2} \fallingdotseq \dfrac{2.236 - 1}{2} = 0.618$ の近くにあるはずなので、$p = 0.6 = \dfrac{3}{5}$ と $p = 0.7 = \dfrac{7}{10}$ を代入して符号を調べます！

• $p = 0.6$ のとき： $$f(0.6) = 4(0.216) - 3(0.36) - 6(0.6) + 4 = 0.864 - 1.08 - 3.6 + 4 = 4.864 - 4.68 = +0.184 > 0$$
• $p = 0.7$ のとき： $$f(0.7) = 4(0.343) - 3(0.49) - 6(0.7) + 4 = 1.372 - 1.47 - 4.2 + 4 = 5.372 - 5.67 = -0.298 < 0$$

$f(p)$ は連続関数であり、$f(0.6) > 0$ かつ $f(0.7) < 0$（また $0 < p < 1$ で $f'(p) = 12p^2 - 6p - 6 = 6(2p+1)(p-1) < 0$ より単調減少）であるから、中間値の定理より、

を満たすただ1つの実数解 $p$ が存在します！（ちなみに $p = 0.6$ のとき $k = p^2 + p = 0.96 < 1$ となり、$p \fallingdotseq 0.64$ のとき $k = 0.64^2 + 0.64 = 1.0496 > 1$ となるので、直線が点 $(1, 0)$ より上を通るという先ほどの条件 $p > 0.618$ とも完全に一致しています！）
したがって、$p$ を小数で表したときの小数第1位の数は $6$（カ）です。

定数 $a, b$ の範囲は $-\sqrt{3} < a < 0 < b < \sqrt{3}$ です。
STEP 1 の場合分けより、それぞれの区間での関数と導関数は次の通りです。

• 区間 $-\sqrt{3} < x < 0$（点 $x = a$ 側）：
  $f(x) = x^3$，$f'(x) = 3x^2$ であるから、点 $(a, a^3)$ における接線 $L_a$ の方程式は、 $$y - a^3 = 3a^2(x - a) \iff y = 3a^2 x - 2a^3 \quad \cdots \text{①}$$
• 区間 $0 < x < \sqrt{3}$（点 $x = b$ 側）：
  $f(x) = -x^3 + 6x$，$f'(x) = -3x^2 + 6$ であるから、点 $(b, -b^3 + 6b)$ における接線 $L_b$ の方程式は、 $$y - (-b^3 + 6b) = (-3b^2 + 6)(x - b) \iff y = (-3b^2 + 6)x + 2b^3 \quad \cdots \text{②}$$

①と②が同一の直線を表すから、傾きと $y$ 切片がそれぞれ等しくなります！

④より、$b^3 = -a^3 = (-a)^3$ です。$a, b$ は実数であるから、

これを③に代入すると、$a^2 = (-b)^2 = b^2$ であるから、

条件 $-\sqrt{3} < a < 0 < b < \sqrt{3}$ より $b > 0$ であるから、

また、$a = -1$ を①（または $b = 1$ を②）に代入すると、共通接線の方程式は、

となります！したがって、ウ $= -1$、エ $= 1$、オ $= 3$、カ $= 2$ です。

（※もちろん等差数列の和の公式 $\dfrac{10(1 + 19)}{2} = 100$、または $\sum_{k=1}^n (2k-1) = n^2$ に $n=10$ を代入しても即座に出ます！）
よって、ア $= 100$ です。

よって、イ $= 1330$ です。

$(2k - 1)^3 = 8k^3 - 12k^2 + 6k - 1$ と展開してシグマをとります。

よって、ウ $= 19900$ です。

$1\cdot 3 + 3\cdot 5 + 5\cdot 7 + \cdots + 17\cdot 19$ は、全部で $9$ 項 の和であることに注意しましょう！（第 $k$ 項は $(2k-1)(2k+1) = 4k^2 - 1$ で、$k = 1$ から $k = 9$ までの和です。）
$\sum_{k=1}^9 k^2 = 385 - 10^2 = 285$ であるから、

したがって、エ $= 1131$ です。

10個の奇数 $a_1, a_2, \dots, a_{10}$ の中から、相異なる2つの奇数を選んで掛け合わせた積（全部で ${}_{10}\mathrm{C}_2 = 45$ 通り）の総和を $T$ とおきます。
多項式の2乗の展開公式より、

が成り立ちます。ここに (1) の結果 $\sum a_k = 100$ と、(2) の結果 $\sum a_k^2 = 1330$ を代入すると、

この $T = 4335$（全45通りの積の和）は、「隣接する2数の積の和 $S_4$（9通り）」と「隣接していない2数の積の和 $S_5$（36通り）」を合わせたものです。
よって、求める和 $S_5$ は、$T$ から (4) の $S_4 = 1131$ を引いて、

したがって、オ $= 3204$ です！

外接円の半径を $R$ とおくと、$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}| = |\overrightarrow{\mathrm{OB}}| = |\overrightarrow{\mathrm{OC}}| = |\overrightarrow{\mathrm{OD}}| = R$ です。
条件式を $2\overrightarrow{\mathrm{OA}} + 3\overrightarrow{\mathrm{OB}} = -(4\overrightarrow{\mathrm{OC}} + 3\overrightarrow{\mathrm{OD}})$ と変形して両辺の2乗をとると、

同様に、$2\overrightarrow{\mathrm{OA}} + 4\overrightarrow{\mathrm{OC}} = -3(\overrightarrow{\mathrm{OB}} + \overrightarrow{\mathrm{OD}})$ の両辺を2乗すると、

ここで、$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OD}} = R^2\cos\angle\mathrm{BOD} \leqq R^2$、かつ $\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}} = R^2\cos\angle\mathrm{AOC} \geqq -R^2$ です。
とくに四角形 $\mathrm{ABCD}$ が円に内接し、$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$、$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ の組み合わせを考える際、もう1組 $2\overrightarrow{\mathrm{OA}} + 3\overrightarrow{\mathrm{OD}} = -(3\overrightarrow{\mathrm{OB}} + 4\overrightarrow{\mathrm{OC}})$ の両辺を2乗すると、①とまったく同じ形の式

が得られます。①と③の対称性（$\mathrm{B}$ と $\mathrm{D}$ の係数がともに $3$ で等しいこと）から、点 $\mathrm{B}$ と点 $\mathrm{D}$ は直線 $\mathrm{AC}$ に関して対称な位置にあり、$\mathrm{AC}$ は円の直径（すなわち $\mathrm{A}, \mathrm{O}, \mathrm{C}$ が一直線上）または $\mathrm{BD} \perp \mathrm{AC}$ となります！
実際、条件式を $3(\overrightarrow{\mathrm{OB}} + \overrightarrow{\mathrm{OD}}) = -2\overrightarrow{\mathrm{OA}} - 4\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ と見れば、$\overrightarrow{\mathrm{OB}} + \overrightarrow{\mathrm{OD}}$ は $\angle\mathrm{BOD}$ の二等分線方向（弦 $\mathrm{BD}$ の垂直二等分線方向）を向いています。
したがって、問題文で与えられた角度や辺の条件（例：$\angle\mathrm{BAD}$ や内積条件など）と合わせると、各内積および面積比がスッキリ定まります。

一般に、同一平面上の点 $\mathrm{O}$ と四角形 $\mathrm{ABCD}$ について、 $$\alpha\overrightarrow{\mathrm{OA}} + \beta\overrightarrow{\mathrm{OB}} + \gamma\overrightarrow{\mathrm{OC}} + \delta\overrightarrow{\mathrm{OD}} = \vec{0}$$ が成り立つとき、対角線の交点や重心の考え方と同様に、外積（または底辺と高さの比）をとることで次の美しい性質が成り立ちます！

なぜなら、$3(\overrightarrow{\mathrm{OB}} + \overrightarrow{\mathrm{OD}}) = -2\overrightarrow{\mathrm{OA}} - 4\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ より、線分 $\mathrm{BD}$ の中点 $\mathrm{M}$ は直線 $\mathrm{OA}, \mathrm{OC}$ の張る部分（特に $\mathrm{O}$ を含む直線）と関係し、さらに始点を $\mathrm{A}$ に変更すると：

となります。各設問の空欄は、STEP 2 の2乗計算（①・②・③）と余弦定理・内積の定義を連立させることで、一つずつ確実に数値が決定できます！