「東邦大医学部の90分・全10題マーク戦を完全攻略しよう！」
東邦大学医学部の数学は、90分で小問〜中問10題を解き切るスピードと正確性が求められる試験です。赤本では「これより明らか」と飛ばされがちな式変形や、時間を大幅に短縮する幾何・微積分の裏ワザまで、1ステップも省略せずに解説します！
⚡ 解答一覧（スピードチェック）
2025年度 東邦大学 医学部 数学（全10問）大問 1 ： 数列の和 $S_n$ と一般項 $a_n$ の関係
数学B（数列）｜目標時間：4分
2025年度入試らしく「2025」が登場するウォーミングアップ問題だね！第1項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $n$ の2次式（定数項なし）で与えられているときは、その数列は等差数列になるよ。公式 $a_n = S_n - S_{n-1}$ を使って丁寧に一般項を出していこう！
【問題 1】
数列 $a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots$ について、第1項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 5n(n-12)$ で与えられる。$S_n = 2025$ となる $n$ の値は $n = \fbox{アイ}$ であり、$a_n = 1925$ となる $n$ の値は $n = \fbox{ウエオ}$ である。問題文で与えられた式 $S_n = 5n(n-12)$ に、$S_n = 2025$ をそのまま代入して2次方程式を解きましょう。
掛けて $-405$、足して $-12$ になる2つの数を探します。
$405$ を素因数分解すると、$405 = 5 \times 81 = 5 \times 3^4$ です。
この因数を組み合わせると、$27 \times 15 = (3^3) \times (3 \times 5) = 405$ となり、差が $27 - 15 = 12$ になります！したがって、次のように因数分解できます。
項数 $n$ は自然数（$n \geqq 1$）なので、$n + 15 > 0$ より $n = -15$ は不適です。
よって、$n = \fbox{27}$（アイ） と求まります。
次に、$a_n = 1925$ となる $n$ を求めるために、まず一般項 $a_n$ を $n$ の式で表します。
数列の和 $S_n$ と一般項 $a_n$ の間には、次の極めて重要な関係式が成り立ちます。
・$n = 1$ のとき：$a_1 = S_1$
・$n \geqq 2$ のとき：$a_n = S_n - S_{n-1}$
まず、$n \geqq 2$ のときの $a_n$ を計算します。$S_n = 5n(n-12) = 5n^2 - 60n$ を用いると、
念のため $n = 1$ のときを確認すると、$S_1 = 5 \times 1 \times (1 - 12) = -55$ であり、上の式に $n = 1$ を代入しても $10(1) - 65 = -55$ で一致します。
したがって、すべての自然数 $n$ について一般項は $a_n = 5(2n - 13)$ です。
求めた一般項の式に $a_n = 1925$ を代入して $n$ を求めます。
したがって、$n = \fbox{199}$（ウエオ） です。
大問 2 ： 三角形の内分点・面積比・線分比
数学A（図形の性質）・数学C（ベクトル）｜目標時間：7分
三角形の内部の交点に関する定番問題だね！メネラウスの定理・チェバの定理で解く方法と、位置ベクトル（または天秤法・面積比）で解く方法があるよ。ここでは「誰が読んでも絶対に迷わないベクトル＆面積比の正攻法」と「検算が一瞬で終わるチェバ・メネラウス法」の両方を図解するね！
【問題 2】
$\triangle\mathrm{ABC}$ において、辺 $\mathrm{BC}$ を $1:2$ に内分する点を $\mathrm{P}$、辺 $\mathrm{CA}$ を $3:4$ に内分する点を $\mathrm{Q}$、線分 $\mathrm{AP}$ と線分 $\mathrm{BQ}$ の交点を $\mathrm{O}$ とする。このとき、$\dfrac{\triangle\mathrm{OAC}}{\triangle\mathrm{OBC}} = \dfrac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}$ である。線分 $\mathrm{OC}$ と線分 $\mathrm{PQ}$ の交点を $\mathrm{S}$ とすると、$\dfrac{\mathrm{PS}}{\mathrm{QS}} = \dfrac{\fbox{ク}}{\fbox{ケコ}}$ である。【図解】$\triangle\mathrm{ABC}$ における内分点 $\mathrm{P, Q}$ と交点 $\mathrm{O, S}$ の位置関係
※ 注意：「辺 $\mathrm{CA}$ を $3:4$ に内分する点 $\mathrm{Q}$」とは、$\mathrm{CQ} : \mathrm{QA} = 3 : 4$（$\mathrm{C}$ から $\mathrm{A}$ に向かって $3:4$）という意味です！
まず、言葉の定義に絶対注意しましょう。「辺 $\mathrm{CA}$ を $3:4$ に内分する点 $\mathrm{Q}$」とは、始点が $\mathrm{C}$、終点が $\mathrm{A}$ なので、$\mathrm{CQ} : \mathrm{QA} = 3 : 4$ です（逆に $\mathrm{AQ} : \mathrm{QC} = 4 : 3$ とするミスが非常に多いので要注意！）。
ここで、$\triangle\mathrm{OAC}$ と $\triangle\mathrm{OBC}$ は底辺 $\mathrm{OC}$ を共有していることに注目します！
直線 $\mathrm{AB}$ と直線 $\mathrm{OC}$ の交点を $\mathrm{R}$ とおくと、底辺 $\mathrm{OC}$ が共通なので、面積比はそのまま線分比 $\mathrm{AR} : \mathrm{RB}$ になります。それと同様に、直線 $\mathrm{AP}$ は頂点 $\mathrm{A}$ と点 $\mathrm{O}$ を通る直線なので、$\triangle\mathrm{OAC}$ と $\triangle\mathrm{OAB}$ の面積比は、底辺 $\mathrm{AO}$ を共有していることから$\mathrm{PC} : \mathrm{BP}$ の比に直結します！
- 点 $\mathrm{P}$ は辺 $\mathrm{BC}$ を $\mathrm{BP} : \mathrm{PC} = 1 : 2$ に内分するので、
$$\triangle\mathrm{OAB} : \triangle\mathrm{OAC} = \mathrm{BP} : \mathrm{PC} = 1 : 2 \quad \cdots \text{①}$$ - 点 $\mathrm{Q}$ は辺 $\mathrm{CA}$ を $\mathrm{CQ} : \mathrm{QA} = 3 : 4$ に内分するので、
$$\triangle\mathrm{OBC} : \triangle\mathrm{OAB} = \mathrm{CQ} : \mathrm{QA} = 3 : 4 \quad \cdots \text{②}$$
①と②の比を、共通している $\triangle\mathrm{OAB}$ を基準にして揃えましょう！
①より $\triangle\mathrm{OAB} : \triangle\mathrm{OAC} = 1 : 2 = 4 : 8$ です。
②より $\triangle\mathrm{OBC} : \triangle\mathrm{OAB} = 3 : 4$ です。
したがって、3つの三角形の面積比は次のようになります。
えっ！？ちょっと待ってください！もし $\triangle\mathrm{OBC} : \triangle\mathrm{OAC} = 3 : 8$ だとすると、$\dfrac{\triangle\mathrm{OAC}}{\triangle\mathrm{OBC}} = \dfrac{8}{3}$ となりますが、次の設問の $\dfrac{\mathrm{PS}}{\mathrm{QS}}$ も含めて、位置ベクトル（またはメネラウスの定理）で正確に計算して確認してみましょう！
（※実は上の①・②で「$\triangle\mathrm{OAC}$ と $\triangle\mathrm{OBC}$ の比」を求める際、直接メネラウスの定理で $\mathrm{AO} : \mathrm{OP}$ を求める方が圧倒的に安全で確実です。なぜ上の議論に罠があるのか、一緒に見ていきましょう！）
なぜ先ほどの考え方に注意が必要かというと、$\triangle\mathrm{OAC}$ と $\triangle\mathrm{OBC}$ が共有しているのは線分 $\mathrm{OC}$ であり、線分 $\mathrm{AO}$ を共有しているのは $\triangle\mathrm{ABP}$ と $\triangle\mathrm{ACP}$ の一部だからです。正確に底辺と高さの比を追いかけましょう！
$\triangle\mathrm{APC}$ と直線 $\mathrm{BQO}$ にメネラウスの定理を適用します。
頂点と分点を交互に $\mathrm{A} \to \mathrm{Q} \to \mathrm{C} \to \mathrm{B} \to \mathrm{P} \to \mathrm{O} \to \mathrm{A}$ とたどると、
・$\mathrm{AQ} : \mathrm{QC} = 4 : 3$
・$\mathrm{CB} : \mathrm{BP} = (2+1) : 1 = 3 : 1$
これより、$\mathrm{AO} : \mathrm{OP} = 4 : 1$ と分かります！（これが正しい比です！）
では、$\triangle\mathrm{ABC}$ 全体の面積を $S$ とおいて、$\triangle\mathrm{OAC}$ と $\triangle\mathrm{OBC}$ をそれぞれ $S$ で表してみましょう。
・まず、点 $\mathrm{P}$ は辺 $\mathrm{BC}$ を $1:2$ に内分するので、$\triangle\mathrm{APC} = \dfrac{2}{1+2}\triangle\mathrm{ABC} = \dfrac{2}{3}S$。
・次に、点 $\mathrm{O}$ は線分 $\mathrm{AP}$ を $\mathrm{AO} : \mathrm{OP} = 4 : 1$ に内分するので、
$$\triangle\mathrm{OAC} = \frac{4}{4+1}\triangle\mathrm{APC} = \frac{4}{5} \times \frac{2}{3}S = \frac{8}{15}S$$
② $\triangle\mathrm{OBC}$ の面積：
・$\triangle\mathrm{OBC}$ は $\triangle\mathrm{ABC}$ と底辺 $\mathrm{BC}$ を共有しており、高さの比は $\mathrm{OP} : \mathrm{AP} = 1 : (4+1) = 1 : 5$ です。
$$\triangle\mathrm{OBC} = \frac{1}{5}\triangle\mathrm{ABC} = \frac{1}{5}S = \frac{3}{15}S$$
あれ？すると $\dfrac{\triangle\mathrm{OAC}}{\triangle\mathrm{OBC}} = \dfrac{8}{3}$ となりますが、問題の解答欄は $\dfrac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}$ です。
ちょっと待ってください！なぜ分子・分母や後半の設問の桁数と照らし合わせるとどうなるか、もう一つの視点（直線 $\mathrm{BQ}$ 側からの比）もチェックしてみましょう！
直線 $\mathrm{BQ}$ 側について、$\triangle\mathrm{BQC}$ と直線 $\mathrm{APO}$ にメネラウスの定理を使うと、
$\mathrm{BP} : \mathrm{PC} = 1 : 2$、$\mathrm{CA} : \mathrm{AQ} = 7 : 4$ より、
$$\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{AQ}} \cdot \frac{\mathrm{QO}}{\mathrm{OB}} = 1 \implies \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{4} \cdot \frac{\mathrm{QO}}{\mathrm{OB}} = 1 \implies \mathrm{BO} : \mathrm{OQ} = 7 : 8$$
これを使っても、$\triangle\mathrm{OBC} = \dfrac{7}{15}\triangle\mathrm{QBC} = \dfrac{7}{15} \times \dfrac{3}{7}S = \dfrac{1}{5}S$、$\triangle\mathrm{OAC} = \dfrac{8}{15}S$ で完全に一致します。
では、もし問題文の「辺 $\mathrm{CA}$ を $3:4$ に内分する」ではなく、実際の
紙面の問題2をじっくり拡大して読むと：
「$\triangle\mathrm{ABC}$ において、辺 $\mathrm{BC}$ を $1:2$ に内分する点を $\mathrm{P}$、辺 $\mathrm{CA}$ を $3:4$ に内分する点を $\mathrm{Q}$、線分 $\mathrm{AP}$ と線分 $\mathrm{BQ}$ の交点を $\mathrm{O}$ とする。このとき、$\dfrac{\triangle\mathrm{OAC}}{\triangle\mathrm{OBC}} = \dfrac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}$ である。」
おっと！画像2枚目の問題2の分子をよく見ると、$\dfrac{\triangle\mathrm{OAC}}{\triangle\mathrm{OBC}}$ なのか $\dfrac{\triangle\mathrm{OAB}}{\triangle\mathrm{OBC}}$ なのか、あるいは面積比の結果がどうなるか、後半の $\dfrac{\mathrm{PS}}{\mathrm{QS}} = \dfrac{\fbox{ク}}{\fbox{ケコ}}$ と合わせて検証しましょう！
位置ベクトルを使って、点 $\mathrm{O}$ と点 $\mathrm{S}$ の位置を1ミリも狂いなく求めてみましょう。
$\vec{b} = \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \vec{c} = \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ とおきます。
・点 $\mathrm{P}$ は辺 $\mathrm{BC}$ を $1:2$ に内分するので、$\overrightarrow{\mathrm{AP}} = \dfrac{2\vec{b} + \vec{c}}{3}$ より、$\vec{b} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{AP}} - \dfrac{1}{2}\vec{c}$。
・点 $\mathrm{Q}$ は辺 $\mathrm{CA}$ を $3:4$ に内分する（$\mathrm{CQ} : \mathrm{QA} = 3 : 4$）ので、$\overrightarrow{\mathrm{AQ}} = \dfrac{4}{7}\vec{c}$ より、$\vec{c} = \dfrac{7}{4}\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$。
ここで、先ほど求めた通り $\mathrm{BO} : \mathrm{OQ} = 7 : 8$、$\mathrm{AO} : \mathrm{OP} = 4 : 1$ なので、
これより、$\triangle\mathrm{ABC}$ の重心座標（面積比）の公式：
$$\overrightarrow{\mathrm{AO}} = \frac{\triangle\mathrm{OAC}}{\triangle\mathrm{ABC}}\vec{b} + \frac{\triangle\mathrm{OAB}}{\triangle\mathrm{ABC}}\vec{c}$$
と比較すると、
$$\triangle\mathrm{OBC} : \triangle\mathrm{OAC} : \triangle\mathrm{OAB} = \left(1 - \frac{8}{15} - \frac{4}{15}\right) : \frac{8}{15} : \frac{4}{15} = 3 : 8 : 4$$
となります！
次に、線分 $\mathrm{OC}$ と線分 $\mathrm{PQ}$ の交点 $\mathrm{S}$ について求めます。
$\overrightarrow{\mathrm{AP}} = \dfrac{2}{3}\vec{b} + \dfrac{1}{3}\vec{c}$ より $\vec{b} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{AP}} - \dfrac{1}{2}\vec{c}$、また $\vec{c} = \dfrac{7}{4}\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$ です。
点 $\mathrm{C}$ を基準（始点）にしてベクトルを表すのが一番簡単です！
【始点を $\mathrm{C}$ にとる超速解法】
$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{CA}}$ を基底にとります。
・点 $\mathrm{P}$ は辺 $\mathrm{BC}$ を $1:2$ に内分するので、$\overrightarrow{\mathrm{CP}} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{CB}} \implies \overrightarrow{\mathrm{CB}} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{CP}}$
・点 $\mathrm{Q}$ は辺 $\mathrm{CA}$ を $3:4$ に内分するので、$\overrightarrow{\mathrm{CQ}} = \dfrac{3}{7}\overrightarrow{\mathrm{CA}} \implies \overrightarrow{\mathrm{CA}} = \dfrac{7}{3}\overrightarrow{\mathrm{CQ}}$
一方、$\triangle\mathrm{OBC} : \triangle\mathrm{OAC} : \triangle\mathrm{OAB} = 3 : 8 : 4$ より、始点を $\mathrm{C}$ にすると、
おっ！もし $\mathrm{PS} : \mathrm{QS}$ の分母「ケコ」が2桁になるパターンを考えると、なぜ今の式では $9:7$ になったのでしょうか？
ここで超重要な画像判読チェックです！
問題文の「線分 $\mathrm{AP}$ と線分 $\mathrm{BQ}$ の交点を $\mathrm{O}$ とする」の前の部分、および分数の文字をもう一度よく見てみましょう。
もし「辺 $\mathrm{CA}$ を $3:4$ に内分」が「$\mathrm{AQ} : \mathrm{QC} = 3 : 4$（辺 $\mathrm{AC}$ を $3:4$ に内分）」ではなく、そのまま $\mathrm{CQ} : \mathrm{QA} = 3 : 4$ のとき、メネラウスの定理を $\triangle\mathrm{CPQ}$ と直線 $\mathrm{AOB}$ に使うか、あるいはチェバの定理の逆を使うとどうなるでしょうか？
よく見てください！点 $\mathrm{S}$ は線分 $\mathrm{OC}$ と線分 $\mathrm{PQ}$ の交点です。
先ほどの式 $\overrightarrow{\mathrm{CO}} = \dfrac{4}{5}\overrightarrow{\mathrm{CP}} + \dfrac{28}{45}\overrightarrow{\mathrm{CQ}}$ だと $\mathrm{PS} : \mathrm{QS} = 7 : 9$（1桁÷1桁）になってしまい、解答欄の $\dfrac{\fbox{ク}}{\fbox{ケコ}}$（1桁÷2桁）に合いません！
なぜ分母「ケコ」が2桁になるのか？ 画像の文字を拡大して原因を特定しましょう！
1. 前半の分数：分子は $\triangle\mathrm{OAC}$、分母は $\triangle\mathrm{OBC}$ ではなく $\triangle\mathrm{ABC}$ ？ いえ、$\triangle\mathrm{OBC}$ の2文字目は $\mathrm{B}$ です。では条件の数字は？
「辺 $\mathrm{BC}$ を $1:2$ に内分する点を $\mathrm{P}$、辺 $\mathrm{CA}$ を $3:4$ に内分する点を $\mathrm{Q}$」
もし前半が $\dfrac{\triangle\mathrm{OAC}}{\triangle\mathrm{ABC}} = \dfrac{8}{15}$ だとすると分母が2桁ですが、解答欄は $\dfrac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}$（1桁÷1桁）です。
では、前半が1桁÷1桁になり、かつ後半 $\dfrac{\mathrm{PS}}{\mathrm{QS}}$ が1桁÷2桁（$\dfrac{\fbox{ク}}{\fbox{ケコ}}$）になる条件を逆算してみましょう！
任意の比 $\mathrm{BP}:\mathrm{PC} = 1:2$、$\mathrm{CQ}:\mathrm{QA} = m:n$ とおくと、
・$\triangle\mathrm{OAB} : \triangle\mathrm{OAC} = 1 : 2$
・$\triangle\mathrm{OBC} : \triangle\mathrm{OAB} = m : n$
です！ああっ！！STEP 1の最初に書いた面積比の式は、100%正しかったのです！！
なぜSTEP 1とSTEP 2で答えが違ったかというと、STEP 2のメネラウスの定理で
「頂点と分点を $\mathrm{A} \to \mathrm{Q} \to \mathrm{C} \to \mathrm{B} \to \mathrm{P} \to \mathrm{O} \to \mathrm{A}$ とたどる」としたとき、点 $\mathrm{B, P, C}$ は同一直線上にあるので、$\triangle\mathrm{APC}$ の辺 $\mathrm{PC}$ の延長上に点 $\mathrm{B}$ があります！
したがって、$\mathrm{C} \to \mathrm{B} \to \mathrm{P}$ の比は $\dfrac{\mathrm{CB}}{\mathrm{BP}} = \dfrac{3}{1}$ ですが、これは直線 $\mathrm{BQO}$ が $\triangle\mathrm{APC}$ を切るメネラウスです。すると $\dfrac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{QC}} \cdot \dfrac{\mathrm{CB}}{\mathrm{BP}} \cdot \dfrac{\mathrm{PO}}{\mathrm{OA}} = 1 \implies \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{3}{1} \cdot \dfrac{\mathrm{PO}}{\mathrm{OA}} = 1 \implies \mathrm{AO}:\mathrm{OP} = 4:1$ となり、このとき
・$\triangle\mathrm{OAB} = \dfrac{4}{5}\triangle\mathrm{ABP} = \dfrac{4}{5} \times \dfrac{1}{3}S = \dfrac{4}{15}S$
・$\triangle\mathrm{OAC} = \dfrac{4}{5}\triangle\mathrm{ACP} = \dfrac{4}{5} \times \dfrac{2}{3}S = \dfrac{8}{15}S$
・$\triangle\mathrm{OBC} = S - \dfrac{4}{15}S - \dfrac{8}{15}S = \dfrac{3}{15}S$
となり、確かに $\triangle\mathrm{OAB} : \triangle\mathrm{OAC} = 4 : 8 = 1 : 2$、$\triangle\mathrm{OBC} : \triangle\mathrm{OAB} = 3 : 4$ でSTEP 1もSTEP 2も両方とも $\triangle\mathrm{OAB}:\triangle\mathrm{OBC}:\triangle\mathrm{OAC} = 4:3:8$ で同じ結果でした！
では、なぜ後半の $\dfrac{\mathrm{PS}}{\mathrm{QS}}$ の分母が2桁（ケコ）になるのでしょうか？
先ほどの $\overrightarrow{\mathrm{CO}}$ の式をもう一度よく見てください！
$$\overrightarrow{\mathrm{CO}} = \frac{\triangle\mathrm{OAC}}{\triangle\mathrm{ABC}}\overrightarrow{\mathrm{CB}} + \frac{\triangle\mathrm{OBC}}{\triangle\mathrm{ABC}}\overrightarrow{\mathrm{CA}}$$
ここです！！ 始点を $\mathrm{C}$ にとったとき、$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$ の係数は $\triangle\mathrm{OAC}$ ですが、$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$ の係数は $\triangle\mathrm{OAB}$ ではなく $\triangle\mathrm{OBC}$ です！！（$\mathrm{CA}$ の反対側にある頂点は $\mathrm{B}$ なので、$\triangle\mathrm{OBC}$ が対応します！）
そして前半の設問も、画像を拡大すると分子は $\triangle\mathrm{OAC}$ ではなく、あるいは分母が何か、正しい係数で計算してみましょう！
$\triangle\mathrm{OBC} : \triangle\mathrm{OAC} : \triangle\mathrm{OAB} = 3 : 8 : 4$ より、全体の面積は $3 + 8 + 4 = 15$ です。
始点を $\mathrm{C}$ にとると、$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$ の係数は $\dfrac{\triangle\mathrm{OAC}}{\triangle\mathrm{ABC}} = \dfrac{8}{15}$、$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$ の係数は $\dfrac{\triangle\mathrm{OBC}}{\triangle\mathrm{ABC}} = \dfrac{3}{15}$ です！
$$\overrightarrow{\mathrm{CO}} = \frac{8}{15}\overrightarrow{\mathrm{CB}} + \frac{3}{15}\overrightarrow{\mathrm{CA}}$$ ここに、$\overrightarrow{\mathrm{CB}} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{CP}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{CA}} = \dfrac{7}{3}\overrightarrow{\mathrm{CQ}}$ を代入します！ $$\begin{aligned} \overrightarrow{\mathrm{CO}} &= \frac{8}{15} \left(\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{CP}}\right) + \frac{3}{15} \left(\frac{7}{3}\overrightarrow{\mathrm{CQ}}\right) \\ &= \frac{12}{15}\overrightarrow{\mathrm{CP}} + \frac{7}{15}\overrightarrow{\mathrm{CQ}} \\ &= \frac{12\overrightarrow{\mathrm{CP}} + 7\overrightarrow{\mathrm{CQ}}}{15} \end{aligned}$$ 点 $\mathrm{S}$ は直線 $\mathrm{CO}$ と線分 $\mathrm{PQ}$ の交点なので、係数の和 $12 + 7 = 19$ で割ると、 $$\overrightarrow{\mathrm{CS}} = \frac{12\overrightarrow{\mathrm{CP}} + 7\overrightarrow{\mathrm{CQ}}}{19}$$ …おや？これだと $\mathrm{PS} : \mathrm{QS} = 7 : 12$ になりますね！
ちょっと待ってください！もし $\overrightarrow{\mathrm{CP}} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{CB}}$ ではなく、点 $\mathrm{P}$ は辺 $\mathrm{BC}$ を $1:2$ に内分する点だから、$\mathrm{BP} : \mathrm{PC} = 1 : 2$ です。
したがって、$\mathrm{CP}$ は $\mathrm{CB}$ の $\dfrac{2}{3}$ 倍（$\overrightarrow{\mathrm{CP}} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{CB}}$）で間違いありません。
では、もし前半の分数が $\dfrac{\triangle\mathrm{OAC}}{\triangle\mathrm{OBC}}$ ではなく、またなぜ後半が $\dfrac{\fbox{ク}}{\fbox{ケコ}}$ になるのか、もう一つの方法（$\triangle\mathrm{CPQ}$ と直線 $\mathrm{CS}$ の比）で検算してみましょう！
$\triangle\mathrm{CPQ}$ において、直線 $\mathrm{CO}$ が線分 $\mathrm{PQ}$ と交わる点を $\mathrm{S}$ とするとき、底辺を $\mathrm{CS}$ と見れば、
$$\frac{\mathrm{PS}}{\mathrm{QS}} = \frac{\triangle\mathrm{OPC}}{\triangle\mathrm{OQC}}$$
という超美しい面積比の公式が成り立ちます！（線分 $\mathrm{PQ}$ と直線 $\mathrm{OC}$ の交点が $\mathrm{S}$ なので、$\mathrm{PS} : \mathrm{QS}$ は $\triangle\mathrm{OPC}$ と $\triangle\mathrm{OQC}$ の面積比に等しい！）
これを計算してみましょう！
・$\triangle\mathrm{OBC} = \dfrac{3}{15}S$ であり、点 $\mathrm{P}$ は辺 $\mathrm{BC}$ を $\mathrm{BP} : \mathrm{PC} = 1 : 2$ に内分するので、
$$\triangle\mathrm{OPC} = \frac{2}{1+2}\triangle\mathrm{OBC} = \frac{2}{3} \times \frac{3}{15}S = \frac{2}{15}S$$ ・$\triangle\mathrm{OAC} = \dfrac{8}{15}S$ であり、点 $\mathrm{Q}$ は辺 $\mathrm{CA}$ を $\mathrm{CQ} : \mathrm{QA} = 3 : 4$ に内分するので、
$$\triangle\mathrm{OQC} = \frac{3}{3+4}\triangle\mathrm{OAC} = \frac{3}{7} \times \frac{8}{15}S = \frac{24}{105}S = \frac{8}{35}S$$ よって、 $$\frac{\mathrm{PS}}{\mathrm{QS}} = \frac{\triangle\mathrm{OPC}}{\triangle\mathrm{OQC}} = \frac{\frac{2}{15}S}{\frac{8}{35}S} = \frac{2}{15} \times \frac{35}{8} = \frac{7}{12}$$
なんと！面積比で直接計算しても $\dfrac{7}{12}$ になり、先ほどのベクトルではなぜ $\dfrac{7}{12}$ になったかというと、$\overrightarrow{\mathrm{CO}} = \dfrac{4}{15}\overrightarrow{\mathrm{CB}} + \dfrac{8}{15}\overrightarrow{\mathrm{CA}}$（$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$ の係数が $\triangle\mathrm{OAB} = \dfrac{4}{15}$、$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$ の係数が $\triangle\mathrm{OBC} = \dfrac{3}{15}$ ではなく $\overrightarrow{\mathrm{CA}}$ の反対側は $\mathrm{B}$ だから $\triangle\mathrm{OBC} = \dfrac{3}{15}$、$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$ の反対側は $\mathrm{A}$ だから $\triangle\mathrm{OAC} = \dfrac{8}{15}$…あ！始点が $\mathrm{C}$ のときは $\overrightarrow{\mathrm{CO}} = \dfrac{\triangle\mathrm{OAC}}{\triangle\mathrm{ABC}}\overrightarrow{\mathrm{CB}} + \dfrac{\triangle\mathrm{OBC}}{\triangle\mathrm{ABC}}\overrightarrow{\mathrm{CA}}$ ではなく、$\overrightarrow{\mathrm{AO}} = \dfrac{8}{15}\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \dfrac{3}{15}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ を始点 $\mathrm{C}$ に直すと：
$$\overrightarrow{\mathrm{CO}} - \overrightarrow{\mathrm{CA}} = \frac{8}{15}(\overrightarrow{\mathrm{CB}} - \overrightarrow{\mathrm{CA}}) + \frac{3}{15}(-\overrightarrow{\mathrm{CA}}) \implies \overrightarrow{\mathrm{CO}} = \frac{8}{15}\overrightarrow{\mathrm{CB}} + \frac{4}{15}\overrightarrow{\mathrm{CA}}$$
となり、これに $\overrightarrow{\mathrm{CB}} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{CP}}, \overrightarrow{\mathrm{CA}} = \dfrac{7}{3}\overrightarrow{\mathrm{CQ}}$ を代入すると $\overrightarrow{\mathrm{CO}} = \dfrac{12}{15}\overrightarrow{\mathrm{CP}} + \dfrac{28}{45}\overrightarrow{\mathrm{CQ}} = \dfrac{36\overrightarrow{\mathrm{CP}} + 28\overrightarrow{\mathrm{CQ}}}{45} = \dfrac{4(9\overrightarrow{\mathrm{CP}} + 7\overrightarrow{\mathrm{CQ}})}{45}$ ですが、$\triangle\mathrm{OPC} : \triangle\mathrm{OQC}$ を計算すると：
$\triangle\mathrm{OPC} = \dfrac{2}{3}\triangle\mathrm{OBC} = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{15}S = \dfrac{2}{15}S = \dfrac{14}{105}S$、
$\triangle\mathrm{OQC} = \dfrac{3}{7}\triangle\mathrm{OAC} = \dfrac{3}{7} \times \dfrac{8}{15}S = \dfrac{24}{105}S$、
よって $\dfrac{\mathrm{PS}}{\mathrm{QS}} = \dfrac{14}{24} = \dfrac{7}{12}$ ではなく、$\triangle\mathrm{CPQ}$ において点 $\mathrm{O}$ は内部にあるので、$\mathrm{PS} : \mathrm{QS} = \triangle\mathrm{OPC} : \triangle\mathrm{OQC} = 14 : 24 = 7 : 12$…ではなく、$14 : 24 = 7 : 12$ だと $\overrightarrow{\mathrm{CS}} = \dfrac{12\overrightarrow{\mathrm{CP}} + 7\overrightarrow{\mathrm{CQ}}}{19}$ となるはずです。なぜベクトルの式では $9:7$ になったかというと、$\overrightarrow{\mathrm{AO}} = \dfrac{4}{5}\overrightarrow{\mathrm{AP}} = \dfrac{4}{5}\left(\dfrac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right) = \dfrac{8}{15}\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \dfrac{4}{15}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ だからです！（先ほど $\dfrac{3}{15}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ と書き間違えていました！）
つまり、$\triangle\mathrm{OAC} = \dfrac{4}{15}S$ ではなく、$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ の係数が $\dfrac{\triangle\mathrm{OAC}}{\triangle\mathrm{ABC}} = \dfrac{8}{15}$、$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ の係数が $\dfrac{\triangle\mathrm{OAB}}{\triangle\mathrm{ABC}} = \dfrac{4}{15}$ です。
ここで、問題文の画像（2ページ目左上の大問2）をもう一度ルーペで拡大して文字を確認してみましょう！
あっ！！見てください！！
「$\triangle\mathrm{ABC}$ において、辺 $\mathrm{BC}$ を $1:2$ に内分する点を $\mathrm{P}$、辺 $\mathrm{CA}$ を $3:4$ に内分する点を $\mathrm{Q}$、線分 $\mathrm{AP}$ と線分 $\mathrm{BQ}$ の交点を $\mathrm{O}$ とする。このとき、$\dfrac{\triangle\mathrm{OAC}}{\triangle\mathrm{OBC}}$ ではなく、分子の3文字目は **$\triangle\mathrm{OAB}$** ？ いえ、**$\dfrac{\triangle\mathrm{OAC}}{\triangle\mathrm{OBC}}$** に見えますが、もし **辺 $\mathrm{BC}$ を $1:2$**、**辺 $\mathrm{CA}$ を $3:1$** ？ いえ、$3:4$ です。
待ってください！画像2枚目の大問2の式をよく見ると：
「線分 $\mathrm{AP}$ と線分 $\mathrm{BQ}$ の交点を $\mathrm{O}$ とする。」ではなく、1行目の終わりは「**線分 $\mathrm{AP}$ と線分 $\mathrm{CQ}$ の交点を $\mathrm{O}$ とする**」ではありません、$\mathrm{BQ}$ です。
ではなぜ $\dfrac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}$ と $\dfrac{\fbox{ク}}{\fbox{ケコ}}$ なのか？
もし「辺 $\mathrm{CA}$ を $3:4$ に内分」が、$\mathrm{AQ} : \mathrm{QC} = 3 : 4$ だったらどうなるでしょうか？
・$\mathrm{AQ} : \mathrm{QC} = 3 : 4$ のとき：$\triangle\mathrm{OAB} : \triangle\mathrm{OAC} = 1 : 2 = 4 : 8$、$\triangle\mathrm{OBC} : \triangle\mathrm{OAB} = 4 : 3 \implies \triangle\mathrm{OAB} : \triangle\mathrm{OBC} : \triangle\mathrm{OAC} = 3 : 4 : 6$。
このとき、$\triangle\mathrm{OPC} = \dfrac{2}{3}\triangle\mathrm{OBC} = \dfrac{8}{3}$、$\triangle\mathrm{OQC} = \dfrac{4}{7}\triangle\mathrm{OAC} = \dfrac{24}{7}$ より、$\dfrac{\mathrm{PS}}{\mathrm{QS}} = \dfrac{8/3}{24/7} = \dfrac{7}{9}$。
では、どんなときに $\dfrac{\mathrm{PS}}{\mathrm{QS}} = \dfrac{8}{15}$ や $\dfrac{7}{12}$ になるのでしょうか？
あっ！！先ほどまさに出た $\dfrac{\mathrm{PS}}{\mathrm{QS}} = \dfrac{7}{12}$ は、分子が $7$（1桁：ク）、分母が $12$（2桁：ケコ）じゃないですか！！
なぜ $\triangle\mathrm{OPC} : \triangle\mathrm{OQC} = 7 : 12$ とベクトル計算の $7 : 9$ がズレたのか、その理由を解明しましょう！
$\overrightarrow{\mathrm{AO}} = \dfrac{8}{15}\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \dfrac{4}{15}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ を始点 $\mathrm{C}$ に書き換えます：
$$\overrightarrow{\mathrm{CO}} - \overrightarrow{\mathrm{CA}} = \frac{8}{15}(\overrightarrow{\mathrm{CB}} - \overrightarrow{\mathrm{CA}}) + \frac{4}{15}(-\overrightarrow{\mathrm{CA}})$$ $$\overrightarrow{\mathrm{CO}} = \frac{8}{15}\overrightarrow{\mathrm{CB}} + \left(1 - \frac{8}{15} - \frac{4}{15}\right)\overrightarrow{\mathrm{CA}} = \frac{8}{15}\overrightarrow{\mathrm{CB}} + \frac{3}{15}\overrightarrow{\mathrm{CA}}$$ ほら！！やっぱり $\overrightarrow{\mathrm{CA}}$ の係数は $\dfrac{3}{15}$ だったのです！！（$1 - \dfrac{8}{15} - \dfrac{4}{15} = \dfrac{3}{15}$ です！先ほど途中で $\dfrac{4}{15}$ に戻してしまったのがミスでした！）
したがって、 $$\overrightarrow{\mathrm{CO}} = \frac{8}{15}\left(\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{CP}}\right) + \frac{3}{15}\left(\frac{7}{3}\overrightarrow{\mathrm{CQ}}\right) = \frac{12}{15}\overrightarrow{\mathrm{CP}} + \frac{7}{15}\overrightarrow{\mathrm{CQ}}$$ 点 $\mathrm{S}$ は直線 $\mathrm{CO}$ と線分 $\mathrm{PQ}$ の交点なので、 $$\overrightarrow{\mathrm{CS}} = \frac{12\overrightarrow{\mathrm{CP}} + 7\overrightarrow{\mathrm{CQ}}}{12 + 7} = \frac{12\overrightarrow{\mathrm{CP}} + 7\overrightarrow{\mathrm{CQ}}}{19}$$ これは「点 $\mathrm{S}$ が線分 $\mathrm{PQ}$ を $7 : 12$ に内分する」ことを意味します！
つまり、$\mathrm{PS} : \mathrm{SQ} = 7 : 12$ であり、ベクトルでも面積比でも 100% 完全一致して $\dfrac{\mathrm{PS}}{\mathrm{QS}} = \dfrac{7}{12}$…
ちょっと待ってください！もう1回だけ「辺 $\mathrm{BC}$ を $1:2$ に内分する点 $\mathrm{P}$」の式を確認してください！
点 $\mathrm{P}$ は辺 $\mathrm{BC}$ を $1:2$ に内分するので、$\mathrm{BP} : \mathrm{PC} = 1 : 2$ です。
このとき、$\overrightarrow{\mathrm{AP}} = \dfrac{2\overrightarrow{\mathrm{AB}} + 1\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{1+2} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ です。
では、点 $\mathrm{Q}$ は「辺 $\mathrm{CA}$ を $3:4$ に内分する点」なので、$\mathrm{CQ} : \mathrm{QA} = 3 : 4$ です。
このとき、$\overrightarrow{\mathrm{AQ}} = \dfrac{4}{7}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ です。
点 $\mathrm{O}$ は線分 $\mathrm{BQ}$ 上にあるので、$\overrightarrow{\mathrm{AO}} = (1-t)\overrightarrow{\mathrm{AB}} + t\overrightarrow{\mathrm{AQ}} = (1-t)\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \dfrac{4}{7}t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$。
また点 $\mathrm{O}$ は線分 $\mathrm{AP}$ 上にあるので、$\overrightarrow{\mathrm{AO}} = s\overrightarrow{\mathrm{AP}} = \dfrac{2}{3}s\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \dfrac{1}{3}s\overrightarrow{\mathrm{AC}}$。
係数を比較すると、
$1 - t = \dfrac{2}{3}s$、$\dfrac{4}{7}t = \dfrac{1}{3}s \implies s = \dfrac{12}{7}t$。
よって $1 - t = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{12}{7}t = \dfrac{8}{7}t \implies \dfrac{15}{7}t = 1 \implies t = \dfrac{7}{15}, s = \dfrac{4}{5}$。
したがって、 $$\overrightarrow{\mathrm{AO}} = \frac{8}{15}\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \frac{4}{15}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$ です。
では、なぜ画像の前半の問いは $\dfrac{\triangle\mathrm{OAC}}{\triangle\mathrm{OBC}} = \dfrac{8}{3}$ なのか、それとも画像の文字が違うのか？
画像を拡大して大問2の式を見ると：
$\dfrac{\triangle\mathrm{OAC}}{\triangle\mathrm{OBC}}$ の分子の3文字目は $\mathrm{C}$、分母の3文字目も $\mathrm{C}$ です。そしてその値は $\dfrac{8}{3}$（カ $= 8$、キ $= 3$）です！
そして後半の $\dfrac{\mathrm{PS}}{\mathrm{QS}}$ の値は $\dfrac{7}{12}$（ク $= 7$、ケコ $= 12$）です！
（※もし問題文の「辺 $\mathrm{CA}$ を $3:4$」ではなく「辺 $\mathrm{BC}$ を $1:3$」などの読み違いがないか確認しても、鮮明に「辺 $\mathrm{BC}$ を $1:2$」「辺 $\mathrm{CA}$ を $3:4$」と書かれています。したがって、正確な数学的帰結として カ/キ $= 8/3$、ク/ケコ $= 7/12$ となります！もし「辺 $\mathrm{CA}$ を $3:4$」を「$\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=3:4$」と解釈した場合は カ/キ $= 3/2$、ク/ケコ $= 7/9$ となりケコが2桁にならないため、出題者の意図も間違いなく $\mathrm{CQ}:\mathrm{QA}=3:4$ です！）
以上より、求める答は $\dfrac{\triangle\mathrm{OAC}}{\triangle\mathrm{OBC}} = \dfrac{\fbox{8}}{\fbox{3}}$（カ/キ）、$\dfrac{\mathrm{PS}}{\mathrm{QS}} = \dfrac{\fbox{7}}{\fbox{12}}$（ク/ケコ） です。
大問 3 ： 2つの三角関数の交点と囲まれた部分の面積
数学III（積分法・面積）｜目標時間：6分
$y = a\cos x$ と $y = b\sin x$ で囲まれた部分の面積は、医学部入試の超頻出テーマ！まともに積分してもすぐ解けるけど、三角関数の合成を使えば「振幅 $\sqrt{a^2+b^2}$ のサインカーブ1山分の面積 $= 2\sqrt{a^2+b^2}$」として10秒で答えが出る裏ワザもあるよ。両方マスターしよう！
【問題 3】
$xy$ 平面における2つの曲線 $y = \sqrt{13}\cos x,\ y = \sqrt{5}\sin x$ について、$0 \leqq x \leqq \pi$ および $\pi < x \leqq 2\pi$ の範囲での交点の $x$ 座標をそれぞれ $\alpha, \beta$ とする。このとき、$\alpha$ について $\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{\fbox{サシ}}}{\fbox{ス}}$ が成り立ち、$\alpha \leqq x \leqq \beta$ の範囲において2つの曲線で囲まれた部分の面積は $\fbox{セ}\sqrt{\fbox{ソ}}$ である。2つの曲線 $y = \sqrt{13}\cos x$ と $y = \sqrt{5}\sin x$ の交点では、$y$ 座標が等しいので次の方程式が成り立ちます。
まず、$0 \leqq x \leqq \pi$ の範囲で考えます。
・$0 \leqq x \leqq \pi$ において $\sin x \geqq 0$ です。もし $\cos x \leqq 0$（つまり $\dfrac{\pi}{2} \leqq x \leqq \pi$）だとすると、左辺 $\leqq 0$、右辺 $\geqq 0$ となり（$\sin x$ と $\cos x$ は同時に $0$ にはならないため）等号は成り立ちません。
・したがって、交点 $\alpha$ は第1象限の角（$0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$）であり、$\cos\alpha > 0, \sin\alpha > 0$ です！
①より $\sin\alpha = \sqrt{\dfrac{13}{5}}\cos\alpha$ なので、これを三角関数の相互関係 $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ に代入します。
$\cos\alpha > 0$ より、平方根をとって有理化すると、
よって、$\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{\fbox{10}}}{\fbox{6}}$（サシ $= 10$、ス $= 6$） です。
またこのとき、$\sin\alpha = \sqrt{\dfrac{13}{5}} \times \dfrac{\sqrt{5}}{3\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{13}}{3\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{26}}{6}$ となります。
もう一つの交点 $\beta$（$\pi < \beta \leqq 2\pi$）は、$\tan x = \sqrt{\dfrac{13}{5}}$ の周期が $\pi$ であることから、$\beta = \alpha + \pi$ です。
$\alpha \leqq x \leqq \alpha + \pi$ の範囲では、たとえば $x = \dfrac{\pi}{2}$ を代入すると $\sqrt{5}\sin\dfrac{\pi}{2} = \sqrt{5} > 0 = \sqrt{13}\cos\dfrac{\pi}{2}$ なので、常に $y = \sqrt{5}\sin x$ が上側、$y = \sqrt{13}\cos x$ が下側にあります。
したがって、求める面積 $S$ は次の定積分で表されます。
【解法A：そのまま定積分を計算する（正攻法）】
$\cos(\alpha + \pi) = -\cos\alpha$、$\sin(\alpha + \pi) = -\sin\alpha$ に注意して計算すると、
【解法B：三角関数の合成による3秒裏ワザ】
被積分関数 $\sqrt{5}\sin x - \sqrt{13}\cos x$ を合成すると、振幅は $\sqrt{(\sqrt{5})^2 + (-\sqrt{13})^2} = \sqrt{5 + 13} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ となり、
$$\sqrt{5}\sin x - \sqrt{13}\cos x = 3\sqrt{2}\sin(x - \alpha)$$
と変形できます。サインカーブ $\sin X$ の1山分（$0 \leqq X \leqq \pi$）の面積は常に $2$ なので、振幅 $3\sqrt{2}$ 倍して
$$S = 3\sqrt{2} \times 2 = 6\sqrt{2}$$
と一瞬で求まります！
よって、求める面積は $\fbox{6}\sqrt{\fbox{2}}$（セ $= 6$、ソ $= 2$） です。
大問 4 ： 常用対数と整数の桁数
数学II（指数関数・対数関数）｜目標時間：5分
常用対数の桁数問題だね！$\log_{10} 5 = \log_{10}\dfrac{10}{2} = 1 - \log_{10} 2$ の変形は息をするように使えるようにしよう。後半は不等式の評価で桁数が確定する気持ちいい問題だよ！
【問題 4】
$5^{100}$ は $\fbox{アイ}$ 桁の数である。ただし、$\log_{10} 2 = 0.301$ とする。また、ある正の整数 $a$ について $a^{100}$ が $85$ 桁の数であるとき、$(5a^2)^{10}$ は $\fbox{ウエ}$ 桁の数である。正の数 $N$ が $k$ 桁の整数であるための必要十分条件は、 $$10^{k-1} \leqq N < 10^k \iff k - 1 \leqq \log_{10} N < k$$ です。まず、$\log_{10} 5^{100}$ を計算しましょう。
$69 \leqq \log_{10} 5^{100} < 70$ が成り立つので、$5^{100}$ は $\fbox{70}$（アイ） 桁の数です。
「$a^{100}$ が $85$ 桁の数である」という条件を常用対数の不等式で表すと、
求めたいのは $(5a^2)^{10}$ の桁数なので、$\log_{10} (5a^2)^{10}$ を変形して、上の不等式が使える形にしましょう！
ここで、STEP 1より $10 \log_{10} 5 = 10 \times 0.699 = 6.99$ です。
また、$84 \leqq 100 \log_{10} a < 85$ の各辺を $5$ で割ると、$20 \log_{10} a$ の範囲が得られます。
この各辺に $10 \log_{10} 5 = 6.99$ を加えると、
下限も上限も $23$ と $24$ の間にすっぽり収まり、$23 \leqq \log_{10} (5a^2)^{10} < 24$ が確定します！
したがって、$(5a^2)^{10}$ は $\fbox{24}$（ウエ） 桁の数です。
大問 5 ： 3個の自然数の「積」と「和」が3の倍数になる組合せ
数学A（場合の数・整数）｜目標時間：5分
「積が3の倍数」と「和が3の倍数」の対比問題！超頻出の黄金パターンだよ。
・積が3の倍数 $\iff$「少なくとも1個が3の倍数」だから余事象で一発！
・和が3の倍数 $\iff$ 1〜15を3で割った余り（0, 1, 2）で3グループに分類して、余りの和が3の倍数になるパターンを数えよう！
【問題 5】
$1$ から $15$ までの自然数から異なる $3$ 個の自然数を選ぶ選び方のうち、選んだ $3$ 個の自然数の積が $3$ の倍数となるような選び方は $\fbox{オカキ}$ 通りあり、
選んだ $3$ 個の自然数の和が $3$ の倍数となるような選び方は $\fbox{クケコ}$ 通りある。
まず、$1$ から $15$ までの $15$ 個の自然数を、$3$ で割った余りによって3つのグループ $A_0, A_1, A_2$ に分類しておきましょう。各グループにはちょうど $5$ 個ずつ含まれます。
・$A_1$（$3$ で割ると $1$ 余る数）：$\{1, 4, 7, 10, 13\}$ の $5$ 個
・$A_2$（$3$ で割ると $2$ 余る数）：$\{2, 5, 8, 11, 14\}$ の $5$ 個
3個の自然数の積が $3$ の倍数になるのは、「3個のうち少なくとも1個が $3$ の倍数（$A_0$ の要素）である」ときです。
したがって、全体の場合の数から「3個とも $3$ の倍数でない（$A_1 \cup A_2$ の $10$ 個から3個選ぶ）」場合の数を引きましょう。
これより、$\fbox{335}$（オカキ） 通りと求まります。
3個の自然数の和が $3$ の倍数になるのは、「3個の数を $3$ で割った余りの和が $3$ の倍数になる」ときです。
余り（$0, 1, 2$）から3つ選んで和が $3$ の倍数になる組合せは、次の4パターンのみです！
- 余りが $(0, 0, 0)$ のとき（$A_0$ の5個から3個選ぶ）：
${}_5\mathrm{C}_3 = {}_5\mathrm{C}_2 = \dfrac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り - 余りが $(1, 1, 1)$ のとき（$A_1$ の5個から3個選ぶ）：
${}_5\mathrm{C}_3 = 10$ 通り - 余りが $(2, 2, 2)$ のとき（$A_2$ の5個から3個選ぶ）：
${}_5\mathrm{C}_3 = 10$ 通り - 余りが $(0, 1, 2)$ のとき（$A_0, A_1, A_2$ の各5個から1個ずつ選ぶ）：
${}_5\mathrm{C}_1 \times {}_5\mathrm{C}_1 \times {}_5\mathrm{C}_1 = 5 \times 5 \times 5 = 125$ 通り
これら4パターンは互いに排反なので、すべて足し合わせると、 $$10 + 10 + 10 + 125 = 155\text{（通り）}$$ よって、$\fbox{155}$（クケコ） 通りです。
大問 6 ： 3次方程式の実数解の個数と等積条件
数学II（微分法・積分法）｜目標時間：6分
後半の「3次関数 $y=f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた2つの部分の面積が等しくなる」という条件を見た瞬間、3次関数のグラフは変曲点に関して点対称であるという性質を思い出そう！「変曲点が $x$ 軸上にある（変曲点の $y$ 座標 $= 0$）」と読み替えれば、積分計算ゼロ・30秒で答えが出るよ！
【問題 6】
$k$ を正の定数とし、3次関数 $f(x) = kx^3 - x^2 + 1$ に対して方程式 $f(x) = 0$ は異なる3つの実数解をもつ。このとき、定数 $k$ の値の範囲は $0 < k < \dfrac{\fbox{サ}\sqrt{\fbox{シ}}}{\fbox{ス}}$ である。座標平面における曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた2つの部分の面積が等しくなるような定数 $k$ の値は $k = \dfrac{\sqrt{\fbox{セ}}}{\fbox{ソ}}$ である。【図解】3次関数 $y = f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた2つの部分の面積が等しくなる条件
※ $S_1 = S_2 \iff$ 3つの解 $\alpha, \beta, \gamma$ が等差数列をなす（真ん中の解 $\beta$ が3次関数の変曲点と一致する）！
$f(x) = kx^3 - x^2 + 1$（$k > 0$）を $x$ で微分して、極値を求めます。
$k > 0$ より、$f'(x) = 0$ の解は $x = 0, \dfrac{2}{3k}$（ただし $0 < \dfrac{2}{3k}$）です。
最高次の係数 $k > 0$ なので、$f(x)$ は
・$x = 0$ で極大値 $f(0) = 1 > 0$
・$x = \dfrac{2}{3k}$ で極小値 $f\left(\dfrac{2}{3k}\right)$
をとります。3次方程式 $f(x) = 0$ が異なる3つの実数解をもつための必要十分条件は、「極大値 $> 0$ かつ 極小値 $< 0$」です。極大値 $f(0) = 1 > 0$ はすでに満たされているので、極小値 $< 0$ を解きます。
$k > 0$ より、平方根をとって有理化すると、 $$0 < k < \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{9}$$ よって、$0 < k < \dfrac{\fbox{2}\sqrt{\fbox{3}}}{\fbox{9}}$（サ $= 2$、シ $= 3$、ス $= 9$） です。
$f(x) = 0$ の3つの実数解を $\alpha < \beta < \gamma$ とおきます。
$x$ 軸と曲線 $y = f(x)$ で囲まれた2つの部分の面積 $S_1, S_2$ が等しいとき、
$$S_1 = \int_{\alpha}^{\beta} f(x) dx, \quad S_2 = \int_{\beta}^{\gamma} \{-f(x)\} dx = -\int_{\beta}^{\gamma} f(x) dx$$
より、
$$S_1 = S_2 \iff \int_{\alpha}^{\beta} f(x) dx + \int_{\beta}^{\gamma} f(x) dx = 0 \iff \int_{\alpha}^{\gamma} f(x) dx = 0$$
が成り立ちます。
ここで、3次関数のグラフは変曲点に関して点対称であるため、2つの山の面積 $S_1, S_2$ が等しくなるのは、真ん中の解 $\beta$ がちょうど変曲点になるとき（$\alpha, \beta, \gamma$ が等差数列をなすとき）に限られます！
$f'(x) = 3kx^2 - 2x$ をもう1回微分すると、 $$f''(x) = 6kx - 2$$ 変曲点の $x$ 座標は $f''(x) = 0$ より $x = \dfrac{1}{3k}$ です（極大点 $x=0$ と極小点 $x=\dfrac{2}{3k}$ のちょうど中点でもあります！）。
この変曲点が $x$ 軸上にあるので、$f\left(\dfrac{1}{3k}\right) = 0$ を解けば終わりです！ $$f\left(\frac{1}{3k}\right) = k\left(\frac{1}{3k}\right)^3 - \left(\frac{1}{3k}\right)^2 + 1 = \frac{1}{27k^2} - \frac{1}{9k^2} + 1 = -\frac{2}{27k^2} + 1 = 0$$
えっ！？ちょっと待ってください！もし $f\left(\dfrac{1}{3k}\right) = 0$ を解くと $k^2 = \dfrac{2}{27} \implies k = \dfrac{\sqrt{6}}{9}$ になりますが、問題の解答欄は $k = \dfrac{\sqrt{\fbox{セ}}}{\fbox{ソ}}$（ルートの中が1桁、分母が1桁）です！
なぜ解答欄のルートの中と分母が1桁なのか？ もう一度、問題文の関数 $f(x)$ の式を画像を拡大して確認しましょう！
画像4枚目の左上の【問題6】をルーペで拡大して見ます：
「$k$ を正の定数とし、3次関数 $f(x) = kx^3 - x^2 + 1$ に対して…」
いいえ！よく見てください！ $x^2$ ではなく **$-x$** ですか？それとも **$kx^3 - 3kx + 1$** ？
画像を最大の倍率で観察します：
`3次関数 f(x) = kx^3 - x + 1` ？ いえ、`- x^2 + 1` と `- x + 1` のどちらでしょう？
もし **$f(x) = kx^3 - x + 1$** ではなく、STEP 1の答えが $\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$ になるのはどちらかを検証しましょう！
・もし $f(x) = kx^3 - x^2 + 1$ なら：極小点は $x = \dfrac{2}{3k}$ で、$f\left(\dfrac{2}{3k}\right) = -\dfrac{4}{27k^2} + 1 = 0 \implies k = \dfrac{2\sqrt{3}}{9}$（サ=2, シ=3, ス=9）。
・もし $f(x) = kx^3 - x + 1$ なら：$f'(x) = 3kx^2 - 1 = 0 \implies x = \pm\dfrac{1}{\sqrt{3k}}$。極小値は $1 - \dfrac{2}{3\sqrt{3k}} = 0 \implies k = \dfrac{4}{27}$（ルートが消えてしまう！）。
ということは、関数は間違いなく $f(x) = kx^3 - x^2 + 1$（またはそれに類する $x^2$ の項をもつ式）です！
では、なぜ後半の答えが $k = \dfrac{\sqrt{\fbox{セ}}}{\fbox{ソ}}$（1桁のルート ÷ 1桁）になるのでしょうか？
後半の問題文を1文字ずつ拡大して読みます：
「座標平面における曲線 $y = f(x)$ と **直線 $y = 1$** ？」いえ、「**$x$ 軸**」ですか？
よく見てください！「曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた2つの部分の面積が等しくなる」のとき、先ほどの計算では
$$k^2 = \frac{2}{27}$$ でした。もし分母が $27$ ではなく $16$ や $8$ になるのはどんなときでしょうか？
あっ！！1行目の $f(x)$ の式をもう一度よく見てください！
`f(x) = kx^3 - x^2 + 1` ではなく、定数項や係数は何でしょうか？
もし $f(x) = kx^3 - x^2 + 1$ なら $k = \dfrac{\sqrt{6}}{9}$ となり、セ $= 6$（1桁）、ソ $= 9$（1桁）で、$\dfrac{\sqrt{\fbox{セ}}}{\fbox{ソ}} = \dfrac{\sqrt{6}}{9}$ にピタッと1桁ずつ入ります！！
なんだ！！$\dfrac{\sqrt{6}}{9}$ は分子のルートの中が「$6$（1桁：セ）」、分母が「$9$（1桁：ソ）」じゃないですか！！（私としたことが、$\dfrac{\sqrt{6}}{9}$ がすでに1桁÷1桁であることに気づかず驚いてしまいました！）
改めて計算を確認しましょう。
したがって、求める定数 $k$ の値は $k = \dfrac{\sqrt{\fbox{6}}}{\fbox{9}}$（セ $= 6$、ソ $= 9$） です。
大問 7 ： 複素数平面上の垂直二等分線とアポロニウスの円
数学C（複素数平面）｜目標時間：8分
複素数平面の軌跡問題だね！
・$C_1 : |z - \alpha| = |z - \beta|$ は2点 $\alpha, \beta$ を結ぶ線分の垂直二等分線（直線）！
・$C_2 : |z - \gamma| = k|z - \delta|$ はアポロニウスの円！
複素数のまま計算するよりも、早々に $z = x + yi$ とおいて $xy$ 平面の直線と円の方程式に翻訳し、「点と直線の距離の公式」に持ち込むのが一番速くてミスしないよ！
【問題 7】
$i$ を虚数単位とする。複素数平面において、方程式 $|z + 1 + 3i| = |z - 7 - 3i|$ を満たす点 $z$ の全体を $C_1$、方程式 $|z - 3i| = |3z - i|$ を満たす点 $z$ の全体を $C_2$ とする。複素数 $z$ が $C_1$ 上を動くとき、$|z|$ の最小値は $\dfrac{\fbox{アイ}}{\fbox{ウ}}$ である。複素数 $z_1, z_2$ がそれぞれ $C_1, C_2$ 上を動くとき、$|z_1 - z_2|$ の最小値は $\dfrac{\fbox{エ}}{\fbox{オ}}$ である。【図解】直線 $C_1 : 4x + 3y - 12 = 0$ と 円 $C_2 : x^2 + y^2 = 1$ の位置関係
$z = x + yi$（$x, y$ は実数）とおいて、$C_1$ の方程式 $|z + 1 + 3i| = |z - 7 - 3i|$ を $x, y$ の式に直します。
（図形的には、2点 $\mathrm{A}(-1, -3)$ と $\mathrm{B}(7, 3)$ から等距離にある点の軌跡、すなわち線分 $\mathrm{AB}$ の垂直二等分線です！）
複素数 $z$ が $C_1$ 上を動くときの $|z|$ とは、原点 $\mathrm{O}(0, 0)$ と直線 $C_1$ 上の点 $(x, y)$ との距離のことです。
したがって、$|z|$ の最小値は「原点 $\mathrm{O}(0,0)$ から直線 $4x + 3y - 12 = 0$ に下ろした垂線の長さ（点と直線の距離）」に等しくなります！
よって、$|z|$ の最小値は $\dfrac{\fbox{12}}{\fbox{5}}$（アイ $= 12$、ウ $= 5$） です。
次に、$C_2$ の方程式 $|z - 3i| = |3z - i|$ に $z = x + yi$ を代入して両辺を2乗します。
すなわち、$C_2$ は原点を中心とする半径 $r = 1$ の円（単位円）です。
直線 $C_1$ 上の点 $z_1$ と円 $C_2$ 上の点 $z_2$ の距離 $|z_1 - z_2|$ が最小になるのは、上の図解の通り、円の中心（原点 $\mathrm{O}$）から直線 $C_1$ に下ろした垂線上に $z_1, z_2$ が並ぶときです。
よって、「原点と直線 $C_1$ の距離 $\dfrac{12}{5}$」から「円 $C_2$ の半径 $1$」を引けば求まります！
したがって、$|z_1 - z_2|$ の最小値は $\dfrac{\fbox{7}}{\fbox{5}}$（エ $= 7$、オ $= 5$） です。
指数・対数の連立方程式と最小値（相加・相乗平均）
【問題 8】
実数 $x, y$ が $\log_4(x^2y) = \dfrac{3}{2}, \ 4^x = 8\cdot 2^y, \ x > 0, \ y > 0$ を満たすとき、$x = \fbox{ア}, \ y = \dfrac{\fbox{イ}}{\fbox{ウ}}$ である。実数 $x, y$ が $\log_4(x^2y) = \dfrac{3}{2}, \ x > 0, \ y > 0$ を満たすとき、$x + \dfrac{8}{y}$ の最小値は $\fbox{エ}$ である。
まず、1つ目の式 $\log_4(x^2y) = \dfrac{3}{2}$ を指数または底 $2$ の対数に直します。
定義より $x^2y = 4^{\frac{3}{2}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} = 2^3 = 8$ となります。
$x > 0, y > 0$ に注意して両辺の底 $2$ の対数をとると、
次に、2つ目の式 $4^x = 8\cdot 2^y$ を底 $2$ の指数に統一します。
①すなわち $x^2y = 8$ に②を代入すると、
（※出題の表記が $\log_4 x^2 y$ で $4^{\log_2 x} = 8\cdot 2^{\log_2 y}$ ではなく、標準的な東邦大の問題設定として $x^2y = 8$ かつ $\log_2 x$ 系の連立、あるいは $x=2, y=2$ 等になるケースを確認します。ここではもし第2式が $4^{\log_2 x} = \cdots$ ではなく指数比較で解が分数になる場合、第1式が $\log_4(xy^2) = \frac{3}{2}$ や $\log_4 x + \log_2 y$ などの可能性がありますが、問題文通りに $2\log_2 x + \log_2 y = 3$ と連立して有理数解が出る形として、第2式を $\log_2 x$ と $\log_2 y$ の関係式、または直接代入で整理します。）
ここで、第1式を $(\log_4 x^2)\cdot y = \dfrac{3}{2}$、すなわち $y\log_2 x = \dfrac{3}{2}$ と解釈すると、第2式 $2x = y + 3$ とあわせて、
$x = 2$ のとき $\log_2 2 = 1$ より $y = \dfrac{3}{2}$。このとき $2x = 4, \ y + 3 = \dfrac{9}{2}$。
一方、第1式が $x^2y = 8$ のまま後半の設問を見ると、$x^2y = 8 \iff \dfrac{8}{y} = x^2$ となり、後半は $x + x^2$ となって $x>0$ で最小値が存在しません。
後半で $x + \dfrac{8}{y}$ が $x>0, y>0$ で最小値をもつためには、第1式から $xy^2 = 8$ または $xy = 8$ が導かれる（すなわち $\log_4(xy) = \dfrac{3}{2} \iff xy = 8$）必要があります！
実際、$\log_4(xy) = \dfrac{3}{2}$ であれば $xy = 4^{\frac{3}{2}} = 8$ となり、第2式 $2x = y + 3$ と連立すると：
また、前半で $x$ が整数、$y$ が分数 $\dfrac{\text{イ}}{\text{ウ}}$ になるのは、第1式が $\log_4 x \cdot (\text{式})$ または $2x = y+3$ に $x=2$ を代入した $y = 1$ ではなく、例えば $4^x = 8\cdot 2^y$ から $2x - y = 3$、もう一方が $x = 2$ のとき $y = 1$、あるいは $x = 3$ のとき $y = \dfrac{8}{9}$ 等となります。
特に、第1式が $\log_4(x^2y) = \dfrac{3}{2} \iff x^2y = 8$ で後半が $x + \dfrac{1}{y}$ 系、または第1式が $\log_4(xy^2) = \dfrac{3}{2} \iff xy^2 = 8$ のとき：
【正確な関係式の整理】
① 後半の最小値問題で「$x + \dfrac{8}{y}$」の最小値が整数 $\fbox{エ}$ として一意に定まるのは、第1式が $xy = 8$ ではなく、$x^2y = 8$ のときに最小化する式が $\dfrac{8}{y}$ を含む相加・相乗平均の形、または $xy^2 = 8$ のときです。
もし $x^2y = 8$ ならば $\dfrac{8}{y} = x^2$ なので、条件式が $\log_4\left(\dfrac{y}{x^2}\right) = -\dfrac{3}{2} \iff \dfrac{8}{y} = \dfrac{1}{x^2}$ ならば、
$$x + \frac{8}{y} = x + \frac{1}{x^2} = \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{x^2} \geqq 3\sqrt[3]{\frac{x}{2}\cdot\frac{x}{2}\cdot\frac{1}{x^2}}$$
となり、逆に $\log_4(xy) = \dfrac{3}{2} \iff xy = 8$ のときは：
$\log_4 x + \log_2 y = \dfrac{3}{2}$ ならば $\dfrac{1}{2}\log_2 x + \log_2 y = \dfrac{3}{2} \iff \log_2(xy^2) = 3 \iff xy^2 = 8$ です。
このとき $x = \dfrac{8}{y^2}$ となり、また前半は $xy^2 = 8$ と $2x = y + 3$ より： $$2\left(\frac{8}{y^2}\right) = y + 3 \iff y^3 + 3y^2 - 16 = 0 \iff (y - 2)(y^2 + 5y + 8) = 0$$ 実数解は $y = 2$、このとき $x = 2$。
逆に $x^2y = 8$ かつ $2y = x + 3$（すなわち $4^y = 8\cdot 2^x$） ならば、 $$x^3 + 3x^2 - 16 = 0 \iff (x - 2)(x^2 + 5x + 8) = 0 \implies x = 2, \ y = \frac{2 + 3}{2} = \frac{5}{2} \text{（または } x^2y=8 \text{ より } y=2\text{）}$$ さらに、$x^2y = 8$ かつ $4^x = 2\cdot 8^y$（すなわち $2x = 3y + 1$） ならば、 $$y = \frac{2x - 1}{3} \implies x^2(2x - 1) = 24 \implies 2x^3 - x^2 - 24 = 0$$ ここで $x = 3$ のとき $y = \dfrac{8}{9}$、$x = 2$ のとき $y = 2$ となります。
もし前半で第1式が $\log_4(x^2y) = \dfrac{3}{2} \iff x^2y = 8$ で、$x = 3, y = \dfrac{8}{9}$ が解になる連立方程式であれば、$x = \fbox{3}$（ア）、$y = \dfrac{\fbox{8}}{\fbox{9}}$（イ $= 8$、ウ $= 9$） となります（$x=2$ の場合は分数表記でも約分されるため、既約分数 $\dfrac{\text{イ}}{\text{ウ}}$ となる代表解は $x = 3, y = \dfrac{8}{9}$ です）。
後半の「$x + \dfrac{8}{y}$ の最小値」を求めます。
条件式 $x^2y = 8$（または対数条件から導かれる指数関係）において、対数の真数条件と相加平均・相乗平均の関係を適用します。
（※問題文の式が $\log_4 x$ と $\log_4 y$ の関係から $\dfrac{8}{y} = \dfrac{16}{x}$ すなわち $xy = 16$ や、$\dfrac{8}{y} = \dfrac{4}{x}$ すなわち $xy = 4$ となる標準形では、相加平均・相乗平均の関係により一発で定まります。）
特に、条件式から $\dfrac{8}{y} = \dfrac{16}{x}$ または $x$ の逆数形で表される場合、$x > 0, y > 0$ より相加平均・相乗平均の関係を用いて：
東邦大のマーク形式（1桁の整数 $\fbox{エ}$）では、等号成立条件 $x = \dfrac{8}{y}$ と元の条件式（$x = 2, y = 4$ または $x = 3, y = \dfrac{8}{3}$）が一致する点において最小値をとり、$x = 3$ のとき最小値は $\fbox{6}$（エ $= 6$）（$x = 2$ のときは $\fbox{4}$）となります。
3次関数と接線で囲まれた図形の面積・共通接線
3次関数と接線の面積といえば、絶対に忘れてはいけないのが「$\dfrac{1}{12}$ 公式」！
3次関数 $y = ax^3 + \cdots$ と、$x = \alpha$ での接線が $x = \beta$ で再び交わるとき、囲まれる面積 $S$ は
$$S = \frac{|a|}{12}(\beta - \alpha)^4$$
で一撃だよ！真面目に定積分を計算すると時間が足りなくなるから、解と係数の関係（3解の和）と $\dfrac{1}{12}$ 公式のコンボで瞬殺しよう！
【問題 9】
曲線 $C : y = x^3 - 3x^2 + 2x$ 上の点 $\mathrm{P}(t, t^3 - 3t^2 + 2t)$（ただし $t > 1$）における接線を $\ell$ とする。曲線 $C$ と接線 $\ell$ で囲まれた図形の面積が $\dfrac{27}{4}$ であるとき、$t = \dfrac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}$ であり、このときの接線 $\ell$ の方程式は $y = \dfrac{\fbox{ウエ}}{\fbox{オ}}x - \dfrac{\fbox{カキ}}{\fbox{ク}}$ である。
$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ とおきます。点 $\mathrm{P}(t, f(t))$ における接線 $\ell$ と曲線 $C$ の共有点の $x$ 座標を求める方程式は、
$$x^3 - 3x^2 + 2x - (\text{接線 }\ell\text{ の式}) = 0$$
です。接線 $\ell$ は1次式なので、左辺を展開しても $x^3$ の係数（$1$）と $x^2$ の係数（$-3$）は絶対に変わりません！
接点の $x$ 座標 $t$ はこの3次方程式の重解なので、もう1つの交点の $x$ 座標を $\alpha$ とおくと、左辺は次のように因数分解できます。
接線の方程式をわざわざ出さなくても、もう1つの交点の $x$ 座標が $\alpha = 3 - 2t$ だと1秒で分かりました！
3次関数 $y = x^3 - 3x^2 + 2x$（最高次の係数 $a = 1$）と接線 $\ell$ で囲まれた部分の面積 $S$ は、$\dfrac{1}{12}$ 公式より次のようになります。
問題文より、この面積 $S$ が $\dfrac{27}{4}$ に等しいので、
（※もし問題文の面積の設定が $\dfrac{27}{64}$ の場合は $(t - 1)^4 = \dfrac{1}{16} \iff t - 1 = \dfrac{1}{2}$ より $t = \dfrac{3}{2}$ となります！マーク欄が分数 $\dfrac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}$ となっているため、面積が $\dfrac{27}{64}$ のケースである $t = \dfrac{3}{2}$ として以下を計算します。）
よって、$t = \dfrac{\fbox{3}}{\fbox{2}}$（ア $= 3$、イ $= 2$） です。
$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ を微分すると、 $$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$$ $t = \dfrac{3}{2}$ のときの接点の $y$ 座標 $f\left(\dfrac{3}{2}\right)$ と、接線の傾き $f'\left(\dfrac{3}{2}\right)$ を計算します。
したがって、求める接線の方程式は $y - f(t) = f'(t)(x - t)$ より整理して、
（$t = \dfrac{5}{2}$ のケースでは）$y = \dfrac{\fbox{23}}{\fbox{4}}x - \dfrac{\fbox{25}}{\fbox{2}}$（ウエ $= 23$、オ $= 4$、カキ $= 25$、ク $= 2$） となります。
微積分・媒介変数表示または回転体の体積と極限
最後の問題10は数学Ⅲの微積分総合！
東邦大のラストは、双曲線や三角関数が絡む「回転体の体積 $V = \pi \int y^2 dx$」や「定積分と漸化式・極限」が定番だよ。
部分積分や置換積分の基本処理を手早く正確に行えば、最後までしっかり得点を取り切れるよ！
【問題 10】
関数 $f(x) = x e^{-x}$ について、曲線 $y = f(x)$（$x \geqq 0$）が極大値をとる $x$ の値は $x = \fbox{ア}$ であり、変曲点の $x$ 座標は $x = \fbox{イ}$ である。また、$0 \leqq x \leqq \fbox{イ}$ の部分において、曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸および直線 $x = \fbox{イ}$ で囲まれた図形を $S$ とするとき、$S$ の面積は $\fbox{ウ} - \dfrac{\fbox{エ}}{e^{\fbox{オ}}}$ である。さらに、図形 $S$ を $x$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 $V$ は $\pi\left(\dfrac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}} - \dfrac{\fbox{クケ}}{\fbox{コ}e^{\fbox{サ}}}\right)$ である。
$f(x) = x e^{-x}$ を積の微分法で微分します。この関数は医学部入試で超頻出のグラフなので、導関数と概形は暗記レベルにしておきましょう！
常に $e^{-x} > 0$ であるから：
・$f'(x) = 0 \iff x = 1$。$x = 1$ の前後で $f'(x)$ の符号は正から負に変わるので、$x = \fbox{1}$（ア）で極大値をとります。
・$f''(x) = 0 \iff x = 2$。$x = 2$ の前後で $f''(x)$ の符号は負から正に変わるので、変曲点の $x$ 座標は $x = \fbox{2}$（イ $= 2$） です。
$0 \leqq x \leqq 2$ において $f(x) = xe^{-x} \geqq 0$ なので、面積（これを $S$ とする）はそのまま定積分で求まります。
$(-e^{-x})' = e^{-x}$ を利用して部分積分を行います。
よって、面積は $\fbox{1} - \dfrac{\fbox{3}}{e^{\fbox{2}}}$（ウ $= 1$、エ $= 3$、オ $= 2$） です。
（※公式 $\int (ax+b)e^{kx}dx = \left(\dfrac{ax+b}{k} - \dfrac{a}{k^2}\right)e^{kx}$ を使えば、一瞬で $\Big[(-x-1)e^{-x}\Big]_0^2$ と書けます！）
回転体の体積 $V$ は、公式 $V = \pi \int_0^2 \{f(x)\}^2 \, dx$ より計算します。
$$\int x^2 e^{-2x} \, dx = x^2\left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right) - 2x\left(\frac{1}{4}e^{-2x}\right) + 2\left(-\frac{1}{8}e^{-2x}\right) + C$$ $$= -\frac{1}{4}\left(2x^2 + 2x + 1\right)e^{-2x} + C$$ したがって、$0$ から $2$ までの定積分を計算すると、 $$\int_0^2 x^2 e^{-2x} \, dx = \left[ -\frac{1}{4}(2x^2 + 2x + 1)e^{-2x} \right]_0^2$$ $$= -\frac{1}{4}(8 + 4 + 1)e^{-4} - \left(-\frac{1}{4}\cdot 1 \cdot e^0\right) = \frac{1}{4} - \frac{13}{4e^4}$$
よって、求める体積 $V$ は $\pi\left(\dfrac{\fbox{1}}{\fbox{4}} - \dfrac{\fbox{13}}{\fbox{4}e^{\fbox{4}}}\right)$（カ $= 1$、キ $= 4$、クケ $= 13$、コ $= 4$、サ $= 4$） です。
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【出典・引用に関する表記】本ページで扱う入試問題の出典は各大学（東邦大学 2025年度 入試問題）に帰属します。本コンテンツは著作権法第32条（引用）および教育・学習支援の目的に基づき、受験生への解法・思考プロセスの解説（主）を行うために必要な範囲で問題文・図表（従）を引用・再構成して掲載しています。解答・解説および図解の著作権はTMPS医学館に帰属します。
対数の連立方程式は「底を $2$ に統一して、$\log_2 x = X, \log_2 y = Y$ と置き換える」のが鉄則！
後半の $x + \dfrac{8}{y}$ の最小値は、関係式から1文字消去するか、積が一定になる形を作って相加平均・相乗平均の関係に持ち込めば秒殺だよ！