東京女子医科大学 医学部 数学（2019年度）全問題・超図解解説

和 $S_n$ が入った漸化式では、番号をずらして引き算するため、$n \geqq 2$ からのスタートになることが多いです。最初に $a_1$ と $a_2$ の具体的な値を出しておきましょう（最後の検算にも使えて一石二鳥です！）。

まず、初項 $a_1$ は $S_1$ と同じなので、問題文より $$a_1 = S_1 = 1$$ 次に、与えられた関係式 $$S_{n+1} = 3S_n + 4n^3 + 1 \quad \cdots \text{ (A)}$$ に $n=1$ を代入すると、 $$S_2 = 3S_1 + 4 \cdot 1^3 + 1 = 3(1) + 4 + 1 = 8$$ ここで、$S_2 = a_1 + a_2$ ですから、 $$a_2 = S_2 - a_1 = 8 - 1 = 7$$ と分かります。「$a_1 = 1,\ a_2 = 7$」をしっかりメモしておきましょう！

和 $S_n$ と一般項 $a_n$ の間には、常に次の基本関係があります。 $$S_{n+1} - S_n = a_{n+1} \quad (n \geqq 1)$$ これを利用するために、式(A)の $n$ を $n+1$ に置き換えた式を作ります。

ここで、$S_{n+2} - S_{n+1} = a_{n+2}$、$S_{n+1} - S_n = a_{n+1}$ であり、また $(n+1)^3 - n^3$ を展開すると $$(n+1)^3 - n^3 = (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) - n^3 = 3n^2 + 3n + 1$$ となるので、上の引き算の結果は次のようになります（$n = 1, 2, 3, \cdots$ で成立）： $$a_{n+2} = 3a_{n+1} + 4(3n^2 + 3n + 1)$$ $$a_{n+2} = 3a_{n+1} + 12n^2 + 12n + 4 \quad (n \geqq 1) \quad \cdots \text{ (C)}$$

式(C)：$a_{n+2} = 3a_{n+1} + 12n^2 + 12n + 4$ をもっと見やすくするために、番号を1つ下げて書き直してみましょう（$n+1$ を $n$ に置き換えます。すると $n \geqq 2$ で成り立ちます）： $$a_{n+1} = 3a_n + 12(n-1)^2 + 12(n-1) + 4 \quad (n \geqq 2)$$ 右辺の多項式部分を整理してもよいですが、実は展開する前の形 $$S_{n+1} = 3S_n + 4n^3 + 1$$ から直接 $S_n$ の一般項を求めて $a_n$ を出す方法と、$a_{n+2} = 3a_{n+1} + 4\left\{(n+1)^3 - n^3\right\}$ を変形する方法があります。ここでは展開計算が一番ラクになる裏ワザ変形をお見せします！

まず、元の式(A) $S_{n+1} = 3S_n + 4n^3 + 1$ において、 $$S_{n+1} + f(n+1) = 3\left\{S_n + f(n)\right\}$$ となる3次式 $f(n) = pn^3 + qn^2 + rn + s$ を探してみましょう！これが見つかれば、②の $S_n$ も①の $a_n$ も一気に解けてしまいます！

上の式を変形すると、 $$S_{n+1} = 3S_n + 3f(n) - f(n+1)$$ となります。これが式(A)の $S_{n+1} = 3S_n + 4n^3 + 1$ と一致するためには、恒等式として $$3f(n) - f(n+1) = 4n^3 + 1$$ が成り立てばよいですね。$f(n) = pn^3 + qn^2 + rn + s$ を代入して計算します：

よって、$3f(n) - f(n+1)$ を計算すると、 $$3f(n) - f(n+1) = 2pn^3 + (2q - 3p)n^2 + (2r - 3p - 2q)n + (2s - p - q - r)$$ これが $4n^3 + 0n^2 + 0n + 1$ と一致するので、各次数の係数を比較します！

• $n^3$ の係数：$2p = 4 \implies \mathbf{p = 2}$
• $n^2$ の係数：$2q - 3p = 0 \implies 2q - 6 = 0 \implies \mathbf{q = 3}$
• $n^1$ の係数：$2r - 3p - 2q = 0 \implies 2r - 6 - 6 = 0 \implies \mathbf{r = 6}$
• 定数項：$2s - p - q - r = 1 \implies 2s - 2 - 3 - 6 = 1 \implies 2s = 12 \implies \mathbf{s = 6}$

きれいに整数で求まりました！つまり $f(n) = 2n^3 + 3n^2 + 6n + 6$ です。
したがって、元の漸化式(A)は次のように変形できます： $$S_{n+1} + 2(n+1)^3 + 3(n+1)^2 + 6(n+1) + 6 = 3\left(S_n + 2n^3 + 3n^2 + 6n + 6\right)$$

数列 $\{S_n + 2n^3 + 3n^2 + 6n + 6\}$ は、公比が $3$ の等比数列です。
その初項（$n=1$ のときの値）を計算すると、$S_1 = 1$ より、 $$S_1 + 2(1)^3 + 3(1)^2 + 6(1) + 6 = 1 + 2 + 3 + 6 + 6 = 18$$ ここで $18 = 2 \times 9 = 2 \cdot 3^2$ ですから、第 $n$ 項は $$S_n + 2n^3 + 3n^2 + 6n + 6 = 18 \cdot 3^{n-1} = 2 \cdot 3^2 \cdot 3^{n-1} = 2 \cdot 3^{n+1}$$ よって、$S_n$ はすべての自然数 $n \geqq 1$ に対して $$S_n = 2 \cdot 3^{n+1} - 2n^3 - 3n^2 - 6n - 6 \quad \cdots \text{ (D)}$$ と表せます！

では、この $S_n$ から一般項 $a_n$ を求めましょう！
ここで最大の注意点！「$n \geqq 2$ のとき $a_n = S_n - S_{n-1}$」を使うと $(n-1)^3$ の展開が必要になって大変ですよね？
そこで、問題文の最初の式 $S_{n+1} = 3S_n + 4n^3 + 1$ を見直してください！
左辺の $S_{n+1}$ は $S_{n+1} = S_n + a_{n+1}$ と書き換えられます。これを代入すると、 $$S_n + a_{n+1} = 3S_n + 4n^3 + 1$$ $$a_{n+1} = 2S_n + 4n^3 + 1 \quad (n \geqq 1)$$ なんと、引き算をしなくても $S_n$ を2倍して $4n^3+1$ を足すだけで $a_{n+1}$ が出るのです！

式(D)を代入すると、$n \geqq 1$ に対して $$\begin{aligned} a_{n+1} &= 2\left(2 \cdot 3^{n+1} - 2n^3 - 3n^2 - 6n - 6\right) + 4n^3 + 1 \\ &= 4 \cdot 3^{n+1} - 4n^3 - 6n^2 - 12n - 12 + 4n^3 + 1 \\ &= 4 \cdot 3^{n+1} - 6n^2 - 12n - 11 \quad (n \geqq 1) \end{aligned}$$ ……おっと、待ってください！今使ったのは $S_{n+1} = 3S_n + 4n^3 + 1$ に $S_1 = 1$ を入れた式ですが、そもそも $S_n$ の定義は「$a_1 + a_2 + \cdots + a_n$」なので、$a_n = S_n - S_{n-1}$ で求めた式と一致するか確認してみましょう！

まず、上で正確に導いた $S_n$（式D）を整理しておきます： $$S_n = 2 \cdot 3^{n+1} - 2n^3 - 3n^2 - 6n - 6$$ 実際に $n=1, 2, 3$ を代入して検算してみましょう：

• $n=1$：$S_1 = 2 \cdot 3^2 - 2 - 3 - 6 - 6 = 18 - 17 = 1$ （問題文の $S_1 = 1$ と完全一致！）
• $n=2$：$S_2 = 2 \cdot 3^3 - 2(8) - 3(4) - 6(2) - 6 = 54 - 16 - 12 - 12 - 6 = 8$ （$3S_1 + 4(1)^3 + 1 = 8$ と完全一致！）
• $n=3$：$S_3 = 2 \cdot 3^4 - 2(27) - 3(9) - 6(3) - 6 = 162 - 54 - 27 - 18 - 6 = 57$ （$3S_2 + 4(2)^3 + 1 = 24 + 32 + 1 = 57$ と完全一致！）

よって、②の答えは間違いなく $$S_n = 2 \cdot 3^{n+1} - 2n^3 - 3n^2 - 6n - 6$$ です！
次に①の $a_n$ です。$n \geqq 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ ですから、先ほどの $a_{n+1} = 4 \cdot 3^{n+1} - 6n^2 - 12n - 11$ の $n$ を $n-1$ に置き換えると、$n \geqq 2$ において $$\begin{aligned} a_n &= 4 \cdot 3^n - 6(n-1)^2 - 12(n-1) - 11 \\ &= 4 \cdot 3^n - 6(n^2 - 2n + 1) - 12n + 12 - 11 \\ &= 4 \cdot 3^n - 6n^2 - 5 \quad (n \geqq 2) \end{aligned}$$ となります！念のため $n=2, 3$ を代入して検算してみましょう：

• $n=2$：$a_2 = 4 \cdot 3^2 - 6(2)^2 - 5 = 36 - 24 - 5 = 7$ （$S_2 - S_1 = 8 - 1 = 7$ と完全一致！）
• $n=3$：$a_3 = 4 \cdot 3^3 - 6(3)^2 - 5 = 108 - 54 - 5 = 49$ （$S_3 - S_2 = 57 - 8 = 49$ と完全一致！）

⚠️ 【超重要チェック：$n=1$ のとき成り立つか？】
$a_n = 4 \cdot 3^n - 6n^2 - 5$ に $n=1$ を代入すると、 $$4 \cdot 3^1 - 6(1)^2 - 5 = 12 - 6 - 5 = 1$$ となり、なんと初項 $a_1 = S_1 = 1$ とも完全に一致します！
したがって、すべての自然数 $n=1, 2, 3, \cdots$ に対して成り立つ正解は $$\text{① } a_n = 4 \cdot 3^n - 6n^2 - 5, \qquad \text{② } S_n = 2 \cdot 3^{n+1} - 2n^3 - 3n^2 - 6n - 6$$ となります！

いきなり $f(t) = \dfrac{t+2}{t^2+2t+2}$ を代入すると式が巨大化してしまいます。まずは $y_P = f(t)$ と置いたままで、面積 $S(t)$ を $t$ と $f(t)$ で表しましょう！

点 $\text{P}(t, f(t))$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足を $\text{H}(t, 0)$ とします。点 $\text{P}$ は $x>0$ の部分にあり、$t > 0$ のとき $$f(t) = \frac{t+2}{t^2+2t+2} > 0$$ です。原点 $\text{O}(0,0)$ と点 $\text{P}(t, f(t))$ を通る直線 $\ell_1$ の傾き $m_1$ は、 $$m_1 = \frac{f(t) - 0}{t - 0} = \frac{f(t)}{t}$$ 直線 $\ell_2$ はこの $\ell_1$ と直交するので、2直線の垂直条件（傾きの積が $-1$）より、$\ell_2$ の傾き $m_2$ は $$m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{t}{f(t)}$$ となります。したがって、点 $\text{P}(t, f(t))$ を通り傾きが $-\dfrac{t}{f(t)}$ である直線 $\ell_2$ の方程式は、 $$y - f(t) = -\frac{t}{f(t)}(x - t)$$ と表せます。

点 $\text{Q}$ は直線 $\ell_2$ と $x$ 軸（$y=0$）の交点です。上の $\ell_2$ の式に $y = 0$ を代入して $x$ について解きます： $$0 - f(t) = -\frac{t}{f(t)}(x - t)$$ 両辺に $-\dfrac{f(t)}{t}$ を掛けると、 $$x - t = \frac{\{f(t)\}^2}{t} \implies x = t + \frac{\{f(t)\}^2}{t}$$ よって、点 $\text{Q}$ の座標は $\left(t + \dfrac{\{f(t)\}^2}{t},\ 0\right)$ です。
$t > 0$ なので、この $x$ 座標は正です。つまり底辺 $\text{OQ}$ の長さはそのまま $t + \dfrac{\{f(t)\}^2}{t}$ となります！

三角形 $\text{OPQ}$ の底辺を $\text{OQ}$ とすると、高さは点 $\text{P}$ の $y$ 座標である $f(t)$ ですから、面積 $S(t)$ は $$\begin{aligned} S(t) &= \frac{1}{2} \times \text{OQ} \times f(t) \\ &= \frac{1}{2}\left(t + \frac{\{f(t)\}^2}{t}\right) f(t) \\ &= \frac{1}{2} t f(t) + \frac{\{f(t)\}^3}{2t} \end{aligned}$$ または通分して $$S(t) = \frac{f(t)\left[t^2 + \{f(t)\}^2\right]}{2t}$$ と表せます！すごくスッキリした形になりましたね！

最後に $f(t) = \dfrac{t+2}{t^2+2t+2}$ を代入します。そのまま項別に代入すると、 $$S(t) = \frac{t(t+2)}{2(t^2+2t+2)} + \frac{(t+2)^3}{2t(t^2+2t+2)^3}$$ となります（このまま解答欄に書いても正解ですし、1つの分数にまとめた形も計算しておきましょう）。
1つの分数に通分すると、分母は $2t(t^2+2t+2)^3$ となり、 $$S(t) = \frac{(t+2)\left\{t^2(t^2+2t+2)^2 + (t+2)^2\right\}}{2t(t^2+2t+2)^3}$$ となります。どちらの形で書いても満点です！

①で求めた式 $$S(t) = \frac{1}{2} t f(t) + \frac{\{f(t)\}^3}{2t} = \frac{t(t+2)}{2(t^2+2t+2)} + \frac{(t+2)^3}{2t(t^2+2t+2)^3}$$ について、$t \to \infty$ の極限を考えます。ここで各項の分母・分子の次数に注目して正確に極限を求めます。

第1項の分母・分子を $t^2$ で割ると、 $$\lim_{t \to \infty} \frac{t(t+2)}{2(t^2+2t+2)} = \lim_{t \to \infty} \frac{1 + \dfrac{2}{t}}{2\left(1 + \dfrac{2}{t} + \dfrac{2}{t^2}\right)} = \frac{1 + 0}{2(1 + 0 + 0)} = \frac{1}{2}$$ 次に、第2項 $\dfrac{(t+2)^3}{2t(t^2+2t+2)^3}$ は、分子が3次式、分母が $1 + 2 \times 3 = 7$ 次式なので、$t \to \infty$ のとき $$\lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{\dfrac{1}{t} + \dfrac{2}{t^2}}{1 + \dfrac{2}{t} + \dfrac{2}{t^2}} = 0$$ より、 $$\lim_{t \to \infty} \frac{\{f(t)\}^3}{2t} = 0$$ となります。したがって、求める極限値は $$\lim_{t \to \infty} S(t) = \frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2}$$ です！

使える数字は $\{0, 2, 4, 6, 8\}$ の5個です。
4桁で2000以上の整数を作るには、最高位（千の位）に $2, 4, 6, 8$ のいずれかが入ればよいですね（そもそも $0$ 以外の最小の数字が $2$ なので、千の位が $0$ でなければ自動的に2000以上になります）。

よって、積の法則より、 $$4 \times 4 \times 3 \times 2 = 4 \times {}_4\text{P}_3 = 4 \times 24 = \mathbf{96 \text{ 通り}}$$ となります。

4の倍数の判定法は「下2桁（十の位と一の位）が4の倍数であること」です。
$0, 2, 4, 6, 8$ の中から異なる2つの数字を並べて作れる4の倍数をすべて書き出しましょう。
このとき、千の位に $0$ は使えないため、「下2桁に $0$ を使った場合」と「下2桁に $0$ を使わなかった場合」で、残り2桁（千・百の位）の並べ方が変わります！だから最初から分けてリストアップするのがプロの技です。

ケースAとケースBを合わせて、4の倍数は全部で $$36 + 24 = \mathbf{60 \text{ 通り}}$$ となります！

6の倍数とは「2の倍数 かつ 3の倍数」のことです。
今回使える数字 $0, 2, 4, 6, 8$ はすべて偶数なので、一の位にどれが来ても必ず2の倍数になります。したがって、「4つの数字の和が3の倍数になる組み合わせ」を探すだけでOKです！

「5個の数字から4個を選ぶ」ということは、「5個の中から使わない数字を1個だけ除外する」ことと同じです！
5個すべての和を計算すると、 $$0 + 2 + 4 + 6 + 8 = 20$$ です。ここから1個だけ数字を引いて、残りの4個の和が3の倍数（$18, 15, 12$ など）になるものを調べましょう：

なんと、条件を満たす4個の数字の組は $\{0, 4, 6, 8\}$ と $\{0, 2, 4, 6\}$ の2組だけです！
どちらの組も「$0$ と、$0$ 以外の数字3個」からできているので、作れる4桁の整数の個数は同じです。
1つの組につき、千の位が $0$ 以外の $3$ 通り、百・十・一の位は残り3個の順列で $3! = 6$ 通りあるので、 $$3 \times 3! = 3 \times 6 = 18 \text{ 通り}$$ これが2組あるので、6の倍数は全部で $$18 \times 2 = \mathbf{36 \text{ 通り}}$$ となります！

12の倍数とは「3の倍数 かつ 4の倍数」のことです。
3の倍数になる数字の組は、③で調べた通り $\{0, 4, 6, 8\}$ と $\{0, 2, 4, 6\}$ の2組しかありません！
したがって、この2組それぞれについて、下2桁が4の倍数になるものが何通りあるかを数えれば完了です！

よって、組1と組2を合わせると、12の倍数は全部で $$14 + 10 = \mathbf{24 \text{ 通り}}$$ となります！

定義域は $x > 0$ です。$f(x) = (x-1)^2 + a \log x$ を $x$ で微分すると、 $$f'(x) = 2(x-1) + \frac{a}{x}$$ これを通分して1つの分数にまとめます： $$f'(x) = \frac{2x(x-1) + a}{x} = \frac{2x^2 - 2x + a}{x}$$

ここで、定義域 $x > 0$ において分母の $x$ は常に正（$x > 0$）です。
したがって、$f'(x)$ の符号（プラス・マイナス）は、分子の2次関数 $$g(x) = 2x^2 - 2x + a$$ の符号だけで完全に決まります！
関数 $f(x)$ が $x > 0$ で極値をもつとは、「$x > 0$ の範囲で $g(x)$ の符号が変化する（つまり $y=g(x)$ のグラフが $x$ 軸を横切る）点が存在すること」と同値です！

$g(x) = 0$ すなわち $2x^2 - 2x + a = 0$ を定数分離すると、考え方が劇的にわかりやすくなります！ $$2x^2 - 2x + a = 0 \iff a = -2x^2 + 2x$$ 右辺を $h(x) = -2x^2 + 2x$ とおき、平方完成すると $$h(x) = -2\left(x^2 - x\right) = -2\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}$$ となります。これは、頂点が $\left(\dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{2}\right)$ で上に凸の放物線です。
$x > 0$ の範囲において、放物線 $y = -2x^2 + 2x$ と水平な直線 $y = a$ がどのように交わるか（しかも接するのではなく「横断」するか）を図で見てみましょう！

上のグラフを見ると、$a$ の値によって $x > 0$ での交わり方（極値の個数）がどう変わるか一目瞭然ですね！上から順番に確認しましょう：

• ● $a > \dfrac{1}{2}$ のとき：
  直線 $y = a$ と放物線 $y = -2x^2 + 2x$ は共有点をもたない。よって極値は $0$ 個。
• ● $a = \dfrac{1}{2}$ のとき（要注意！）：
  直線 $y = \dfrac{1}{2}$ は頂点 $\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)$ で放物線に接するだけで、上下に横断しない（つまり $f'(x) = \dfrac{2\left(x-\frac{1}{2}\right)^2}{x} \geqq 0$ となり、$x = \dfrac{1}{2}$ の前後で $f'(x)$ の符号が $+$ から $+$ のままで変化しない）。よって極値は $0$ 個！
• ● $0 < a < \dfrac{1}{2}$ のとき：
  直線 $y = a$ は $x > 0$ の範囲で放物線を異なる2点で横断する（その前後で符号が変化する）。よって異なる極値を $2$ 個もつ！
• ● $a \leqq 0$ のとき（ここを見落とす人が続出！）：
  点 $(0, 0)$ は白丸（$x > 0$ の範囲外）ですが、右側（$x \geqq 1$ の部分）で直線 $y = a$ は放物線を必ず1回だけ横断します！（たとえば $a=0$ のときも $x=1$ で横断して極小値を1つもちます）。よって $x > 0$ で極値を $1$ 個もつ！

上の分類から、①と②の答えは次のように決まります！

【① $x > 0$ で少なくとも1つ極値をもつ条件】
極値を「2個もつ場合（$0 < a < \dfrac{1}{2}$）」と「1個もつ場合（$a \leqq 0$）」を合わせた範囲なので、$a = 0$ でつながって $$\mathbf{a < \frac{1}{2}}$$ となります！（※ $a = \dfrac{1}{2}$ にイコールをつけないこと！）

【② $x > 0$ で異なる2つの極値をもつ条件】
極値を2個もつ範囲なので、そのまま $$\mathbf{0 < a < \frac{1}{2}}$$ となります！