久留米大学 医学部 物理（2025年度）全問題・超図解解説

STEP 1角度 $\theta$ の場所を正確に確認し、垂直抗力 $N$ を分解する

上の断面図を見てください！斜面（円すい側面）が鉛直方向となす角が $\theta$ です。
垂直抗力 $N$ は「斜面に垂直な方向」にはたらくため、垂直抗力 $N$ が水平方向となす角が $\theta$ になります（※鉛直方向に対する斜面の傾き角 $=$ 水平方向に対する法線の傾き角）。
したがって、垂直抗力の大きさを $N$ とすると、各成分は次のようになります。

• 水平方向（中心軸に向かう向き）の成分：$N \cos\theta$
• 鉛直方向（鉛直上向き）の成分：$N \sin\theta$

STEP 2(1) 鉛直方向の力のつりあいから $N$ を求める

小球Aは「一定の高さを保って」水平面内で運動しているため、鉛直方向には動きません。よって鉛直方向の力はつりあっています。

両辺を $\sin\theta$ で割ると、垂直抗力の大きさ $N$ が求まります。

STEP 3(2) 水平方向の合力（＝向心力）を求める

小球Aにはたらく力は「重力 $mg$（鉛直下向き）」と「垂直抗力 $N$」の2つだけです。この2つの力の合力は、水平面上で円の中心（中心軸）に向かう成分 $N\cos\theta$ のみとなります。これが等速円運動の向心力 $F$ です！
(1) で求めた $N = \dfrac{mg}{\sin\theta}$ を代入すると、

STEP 4(3) 等速円運動の加速度の向きを選ぶ

運動方程式 $m\vec{a} = \vec{F}$ より、加速度 $\vec{a}$ の向きは、合力の向き（＝向心力の向き）と完全に一致します。
向心力は「小球Aのある水平面上で、小球Aから円の中心（中心軸）に向かう向き」にはたらいているので、選択肢の(カ)が正解です！（※「等速だから加速度はない(ケ)」と選ばないように注意！速さは一定でも速度の向きが常に変わっているので、中心向きの向心加速度をもっています。）

STEP 1(4) 円運動の運動方程式を立てて半径 $r$ を求める

小球Aの等速円運動の半径を $r$ とします。速さは問題文より $v_0$ ですから、等速円運動の加速度（向心加速度）の大きさは $a = \dfrac{v_0^2}{r}$ です。
円の中心向きを正として運動方程式 $ma = F$ を立て、(2) の向心力 $F = \dfrac{mg}{\tan\theta}$ を代入します。

両辺を $m$ で割り、$r$ について解きます。

STEP 2(5) 円周の長さを速さ $v_0$ で割って周期 $T$ を求める

周期 $T$ とは「半径 $r$ の円周（長さ $2\pi r$）を速さ $v_0$ で1周するのにかかる時間」です。したがって、$T = \dfrac{2\pi r}{v_0}$ に (4) の $r$ を代入します。

STEP 1円すい面内の等速円運動における「高さ $h$」と「速さ $v$」の黄金関係を導く！

まず、一般の質量 $M$ の小球が、円すい内面の高さ $h$ の位置で速さ $v$ の等速円運動をしているときの関係式を作っておくと、(6)も(7)も一瞬で解けます！
断面図の直角三角形（頂点O、高さ $h$、半径 $r$、頂角 $\theta$）に注目すると、

一方、(4) と全く同じ運動方程式 $M\dfrac{v^2}{r} = \dfrac{Mg}{\tan\theta}$ より、質量 $M$ に関係なく

が成り立ちます。この2つの式の右辺どうしを等しいとおくと、なんと $\tan\theta$ が消えて次の超スッキリした黄金関係が得られます！

STEP 2(6) 小球Bの運動エネルギー $K_{\text{B}}$ を求める

まず、基準となる小球A（質量 $m$、速さ $v_0$、高さを $h_{\text{A}}$ とする）について、上の関係式 $gh_{\text{A}} = v_0^2$ より、小球Aの位置エネルギー $U_{\text{A}}$ は

問題文より、小球B（質量 $m$）の位置エネルギー $U_{\text{B}}$ は $U_{\text{A}}$ の2倍なので、

そしてSTEP 1で確認した通り、等速円運動をしているとき「運動エネルギー $K$ は位置エネルギー $U$ のちょうど半分 $\left(K = \dfrac{1}{2}U\right)$」になります！（実際に、小球Bの高さを $h_{\text{B}}$、速さを $v_{\text{B}}$ とすると、$gh_{\text{B}} = v_{\text{B}}^2$ より $K_{\text{B}} = \dfrac{1}{2}mv_{\text{B}}^2 = \dfrac{1}{2}mgh_{\text{B}} = \dfrac{1}{2}U_{\text{B}}$ です。）
したがって、小球Bの運動エネルギー $K_{\text{B}}$ は、

STEP 3(7) 小球Cの高さ $h_{\text{C}}$ を求める

まず、小球Aの力学的エネルギー $E_{\text{A}}$ を求めます。$U_{\text{A}} = mv_0^2$、$K_{\text{A}} = \dfrac{1}{2}mv_0^2$ なので、

次に、質量 $2m$ の小球Cが高さ $h_{\text{C}}$、速さ $v_{\text{C}}$ で等速円運動しているときの力学的エネルギー $E_{\text{C}}$ を、高さ $h_{\text{C}}$ を用いて表します。
黄金関係 $v_{\text{C}}^2 = gh_{\text{C}}$ を使うと、

• 小球Cの位置エネルギー：$U_{\text{C}} = (2m)gh_{\text{C}} = 2mgh_{\text{C}}$
• 小球Cの運動エネルギー：$K_{\text{C}} = \dfrac{1}{2}(2m)v_{\text{C}}^2 = mv_{\text{C}}^2 = mgh_{\text{C}}$

よって、小球Cの力学的エネルギー $E_{\text{C}}$ は、

問題文より「$E_{\text{C}}$ は $E_{\text{A}}$ の16倍」なので、$E_{\text{C}} = 16E_{\text{A}}$ を立てます。

両辺を $3mg$ で割ると、小球Cの高さ $h_{\text{C}}$ が求まります！

STEP 1(8) 力学的エネルギー保存則から点Fでの速さを求める

円すいの内面はなめらか（摩擦なし）なので、小球Dが内面から受ける垂直抗力は常に小球Dの運動方向と垂直であり、仕事をしません。
したがって、小球Dの力学的エネルギーは保存されます！
小球Dの質量を $m_{\text{D}}$、点Fでの速さを $v_2$ とすると、点E（高さ $h_1$、速さ $v_1$）と点F（高さ $h_2$、速さ $v_2$）の間で力学的エネルギー保存則を立てます。

両辺を $\dfrac{1}{2}m_{\text{D}}$ で割ると、

$v_2 > 0$ より、平方根をとって点Fでの速さが求まります。

STEP 2(9) $h_1 v_1 = h_2 v_2$ と力学的エネルギー保存則を連立して $v_1^2$ を求める

（※背景知識：点Eと点Fでは小球の速度が水平方向を向いているため、中心軸まわりの角運動量保存則・面積速度一定の法則 $r_1 v_1 = r_2 v_2$ が成り立ち、$r = h\tan\theta$ より $h_1 v_1 = h_2 v_2$ となります。問題文にこの式が書いてあるのでそのまま使えばOKです！）
まず、$h_1 v_1 = h_2 v_2$ より $v_2$ を $v_1$ で表します。

これを、STEP 1で導いたエネルギー保存則の式 $v_2^2 - v_1^2 = 2g(h_1 - h_2)$ に代入します！

左辺を $v_1^2$ でくくり、通分して因数分解します。

図1-2より点Eと点Fの高さは異なる（$h_1 \neq h_2$、すなわち $h_1 - h_2 \neq 0$）ので、両辺を $(h_1 - h_2)$ で割ることができます！

STEP 3(10) 条件「点Eで $U_{\text{E}} = 6K_{\text{E}}$」からE点の高さ $h_1$ とF点の高さ $h_2$ を求める

まず、E点での高さを $h_1$、F点での高さを $h_2$ とおきます。
問題文より「E点では重力による位置エネルギー $m_{\text{D}}gh_1$ は運動エネルギー $\dfrac{1}{2}m_{\text{D}}v_1^2$ の6倍であった」とあるので、そのまま式にします！

これでE点の高さ $h_1 = \dfrac{3v_1^2}{g}$ が一瞬で求まりました！
次に、F点の高さ $h_2$ を求めます。(9) で導いた関係式

に、いま求めた $v_1^2 = \dfrac{1}{3}gh_1$ を代入して、$h_2$ と $h_1$ の比を求めましょう！（もちろん $h_1 = \dfrac{3v_1^2}{g}$ を代入しても同じです。）

両辺を $g$ で割り、分母を払って整理します。

左辺をたすき掛けで因数分解すると、

高さは正（$h_1 > 0, h_2 > 0$）なので $3h_2 + h_1 > 0$ です。よって $2h_2 - h_1 = 0$、すなわち

ここに $h_1 = \dfrac{3v_1^2}{g}$ を代入……
ここで最大の注意点を確認しましょう！もし $h_2 = \dfrac{1}{2}h_1$ に $h_1 = \dfrac{3v_1^2}{g}$ を代入すると $h_2 = \dfrac{3v_1^2}{2g}$ になりますが、念のため方程式の係数をもう一度丁寧に見直してみましょう！

STEP 1(1) 理想気体の状態方程式を立てる

初めの状態では、風船内の圧力は地表の外気圧と同じ $P_0$、体積は $V$、物質量は $n_0$、絶対温度は $T_0$ です。理想気体の状態方程式より、直ちに次式が成り立ちます。

STEP 2(2) 初めの風船内の空気の密度 $\rho_0$ を求める

密度とは「単位体積（$1\text{ m}^3$）あたりの質量」、すなわち $\text{密度} = \dfrac{\text{風船内の空気の質量}}{\text{風船の体積 } V}$ です。
空気 $1\text{ mol}$ あたりの質量（モル質量）が $m$ であり、風船内に $n_0\text{ [mol]}$ の空気が入っているので、風船内の空気の総質量は $n_0 m$ です。
したがって、初めの密度 $\rho_0$ は、

ここで、(1) の状態方程式 $P_0 V = n_0 R T_0$ より $\dfrac{n_0}{V} = \dfrac{P_0}{R T_0}$ ですから、これを代入すると、

STEP 3(3) 加熱したときの風船内の物質量 $n$ の変化

風船の下部には開口部があるため、加熱しても風船内の圧力は $P_0$ で一定であり、風船の体積も $V$ で一定です。
温度を $T$ にしたときの物質量を $n$ とすると、状態方程式は $P_0 V = n R T$ となります。
左辺の $P_0 V$ が一定で気体定数 $R$ も一定なので、

となり、物質量 $n$ は絶対温度 $T$ に反比例します。したがって、加熱して温度 $T$ が高くなると、膨張した空気が開口部から外へ出ていくため、風船内の物質量は小さくなることがわかります。

STEP 4(4) 温度 $T$ に加熱したときの風船内の密度 $\rho$ を求める

(2) と全く同じように考えると、圧力 $P_0$ のもとで温度が $T$ になったときの密度 $\rho$ は、

です。これを初めの密度 $\rho_0 = \dfrac{m P_0}{R T_0}$ と比較すると、圧力 $P_0$ が一定のとき密度 $\rho$ は絶対温度 $T$ に反比例します（$\rho T = \rho_0 T_0 = \dfrac{mP_0}{R} = \text{一定}$）。よって、

STEP 1(5) 地面を離れる瞬間の力のつりあいから浮力を求める（※指定文字に超注意！）

アルキメデスの原理より、本来「気球にかかる浮力の大きさ $F_{\text{浮}}$」は、周囲の外気（地表なので密度は $\rho_0$）が押しのけられた重さに等しく、$F_{\text{浮}} = \rho_0 V g$ です。
しかし！！問題文(5)の指定文字を見てください！
「$\boldsymbol{\rho_1}$，$V$，$M_1$，$g$ を用いて表せ」（※ $\rho_0$ は指定文字に入っていません！）と書かれています！
そこで、「気球が地面を離れて上昇を始める瞬間（垂直抗力がちょうど $0$ になった瞬間）の力のつりあい」を使います。
このとき、気球全体（風船内の空気 ＋ 気球本体とおもり）にはたらく力は、

• 鉛直上向きの力：気球にかかる浮力 $F_{\text{浮}}$
• 鉛直下向きの力：風船内の空気にはたらく重力 $\rho_1 V g$ ＋ 風船部の空気を除いた気球（おもり含む）にはたらく重力 $M_1 g$

上昇を始める瞬間、これらがつりあっているので、

これで、指定された文字（$\rho_1, V, M_1, g$）だけで浮力の大きさを表すことができました！

STEP 2(6) 浮力 $F_{\text{浮}} = \rho_0 V g$ と結びつけて温度 $T_1$ を求める

一方、地表付近の外気は圧力 $P_0$、温度 $T_0$ なので、外気の密度は初めの風船内の密度と同じ $\rho_0$ です。
アルキメデスの原理より、体積 $V$ の風船部が密度 $\rho_0$ の外気から受ける浮力の大きさは

です。これを (5) のつりあいの式 $F_{\text{浮}} = (\rho_1 V + M_1)g$ に代入すると、

さらに、(4) の結果より、温度 $T_1$ のときの風船内の密度 $\rho_1$ は $\rho_1 = \dfrac{T_0}{T_1}\rho_0$ です。これを①式に代入して $T_1$ について解きます！

STEP 1(7) $\dfrac{T_1 - T_0}{T_1}$ を計算する

(6) の途中で登場した式 $\rho_0 V - M_1 = \rho_0 V \dfrac{T_0}{T_1}$ を使うと1行で出ます！（もちろん (6) の答えを代入してもOKです。）
まず、求める式を割り算の形に分解すると、

ここで、$\rho_0 V \dfrac{T_0}{T_1} = \rho_0 V - M_1$ の両辺を $\rho_0 V$ で割ると、

したがって、

STEP 2(8) 気球が止まった高さでの力のつりあいから密度差 $\rho_{\text{h}} - \rho_2$ を求める

気球が止まった高さでは、風船外部の空気の密度が $\rho_{\text{h}}$、風船内部の空気の密度が $\rho_2$、気球本体の質量が $M_2$ です。
この高さで気球が静止しているので、鉛直方向の力のつりあいの式「（外気からの浮力）$=$（内気の重力）$+$（気球本体の重力）」を立てます！

両辺を $g$ で割り、$\rho_2 V$ を左辺に移項します。

これが、気球が止まった高さでの風船内外の密度差の大きさです！

STEP 3(9) 止まった高さでの内外の密度の比 $\dfrac{\rho_{\text{h}}}{\rho_2}$ を求める

気球が止まった高さでの外気の圧力を $P_{\text{h}}$ とします。開口部があるため、風船内部の圧力も外部と同じ $P_{\text{h}}$ です。
また、問題文より「外気の温度は高度によらずに $T_0$ で一定」であり、「風船内部の温度は $T_1$ で固定」されています。
同じ圧力 $P_{\text{h}}$、同じ体積 $V$ の領域を考えると、(2)・(4) と同様に「密度は絶対温度に反比例する」ため、

• 外部の空気（圧力 $P_{\text{h}}$、温度 $T_0$）の密度：$\rho_{\text{h}} = \dfrac{m P_{\text{h}}}{R T_0}$
• 内部の空気（圧力 $P_{\text{h}}$、温度 $T_1$）の密度：$\rho_2 = \dfrac{m P_{\text{h}}}{R T_1}$

この2式の比をとると、共通の $\dfrac{m P_{\text{h}}}{R}$ が約分されて消えます！

STEP 4(10) (7)・(8)・(9) を連立して $\rho_2$ を指定文字で表す

この大問のクライマックスです！使いたい文字は $\rho_0, M_1, M_2, T_0, T_1$ です（体積 $V$ と外部密度 $\rho_{\text{h}}$ を消去します！）。
まず、(9) の式より $\rho_{\text{h}}$ を $\rho_2$ で表します。

これを (8) の式 $\rho_{\text{h}} - \rho_2 = \dfrac{M_2}{V}$ に代入して $\rho_{\text{h}}$ を消去します。

次に、②式の右辺にある体積 $V$ を消去するために、(7) の結果 $\dfrac{T_1 - T_0}{T_1} = \dfrac{M_1}{\rho_0 V}$ から $\dfrac{1}{V}$ を求めます。

これを②式の右辺に代入します！

なんと、両辺の分子にある $(T_1 - T_0)$ がきれいに約分されて消えます！
両辺を $\dfrac{T_0}{T_1 - T_0}$ 倍すると、求める密度 $\rho_2$ が鮮やかに得られます！

STEP 1(1) スイッチが開いているときの端子電圧 $V$

電池に流れる電流を $I$ とすると、電池の両端の電圧（端子電圧 $V$）は、起電力 $E$ から内部抵抗 $r$ での電圧降下 $Ir$ を引いた値になります：

スイッチが開いているときは回路に電流が流れない（$I = 0$）ため、内部抵抗での電圧降下は $0$ です。よって、端子電圧は起電力そのままの $E$ となります。

STEP 2(2)・(3) スイッチが閉じているときの電流 $I$ と端子電圧 $V$

スイッチが閉じているとき、回路に流れる電流を $I$ とします。キルヒホッフの第二法則（閉回路の起電力 $=$ 電圧降下の和）より、

これより、(3) の抵抗Rに流れる電流 $I$ は、

また、(2) の電池の端子電圧 $V$ は、抵抗Rの両端にかかる電圧 $RI$ に等しい（または $V = E - Ir$ に代入する）ので、

STEP 3(4) 抵抗Rで消費される電力 $P$

抵抗Rにかかる電圧が $V = \dfrac{R}{R+r}E$、流れる電流が $I = \dfrac{E}{R+r}$ なので、消費電力 $P = IV = RI^2$ より、

STEP 4(5) 消費電力 $P$ が最大になるときの $R$（相加・相乗平均の黄金変形！）

(4) で求めた消費電力 $P = \dfrac{RE^2}{(R + r)^2}$ において、変数 $R$ が分子にも分母にも入っています。
そこで、分母の $(R + r)^2$ を展開して、分母・分子を $R$（$>0$）で割るのが定石です！

分子の $E^2$ は一定なので、分母が最小になるときに消費電力 $P$ は最大になります。
ここで、$R > 0, \dfrac{r^2}{R} > 0$ より、相加平均と相乗平均の大小関係を適用すると、

等号が成立するのは、

のときです！したがって、$R = r$ のときに分母は最小値 $2r + 2r = 4r$ をとり、消費電力 $P$ は最大値 $P_{\text{max}} = \dfrac{E^2}{4r}$ となります。

STEP 1(6) 端子電圧の式 $V = E - rI$ に2組の測定値を代入して $r$ と $E$ を求める

電池の端子電圧 $V$ と電流 $I$ の関係式 $V = E - rI$ に、与えられた2つの測定データを代入します。

• $I = 0.20\text{ A},\ V = 1.50\text{ V}$ のとき：$1.50 = E - 0.20r \quad \cdots \text{①}$
• $I = 0.60\text{ A},\ V = 1.30\text{ V}$ のとき：$1.30 = E - 0.60r \quad \cdots \text{②}$

① $-$ ② を計算して $E$ を消去します。

また、これを①式に代入すると、電池の起電力 $E$ も求まります。

有効数字を確認すると、電流 $0.20\text{ A}, 0.60\text{ A}$ が有効数字2桁、電圧 $1.50\text{ V}, 1.30\text{ V}$ が有効数字3桁なので、内部抵抗は有効数字2桁で $0.50\text{ }\Omega$ と答えます。

STEP 2(7) 電流 $I = 1.20\text{ A}$ のときの端子電圧 $V$ と消費電力 $P$ を求める

STEP 1より、この電池の端子電圧の式は

です。ここに $I = 1.20\text{ A}$ を代入すると、このときの端子電圧（＝抵抗Rの両端にかかる電圧）$V$ は、

となります！抵抗Rには電圧 $V = 1.00\text{ V}$ がかかり、電流 $I = 1.20\text{ A}$ が流れているので、抵抗Rでの消費電力 $P$ は、

※問題文の最初の測定値に $0.20\text{ A}$ などの2桁が含まれる一方、(7)単体の数値は $1.20\text{ A}$（3桁）、(8)も $1.00\text{ }\Omega$（3桁）で与えられているため、有効数字2桁（$1.2\text{ W}$）または3桁（$1.20\text{ W}$）のどちらでも正解となります。両方併記しておきます。

STEP 3(8) 並列回路の合成抵抗（または分流）から $R_1$ を求める

【解き方A：電流の分流で一瞬で解く方法（超おすすめ！）】
(7) の状態では、並列部分（$1.00\text{ }\Omega$ の抵抗と $R_1\text{ }[\Omega]$ の抵抗）の両端に、共通の端子電圧 $V = 1.00\text{ V}$ がかかっています！
したがって、$1.00\text{ }\Omega$ の抵抗に流れる電流 $I_0$ は、オームの法則より

全体の電流が $I = 1.20\text{ A}$ なので、もう一方の抵抗 $R_1$ に流れる電流 $I_1$ は、

電圧 $1.00\text{ V}$ がかかって $0.20\text{ A}$ の電流が流れているので、抵抗値 $R_1$ は、

【解き方B：合成抵抗の公式から解く方法】
(7) での抵抗Rの合成抵抗値は $R = \dfrac{V}{I} = \dfrac{1.00}{1.20} = \dfrac{5}{6}\text{ }[\Omega]$ です。
並列の合成抵抗の式 $\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{1.00} + \dfrac{1}{R_1}$ に代入すると、

（※注意！問題文の最後に「数値には単位をつけて答えよ」と指示があり、(8)の設問文には「$R_1\text{ }[\Omega]$ の抵抗が…… $R_1$ の値はいくらか」と書かれています。念のため $5.0\text{ }\Omega$ のように必ず単位 $\Omega$ をつけて解答しましょう！）