帝京大学 医学部 物理（2009年度）全問題・超図解解説

【設問 (1)】糸の張力 $T$ を求める

小球は同じ高さの水平面内を動いているので、鉛直方向（上下方向）にはまったく動きません。
したがって、鉛直方向の力はつりあっています。図1のように、糸の張力を $T$ とおいて鉛直成分と水平成分に分解しましょう。

• 張力 $T$ の鉛直上向き成分：$T\cos\theta$
• 張力 $T$ の水平（円の中心向き）成分：$T\sin\theta$

鉛直方向の力のつりあい（上向きの力 ＝ 下向きの力）より、 $$T\cos\theta = mg$$ 両辺を $\cos\theta$ で割ると、糸の張力 $T$ が求まります！ $$T = \frac{mg}{\cos\theta}$$

【設問 (2)・(3)】円運動の周期と小球の速さを求める

次に、水平方向の運動に注目します。まず、図1の直角三角形から円運動の半径 $r$ を求めると、斜辺が糸の長さ $l$ なので、 $$r = l\sin\theta$$ となります。小球の速さを $v$ とすると、円の中心向きの加速度（向心加速度）は $\dfrac{v^2}{r}$ です。
円の中心に向かってはたらく力（向心力）は、張力の水平成分 $T\sin\theta$ ですから、円運動の運動方程式を立てると、 $$m\frac{v^2}{r} = T\sin\theta$$ ここに $r = l\sin\theta$ と、(1)で求めた $T = \dfrac{mg}{\cos\theta}$ を代入します。 $$m\frac{v^2}{l\sin\theta} = \left(\frac{mg}{\cos\theta}\right)\sin\theta$$ 両辺を $m$ で割り、分母の $l\sin\theta$ を右辺に掛けると、 $$v^2 = \frac{gl\sin^2\theta}{\cos\theta}$$ $0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$ より $\sin\theta > 0$ なので、平方根をとると(3) 小球の速さ $v$ が得られます！ $$v = \sin\theta\sqrt{\frac{gl}{\cos\theta}}$$

さらに、(2) 円運動の周期（1周にかかる時間）を $T_0$ とすると、「周期 ＝ 円周の長さ $2\pi r$ $\div$ 速さ $v$」なので、 $$T_0 = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi l\sin\theta}{\sin\theta\sqrt{\dfrac{gl}{\cos\theta}}}$$ 分子と分母の $\sin\theta$ がきれいに約分されて消え、$l$ をルートの中に入れると、 $$T_0 = 2\pi \frac{l}{\sqrt{\dfrac{gl}{\cos\theta}}} = 2\pi\sqrt{\frac{l^2 \cos\theta}{gl}} = 2\pi\sqrt{\frac{l\cos\theta}{g}}$$

【設問 (4)】糸が切れてから床に落ちるまでの時間 $t$

円運動している途中で突然糸が切れると、小球はその瞬間の速度（水平方向・速さ $v$）を持ったまま、重力だけを受けて飛び出します。つまり、高さ $h$ からの水平投射になります！
鉛直方向だけを見ると、初速度 $0$ の自由落下とまったく同じです。落ちるまでの時間を $t$ とすると、鉛直方向の落下の式より、 $$h = \frac{1}{2}gt^2$$ これを $t\,(>0)$ について解くと、 $$t^2 = \frac{2h}{g} \quad \Longrightarrow \quad t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$$

【設問 (5)】床の上の点 $\text{A}$ と落下点 $\text{B}$ の距離 $\text{AB}$

ここが一番の注意点です！「円の中心からの距離 $r$ に水平移動距離 $x = vt$ を単純に足し算」してはいけません！
図2（真上から見た平面図）を見てください。小球は糸が切れた瞬間、円の接線方向（半径と $90^\circ$ 直角をなす方向）に向かって等速直線運動をします。
まず、糸が切れてから床に落ちるまでの時間 $t$ の間に、水平方向に進む距離 $x$ は、 $$x = vt = \left(\sin\theta\sqrt{\frac{gl}{\cos\theta}}\right) \cdot \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sin\theta\sqrt{\frac{2ghl}{g\cos\theta}} = \sin\theta\sqrt{\frac{2hl}{\cos\theta}}$$ 図2の直角三角形において、円の中心 $\text{A}$ から糸が切れた位置の真下までの距離は半径 $r = l\sin\theta$、そこから直角方向に進んだ距離が $x$ です。
したがって、三平方の定理（ピタゴラスの定理）より、距離 $\text{AB}$ は、 $$\text{AB} = \sqrt{r^2 + x^2} = \sqrt{(l\sin\theta)^2 + \left(\sin\theta\sqrt{\frac{2hl}{\cos\theta}}\right)^2}$$ ルートの中の2つの項を整理しましょう： $$\text{AB} = \sqrt{l^2\sin^2\theta + \sin^2\theta \cdot \frac{2hl}{\cos\theta}}$$ 共通因数である $l^2\sin^2\theta$ でルートの中をくくり出すと、選択肢の形にぴったり変形できます！ $$\text{AB} = \sqrt{l^2\sin^2\theta \left(1 + \frac{2hl}{l^2\cos\theta}\right)} = l\sin\theta\sqrt{1 + \frac{2h}{l\cos\theta}}$$

【設問 (1)】小球の運動方程式を立てる

まず、半径 $R$ の小球の体積 $V$ と質量 $M$ を求めます。 $$V = \frac{4}{3}\pi R^3, \qquad M = \text{密度}\times\text{体積} = dV = \frac{4}{3}\pi R^3 d$$ 次に、鉛直下向き（$x$ 軸の正の向き）を正として、小球にはたらく3つの力を整理しましょう。

• 重力（下向き・正）：$Mg = \dfrac{4}{3}\pi R^3 dg$
• 浮力（上向き・負）：アルキメデスの原理より「押しのけた水の重さ」に等しいので、$-V d_0 g = -\dfrac{4}{3}\pi R^3 d_0 g$
• 水による抵抗力（上向き・負）：問題文より $f = -6\pi nRv$

よって、運動方程式 $Ma = (\text{合力の } x\text{ 成分})$ を立てると、 $$\frac{4}{3}\pi R^3 d a = \frac{4}{3}\pi R^3 dg - \frac{4}{3}\pi R^3 d_0 g - 6\pi nRv$$ 右辺の重力と浮力をまとめても、そのまま書いても正解です！

【設問 (2)】粘性係数 $n$ の単位を $\text{kg},\,\text{m},\,\text{s}$ で表す

抵抗力の式 $|f| = 6\pi nRv$ について、両辺の単位を比較しましょう（数値の $6\pi$ には単位はありません）。

• 力 $f$ の単位：運動方程式 $F = ma$ より $[\text{N}] = [\text{kg}\cdot\text{m}/\text{s}^2]$
• 半径 $R$ の単位：$[\text{m}]$
• 速度 $v$ の単位：$[\text{m}/\text{s}]$

これらを $n = \dfrac{|f|}{6\pi Rv}$ の関係にあてはめると、$n$ の単位 $[n]$ は、 $$[n] = \frac{\text{kg}\cdot\text{m}/\text{s}^2}{\text{m}\cdot(\text{m}/\text{s})} = \frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{s}^2} \times \frac{\text{s}}{\text{m}^2} = \frac{\text{kg}}{\text{m}\cdot\text{s}}$$

【設問 (3)】十分に時間が経過した後の終端沈降速度 $v_f$

十分に時間が経過して等速度運動になると、加速度 $a = 0$（力のつりあい）となります。
(1)の運動方程式において $a = 0$ とおくと、そのときの終端沈降速度 $v_f$ は、 $$0 = \frac{4}{3}\pi R^3 (d - d_0)g - 6\pi nRv_f$$ $$6\pi nRv_f = \frac{4}{3}\pi R^3 (d - d_0)g$$ 両辺を $6\pi nR$ で割ると、$\pi$ が消え、$R^3 \div R = R^2$、係数は $\dfrac{4}{3}\div 6 = \dfrac{2}{9}$ となるので、 $$v_f = \frac{2(d - d_0)R^2 g}{9n}$$

【設問 (4)】$d,\,n,\,R$ を組み合わせて時間の単位をもつ量をつくる

【解法1：単位（次元解析）から求める王道ルート】
それぞれの物理量の単位を確認しましょう。

• 密度 $d$ の単位：$[\text{kg}/\text{m}^3]$
• 粘性係数 $n$ の単位：$[\text{kg}/(\text{m}\cdot\text{s})]$ （(2)の結果！）
• 半径 $R$ の単位：$[\text{m}]$

求めたいのは時間の単位 $[\text{s}]$ です。$\text{s}$ は粘性係数 $n$ の分母にしか入っていないので、$n$ で割れば $\text{s}$ が分子に出てきます！
そこでまず $\dfrac{d}{n}$ の単位を計算してみると、 $$\left[\frac{d}{n}\right] = \frac{\text{kg}/\text{m}^3}{\text{kg}/(\text{m}\cdot\text{s})} = \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \times \frac{\text{m}\cdot\text{s}}{\text{kg}} = \frac{\text{s}}{\text{m}^2}$$ 分母に残っている $\text{m}^2$ を消すには、半径 $R\,\,[\text{m}]$ の2乗である $R^2\,\,[\text{m}^2]$ を掛ければバッチリ $[\text{s}]$ になります！ $$\left[\frac{dR^2}{n}\right] = \frac{\text{s}}{\text{m}^2} \times \text{m}^2 = \text{s}$$

【設問 (1)】$\text{AB}$ 間に流れる電流 $I$

電圧計と倍率器は直列につながれているため、$\text{AB}$ 間を流れる電流 $I$ はそのまま電圧計（内部抵抗 $r$）を流れます。
いま、内部抵抗 $r$ の電圧計の両端に電圧 $v$ がかかっているので、オームの法則より、 $$I = \frac{v}{r}$$

【設問 (2)】倍率器の両端にかかる電圧 $V_R$（$R$ および $r$ を含む式）

抵抗 $R$ の倍率器にも、(1)で求めた同じ電流 $I = \dfrac{v}{r}$ が流れます。
したがって、オームの法則（電圧 ＝ 抵抗 $\times$ 電流）より、倍率器の両端にかかる電圧 $V_R$ は、 $$V_R = R I = R \cdot \frac{v}{r} = \frac{R}{r}v$$ （※問題文に「$R$ および $r$ を含む式で表せ」とあるので、$V - v$ ではなく必ず $\dfrac{R}{r}v$ と答えます！）

【設問 (3)】$V$ および $v$ を含む式で $R$ を表す

$\text{AB}$ 間全体の電圧 $V$ は、「電圧計の電圧 $v$」と「倍率器の電圧 $V_R$」の和に等しいので、 $$V = v + V_R = v + \frac{R}{r}v$$ これを $R$ について解きます。まず $v$ を左辺に移項して、 $$\frac{R}{r}v = V - v$$ 両辺を $v$ で割り、さらに $r$ を掛けると、 $$R = \frac{V - v}{v}r = \left(\frac{V}{v} - 1\right)r$$

【設問 (4)】$V/v = n$ として、$n$ を含む式で $R$ を表す

(3)で求めた式 $R = \left(\dfrac{V}{v} - 1\right)r$ の $\dfrac{V}{v}$ に $n$ をそのまま代入するだけです！ $$R = (n - 1)r$$ ★物理的意味：測定できる最大電圧を $n$ 倍にしたければ、電圧計の内部抵抗 $r$ の $(n-1)$ 倍の抵抗を直列につなげばよい（全体の合成抵抗が $r + (n-1)r = nr$ で $n$ 倍になるため）という重要公式です！

【設問 (5)】$V = 100\,\text{V},\,v = 10\,\text{V},\,r = 10\,\text{k}\Omega$ のときの $R$

まず倍率 $n = \dfrac{V}{v}$ を計算すると、 $$n = \frac{100\,\text{V}}{10\,\text{V}} = 10$$ これを(4)の式 $R = (n - 1)r$ に代入すると、 $$R = (10 - 1) \times 10\,\text{k}\Omega = 9 \times 10\,\text{k}\Omega = 90\,\text{k}\Omega$$

【設問 (1)】ピストンが $l_1$ 移動したときの理想気体の圧力 $p_1$

まず、ばねの縮みを確認しましょう。問題文より「ばねの自然の長さは容器の長さに等しい」ので、ピストンが容器の左端にあるとき（$l = 0$ のとき）ばねはちょうど自然長です。
したがって、ピストンが左端から右側に $l_1\,\,[\text{m}]$ 移動したとき、ばねは自然長からちょうど $l_1\,\,[\text{m}]$ 縮んでいます！
このときの気体の圧力を $p_1\,\,[\text{Pa}]$ とすると、断面積 $S\,\,[\text{m}^2]$ のピストンにはたらく水平方向の力は以下の3つです（図1参照）：

• 左側から理想気体が右向きに押す力：$p_1 S\,\,[\text{N}]$
• 右側から大気が左向きに押す力：$p_0 S\,\,[\text{N}]$
• 縮んだばねが左向きに押し返す弾性力：$kl_1\,\,[\text{N}]$

ピストンの力のつりあい（右向きの力 ＝ 左向きの力の和）より、 $$p_1 S = p_0 S + kl_1$$ 両辺を断面積 $S$ で割ると、理想気体の圧力 $p_1$ が求まります！ $$p_1 = p_0 + \frac{kl_1}{S}\,\,[\text{Pa}]$$

【設問 (2)】このときの理想気体の絶対温度 $T_1$

ピストン左側の気体の体積 $V_1$ は、断面積 $S \times$ 長さ $l_1$ より $V_1 = Sl_1\,\,[\text{m}^3]$ です。
また、封入されている気体の物質量は $n = 1\,\text{mol}$ ですから、理想気体の状態方程式 $p_1 V_1 = nRT_1$ に $n = 1$、(1)の $p_1 = p_0 + \dfrac{kl_1}{S}$、および $V_1 = Sl_1$ を代入すると、 $$\left(p_0 + \frac{kl_1}{S}\right) \cdot Sl_1 = 1 \cdot R T_1$$ 左辺のカッコに $S$ を掛け入れて展開すると、 $$(p_0 S + kl_1)l_1 = RT_1$$ 両辺を気体定数 $R$ で割ると、絶対温度 $T_1$ が求まります！ $$T_1 = \frac{l_1(p_0 S + kl_1)}{R} = \frac{p_0 S l_1 + kl_1^2}{R}\,\,[\text{K}]$$

【設問 (3)】理想気体がばねと大気に対してした仕事 $W$

ピストンが $l_1$ から $l_2$ まで移動するとき、理想気体が外部（大気とばね）にした仕事 $W$ は、「大気に対してした仕事 $W_{\text{大気}}$」と「ばねに対してした仕事（＝ばねの弾性エネルギーの増加量）$W_{\text{ばね}}$」の和になります！

• 大気に対してした仕事 $W_{\text{大気}}$：
  一定の力 $p_0 S$ に逆らって距離 $(l_2 - l_1)$ だけ押したので、 $$W_{\text{大気}} = p_0 S (l_2 - l_1)$$
• ばねに対してした仕事 $W_{\text{ばね}}$：
  ばねの縮みが $l_1$ から $l_2$ になったので、ばねに蓄えられる弾性エネルギーの増加分に等しく、 $$W_{\text{ばね}} = \frac{1}{2}kl_2^2 - \frac{1}{2}kl_1^2 = \frac{1}{2}k(l_2^2 - l_1^2)$$

この2つを足し合わせると、求める仕事 $W$ が得られます！ $$W = p_0 S(l_2 - l_1) + \frac{1}{2}k(l_2^2 - l_1^2)\,\,[\text{J}]$$ （※図2のように、$p$-$V$ グラフの台形の面積 $W = \dfrac{p_1 + p_2}{2}(V_2 - V_1) = \dfrac{1}{2}\left\{\left(p_0 + \dfrac{kl_1}{S}\right) + \left(p_0 + \dfrac{kl_2}{S}\right)\right\}S(l_2 - l_1)$ を計算してもまったく同じ式になります！）

【設問 (4)】理想気体の内部エネルギーの増加 $\Delta U$

ピストンの移動距離が $l_2$ になったときの気体の圧力を $p_2$、体積を $V_2 = Sl_2$、絶対温度を $T_2$ とすると、(1)・(2)とまったく同じ手順で、 $$p_2 = p_0 + \frac{kl_2}{S}, \qquad RT_2 = p_2 V_2 = p_0 S l_2 + kl_2^2$$ となります。問題文より、絶対温度 $T$ の理想気体 $1\,\text{mol}$ の内部エネルギーは $U = \dfrac{3}{2}RT$ なので、内部エネルギーの増加量 $\Delta U$ は、 $$\Delta U = \frac{3}{2}RT_2 - \frac{3}{2}RT_1 = \frac{3}{2}\left(RT_2 - RT_1\right)$$ ここに $RT_2 = p_0 S l_2 + kl_2^2$ と $RT_1 = p_0 S l_1 + kl_1^2$ を代入すると、 $$\Delta U = \frac{3}{2}\left\{(p_0 S l_2 + kl_2^2) - (p_0 S l_1 + kl_1^2)\right\} = \frac{3}{2}\left\{p_0 S(l_2 - l_1) + k(l_2^2 - l_1^2)\right\}\,\,[\text{J}]$$

【設問 (5)】理想気体に加えられた熱量 $Q$

熱力学第一法則（加えた熱量 $Q$ ＝ 内部エネルギーの増加 $\Delta U$ ＋ 気体が外部にした仕事 $W$）より、(4)の $\Delta U$ と(3)の $W$ を足し合わせます！ $$Q = \Delta U + W$$ $$Q = \left[\frac{3}{2}p_0 S(l_2 - l_1) + \frac{3}{2}k(l_2^2 - l_1^2)\right] + \left[p_0 S(l_2 - l_1) + \frac{1}{2}k(l_2^2 - l_1^2)\right]$$ 同類項の係数をまとめると、

• $p_0 S(l_2 - l_1)$ の係数：$\dfrac{3}{2} + 1 = \dfrac{5}{2}$
• $k(l_2^2 - l_1^2)$ の係数：$\dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{2} = 2$

よって、非常にすっきりした形で熱量 $Q$ が求まります！ $$Q = \frac{5}{2}p_0 S(l_2 - l_1) + 2k(l_2^2 - l_1^2)\,\,[\text{J}]$$

【設問 (1)・(2)】レンズ $\text{B}$ 単独での虚像の位置と倍率

焦点距離 $f_B = 20\,\text{cm}$ の凸レンズ $\text{B}$ に対し、右側 $10\,\text{cm}$（焦点の内側！）に物体を置きます。
物体からレンズまでの距離を $a = 10\,\text{cm}$、像の位置を $b$ とおいて、レンズの写像公式を立てると、 $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f_B} \quad \Longrightarrow \quad \frac{1}{10} + \frac{1}{b} = \frac{1}{20}$$ $$\frac{1}{b} = \frac{1}{20} - \frac{1}{10} = -\frac{1}{20} \quad \Longrightarrow \quad b = -20\,\text{cm}$$ $b < 0$ は「物体と同じ側（＝レンズ $\text{B}$ の右側）に距離 $20\,\text{cm}$ の位置に虚像ができる」ことを表しています。
また、このときの倍率 $m$ は、 $$m = \left|\frac{b}{a}\right| = \frac{|-20|}{10} = 2\,\text{倍}$$

【設問 (3)】レンズ $\text{A}$ の左焦点から出た光がレンズ $\text{B}$ を通過して集光する位置

レンズ $\text{A}$ の焦点距離は $f_A = 30\,\text{cm}$ です。レンズ $\text{A}$ の左側 $30\,\text{cm}$（ちょうど左側の焦点）に置いた点光源から出た光は、問題文にも書かれている通り、レンズ $\text{A}$ を通過したあと光軸に平行な光となってレンズ $\text{B}$ に入射します。
凸レンズに光軸と平行に入射した光は、レンズとの距離に関係なく、必ずそのレンズの後方焦点に集まります！
レンズ $\text{B}$ の焦点距離は $f_B = 20\,\text{cm}$ なので、レンズ $\text{B}$ の右側 $20\,\text{cm}$ の位置で集光されます。

【設問 (4)】レンズ $\text{A}$ に平行光を入射させたとき、レンズ $\text{B}$ 入射直前の明るい部分の直径

今度は、レンズ $\text{A}$（口径＝直径 $3\,\text{cm}$、焦点距離 $f_A = 30\,\text{cm}$）の左側から平行光を入射させます。
上の図を見てください。もし途中にレンズ $\text{B}$ がなければ、レンズ $\text{A}$ を通過した光束は、レンズ $\text{A}$ の右側 $30\,\text{cm}$ にある焦点 $\text{F}_A$ に向かってまっすぐ円錐状に縮まっていきます。
レンズ $\text{B}$ はレンズ $\text{A}$ の右側 $10\,\text{cm}$ の位置にあるので、焦点 $\text{F}_A$ から見れば手前 $30 - 10 = 20\,\text{cm}$ の位置にあります。
したがって、焦点 $\text{F}_A$ を頂点とする相似な三角形の比より、レンズ $\text{B}$ に入射直前の明るい円の直径 $D_B$ は、 $$D_B : 3\,\text{cm} = (30 - 10)\,\text{cm} : 30\,\text{cm} = 20 : 30 = 2 : 3$$ $$D_B = 3\,\text{cm} \times \frac{20}{30} = 2\,\text{cm}$$

【設問 (5)・(6)】スクリーン上の明るい部分の直径が $1\,\text{cm}$ 以下になる距離 $x$ の範囲

【ステップ1：レンズ $\text{B}$ を通過した光が実際に集光する位置を求める】
レンズ $\text{B}$ に入射する光は、レンズ $\text{B}$ の右側 $20\,\text{cm}$ の点 $\text{F}_A$ に集まろうとする収束光です。
このように「レンズの後方 $20\,\text{cm}$ に向かって集まる光」がレンズ $\text{B}$ に入射するとき、写像公式では虚光源として $a = -20\,\text{cm}$ として扱います（あるいは光線の逆行性から(1)の結果を使ってもOKです）。
レンズ $\text{B}$（$f_B = 20\,\text{cm}$）の写像公式 $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{f_B}$ に $a = -20\,\text{cm}$ を代入すると？
ここを丁寧に確認しましょう！
レンズ $\text{A}$ を通過した光が集まろうとしている点 $\text{F}_A$ は、レンズ $\text{B}$ の右側 $20\,\text{cm}$ です。
もし写像公式でそのまま計算する前に、各光線の道筋（幾何光学の基本作図）で考えるとさらに確実でミスがありません！

【ステップ2：相似な三角形を使って直径が $1\,\text{cm}$ 以下になる範囲を求める】
以上より、レンズ $\text{B}$ を出た直後の光束は直径 $2\,\text{cm}$ でスタートし、レンズ $\text{B}$ の右側 $x_0 = 10\,\text{cm}$ の位置で1点（直径 $0\,\text{cm}$）に集光し、その後は再び円錐状に広がっていきます。
レンズ $\text{B}$ からの距離 $x$ における明るい円の直径 $D(x)$ が $1\,\text{cm}$（つまりレンズ $\text{B}$ 直後の直径 $2\,\text{cm}$ のちょうど半分）になる位置を探しましょう！
集光点（$x_0 = 10\,\text{cm}$）を頂点とする相似な三角形を考えると、直径は「集光点からの距離 $|x - 10|$」に比例します。

• レンズ $\text{B}$ の位置（$x = 0\,\text{cm}$、集光点からの距離 $10\,\text{cm}$）で、直径は $2\,\text{cm}$ です。
• したがって、直径が半分の $1\,\text{cm}$ になるのは、集光点（$x_0 = 10\,\text{cm}$）からの距離が半分の $5\,\text{cm}$ になるときです！