金沢医科大学 総合型選抜 数学Ⅰ・A 突破演習

(1) $t=3$ における面積 $S(3)$ の導出 [ ア ] の解答

$0 \le t \le 4$ のとき、点 $P$ は辺 $BA$ 上（長さ $6$）にあり、点 $Q$ は辺 $BC$ 上（長さ $8$）にある。

• 点 $P$ の位置：$BP = 1 \times t = t$
• 点 $Q$ の位置：$BQ = 2 \times t = 2t$

$\angle B = 90^\circ$ であるから、$\triangle BPQ$ は直角三角形であり、その面積は $$S(t) = \frac{1}{2} \times BP \times BQ = \frac{1}{2} \cdot t \cdot 2t = t^2$$ したがって、$t = 3$ を代入して $$S(3) = 3^2 = \mathbf{9} \quad \cdots \text{[ ア ]}$$

(2) $4 \le t \le 6$ における $S(t)$ の立式 [ イ ] の解答

$t = 4$ で点 $Q$ は頂点 $C$ に達する。$4 \le t \le 6$ の区間では：

• 点 $P$ は辺 $BA$ 上にあり、線分 $BP$ の長さは依然として $BP = t$。
• 点 $Q$ は辺 $CA$ 上（長さ $CA = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$）を、頂点 $C$ から毎秒 $2$ で進む。
• $C$ を出発してからの経過時間は $(t - 4)$ 秒であるから、線分 $CQ$ の長さは $$CQ = 2(t - 4) = 2t - 8$$

したがって、求める面積 $S(t)$ は $$S(t) = \frac{1}{2} \times BP \times x_Q = \frac{1}{2} \times t \times \frac{8(9-t)}{5} = \mathbf{-\frac{4}{5}t^2 + \frac{36}{5}t} \quad \cdots \text{[ イ ]}$$ （※ 因数分解形 $\frac{4}{5}t(9-t)$ も正解）

(3) 最大値およびそのときの $t$ の特定 [ ウ ], [ エ ] の解答

区間ごとに平方完成してグラフの挙動を連結・比較する。

軸の方程式は $t = \frac{9}{2} = 4.5$ であり、これは区間 $4 \le t \le 6$ の内分点（定義域の真ん中）に存在する。 上に凸の放物線であるから、この頂点で極大かつ最大をとる。

頂点での値は $S\left(\frac{9}{2}\right) = \frac{81}{5} = 16.2$。 第1区間の最大値 $16$ と比較すると、 $$\frac{81}{5} = 16.2 > 16$$ よって、全区間 $0 \le t \le 6$ における最大値は $$t = \mathbf{\frac{9}{2}} \quad \cdots \text{[ ウ ]} \quad \text{のとき、最大値} \quad \mathbf{\frac{81}{5}} \quad \cdots \text{[ エ ]}$$

(1)・(2) 1回目の試行における基本確率 [ オ ], [ カ ] の解答

$6$ 個の玉から同時に $2$ 個を取り出す組合せの総数は $${}_6\mathrm{C}_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \text{ 通り}$$

(1) 同色を取り出す事象：「赤 $2$ 個」または「白 $2$ 個」 $${}_3\mathrm{C}_2 + {}_3\mathrm{C}_2 = 3 + 3 = 6 \text{ 通り}$$ したがって、確率は $$\frac{6}{15} = \mathbf{\frac{2}{5}} \quad \cdots \text{[ オ ]}$$

(2) 異なる色を取り出す事象：(1)の余事象（赤 $1$ 個かつ白 $1$ 個） $$1 - \frac{2}{5} = \mathbf{\frac{3}{5}} \quad \cdots \text{[ カ ]}$$

(3)・(4) 2回目終了時の玉の個数と黒玉の確率 [ キ ], [ ク ] の解答

$1$ 回の操作で玉の総数が $1$ 個減るのは「同色」が引かれたときのみである。

(3) 2回目終了時に玉の総数が $4$ 個となる確率：
初期状態（$6$ 個）から $4$ 個になるには、$1$ 回目・$2$ 回目ともに「連続して同色」を取り出す必要がある。

• $1$ 回目に同色が出る確率：$\dfrac{2}{5}$。
• この直後の箱の中身：同色の玉 $2$ 個が減り、黒玉 $1$ 個が入るため、「赤 $1$, 白 $3$, 黒 $1$」または「赤 $3$, 白 $1$, 黒 $1$」の計 $5$ 個となる。
• この $5$ 個から $2$ 個取り出す総数は ${}_5\mathrm{C}_2 = 10$ 通り。
• この中から同色（白 $2$ 個、または赤 $2$ 個）を取り出す組合せは ${}_3\mathrm{C}_2 = 3$ 通り。したがって確率は $\dfrac{3}{10}$。

以上より、求める確率は $$\frac{2}{5} \times \frac{3}{10} = \frac{6}{50} = \mathbf{\frac{3}{25}} \quad \cdots \text{[ キ ]}$$

(4) 2回目終了時に黒玉がちょうど $1$ 個である確率：
黒玉が $1$ 個存在する状態に至るには、以下の互いに排反な $2$ つのルートがある。

• 【ルート1：1回目「異色」$\to$ 2回目「同色」】
  1回目に異色が出る確率 $\frac{3}{5}$。箱の中身は「赤3, 白3」のまま変わらない。
  2回目に同色が出る確率 $\frac{2}{5}$。
  確率：$\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{25}$
• 【ルート2：1回目「同色」$\to$ 2回目「異色」】
  1回目に同色が出る確率 $\frac{2}{5}$。箱の中身は計5個（赤1, 白3, 黒1 など）。
  2回目に異色が出る確率は、余事象より $1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$。
  確率：$\dfrac{2}{5} \times \dfrac{7}{10} = \dfrac{14}{50} = \dfrac{7}{25}$

これらは排反であるから、足し合わせて $$\frac{6}{25} + \frac{7}{25} = \mathbf{\frac{13}{25}} \quad \cdots \text{[ ク ]}$$

(5) 条件付き確率の高速処理 [ ケ ] の解答

事象 $B$ を「2回目終了時に黒玉がちょうど1個ある」、事象 $A$ を「1回目に異なる色を取り出した」とする。
求める条件付き確率は $P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ である。

(4)より、分母となる確率は $P(B) = \dfrac{13}{25}$。
分子 $P(A \cap B)$ は、(4)で求めた【ルート1】そのものであり、$P(A \cap B) = \dfrac{6}{25}$。
したがって、 $$P(A|B) = \frac{\dfrac{6}{25}}{\dfrac{13}{25}} = \mathbf{\frac{6}{13}} \quad \cdots \text{[ ケ ]}$$

(6) 3回目終了時に玉の総数が $4$ 個である確率 [ コ ] の解答

玉が $6$ 個から $4$ 個になるということは、「3回の操作のうち、ちょうど2回同色を取り出し、1回異色を取り出した」ことを意味する。
操作ごとの順序に応じて以下の3パターンに完全に分類できる。

これら3つの事象は互いに排反であるから、総和をとると $$\frac{25 + 21 + 18}{250} = \frac{64}{250} = \mathbf{\frac{32}{125}} \quad \cdots \text{[ コ ]}$$