福岡大学 医学部 数学（2024年度）全問題・超図解解説

和 $\sin\theta+\cos\theta$ と 積 $t = \sin\theta\cos\theta$ を結びつけるには、和を2乗するのが鉄則です。
三角関数の相互関係 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を使うと、 $$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta$$ $$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = (\sin^2\theta + \cos^2\theta) + 2\sin\theta\cos\theta = 1 + 2t$$ となります。

2乗を外すと $\sin\theta+\cos\theta = \pm\sqrt{1+2t}$ となりますが、ここで符号を調べます。
三角関数の合成を行うと、 $$\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)$$ です。問題文より $\dfrac{3}{4}\pi \leqq \theta \leqq \dfrac{5}{4}\pi$ なので、各辺に $\dfrac{\pi}{4}$ を足すと、 $$\pi \leqq \theta + \frac{\pi}{4} \leqq \frac{3}{2}\pi$$ となります。この範囲（第3象限）では、$\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right) \leqq 0$ です。
したがって、$\sin\theta + \cos\theta \leqq 0$（$0$ 以下）となるため、平方根の前にはマイナスがつきます！
よって、 $$\sin\theta + \cos\theta = \mathbf{-\sqrt{1+2t}} \quad \cdots \text{【空欄 (1) の答】}$$

次に $f(\theta)$ の最大値を考えるために、変数 $t$ の動く範囲を正確に求めます。
2倍角の公式 $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ より、 $$t = \sin\theta\cos\theta = \frac{1}{2}\sin 2\theta$$ ここで $\dfrac{3}{4}\pi \leqq \theta \leqq \dfrac{5}{4}\pi$ の各辺を2倍すると、 $$\frac{3}{2}\pi \leqq 2\theta \leqq \frac{5}{2}\pi$$ この範囲で $\sin 2\theta$ は、$2\theta = \dfrac{3}{2}\pi$ のとき最小値 $-1$、$2\theta = \dfrac{5}{2}\pi$ のとき最大値 $1$ をとります。
つまり $-1 \leqq \sin 2\theta \leqq 1$ なので、$\dfrac{1}{2}$ 倍して、 $$-\frac{1}{2} \leqq t \leqq \frac{1}{2}$$ これが $t$ の定義域です。

与えられた関数 $f(\theta) = \sin^2\theta\cos\theta + \cos^2\theta\sin\theta$ を共通因数 $\sin\theta\cos\theta$ でくくります。 $$f(\theta) = \sin\theta\cos\theta(\sin\theta + \cos\theta)$$ ここに $\sin\theta\cos\theta = t$ と、(1) で求めた $\sin\theta+\cos\theta = -\sqrt{1+2t}$ を代入すると、$t$ の関数 $g(t)$ として $$g(t) = -t\sqrt{1+2t} \quad \left(-\frac{1}{2} \leqq t \leqq \frac{1}{2}\right)$$ が得られます。
【解法A：数学IIIの微分を使う方法】
積の微分法を使って $g(t)$ を $t$ で微分します（$\sqrt{1+2t} = (1+2t)^{\frac{1}{2}}$ の微分は $\dfrac{2}{2\sqrt{1+2t}} = \dfrac{1}{\sqrt{1+2t}}$）。 $$g'(t) = -1\cdot\sqrt{1+2t} - t\cdot\frac{1}{\sqrt{1+2t}}$$ 分母を $\sqrt{1+2t}$ に通分すると、 $$g'(t) = -\frac{(1+2t) + t}{\sqrt{1+2t}} = -\frac{3t+1}{\sqrt{1+2t}}$$ $g'(t) = 0$ となるのは、分子 $3t+1 = 0$ すなわち $t = -\dfrac{1}{3}$ のときです。
増減表をかくと以下のようになります。

よって、$t = -\dfrac{1}{3}$ のとき最大値をとります。代入して計算すると、 $$g\left(-\frac{1}{3}\right) = -\left(-\frac{1}{3}\right)\sqrt{1 + 2\left(-\frac{1}{3}\right)} = \frac{1}{3}\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3} = \mathbf{\frac{\sqrt{3}}{9}} \quad \cdots \text{【空欄 (2) の答】}$$ ※【別解（数IIの範囲）】$u = \sqrt{1+2t} \ (0 \leqq u \leqq \sqrt{2})$ とおくと $t = \dfrac{u^2-1}{2}$ より $g = -\dfrac{1}{2}(u^3 - u)$ となり、3次関数の微分でも全く同じ答えが出せます！

点 $\mathrm{A}$ を始点として、$\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \vec{b}$、$\overrightarrow{\mathrm{AC}} = \vec{c}$ とおきます。
問題文の条件より、次の3つの基本データがそろいます！ $$|\vec{b}| = 3 \quad (\text{つまり } |\vec{b}|^2 = 9)$$ $$|\vec{c}| = 4 \quad (\text{つまり } |\vec{c}|^2 = 16)$$ $$\vec{b}\cdot\vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}|\cos\angle\mathrm{BAC} = 3 \times 4 \times \frac{1}{4} = 3$$ 平面ベクトルの問題は、この3つの値（$|\vec{b}|^2 = 9, \ |\vec{c}|^2 = 16, \ \vec{b}\cdot\vec{c} = 3$）さえあればすべて計算できます！

点 $\mathrm{D}$ は辺 $\mathrm{BC}$ を $3:1$ に内分する点なので、内分点の公式より、 $$\overrightarrow{\mathrm{AD}} = \frac{1\vec{b} + 3\vec{c}}{3+1} = \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{3}{4}\vec{c} = \frac{1}{4}(\vec{b} + 3\vec{c})$$ ベクトルの大きさ $|\overrightarrow{\mathrm{AD}}|$ を求めるには、まず2乗を計算します。 $$|\overrightarrow{\mathrm{AD}}|^2 = \left|\frac{1}{4}(\vec{b} + 3\vec{c})\right|^2 = \frac{1}{16}\left(|\vec{b}|^2 + 6\vec{b}\cdot\vec{c} + 9|\vec{c}|^2\right)$$ STEP 1 の $|\vec{b}|^2 = 9$、$\vec{b}\cdot\vec{c} = 3$、$|\vec{c}|^2 = 16$ を代入すると、 $$|\overrightarrow{\mathrm{AD}}|^2 = \frac{1}{16}(9 + 6\times 3 + 9\times 16) = \frac{1}{16}(9 + 18 + 144) = \frac{171}{16}$$ $171 = 9 \times 19$？ いえ、計算をもう一度確認しましょう！
$9 + 18 = 27$、$27 + 144 = 171$？ ちょっと待ってください！内分の向きを丁寧に確認しましょう。
「辺 $\mathrm{BC}$ を $3:1$ に内分する点 $\mathrm{D}$」なので、$\mathrm{BD}:\mathrm{DC} = 3:1$ です。
あっ！もう一度問題文を見ると「$\mathrm{AB}=3, \mathrm{CA}=4, \cos\angle\mathrm{BAC}=\dfrac{1}{4}$」ですね。
$9 + 18 + 144 = 171$ ではなく、もし $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ が別の値になるとしたら……？
いや、$9 + 18 + 144 = 171 = 9 \times 19$ です。あれ、スピードチェックの値と違う？
【超重要チェック】 もう一度問題文の数字を拡大して確認します！

あっ！$\mathrm{BD}:\mathrm{DC} = 3:1$ のとき、 $$\overrightarrow{\mathrm{AD}} = \frac{1\overrightarrow{\mathrm{AB}} + 3\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{3+1} = \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{3}{4}\vec{c}$$ $|\vec{b}| = 3 \implies |\vec{b}|^2 = 9$。
$|\vec{c}| = 4 \implies |\vec{c}|^2 = 16$。
$\vec{b}\cdot\vec{c} = 3 \times 4 \times \dfrac{1}{4} = 3$。
よって $$|\overrightarrow{\mathrm{AD}}|^2 = \frac{1}{16}\left(9 + 6(3) + 9(16)\right) = \frac{9 + 18 + 144}{16} = \frac{171}{16}$$ 平方根をとると $|\overrightarrow{\mathrm{AD}}| = \sqrt{\dfrac{171}{16}} = \dfrac{\sqrt{9 \times 19}}{4} = \mathbf{\dfrac{3\sqrt{19}}{4}}$ です！
（※先ほどのスピードチェック欄の表記を訂正します：正しくは $\mathbf{\dfrac{3\sqrt{19}}{4}}$ です！ $9\times 19 = 171$ を確実に因数分解しましょう！）

点 $\mathrm{M}$ は辺 $\mathrm{BC}$ の中点なので、 $$\overrightarrow{\mathrm{AM}} = \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c} = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})$$ 点 $\mathrm{P}$ は直線 $\mathrm{AM}$ 上にあるので、実数 $k$ を用いて $$\overrightarrow{\mathrm{AP}} = k\overrightarrow{\mathrm{AM}} = \frac{k}{2}\vec{b} + \frac{k}{2}\vec{c}$$ と表せます。
次に、点 $\mathrm{N}$ は線分 $\mathrm{BP}$ の中点なので、 $$\overrightarrow{\mathrm{AN}} = \frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{AP}}}{2} = \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\left(\frac{k}{2}\vec{b} + \frac{k}{2}\vec{c}\right) = \frac{k+2}{4}\vec{b} + \frac{k}{4}\vec{c}$$ これより、$\overrightarrow{\mathrm{DN}} = \overrightarrow{\mathrm{AN}} - \overrightarrow{\mathrm{AD}}$ を計算します。$\overrightarrow{\mathrm{AD}} = \dfrac{1}{4}\vec{b} + \dfrac{3}{4}\vec{c}$ なので、 $$\overrightarrow{\mathrm{DN}} = \left(\frac{k+2}{4}\vec{b} + \frac{k}{4}\vec{c}\right) - \left(\frac{1}{4}\vec{b} + \frac{3}{4}\vec{c}\right)$$ $$\overrightarrow{\mathrm{DN}} = \frac{k+1}{4}\vec{b} + \frac{k-3}{4}\vec{c} = \frac{1}{4}\left\{(k+1)\vec{b} + (k-3)\vec{c}\right\}$$

$\overrightarrow{\mathrm{DN}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{AM}}$ が直交するので、内積は $0$ です。分母の $\dfrac{1}{4}$ や $\dfrac{1}{2}$ を払った形で内積をとると、 $$\left\{(k+1)\vec{b} + (k-3)\vec{c}\right\}\cdot(\vec{b} + \vec{c}) = 0$$ 展開すると、 $$(k+1)|\vec{b}|^2 + \left\{(k+1) + (k-3)\right\}\vec{b}\cdot\vec{c} + (k-3)|\vec{c}|^2 = 0$$ $$(k+1)|\vec{b}|^2 + (2k-2)\vec{b}\cdot\vec{c} + (k-3)|\vec{c}|^2 = 0$$ ここに $|\vec{b}|^2 = 9$、$\vec{b}\cdot\vec{c} = 3$、$|\vec{c}|^2 = 16$ を代入します！ $$9(k+1) + 3(2k-2) + 16(k-3) = 0$$ カッコを展開して整理すると、 $$(9k + 9) + (6k - 6) + (16k - 48) = 0$$ $$31k - 45 = 0 \implies k = \frac{45}{31}$$ ちょっと待ってください！ここでもう一度 $\overrightarrow{\mathrm{AN}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{DN}}$ の係数を丁寧に検算しましょう。
・$\overrightarrow{\mathrm{AM}} = \dfrac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})$
・$\overrightarrow{\mathrm{AP}} = s(\vec{b}+\vec{c})$ とおくと計算がもっとシンプルになります！
もし $\overrightarrow{\mathrm{AP}} = s\vec{b} + s\vec{c}$ とおくと、
・$\overrightarrow{\mathrm{AN}} = \dfrac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AP}}}{2} = \dfrac{1+s}{2}\vec{b} + \dfrac{s}{2}\vec{c}$
・$\overrightarrow{\mathrm{AD}} = \dfrac{1}{4}\vec{b} + \dfrac{3}{4}\vec{c}$
よって、 $$\overrightarrow{\mathrm{DN}} = \overrightarrow{\mathrm{AN}} - \overrightarrow{\mathrm{AD}} = \left(\frac{1+s}{2} - \frac{1}{4}\right)\vec{b} + \left(\frac{s}{2} - \frac{3}{4}\right)\vec{c} = \frac{2s+1}{4}\vec{b} + \frac{2s-3}{4}\vec{c}$$ これと $\overrightarrow{\mathrm{AM}} = \dfrac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})$ の内積が $0$ なので、 $$\left\{(2s+1)\vec{b} + (2s-3)\vec{c}\right\}\cdot(\vec{b}+\vec{c}) = 0$$ $\vec{b}\cdot(\vec{b}+\vec{c}) = |\vec{b}|^2 + \vec{b}\cdot\vec{c} = 9 + 3 = 12$
$\vec{c}\cdot(\vec{b}+\vec{c}) = \vec{b}\cdot\vec{c} + |\vec{c}|^2 = 3 + 16 = 19$
なんと！先に $\vec{b}\cdot(\vec{b}+\vec{c}) = 12$ と $\vec{c}\cdot(\vec{b}+\vec{c}) = 19$ を計算しておくと1行で終わります！ $$12(2s+1) + 19(2s-3) = 0$$ $$24s + 12 + 38s - 57 = 0 \implies 62s = 45 \implies s = \frac{45}{62}$$ したがって、 $$\overrightarrow{\mathrm{AP}} = \mathbf{\frac{45}{62}\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \frac{45}{62}\overrightarrow{\mathrm{AC}}} \quad \cdots \text{【空欄 (4) の答】}$$

・全体の場合の数：$n$ 枚の札から同時に $3$ 枚を取り出すので、${}_n\mathrm{C}_3$ 通りです。
・最小の番号が $3$ となる場合の数：
まず、番号「$3$」の札を必ず選びます（$1$ 通り）。
そして、最小が $3$ になるためには、$1, 2$ は選んではいけません。残りの $2$ 枚は、$4$ から $n$ までの $(n-3)$ 枚の札の中から $2$ 枚を選べばよいので、${}_{n-3}\mathrm{C}_2$ 通りです（ただし $n-3 \geqq 2$ すなわち $n \geqq 5$ のとき。$n=3, 4$ のときは $P_3 = P_4 = 0$ です）。
よって、$n = 6$ のとき、 $$P_6 = \frac{{}_{6-3}\mathrm{C}_2}{{}_6\mathrm{C}_3} = \frac{{}_3\mathrm{C}_2}{{}_6\mathrm{C}_3}$$ ここで ${}_3\mathrm{C}_2 = 3$、${}_6\mathrm{C}_3 = \dfrac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1} = 20$ なので、 $$P_6 = \mathbf{\frac{3}{20}} \quad \cdots \text{【空欄 (5) の答】}$$

$n \geqq 5$ のとき、 $${}_n\mathrm{C}_3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}, \quad {}_{n-3}\mathrm{C}_2 = \frac{(n-3)(n-4)}{2}$$ なので、$P_n$ は次のように表せます。 $$P_n = \frac{\dfrac{(n-3)(n-4)}{2}}{\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}} = \frac{3(n-3)(n-4)}{n(n-1)(n-2)}$$

$n \geqq 5$ のとき $P_n > 0$ です。$P_{n+1}$ と $P_n$ の大小を比較するため、比 $\dfrac{P_{n+1}}{P_n}$ を計算します。
$P_{n+1} = \dfrac{3(n-2)(n-3)}{(n+1)n(n-1)}$ なので、 $$\frac{P_{n+1}}{P_n} = \frac{3(n-2)(n-3)}{(n+1)n(n-1)} \times \frac{n(n-1)(n-2)}{3(n-3)(n-4)} = \frac{(n-2)^2}{(n+1)(n-4)}$$ この比が $1$ より大きいか小さいかを調べます。分母 $(n+1)(n-4) > 0$ より、 $$\text{分子} - \text{分母} = (n-2)^2 - (n+1)(n-4) = (n^2 - 4n + 4) - (n^2 - 3n - 4) = 8 - n$$ これより、非常にきれいな結果が出ます！
・$5 \leqq n \leqq 7$ のとき：$8 - n > 0$ より $\dfrac{P_{n+1}}{P_n} > 1 \implies P_n < P_{n+1}$（増加する）
・$n = 8$ のとき：$8 - n = 0$ より $\dfrac{P_9}{P_8} = 1 \implies P_8 = P_9$（等しい！）
・$n \geqq 9$ のとき：$8 - n < 0$ より $\dfrac{P_{n+1}}{P_n} < 1 \implies P_n > P_{n+1}$（減少する）
つまり、確率の列は $$P_3 = P_4 = 0 < P_5 < P_6 < P_7 < \mathbf{P_8 = P_9} > P_{10} > P_{11} > \cdots$$ となり、$n = 8$（および $n = 9$）のときに最大になります！
$n = 8$ を $P_n$ の式に代入して計算すると、 $$P_8 = \frac{3(8-3)(8-4)}{8\times 7\times 6} = \frac{3 \times 5 \times 4}{8 \times 7 \times 6} = \mathbf{\frac{5}{28}}$$ （※検算：$n=9$ でも $P_9 = \dfrac{3\times 6\times 5}{9\times 8\times 7} = \dfrac{5}{28}$ でピタリと一致します！よって【空欄 (6) の答】は $\mathbf{\dfrac{5}{28}}$ です！）

3乗の対称式の公式 $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ において、$a = t, \ b = \dfrac{1}{t}$ とすると、$ab = t\cdot\dfrac{1}{t} = 1$ なので、 $$t^3 + \frac{1}{t^3} = \left(t + \frac{1}{t}\right)^3 - 3\cdot t\cdot\frac{1}{t}\left(t + \frac{1}{t}\right) = x^3 - 3x$$ となります。これを $y$ の式に代入すると、 $$y = (x^3 - 3x) + (k^2 - k - 7)x$$ 同類項の $x$ でまとめると、$-3 - 7 = -10$ より、 $$y = \mathbf{x^3 + (k^2 - k - 10)x} \quad \cdots \text{【空欄 (1) の答】}$$

ここが一番大切なポイントです！$t > 0$ のとき、$x = t + \dfrac{1}{t}$ はどんな実数値でもとれるわけではありません。
$t > 0, \ \dfrac{1}{t} > 0$ より、相加平均と相乗平均の大小関係を使うと、 $$x = t + \frac{1}{t} \geqq 2\sqrt{t\cdot\frac{1}{t}} = 2$$ （等号は $t = \dfrac{1}{t}$ すなわち $t = 1$ のときに成り立ちます）。
また、逆に $x \geqq 2$ を満たす任意の実数 $x$ に対して、$t + \dfrac{1}{t} = x \iff t^2 - xt + 1 = 0$ は判別式 $D = x^2 - 4 \geqq 0$、2解の和 $x > 0$、2解の積 $1 > 0$ となるため、必ず正の解 $t > 0$ が存在します。
したがって、 $$\text{「正の数 } t \text{ が存在する」} \iff \text{「} x \geqq 2 \text{ を満たす実数 } x \text{ が存在する」}$$ と言い換えることができます！

点 $\mathrm{P}(x, y)$ が $x$ 軸上の点になるとき、$y = 0$ です。(1) の式より、 $$x^3 + (k^2 - k - 10)x = 0 \iff x\left\{x^2 + (k^2 - k - 10)\right\} = 0$$ ここで STEP 2 より $x \geqq 2$ なので、$x \neq 0$（特に $x = 0$ は不適）です！
両辺を $x \ (\neq 0)$ で割ると、 $$x^2 = -k^2 + k + 10$$ となります。
この方程式を満たす $x \geqq 2$ が「存在しない」ための条件を考えます。
もし $x \geqq 2$ となる実数 $x$ が存在するなら、両辺が正なので2乗して $x^2 \geqq 4$ となります。
逆に、$x^2 < 4$ であれば、$x \geqq 2$ を満たす実数 $x$ は絶対に存在しません！（$x^2 < 0$ の場合も含まれます）。
よって、求める条件は $$x^2 < 4 \iff -k^2 + k + 10 < 4$$ 移項して両辺に $-1$ を掛けると、 $$k^2 - k - 6 > 0 \iff (k - 3)(k + 2) > 0$$ したがって、求める $k$ の値の範囲は、 $$\mathbf{k < -2, \quad 3 < k} \quad \cdots \text{【空欄 (2) の答】}$$

データが $10$ 個あり、その平均値が $6$ なので、$10$ 個のデータの総和は $10 \times 6 = 60$ です。
まず、わかっている $7$ 個の数値（$9, 10, 1, 2, 2, 8, 10$）を小さい順に並べ替えて合計してみましょう。
・小さい順：$1, \ 2, \ 2, \ 8, \ 9, \ 10, \ 10$
・この $7$ 個の和：$1 + 2 + 2 + 8 + 9 + 10 + 10 = 42$
これに $a, \ a+3, \ b$ を足した合計が $60$ になるので、 $$42 + a + (a + 3) + b = 60$$ $$2a + b + 45 = 60 \implies b = \mathbf{15 - 2a} \quad \cdots \text{【空欄 (3) の答】}$$

まず、$a \leqq b$ に $b = 15 - 2a$ を代入すると、 $$a \leqq 15 - 2a \iff 3a \leqq 15 \iff a \leqq 5$$ となります。つまり、$a$ は $5$ 以下の整数です。
次に、$10$ 個のデータの中央値（メジアン）とは、データを小さい順に並べたときの「5番目の値」と「6番目の値」の平均です。
中央値が $7$ であるとは、 $$\frac{(\text{5番目の値}) + (\text{6番目の値})}{2} = 7 \iff (\text{5番目の値}) + (\text{6番目の値}) = 14$$ ということです！
ここで、すでにわかっている $7$ 個のデータを小さい順に見ると、 $$\underbrace{1, \ 2, \ 2}_{\text{7より小さい(3個)}}, \qquad \underbrace{8, \ 9, \ 10, \ 10}_{\text{8以上(4個)}}$$ となっています。
ここにあと $3$ 個のデータ「$a, \ a+3, \ b$」が加わって全部で $10$ 個になります。
もし整数 $a$ が $a \leqq 2$ だとどうなるでしょうか？
$a \leqq 2$ のとき、$a+3 \leqq 5$ です。すると、「$1, 2, 2, a, a+3$」という少なくとも $5$ 個のデータがすべて $5$ 以下になってしまいます！
その場合、小さい順で5番目の値は必ず $5$ 以下になり、6番目の値も最大で $8$ なので、5番目と6番目の和は最大でも $5 + 8 = 13 < 14$ となり、絶対に中央値は $7$ になりません！
したがって、調べるべき整数 $a$ は $a = 3, \ 4, \ 5$ のたった3通りだけだとわかります！

$b = 15 - 2a$ を使って、$a$ の値ごとに10個のデータを小さい順に並べて中央値を確認します。

表の通り、中央値が $7$ となる組 $(a, b)$ は $(4, 7)$ と $(3, 9)$ の $2$ 個です！
よって、【空欄 (4) の答】は $\mathbf{2}$ （個）となります。

合成関数の微分法を使って、$\log\left(x+\sqrt{x^2+16}\right)$ を丁寧に微分します。
まず、$\sqrt{x^2+16} = (x^2+16)^{\frac{1}{2}}$ の微分は、 $$\left(\sqrt{x^2+16}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{x^2+16}}\cdot(x^2+16)' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+16}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+16}}$$ です。これを用いると、 $$\left\{\log\left(x+\sqrt{x^2+16}\right)\right\}' = \frac{\left(x+\sqrt{x^2+16}\right)'}{x+\sqrt{x^2+16}} = \frac{1 + \dfrac{x}{\sqrt{x^2+16}}}{x+\sqrt{x^2+16}}$$ 分子を通分すると、 $$= \frac{\dfrac{\sqrt{x^2+16} + x}{\sqrt{x^2+16}}}{x+\sqrt{x^2+16}} = \frac{1}{\sqrt{x^2+16}}$$ なんと、分子と分母の $\left(x+\sqrt{x^2+16}\right)$ が気持ちよく約分されて消えます！
したがって、$16$ 倍して、 $$f'(x) = \frac{16}{\sqrt{x^2+16}}$$ となります。

次に、後半の $x\sqrt{x^2+16}$ を「積の微分法」で微分します。 $$\left(x\sqrt{x^2+16}\right)' = (x)'\sqrt{x^2+16} + x\left(\sqrt{x^2+16}\right)' = \sqrt{x^2+16} + x\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2+16}}$$ これと STEP 1 の $f'(x) = \dfrac{16}{\sqrt{x^2+16}}$ を合わせると、 $$g'(x) = \frac{16}{\sqrt{x^2+16}} + \sqrt{x^2+16} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2+16}}$$ 第1項と第3項を合体させると、$\dfrac{x^2+16}{\sqrt{x^2+16}} = \sqrt{x^2+16}$ になるので、 $$g'(x) = \sqrt{x^2+16} + \sqrt{x^2+16} = \mathbf{2\sqrt{x^2+16}}$$ 驚くほどシンプルな式になりました！（※この $g'(x) = 2\sqrt{x^2+16}$ という関係式は、あとで使うかもしれませんので記憶しておきましょう！）

$x = 3$ のとき、$\sqrt{3^2+16} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ です（有名な $3:4:5$ の直角三角形の数ですね！）。
・接点の $y$ 座標 $g(3)$： $$f(3) = 16\log(3 + 5) = 16\log 8 = 16\log 2^3 = 48\log 2$$ $$g(3) = f(3) + 3\times 5 = 48\log 2 + 15$$ ・接線の傾き $g'(3)$： $$g'(3) = 2\sqrt{3^2+16} = 2\times 5 = 10$$ よって、点 $(3, \ 48\log 2 + 15)$ を通り、傾きが $10$ の直線の方程式は、 $$y - (48\log 2 + 15) = 10(x - 3)$$ $$y = 10x - 30 + 48\log 2 + 15$$ $$\mathbf{y = 10x + 48\log 2 - 15} \quad \cdots \text{【(i) の最終解答】}$$