福岡大学 医学部 物理（2024年度）全問題・超図解解説

STEP 1床 $\text{A}$―$\text{A}'$ 上で力学的エネルギー保存則を立てる
床 $\text{A}$―$\text{A}'$ はなめらか（摩擦なし）なので、ばねを自然長から $d$ だけ縮めて静かに放してから、自然長に戻って $\text{P}$ がばねから離れ、$\text{A}'$ に達するまでの間、力学的エネルギーが保存されます。
$\text{A}'$ での $\text{P}$ の速度を $v_0$（右向きなので $v_0 > 0$）とすると、

両辺に $\dfrac{2}{m}$ を掛けて $v_0 > 0$ について解きます。

STEP 1(2) 小物体 $\text{P}$ の運動方程式から床に対する加速度 $a_{\text{P}}$ を求める
$\text{P}$ が台の上を右向きにすべっている間、鉛直方向の力のつりあいより、$\text{P}$ が台から受ける垂直抗力の大きさ $N$ は $N = mg$ です。
$\text{P}$ は台に対して右向きに動いているため、台の上面から左向き（負の向き）に大きさ $\mu N = \mu mg$ の動摩擦力を受けます。
床に対する $\text{P}$ の加速度を $a_{\text{P}}$（右向き正）として、$\text{P}$（質量 $m$）の運動方程式を立てます。

STEP 2(3) 台の運動方程式を立てて床に対する台の加速度 $a_{\text{台}}$ を求める
作用・反作用の法則により、台（質量 $3m$）は上面で $\text{P}$ から右向き（正の向き）に大きさ $\mu mg$ の動摩擦力を受けます（床 $\text{B}$―$\text{B}'$ はなめらかなので床からの摩擦は $0$ です）。
床に対する台の加速度を $a_{\text{台}}$（右向き正）として、台（質量 $3m$）の運動方程式を立てます。

STEP 3「台に対する $\text{P}$ の加速度（相対加速度）」を計算する
「Aに対するBの物理量」は必ず （Bの量）$-$（Aの量） です！したがって、台に対する $\text{P}$ の相対加速度 $a_{\text{台}\to\text{P}}$ は、

STEP 1(4) 台から見た相対運動の公式 $v^2 - {v_0}^2 = 2ax$ で一発導出！
「台上をすべった距離 $L$」とは、台から見た $\text{P}$ の移動距離（相対変位）のことです！
・乗り移った瞬間（始め）：台は止まっているので、台に対する $\text{P}$ の初速度は $v_{\text{相}0} = v_0 - 0 = v_0 = d\sqrt{\dfrac{k}{m}}$
・台に対して静止した瞬間（終わり）：台に対する $\text{P}$ の相対速度は $v_{\text{相}} = 0$
・台に対する $\text{P}$ の相対加速度：設問 (3) より $a_{\text{台}\to\text{P}} = -\dfrac{4}{3}\mu g$（一定）
よって、等加速度直線運動の公式 ${v_{\text{相}}}^2 - {v_{\text{相}0}}^2 = 2 a_{\text{台}\to\text{P}} L$ に代入すると、時間 $t$ を求めなくても一瞬で $L$ が出せます！

ここに設問 (1) の ${v_0}^2 = \dfrac{k}{m}d^2$ を代入して $L$ について解きます。

STEP 2(5) 水平方向の運動量保存則（または等加速度運動の式）から一体となった速度 $V$ を求める
【解法A：運動量保存則（最速！）】
$\text{P}$ が台上に乗り移った後、「$\text{P}$ と台を合わせた系」には水平方向に外力が一切働きません（動摩擦力 $\pm\mu mg$ は内力なので打ち消し合います）。
よって、水平方向の運動量が保存されます。一体となったときの共通の速度を $V$ とすると、

したがって、$V = \dfrac{1}{4}v_0$ となります！設問 (1) の $v_0 = d\sqrt{\dfrac{k}{m}}$ を代入すると、

【解法B：時間 $t_1$ を求める検算】
相対速度が $0$ になる時刻 $t_1$ は、$0 = v_0 + \left(-\dfrac{4}{3}\mu g\right)t_1$ より $t_1 = \dfrac{3v_0}{4\mu g}$。
このときの台の速度 $V$ は $V = 0 + a_{\text{台}} t_1 = \left(\dfrac{1}{3}\mu g\right) \times \dfrac{3v_0}{4\mu g} = \dfrac{1}{4}v_0 = \dfrac{d}{4}\sqrt{\dfrac{k}{m}}$。完全に一致しますね！

STEP 1(6) 摩擦によって失われた力学的エネルギー $\Delta E_{\text{失}}$
【方法1：前後の力学的エネルギーの差から求める】
・乗り移った直後（ばねを縮めた最初のエネルギーと同じ）：$E_{\text{前}} = \dfrac{1}{2}m{v_0}^2 = \dfrac{1}{2}kd^2$
・一体となって速度 $V = \dfrac{1}{4}v_0$ で動いているとき（全体の質量は $m + 3m = 4m$）：

したがって、摩擦によって失われた力学的エネルギー（摩擦熱になった分）$\Delta E_{\text{失}}$ は、

【方法2：動摩擦力 $\mu mg \times$ 台上をすべった距離 $L$ で検算！】
摩擦で失われるエネルギーは常に「（動摩擦力の大きさ）$\times$（こすれ合った相対距離 $L$）」に等しくなります。
$\Delta E_{\text{失}} = \mu mg L = \mu mg \times \dfrac{3kd^2}{8\mu mg} = \dfrac{3}{8}kd^2$。見事に一致！

STEP 2(7) 摩擦力が $\text{P}$ にした仕事 $W_{\text{P}}$
【方法1：$\text{P}$ 単体の「運動エネルギーの変化 ＝ 摩擦力が $\text{P}$ にした仕事」から求める】
$\text{P}$（質量 $m$）の速度は $v_0$ から $V = \dfrac{1}{4}v_0$ に変化しました。水平方向に $\text{P}$ に働いた力は動摩擦力だけなので、

【方法2：床に対する $\text{P}$ の移動距離 $x_{\text{P}}$ から検算！】
$\text{P}$ が床に対して進んだ距離 $x_{\text{P}}$ は、平均の速さ $\dfrac{v_0 + V}{2} \times$ 時間 $t_1$ より、
$x_{\text{P}} = \dfrac{v_0 + \frac{1}{4}v_0}{2} \times \dfrac{3v_0}{4\mu g} = \dfrac{5}{8}v_0 \times \dfrac{3v_0}{4\mu g} = \dfrac{15{v_0}^2}{32\mu g} = \dfrac{15kd^2}{32\mu mg}$。
よって $W_{\text{P}} = (-\mu mg) \times x_{\text{P}} = -\dfrac{15}{32}kd^2$。完全に一致！

STEP 3(8) 摩擦力が台にした仕事 $W_{\text{台}}$
【方法1：台単体の「運動エネルギーの変化 ＝ 摩擦力が台にした仕事」から求める】
台（質量 $3m$）の速度は $0$ から $V = \dfrac{1}{4}v_0$ に変化しました。水平方向に台に働いた力は $\text{P}$ から受ける右向きの動摩擦力だけなので、

【方法2：床に対する台の移動距離 $x_{\text{台}}$ と全体の仕事の関係から検算！】
台が床に対して進んだ距離 $x_{\text{台}}$ は $x_{\text{P}} - L = \left(\dfrac{15}{32} - \dfrac{12}{32}\right)\dfrac{kd^2}{\mu mg} = \dfrac{3kd^2}{32\mu mg}$。
よって $W_{\text{台}} = (+\mu mg) \times x_{\text{台}} = \dfrac{3}{32}kd^2$。
さらに、$W_{\text{P}} + W_{\text{台}} = -\dfrac{15}{32}kd^2 + \dfrac{3}{32}kd^2 = -\dfrac{12}{32}kd^2 = -\dfrac{3}{8}kd^2 = -(\text{失われた力学的エネルギー }\Delta E_{\text{失}})$ となっており、(6)・(7)・(8) の3問すべてが1ミリの狂いもなく整合していることが確認できます！