1つ目：$|x-3|<2$ は「3からの距離が2未満」。$-2<x-3<2$ より $1<x<5$。
📌 このページの使い方
- 過去問集をお持ちの方：本番と同じ80分で解き、答え一覧で採点してから解説へ
- お持ちでない方：各小問の「どういう問題か」を読めば、問題の中身がそのまま分かります
- 最後にそっくり類題セット（PDF版あり）を80分で解き、初見でも同じ解き方ができるか確かめる
※ 著作権に配慮し、入試問題の本文・図は掲載していません。空欄の記号（ア・イ・…）は、本番の解答欄との対応を示すためのものです。※ 係数が−1の欄が1マスのとき、「−」を入れて−1を表すと読んでいます（1(C)のサ、3(1)のイ、4(3)のシ）。表記の解釈なので「要確認」を付けています。
⚠️ 問題等で誤りを発見された場合、修正しますので、TMPS医学館までLINEを下さい。（迅速に確認・更新いたします）
LINEで誤りを連絡3分で分かる 2026年度の国際医療福祉大の数学
- ✅ 全4大問・試験時間80分。すべて空欄に数字や符号を入れるマーク式で、途中の記述はありません。
- ✅ 第1問は5つの小問(A)〜(E)の集合。絶対値不等式、最短経路の数え上げ、比例式、三角関数の合成、確率変数。1つ1つは短く、確実に取りたい所です。なお(E)は過去問集の注記で、出題範囲外のため全員正解扱いとされています。
- ✅ 第2〜4問は「誘導つきの中型問題」。第2問は連続する整数の和（整数の性質）、第3問は2次方程式の虚数解と複素数平面、第4問は分数関数の増減と定積分。前半の誘導に乗れば、後半の計算も追えます。
- ✅ 差がつくのは「計算の正確さ」と「取れる所の見極め」。第2問(3)の合同式、第3問(3)の整理、第4問(3)の積分値は、手順を落ち着いて追えるかで分かれます。
Yuiちゃん
4つしか大問がないのに、80分で終わるでしょうか…。
ニックニ先生
第1問は短い問題の集まりだから、15分で取り切るのが目標だ。残りの65分を3つの大問に配分すれば、無理のないペースになる。Yuiちゃん
空欄が多いと、どこで間違えたか分からなくなりそうです。ニックニ先生
だから途中式は必ず手元に残す。空欄の答えが合っても、途中が曖昧なら次は落とす。80分の立ち回りマップ
時間はTMPSの目安です。解く順番と「捨てどころ」をセットで覚えておきましょう。
🧭 おすすめの解く順番
第1問 → 第2問 → 第3問 → 第4問 → 見直し5分
各大問の前半（(1)(2)）は誘導に乗れば短時間で取れます。後半の(3)で詰まったら、他の大問の前半を先に取りに行き、時間が余ったら戻りましょう。
本番の答え一覧（採点用）
解説を読む前の採点用です。すべての空欄を、記号計算と全数探索のスクリプトで独立に確かめています（結果は下の注記）。
第1問
(A) ア1 イ5 ウ2 エ5(B) オカ90 キクケ142(C) コ5 サ−（−1） シ9 ス2 セ5(D) ソ2 タ/チ＝2/3 ツ2 テ/ト＝2/3 ナ4(E) ニヌ25 ネノ66（全員正解扱い）
第2問
(1) アイ15 ウ4 エ4 オ3(2) カ2 キ3 ク3 ケ2 コ2(3) サシ47 スセ12 ソ5 タチ12 ツ5 テト47 ナニ20 ヌネ29
第3問
(1) ア4 イ−（−1） ウ1(2) エ/オ＝1/4 カ/キ＝1/4(3) ク1 ケ2 コ4 サ2 シ2 ス4 セ4 ソ2 タ2 チ2 ツ2 テ2
第4問
(1) ア0(2) イ1 ウ2 エ2 オ1 カ2 キ1 ク2 ケ2 コ1 サ2(3) シ−（−1） ス2 セ1 ソ2 タ2 チツ−1 テト−1 ナ2 ニ1 ヌ4
⚠️ 要確認：係数が−1のとき欄が1マスなら「−」で−1を表す、と読んだ欄（1(C)サ、3(1)イ、4(3)シ）。本番の表記の解釈なので、断定せずに「要確認」としています。
※ 検算：本番の全空欄を、sympy（記号計算）と全数探索・数値計算で確かめ、すべて一致しました。第1問(E)は全員正解扱いですが、参考の値も計算で確認しています。
採点したら → 30秒の得点診断へ第1問 小問集合 ── 短い問題を確実に、(E)は出題範囲外
5つの独立した小問が並びます。1つあたり3〜4分が目安で、ここで取りこぼすと後半の大問で取り返しにくくなります。
現場戦略試験会場でのリアルな立ち回り（第1問）
⏱ 目標時間 & 死守ライン目標15分（(A)3分・(B)4分・(C)2分・(D)4分、(E)は気づいたら飛ばす）。全部で13問分の空欄を確実に取る。
⚠️ 損切り・警戒ライン(B)で場合分けが複雑になったら、「全体から引く」考え方に切り替える。5分を超えたら先へ。
💡 初手の思考トリガー(A)は場合分けの境目、(B)は通る点で区切る、(C)は比例定数 t をおく、(D)は2倍角で次数を下げる。
(A)絶対値を含む不等式（空欄ア〜エ）
📝 どういう問題か？
同じ点を中心にした絶対値の不等式と、絶対値が2つ入った不等式を解く問題。1つ目の考え方を2つ目に生かす。
- ア〜イ：1つ目の不等式の解の範囲を「（ア）＜x＜（イ）」の形で答える
- ウ〜エ：2つ目の不等式（絶対値が2つ）の解の範囲を「（ウ）＜x＜（エ）」の形で答える
2つ目：絶対値の中が0になる $x=3$ と $x=9$ を境目にして、3つの範囲に分けます。
$$\begin{array}{lll}x<3 & 3(3-x)+(9-x)=18-4x<10 & \Rightarrow\ x>2\ \ \Rightarrow\ \ 2<x<3\\[2pt] 3\le x<9 & 3(x-3)+(9-x)=2x<10 & \Rightarrow\ x<5\ \ \Rightarrow\ \ 3\le x<5\\[2pt] x\ge 9 & 3(x-3)+(x-9)=4x-18<10 & \Rightarrow\ x<7\ \ \Rightarrow\ \ \text{なし}\end{array}$$
3つの範囲をつなげて $2<x<5$。
🎯 (A) の答え
ア：1イ：5ウ：2エ：5
⚠️ 境目の等号を落とさない。$x=3$ はどちらの範囲に入れても同じ結果になるが、「どの式で計算したか」を決めずに混ぜると式が合わなくなる。
(B)最短経路の数え上げ（空欄オカ・キクケ）
📝 どういう問題か？
東西6本・南北7本の道路が格子状にある街で、出発点Aから目的地Bまで最短で行く道順を数える。途中の2地点P・Qを通る・通らないで分けて数える。
- オカ：2つの地点P・Qをどちらも通る最短経路の数（2桁）
- キクケ：PもQも通らない最短経路の数（3桁）
AからBへは「東へ6区画・北へ5区画」進むので、全体は $\binom{11}{5}=462$ 通り。Pは「東3・北2」、Qは「東4・北4」の位置です。
両方を通る：A→P→Q→B と区切って、それぞれの道順を掛けます。A→P は東3・北2で $\binom{5}{2}=10$ 通り、P→Q は東1・北2で $\binom{3}{1}=3$ 通り、Q→B は東2・北1で $\binom{3}{1}=3$ 通り。
$$10\times3\times3=90\ \text{（オカ）}$$
どちらも通らない：「全体 − （Pを通る＋Qを通る − 両方を通る）」で数えます（包除原理）。
$$\text{Pを通る}=10\times\binom{6}{3}=10\times20=200,\qquad \text{Qを通る}=\binom{8}{4}\times3=70\times3=210$$
$$462-(200+210-90)=142\ \text{（キクケ）}$$
🎯 (B) の答え
オカ：90キクケ：142
Yuiちゃん
「どちらも通らない」を直接数えようとして、場合分けが増えてしまいました…。ニックニ先生
「通らない」は直接数えない。「全体から、通るものを引く」が鉄則だ。ただし、PとQの両方を通るものを二重に引かないよう、足し戻すことを忘れない。(C)連比（空欄コ〜セ）
📝 どういう問題か？
3つの式が等しいという比例式から、x:y:z を求め、別の式の値を出す。
- コ・サ・シ：3つの文字を比例定数 k で表したときの係数（x＝（コ）k、y＝（サ）k、z＝（シ）k）
- ス・セ：ある式の値を既約分数（ス／セ）で答える
共通の値を $t$ とおくと $x+y=2t,\ y+z=4t,\ z+x=7t$。3式を足して $x+y+z=\dfrac{13}{2}t$ なので、各文字は「合計から、他の2つの和を引く」で出ます。
$$x=\tfrac{13}{2}t-4t=\tfrac52 t,\quad y=\tfrac{13}{2}t-7t=-\tfrac12 t,\quad z=\tfrac{13}{2}t-2t=\tfrac92 t$$
分数を消すため $k=\dfrac{t}{2}$ とおくと $x=5k,\ y=-k,\ z=9k$。したがって $x:y:z=5:-1:9$。
$$\frac{x-y}{x-y+z}=\frac{6k}{6k+9k}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$$
🎯 (C) の答え
コ：5サ：−（−1）シ：9ス：2セ：5
⚠️ サの欄は1マスなので、「−1」を「−」と書いて答えると読んでいます 要確認。符号欄と数字欄が別にあるのか、1マスだけなのかは、問題用紙の欄の形で確かめてください。
(D)三角関数の合成と最大値（空欄ソ〜ナ）
📝 どういう問題か？
sinとcosの2次式の関数を、cosを1つだけ使った形に直し、指定された範囲での最大値と、そのときのθを答える。
- ソ・ツ：f(θ) を「（ソ）cos(2θ＋…π)＋（ツ）」の形に直したときの数
- タ／チ：角の位相を表す分数（0以上2π未満）
- テ／ト：最大値をとる θ を表す分数（0≦θ≦π）
- ナ：最大値
$\sin^2\theta=\dfrac{1-\cos2\theta}{2}$、$\sin\theta\cos\theta=\dfrac{\sin2\theta}{2}$ を使って、2倍角だけの式にします。
$$f=(1-\cos2\theta)-\sqrt3\sin2\theta+1=2-\left(\cos2\theta+\sqrt3\sin2\theta\right)=2-2\cos\left(2\theta-\tfrac{\pi}{3}\right)$$
マイナスを角に吸収するには $-\cos A=\cos(A+\pi)$。$2\theta-\dfrac{\pi}{3}+\pi=2\theta+\dfrac{2}{3}\pi$ なので、
$$f(\theta)=2\cos\left(2\theta+\tfrac{2}{3}\pi\right)+2$$
$0\le\theta\le\pi$ のとき、角 $2\theta+\dfrac23\pi$ は $\dfrac23\pi$ から $\dfrac83\pi$ まで動きます。$\cos=1$ となるのは $2\pi$ のとき（$4\pi$ は範囲外）なので $\theta=\dfrac23\pi$、最大値は $2+2=4$。
🎯 (D) の答え
ソ：2タ／チ：2／3ツ：2テ／ト：2／3ナ：4
⚠️ 「0以上2π未満」の指定があるので、$-\dfrac{\pi}{3}$ のままでは答えにならない。必ず $2\pi$ を足して範囲に収める。角の動く範囲を書き出して、最大になる位置が範囲に入るか確かめる。
(E)確率変数の和・差（空欄ニヌ・ネノ）
📝 どういう問題か？
2つの独立な確率変数 X, Y の期待値・分散が与えられ、aX＋bY の形の確率変数の期待値と分散を求める。
- ニヌ：1次結合の期待値（2桁）
- ネノ：1次結合の分散（2桁）
過去問集の注記では、この小問は出題範囲外のため全員正解扱いとされています。参考として考え方だけを書きます。
$$E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y),\qquad V(aX+bY)=a^2V(X)+b^2V(Y)\ \ (X,Y\text{が独立のとき})$$
値を代入して計算すると、期待値は25、分散は66でした（スクリプトでも確認済み）。独立のときだけ分散が足せること、$b$ が負でも $b^2$ が掛かることが要点です。
🎯 (E) の答え（参考）
ニヌ：25ネノ：66※ 全員正解扱い
ニックニ先生の総整理表
第1問：小問の型と着眼点
| 小問 | 型 | 着眼点 |
|---|---|---|
| (A) | 絶対値の不等式 | 境目（中が0になる点）で場合分け。距離で読める形は距離で |
| (B) | 最短経路 | 通る点で区切って掛ける。「通らない」は全体から引く（包除原理） |
| (C) | 連比 | 比例定数 t をおいて連立。分数を消す k をおく |
| (D) | 三角関数の合成 | 2倍角で1次式にしてから合成。角は指定範囲に収める |
| (E) | 確率変数 | 期待値は線形、分散は独立なら係数の2乗（全員正解扱い） |
TMPSコーチング診断
🩺【自己診断】第1問で手が止まった人への処方箋
- (A)場合分けで式がずれる → 境目の点を数直線に書き、範囲ごとに絶対値を外す式を並べてから計算する
- (B)数えもれ・二重に数える → 地点で区切って掛ける（積の法則）。「ない」は全体−（A＋B−A∩B）
- (C)比の式が3つあって混乱 → 共通の値を t とおいて3つの連立方程式にする。足して全体の和を出す
- (D)合成で符号がずれる → sin2θ・cos2θ の係数から $r\cos(2\theta-\alpha)$ を作り、マイナスは $+\pi$ で角に吸収
第2問 連続する整数の和 ── S(a,b) の公式を作り、(3)は合同式で締める
「a から始まる連続する b 個の整数の和」を S(a,b) と定義し、約数・不定方程式・余りへと進む問題です。最初に公式を作ることで、(1)〜(3) がすべて同じ道具で解けます。
現場戦略試験会場でのリアルな立ち回り（第2問）
⏱ 目標時間 & 死守ライン目標22分（(1)6分・(2)6分・(3)10分）。(1)(2)で12分、(3)は不定方程式を解いてから余りの計算に10分。
⚠️ 損切り・警戒ライン(3)の余りの計算で1分以上迷ったら、冪を2乗で分解して計算する（暗算で冪を計算しない）。
💡 初手の思考トリガー最初の一手はS(a,b) の公式。等差数列の和なので $S(a,b)=\dfrac{b(2a+b-1)}{2}$。以後はこの式に代入するだけ。
公式S(a,b) を式にする
$a$ から始まる $b$ 個の連続する整数は、初項 $a$・公差 $1$・項数 $b$ の等差数列です。
$$S(a,b)=\frac{b\{2a+(b-1)\}}{2}=\frac{b(2a+b-1)}{2}$$
(1)和の値と、その表し方の個数（空欄アイ・ウ・エ・オ）
📝 どういう問題か？
具体的な S の値を求めたうえで、同じ値になる (a,b) の組を全部数える。a と b が正の整数であることが条件。
- アイ：S(1,5) の値（2桁）
- ウ：S(a,b)が同じ値になる(a,b)の組の総数
- エ・オ：その中で a が偶数であるものの (a,b) の値
$S(1,5)=\dfrac{5\cdot10}{2}=15$。次に $S(a,b)=15$ すなわち $b(2a+b-1)=30$ を解きます。ここで $b$ と $2a+b-1$ は偶奇が異なり、かつ $2a+b-1\ge b+1$（$a\ge1$）です。
$$b=1:\ 2a=30\to a=15,\quad b=2:\ 2a+1=15\to a=7,\quad b=3:\ 2a+2=10\to a=4,\quad b=5:\ 2a+4=6\to a=1$$
$b=6$ のとき $2a+5=5$ で $a=0$（不適）。したがって $(a,b)=(15,1),(7,2),(4,3),(1,5)$ の 4組。このうち $a$ が偶数なのは $(4,3)$ だけです。
🎯 (1) の答え
アイ：15ウ：4エ：4オ：3
(2)S(m,2n)＝S(3m,n) を解く（空欄カ〜コ）
📝 どういう問題か？
2つの S が等しいという条件から、m と n の関係式を作り、その整数解を k で表す。
- カ・キ：m と n の1次式の係数（カm−キn＋1＝0）
- ク・ケ・コ：整数解を正の整数 k で表した (m,n)＝(ク k−ケ，コ k−1)
$$S(m,2n)=n(2m+2n-1),\qquad S(3m,n)=\frac{n(6m+n-1)}{2}$$
$n>0$ で割って $2(2m+2n-1)=6m+n-1$。整理すると $2m-3n+1=0$。
$2m=3n-1$ より $3n-1$ が偶数、すなわち $n$ は奇数。$n=2k-1$ とおくと $m=\dfrac{3(2k-1)-1}{2}=3k-2$。
$$(m,n)=(3k-2,\ 2k-1)\quad(k=1,2,3,\dots)$$
🎯 (2) の答え
カ：2キ：3ク：3ケ：2コ：2
(3)S(m,6m)＝S(6n,m) を解き、余りを求める（空欄サシ〜ヌネ）
📝 どういう問題か？
(2)と同じ道具で関係式を作り、整数解を l で表す。最後に、m+n を l で表して、12乗の余りを合同式で求める。
- サシ・スセ・ソ：関係式（サシ m − スセ n − ソ ＝ 0）
- タチ・ツ・テト・ナニ：整数解を正の整数 l で表した (m,n)＝(タチ l−ツ，テト l−ナニ)
- ヌネ：(m+n)の12乗を59で割った余り（2桁）
$$S(m,6m)=3m(8m-1),\qquad S(6n,m)=\frac{m(12n+m-1)}{2}$$
$m>0$ で割って $6(8m-1)=12n+m-1$。整理すると $47m-12n-5=0$。
$47m\equiv5\pmod{12}$ で、$47\equiv-1$ だから $m\equiv-5\equiv7\pmod{12}$。$m=12l-5$ とおくと、$n=\dfrac{47m-5}{12}=47l-20$。
$$(m,n)=(12l-5,\ 47l-20)\quad(l=1,2,\dots)$$
$m+n=59l-25\equiv-25\pmod{59}$。ここで $(m+n)^{12}\equiv(-25)^{12}=25^{12}\pmod{59}$ を、2乗を繰り返して計算します。
$$25^2=625\equiv35,\quad 25^4\equiv35^2=1225\equiv45,\quad 25^8\equiv45^2=2025\equiv19$$
$$25^{12}=25^8\cdot25^4\equiv19\times45=855\equiv29\pmod{59}$$
🎯 (3) の答え
サシ：47スセ：12ソ：5タチ：12ツ：5テト：47ナニ：20ヌネ：29
Yuiちゃん
12乗なんて、大きすぎて計算できません…。ニックニ先生
12乗は $12=8+4$ に分けて、2乗を繰り返すんだ。59で割った余りを毎回取れば、数字は小さいまま。「冪は2乗の繰り返し」と覚えておこう。ニックニ先生の総整理表
第2問：公式から合同式まで
| 小問 | 型 | 着眼点 |
|---|---|---|
| (1) | 約数と等差数列 | $b(2a+b-1)=2S$ と偶奇の違いで約数の組を絞る |
| (2) | 不定方程式 | $S$ を公式で書いて共通因数 $n$ で割る → 1次の関係式 → 整数解を k で表す |
| (3) | 合同式 | 1次の関係式の整数解を作り、冪の余りは2乗を繰り返す |
TMPSコーチング診断
🩺【自己診断】第2問で手が止まった人への処方箋
- 公式$S(a,b)$ が式にできない → 等差数列の和の公式（初項・公差・項数）に当てはめる練習をする
- (1)組の数が合わない → 積が定数のとき、偶奇の違いと $a\ge1$ の条件で絞り、書き出して数える
- (2)(3)整数解の形が出ない → $4m=3n-1$ のような式は、余りの条件から $n$ を $k$ で表し、$m$ を逆算
- (3)冪の余りが出ない → $12=8+4$ に分けて、2乗を繰り返す。毎回、余りを取って数を小さく保つ
第3問 2次方程式の虚数解と複素数平面 ── 解と係数の関係から図形の条件へ
$ax^2+bx+1=0$ が2つの虚数解 $\alpha,\beta$ をもつとき、係数 $a,b$ の条件を求めていきます。(1)で作った $\alpha+\beta,\ \alpha\beta$ が、(2)(3)の道具になります。
現場戦略試験会場でのリアルな立ち回り（第3問）
⏱ 目標時間 & 死守ライン目標20分（(1)3分・(2)5分・(3)12分）。(1)(2)は誘導どおりで素直、(3)は式の整理に時間をかける。
⚠️ 損切り・警戒ライン(3)は「どの頂点が直角か」を読み違えると全滅。条件を図に書いて確認する。5分考えて式が立たなければ、(1)(2)を見直しに回す。
💡 初手の思考トリガー最初の一手は共役な虚数解の性質：$\beta=\bar\alpha$ なので $|\alpha|^2=\alpha\beta=\dfrac1a$、$\dfrac{\alpha}{\beta}$ と $\dfrac{\beta}{\alpha}$ も互いに共役。
(1)虚数解をもつ条件と、解と係数の関係（空欄ア・イ・ウ）
📝 どういう問題か？
判別式と解と係数の関係を使って、a と b が満たす不等式と、解の和・積を式で表す。
- ア：虚数解をもつための条件（b² ＜ ア a）
- イ・ウ：解の和と積（α＋β＝イ b／a、αβ＝ウ／a）
虚数解をもつ ⇔ 判別式 $b^2-4a<0$。したがって $b^2<4a$。（このとき $a>0$ も分かる。）解と係数の関係から
$$\alpha+\beta=-\frac{b}{a},\qquad \alpha\beta=\frac1a$$
🎯 (1) の答え
ア：4イ：−（−1）ウ：1
⚠️ イの欄は1マスで「−」と答える 要確認。$-\dfrac{b}{a}$ の符号を落として $+$ にしないこと。
(2)解の絶対値が2以上となる条件（空欄エ〜キ）
📝 どういう問題か？
2つの虚数解の絶対値が、どちらも2以上になるように、a と b の範囲を求める。
- エ／オ・カ／キ：a と b の条件（エ／オ b² ＜ a ≦ カ／キ）の2つの分数
虚数解は互いに共役なので $|\alpha|=|\beta|$ で、$|\alpha|^2=\alpha\bar\alpha=\alpha\beta=\dfrac1a$。$|\alpha|\ge2$ ⇔ $\dfrac1a\ge4$ ⇔ $a\le\dfrac14$。(1)の $b^2<4a$ とあわせて
$$\frac14 b^2<a\le\frac14$$
🎯 (2) の答え
エ／オ：1／4カ／キ：1／4
(3)複素数平面の三角形の条件から a, b の関係式へ（空欄ク〜テ）
📝 どういう問題か？
複素数平面上の3点（原点と、α／β、β／α）がつくる三角形が直角二等辺三角形になる条件から、a と b の関係式を作る。
- ク・ケ：複素数の絶対値と、その2乗の値
- コ・サ・シ：|α−β|² を a と b で表す式（コ／a − b^サ／a^シ）
- ス〜チ：a と b の関係式（b^ス − セ a b^ソ ＋ タ a^チ ＝ 0）
- ツ・テ：b² を a で表した式（b²＝(ツ ± √テ) a）
$\dfrac{\alpha}{\beta}$ と $\dfrac{\beta}{\alpha}$ は共役で、どちらの絶対値も 1（原点からの2辺が等しい）。直角が原点にあるので、残りの辺は $\sqrt2$、つまり $\left|\dfrac{\alpha}{\beta}-\dfrac{\beta}{\alpha}\right|^2=2$。
次に $|\alpha-\beta|^2$ を $a,b$ で表します。$(\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=\dfrac{b^2-4a}{a^2}$ で、これは負（虚数解）なので
$$|\alpha-\beta|^2=\frac{4a-b^2}{a^2}=\frac4a-\frac{b^2}{a^2}$$
一方、$\dfrac{\alpha}{\beta}-\dfrac{\beta}{\alpha}=\dfrac{(\alpha-\beta)(\alpha+\beta)}{\alpha\beta}$ なので、絶対値の2乗は
$$\frac{|\alpha-\beta|^2\,|\alpha+\beta|^2}{|\alpha\beta|^2}=\frac{4a-b^2}{a^2}\cdot\frac{b^2}{a^2}\cdot a^2=\frac{(4a-b^2)\,b^2}{a^2}=2$$
整理すると $b^4-4ab^2+2a^2=0$。$b^2$ の2次方程式として解くと
$$b^2=\frac{4a\pm\sqrt{16a^2-8a^2}}{2}=(2\pm\sqrt2)\,a$$
どちらも $b^2<4a$ をみたす（$2+\sqrt2<4$）ので、両方とも有効です。
🎯 (3) の答え
ク：1ケ：2コ：4サ：2シ：2ス：4セ：4ソ：2タ：2チ：2ツ：2テ：2
Yuiちゃん
$|\alpha-\beta|^2$ が $\dfrac4a-\dfrac{b^2}{a^2}$ になる所で、符号が合いませんでした。ニックニ先生
虚数解だから $(\alpha-\beta)^2$ は負の実数だ。絶対値を取ると符号が反転して $\dfrac{4a-b^2}{a^2}$ になる。「虚数解は共役」と「判別式が負」を結びつけて覚えておこう。ニックニ先生の総整理表
第3問：誘導の使い方
| 小問 | 型 | 着眼点 |
|---|---|---|
| (1) | 判別式・解と係数 | 虚数解なら判別式が負。$\alpha+\beta=-b/a,\ \alpha\beta=1/a$ |
| (2) | 共役複素数の絶対値 | $|\alpha|^2=\alpha\beta$ を使い、$a$ の上限を出す |
| (3) | 複素数平面の三角形 | 辺の長さ条件を $\alpha\beta,\ \alpha+\beta$ で書き、$b^2$ の2次方程式にする |
TMPSコーチング診断
🩺【自己診断】第3問で手が止まった人への処方箋
- (1)虚数解の条件が出ない → 判別式 $b^2-4a<0$ を先に書く。解と係数は符号に注意
- (2)絶対値の扱いで迷う → 共役なので $|\alpha|^2=\alpha\beta$。実数 $1/a$ に直してから不等式にする
- (3)三角形の条件が式にならない → 図を描いて、等しい辺・直角の位置を確認。長さは $|\alpha-\beta|$ の形に直す
- (3)最後の2次方程式が解けない → $b^2$ を1文字にして $X^2-4aX+2a^2=0$ と見る
第4問 分数関数の増減と定積分 ── F'(t) は f の差、積分は分けて計算
分数関数 $f(x)=\dfrac{x-1}{x^2+1}$ の極値と、長さ1の区間での積分 $F(t)=\displaystyle\int_t^{t+1}f(x)\,dx$ の最小を扱う問題です。(3)で $F'(t)=f(t+1)-f(t)$ に気づけるかが最大のポイントです。
現場戦略試験会場でのリアルな立ち回り（第4問）
⏱ 目標時間 & 死守ライン目標18分（(1)2分・(2)6分・(3)10分）。(1)(2)は微分の計算力、(3)は微分の式の整理と積分の2つの値。
⚠️ 損切り・警戒ライン(3)で分子の整理が合わない時は、$f(t+1)-f(t)$ を通分した分子だけ展開して因数分解。5分で見えなければ(1)(2)を確実にして終える。
💡 初手の思考トリガー最初の一手は(2)の微分：商の微分で分子を整理すると $-x^2+2x+1$。(3)の $F'$ も分子の整理が同じ型。
(1)x が無限大に行くときの極限（空欄ア）
📝 どういう問題か？
分子が1次、分母が2次の分数関数の極限を答える。
- ア：x→±∞ で f(x) が近づく値
分母の次数が分子より高いので、$x\to\pm\infty$ で $f(x)\to0$。
🎯 (1) の答え
ア：0
(2)極値（空欄イ〜サ）
📝 どういう問題か？
導関数の符号の変化から、最大・最小になる点と、その値を求める。
- イ・ウ・エ・オ・カ：最大値をとる x と最大値（（√エ）−オ）／カ の形）
- キ・ク・ケ・コ・サ：最小値をとる x と最小値（−（√ケ+コ）／サ の形）
$$f'(x)=\frac{(x^2+1)-(x-1)\cdot2x}{(x^2+1)^2}=\frac{-x^2+2x+1}{(x^2+1)^2}$$
$x^2-2x-1=0$ より $x=1\pm\sqrt2$。分子 $-x^2+2x+1$ は上に凸の放物線なので、$x=1-\sqrt2$ の前後で負→正（極小）、$x=1+\sqrt2$ の前後で正→負（極大）。無限遠で $f\to0$ なので、これらが最小・最大です。
$$f(1+\sqrt2)=\frac{\sqrt2}{(1+\sqrt2)^2+1}=\frac{\sqrt2}{4+2\sqrt2}=\frac{\sqrt2-1}{2},\qquad f(1-\sqrt2)=\frac{-\sqrt2}{4-2\sqrt2}=-\frac{\sqrt2+1}{2}$$
🎯 (2) の答え
イ：1ウ：2エ：2オ：1カ：2キ：1ク：2ケ：2コ：1サ：2
(3)F(t) の微分と最小値（空欄シ〜ヌ）
📝 どういう問題か？
積分の上端・下端がずれる関数 F(t) の導関数を作り、増減から最小になる t を決める。その最小値を、2つの定積分に分けて求める。
- シ・ス・セ・ソ・タ：F′(t) の分子の係数と分母の式
- チツ：F(t) が最小になる t の値
- テト・ナ・ニ・ヌ：最小値を log2 と π の項で表した係数
微分：$F(t)=\displaystyle\int_t^{t+1}f(x)dx$ の導関数は「上端の値 − 下端の値」で $F'(t)=f(t+1)-f(t)$。
$$F'(t)=\frac{t}{(t+1)^2+1}-\frac{t-1}{t^2+1}=\frac{t(t^2+1)-(t-1)(t^2+2t+2)}{(t^2+1)(t^2+2t+2)}$$
分子を展開して整理すると、
$$t^3+t-(t^3+t^2-2)=-t^2+t+2=-(t-2)(t+1)$$
$$F'(t)=\frac{-t^2+t+2}{(t^2+1)(t^2+2t+2)}$$
分母は常に正。分子 $-(t-2)(t+1)$ の符号は、$t<-1$ で負、$-1<t<2$ で正、$t>2$ で負。よって $F(t)$ は $t=-1$ で極小（このあと $t=2$ で極大）。問題が求めるのは最小の方で、$t=-1$。
最小値：$F(-1)=\displaystyle\int_{-1}^{0}\dfrac{x-1}{x^2+1}dx$ を、分子で2つに分けて計算します。
$$\int_{-1}^{0}\frac{x}{x^2+1}dx=\left[\tfrac12\log(x^2+1)\right]_{-1}^{0}=-\tfrac12\log2,\qquad \int_{-1}^{0}\frac{dx}{x^2+1}=\bigl[\arctan x\bigr]_{-1}^{0}=\frac\pi4$$
$$F(-1)=-\tfrac12\log2-\frac{\pi}{4}$$
🎯 (3) の答え
シ：−（−1）ス：2セ：1ソ：2タ：2チツ：−1テト：−1ナ：2ニ：1ヌ：4
⚠️ シの欄は1マスで「−」と答える（$-t^2$ の係数が $-1$）要確認。「$F(t)$ の最小値」を聞かれているので、極大の $t=2$ と取り違えないこと。
Yuiちゃん
$F'(t)$ を作るところが分かりませんでした。積分を先に計算してから微分するんですか？ニックニ先生
いや、積分は後回しだ。$F(t)=G(t+1)-G(t)$（G は f の原始関数）と考えれば、微分は $f(t+1)-f(t)$。原始関数を求めなくても導関数が作れる。この型は頻出だ。ニックニ先生の総整理表
第4問：微積分の型
| 小問 | 型 | 着眼点 |
|---|---|---|
| (1) | 分数関数の極限 | 次数の比較。分母が高次なら 0 |
| (2) | 商の微分と極値 | 分子 $-x^2+2x+1$ の符号変化で増減を決める |
| (3) | 区間がずれる積分 | $F'(t)=f(t+1)-f(t)$。分子の因数分解で増減。積分は分子で2つに分ける |
TMPSコーチング診断
🩺【自己診断】第4問で手が止まった人への処方箋
- (1)極限で迷う → 分母・分子の最高次の次数を比べる
- (2)極値の値が合わない → 商の微分の分子を展開して整理。$(1\pm\sqrt2)^2$ は $3\pm2\sqrt2$
- (3)$F'(t)$ が作れない → 上端−下端の考え方で、積分を計算せずに微分する
- (3)積分値が合わない → $\frac{x}{x^2+1}$ は対数、$\frac{1}{x^2+1}$ は arctan に分ける。範囲は −1 から 0
TMPS ORIGINAL
国際医療福祉大2026型 そっくり類題セット
国際医療福祉大2026型 そっくり類題セット
（全4大問・解答解説つき）
2026年度の本番と同じ4大問・同じ小問構成で、数値と設定を変えたTMPSオリジナル問題です。公式を作って使い切る力と、計算の正確さの練習に使ってください。
試験時間の目安 80分小問集合・整数・複素数・微積分
📄 本番形式の問題冊子PDFをダウンロード（全5ページ）
印刷して本番と同じように80分で解けます。解答・解説はこのページの下に掲載しています。
※ 国際医療福祉大学の入試問題ではありません。本文・設問・人物・団体（架空）はすべてTMPS医学館が作成したオリジナルで、出典のある引用ではありません。
類題 第1問
次の文章中の ア〜ノ に適する符号または数字を解答用紙の所定の欄にマークせよ。
(A)
$x$ を実数とする。
不等式 $|x-4|<3$ の解は，ア$<x<$イ である。
不等式 $3|x-4|+|x-6|<10$ の解は，ウ$<x<$エ である。
不等式 $|x-4|<3$ の解は，ア$<x<$イ である。
不等式 $3|x-4|+|x-6|<10$ の解は，ウ$<x<$エ である。
(B)
図 道路の図（TMPS作成）
(C)
$\dfrac{x+y}{3}=\dfrac{y+z}{2}=\dfrac{z+x}{7}\ (\neq0)$ のとき，$0$ でない数 $k$ を用いて
$x=$コ$k$，$y=$サ$k$，$z=$シ$k$
と表せる。よって，$\dfrac{x-y}{x-y+z}=\dfrac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}$ である。
$x=$コ$k$，$y=$サ$k$，$z=$シ$k$
と表せる。よって，$\dfrac{x-y}{x-y+z}=\dfrac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}$ である。
(D)
$\theta$ の関数 $f(\theta)=2\cos^2\theta+2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta+1$ は，
$f(\theta)=$ソ$\cos\left(2\theta+\dfrac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}\pi\right)+$ツ
と表せる。ただし，$0\le\dfrac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}\pi<2\pi$ とする。
よって，$0\le\theta\le\pi$ のとき，$f(\theta)$ は $\theta=\dfrac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}\pi$ において最大値 ナ をとる。
$f(\theta)=$ソ$\cos\left(2\theta+\dfrac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}\pi\right)+$ツ
と表せる。ただし，$0\le\dfrac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}\pi<2\pi$ とする。
よって，$0\le\theta\le\pi$ のとき，$f(\theta)$ は $\theta=\dfrac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}\pi$ において最大値 ナ をとる。
(E)
確率変数 $X$ の期待値が $5$ で分散が $4$，確率変数 $Y$ の期待値が $-3$ で分散が $2$ であり，$X$ と $Y$ は互いに独立であるとする。このとき，確率変数 $Z=2X-3Y$ の期待値は ニヌ，分散は ネノ である。
▶ 第1問 の答えと解説を見る
第1問 の答えと解説
(A)
ア：1イ：7ウ：2エ：7
- $|x-4|<3$ より $1<x<7$。
- $x<4$ のとき $3(4-x)+(6-x)=18-4x<10$ より $x>2$。$4\le x<6$ のとき $3(x-4)+(6-x)=2x-6<10$ より $x<8$ で，この範囲はすべて成り立つ。$x\ge 6$ のとき $3(x-4)+(x-6)=4x-18<10$ より $x<7$。
- まとめて $2<x<7$。
(B)
オカ：54キクケ：342
- 東へ7区画，北へ5区画。A→P は東1・北2で $\binom{3}{1}=3$ 通り，P→Q は東5・北1で $\binom{6}{1}=6$ 通り，Q→B は東1・北2で $\binom{3}{1}=3$ 通り。両方を通るのは $3\times6\times3=54$ 通り。
- 全体は $\binom{12}{5}=792$ 通り。Pを通るのは A→P が3通り，P→B（東6・北3）が $\binom{9}{3}=84$ 通りで $3\times84=252$ 通り。Qを通るのは A→Q（東6・北3）$\binom{9}{3}=84$ 通り，Q→B が3通りで $84\times3=252$ 通り。
- 少なくとも一方を通る道順は $252+252-54=450$ 通り。よって，どちらも通らないのは $792-450=342$ 通り。
(C)
コ：4サ：−（−1）シ：3ス：5セ：8
- 共通の値を $k$ とおくと $x+y=3k,\ y+z=2k,\ z+x=7k$。辺々を足して $x+y+z=6k$。
- よって $x=6k-2k=4k,\ y=6k-7k=-k,\ z=6k-3k=3k$。
- $\dfrac{x-y}{x-y+z}=\dfrac{5k}{5k+3k}=\dfrac{5}{8}$。
(D)
ソ：2タ/チ：5/3ツ：2テ/ト：1/6ナ：4
- $2\cos^2\theta=1+\cos2\theta$，$2\sqrt3\sin\theta\cos\theta=\sqrt3\sin2\theta$ より $f=\cos2\theta+\sqrt3\sin2\theta+2=2\cos\left(2\theta-\dfrac{\pi}{3}\right)+2$。
- $-\dfrac{\pi}{3}$ を $0$ 以上 $2\pi$ 未満にそろえて $2\theta+\dfrac{5}{3}\pi$ と書ける。
- $0\le\theta\le\pi$ では $2\theta+\dfrac53\pi$ が $\dfrac53\pi$ から $\dfrac{11}{3}\pi$ まで動く。$\cos=1$ となるのは $2\pi$ のときだけ（$4\pi$ は範囲外）なので $\theta=\dfrac{\pi}{6}$，最大値は $2+2=4$。
(E)
ニヌ：19ネノ：34
- $E(Z)=2\cdot5-3\cdot(-3)=19$。独立なので $V(Z)=2^2\cdot4+(-3)^2\cdot2=16+18=34$。
- （原問の(E)は出題範囲外のため全員正解扱いでしたが，類題では練習用に残しました。）
類題 第2問
次の文章中の ア〜ネ に適する符号または数字を解答用紙の所定の欄にマークせよ。
$a,\ b,\ m,\ n$ を正の整数とする。
$a$ から始まる連続する $b$ 個の整数の和を $S(a,b)$ とする。
$S(a,b)=a+(a+1)+(a+2)+\cdots+(a+b-1)$
である。ただし，$S(a,1)=a$ とする。
$a$ から始まる連続する $b$ 個の整数の和を $S(a,b)$ とする。
$S(a,b)=a+(a+1)+(a+2)+\cdots+(a+b-1)$
である。ただし，$S(a,1)=a$ とする。
(1)
$S(1,6)=$アイ である。また，$S(a,b)=S(1,6)$ を満たす $a,\ b$ の組 $(a,b)$ は $(1,6)$ を含めて全部で ウ 組あり，このうち，$b$ が奇数である組で $a$ が偶数であるものは $\big($エ，オ$\big)$ である。
(2)
$S(m,2n)=S(4m,n)$ のとき
カ$m-$キ$n+1=0$
であるから，正の整数 $k$ を用いて
$(m,\ n)=\big($ク$k-$ケ，コ$k-1\big)$
と表せる。
カ$m-$キ$n+1=0$
であるから，正の整数 $k$ を用いて
$(m,\ n)=\big($ク$k-$ケ，コ$k-1\big)$
と表せる。
(3)
$S(m,7m)=S(10n,m)$ のとき
サシ$m-$スセ$n-$ソ$=0$
であるから，正の整数 $l$ を用いて
$(m,\ n)=\big($タチ$l-$ツ，テト$l-$ナニ$\big)$
と表せる。
このとき，$(m+n)^{12}$ を $41$ で割った余りは ヌネ である。
サシ$m-$スセ$n-$ソ$=0$
であるから，正の整数 $l$ を用いて
$(m,\ n)=\big($タチ$l-$ツ，テト$l-$ナニ$\big)$
と表せる。
このとき，$(m+n)^{12}$ を $41$ で割った余りは ヌネ である。
▶ 第2問 の答えと解説を見る
第2問 の答えと解説
(1)
アイ：21ウ：4エ：6オ：3
- $S(a,b)=\dfrac{b(2a+b-1)}{2}$。$S(1,6)=\dfrac{6\cdot7}{2}=21$。
- $S(a,b)=21$ より $b(2a+b-1)=42$。$2a+b-1$ と $b$ は偶奇が異なり，$2a+b-1\ge b+1$。$b$ が $42$ の約数で条件を満たすのは $b=1,2,3,6$ の4つ：$(a,b)=(21,1),(10,2),(6,3),(1,6)$。
- このうち $a$ が偶数で $b$ が奇数なのは $(6,3)$ のみ。
(2)
カ：4キ：3ク：3ケ：1コ：4
- $S(m,2n)=n(2m+2n-1)$，$S(4m,n)=\dfrac{n(8m+n-1)}{2}$。$n>0$ で割って $2(2m+2n-1)=8m+n-1$，整理して $4m-3n+1=0$。
- $4m=3n-1$ より $n\equiv3\pmod 4$。$n=4k-1$ とおくと $m=3k-1$。$(m,n)=(3k-1,\ 4k-1)$。
(3)
サシ：31スセ：10ソ：3タチ：10ツ：7テト：31ナニ：22ヌネ：25
- $S(m,7m)=\dfrac{7m(9m-1)}{2}$，$S(10n,m)=\dfrac{m(20n+m-1)}{2}$。$m$ で割って $7(9m-1)=20n+m-1$，整理して $62m-20n-6=0$，$2$ で割って $31m-10n-3=0$。
- $31m\equiv3\pmod{10}$ より $m\equiv3\pmod{10}$，$m=10l-7$ とおく（$l\ge1$）。$n=\dfrac{31m-3}{10}=31l-22$。
- $m+n=41l-29$。$m+n\equiv12\pmod{41}$。$12^2=144\equiv21,\ 12^4\equiv21^2=441\equiv31,\ 12^8\equiv31^2=961\equiv18$ より $12^{12}=12^8\cdot12^4\equiv18\cdot31=558\equiv25$。
類題 第3問
次の文章中の ア〜テ に適する符号または数字を解答用紙の所定の欄にマークせよ。
$a$ を $0$ でない実数，$b$ を実数とし，$x$ の2次方程式 $ax^2+bx+1=0$ が2つの虚数解 $\alpha,\ \beta$ をもつとする。
(1)
$a,\ b$ の満たす条件は
$b^2<$ア$a$
であり，
$\alpha+\beta=$イ$\dfrac{b}{a}$，$\alpha\beta=\dfrac{\boxed{\text{ウ}}}{a}$
である。
$b^2<$ア$a$
であり，
$\alpha+\beta=$イ$\dfrac{b}{a}$，$\alpha\beta=\dfrac{\boxed{\text{ウ}}}{a}$
である。
(2)
$\alpha,\ \beta$ の絶対値がともに $3$ 以上であるとき，$a,\ b$ の満たす条件は
$\dfrac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}b^2<a\le\dfrac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}$
である。
$\dfrac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}b^2<a\le\dfrac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}$
である。
(3)
複素数平面上において，3点 $0,\ \dfrac{\alpha}{\beta},\ \dfrac{\beta}{\alpha}$ を頂点とする三角形が正三角形となるとき
$\left|\dfrac{\alpha}{\beta}\right|=\left|\dfrac{\beta}{\alpha}\right|=$ク，$\left|\dfrac{\alpha}{\beta}-\dfrac{\beta}{\alpha}\right|^2=$ケ
である。
また，
$|\alpha-\beta|^2=\dfrac{\boxed{\text{コ}}}{a}-\dfrac{b^{\boxed{\text{サ}}}}{a^{\boxed{\text{シ}}}}$
であるから，$a$ と $b$ が満たす関係式は
$b^{\boxed{\text{ス}}}-$セ$ab^{\boxed{\text{ソ}}}+$タ$a^{\boxed{\text{チ}}}=0$
となる。
よって，$b^2$ を $a$ を用いて表すと
$b^2=\left(\boxed{\text{ツ}}\pm\sqrt{\boxed{\text{テ}}}\right)a$
である。
$\left|\dfrac{\alpha}{\beta}\right|=\left|\dfrac{\beta}{\alpha}\right|=$ク，$\left|\dfrac{\alpha}{\beta}-\dfrac{\beta}{\alpha}\right|^2=$ケ
である。
また，
$|\alpha-\beta|^2=\dfrac{\boxed{\text{コ}}}{a}-\dfrac{b^{\boxed{\text{サ}}}}{a^{\boxed{\text{シ}}}}$
であるから，$a$ と $b$ が満たす関係式は
$b^{\boxed{\text{ス}}}-$セ$ab^{\boxed{\text{ソ}}}+$タ$a^{\boxed{\text{チ}}}=0$
となる。
よって，$b^2$ を $a$ を用いて表すと
$b^2=\left(\boxed{\text{ツ}}\pm\sqrt{\boxed{\text{テ}}}\right)a$
である。
▶ 第3問 の答えと解説を見る
第3問 の答えと解説
(1)
ア：4イ：−（−1）ウ：1
- 虚数解をもつので判別式 $b^2-4a<0$，すなわち $b^2<4a$。
- 解と係数の関係より $\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}$，$\alpha\beta=\dfrac1a$。
(2)
エ/オ：1/4カ/キ：1/9
- $\alpha,\ \beta$ は共役な虚数なので $|\alpha|^2=|\beta|^2=\alpha\beta=\dfrac1a$（$a>0$）。
- $|\alpha|\ge3$ より $\dfrac1a\ge9$，すなわち $a\le\dfrac19$。(1)の $b^2<4a$ と合わせて $\dfrac14b^2<a\le\dfrac19$。
(3)
ク：1ケ：1コ：4サ：2シ：2ス：4セ：4ソ：2タ：1チ：2ツ：2テ：3
- $\alpha,\ \beta$ は共役なので $\dfrac{\alpha}{\beta}$ と $\dfrac{\beta}{\alpha}=\overline{\left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right)}$ も共役。$\left|\dfrac{\alpha}{\beta}\right|=1$。
- 正三角形なので3辺の長さが等しく，原点からの2辺が $1$，残りの辺 $\left|\dfrac{\alpha}{\beta}-\dfrac{\beta}{\alpha}\right|=1$，その2乗も $1$。
- $|\alpha-\beta|^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta$ の絶対値より $|\alpha-\beta|^2=\dfrac{4a-b^2}{a^2}=\dfrac4a-\dfrac{b^2}{a^2}$。
- $\dfrac\alpha\beta-\dfrac\beta\alpha=\dfrac{(\alpha-\beta)(\alpha+\beta)}{\alpha\beta}$ なので $\left|\cdot\right|^2=|\alpha-\beta|^2\cdot\dfrac{b^2}{a^2}\cdot a^2=\dfrac{(4a-b^2)b^2}{a^2}=1$。
- 整理して $b^4-4ab^2+a^2=0$。$b^2=(2\pm\sqrt3)a$。
類題 第4問
次の文章中の ア〜ニ に適する符号または数字を解答用紙の所定の欄にマークせよ。
関数 $f(x)=\dfrac{x+1}{x^2+1}$ に対し，関数 $F(t)$ を
$F(t)=\displaystyle\int_{t}^{t+1}f(x)\,dx$
とする。
$F(t)=\displaystyle\int_{t}^{t+1}f(x)\,dx$
とする。
(1)
$\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=$ア である。
(2)
$f(x)$ は，$x=-$イ$+\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$ において最大値 $\dfrac{\sqrt{\boxed{\text{エ}}}+\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}$ をとり，
$x=-$キ$-\sqrt{\boxed{\text{ク}}}$ において最小値 $-\dfrac{\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}-\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}$ をとる。
$x=-$キ$-\sqrt{\boxed{\text{ク}}}$ において最小値 $-\dfrac{\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}-\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}$ をとる。
(3)
$F(t)$ を $t$ について微分すると
$F'(t)=\dfrac{\boxed{\text{シ}}\,t\,(t+\boxed{\text{セ}})}{(t^2+\boxed{\text{ソ}})(t^2+\boxed{\text{タ}}\,t+\boxed{\text{チ}})}$
であるから，$F(t)$ が極大となる $t$ の値は ツ である。
ここで，$a=$ツ，$b=$ツ$+1$ とおくと
$\displaystyle\int_a^b\dfrac{x}{x^2+1}\,dx=\dfrac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}\log2$，
$\displaystyle\int_a^b\dfrac{1}{x^2+1}\,dx=\dfrac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}\pi$
である。
よって，$F(t)$ の極大値は $\dfrac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}\log2+\dfrac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}\pi$ である。
$F'(t)=\dfrac{\boxed{\text{シ}}\,t\,(t+\boxed{\text{セ}})}{(t^2+\boxed{\text{ソ}})(t^2+\boxed{\text{タ}}\,t+\boxed{\text{チ}})}$
であるから，$F(t)$ が極大となる $t$ の値は ツ である。
ここで，$a=$ツ，$b=$ツ$+1$ とおくと
$\displaystyle\int_a^b\dfrac{x}{x^2+1}\,dx=\dfrac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}\log2$，
$\displaystyle\int_a^b\dfrac{1}{x^2+1}\,dx=\dfrac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}\pi$
である。
よって，$F(t)$ の極大値は $\dfrac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}\log2+\dfrac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}\pi$ である。
▶ 第4問 の答えと解説を見る
第4問 の答えと解説
(1)
ア：0
- 分母は2次，分子は1次なので $x\to\pm\infty$ で $f(x)\to0$。
(2)
イ：1ウ：2エ：2オ：1カ：2キ：1ク：2ケ：2コ：1サ：2
- $f'(x)=\dfrac{(x^2+1)-(x+1)\cdot2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{-x^2-2x+1}{(x^2+1)^2}$。$x^2+2x-1=0$ より $x=-1\pm\sqrt2$。
- $f'$ の符号は $x=-1-\sqrt2$ の前後で $-\to+$，$x=-1+\sqrt2$ の前後で $+\to-$。よって $x=-1+\sqrt2$ で最大，$x=-1-\sqrt2$ で最小。
- $f(-1+\sqrt2)=\dfrac{\sqrt2}{(\sqrt2-1)^2+1}=\dfrac{\sqrt2}{4-2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2+1}{2}$。$f(-1-\sqrt2)=\dfrac{-\sqrt2}{(\sqrt2+1)^2+1}=\dfrac{-\sqrt2}{4+2\sqrt2}=-\dfrac{\sqrt2-1}{2}$。
(3)
シ：−（−1）セ：3ソ：1タ：2チ：2ツ：0テ/ト：1/2ナ/ニ：1/4
- $F'(t)=f(t+1)-f(t)=\dfrac{t+2}{(t+1)^2+1}-\dfrac{t+1}{t^2+1}$。通分した分子は $(t+2)(t^2+1)-(t+1)(t^2+2t+2)=-t^2-3t=-t(t+3)$。
- 分母は $(t^2+1)(t^2+2t+2)>0$。$F'(t)$ の符号は $-t(t+3)$ で決まり，$t=-3$ で $-\to+$（極小），$t=0$ で $+\to-$（極大）。極大は $t=0$。
- $a=0,\ b=1$。$\displaystyle\int_0^1\dfrac{x}{x^2+1}dx=\left[\tfrac12\log(x^2+1)\right]_0^1=\tfrac12\log2$，$\displaystyle\int_0^1\dfrac{dx}{x^2+1}=\left[\arctan x\right]_0^1=\dfrac\pi4$。
- $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{1}{x^2+1}$ なので極大値は $\dfrac12\log2+\dfrac14\pi$。
※ 類題は、本番の解き方の骨格は残しつつ、数値・設定・符号を変えて作っています。第4問(3)は、答えの形をきれいに整えるため、増減の符号を本番から変えています。全空欄は、スクリプトで確かめてあります。
30秒 得点診断
本番の過去問、またはそっくり類題セットを80分で解いた結果を選んでください。次にやるべきことを表示します。
保護者の方へ：国際医療福祉大の数学で知っておきたい3つのこと
① 「全部解く」より「取れる所を落とさない」
全4大問・80分で、すべて空欄に数字や符号を入れる形式です。各大問の前半は誘導に乗れば短時間で取れるので、ここを落とさない練習が得点に直結します。② 計算力の差がそのまま点差に
合同式の余り、積分値、式の整理など、正確さが問われる箇所が多い試験です。途中式を省略せず、符号と約分を確かめる習慣が効きます。③ 秋からは「答案を見てもらう」
80分で4大問を終える配分は、独学では直しにくい部分です。どこで時間を失ったか、第三者の目で見ると最短で伸びます。よくある質問
Q. 国際医療福祉大学 医学部の数学2026年度は、どの順番で解くのがよいですか？
TMPSのおすすめは、第1問の小問(A)〜(D)を15分で取り、第2問22分、第3問20分、第4問18分、見直し5分です。第1問は1つ1つが短く答えが確実に出るので先に取り、第2問以降は「前半の誘導に乗れる所まで」を確実にとります。
Q. 問題文が載っていなくても、どんな問題か分かりますか？
分かります。著作権に配慮して問題本文・図は掲載していませんが、各小問の最初に「どういう問題か」として、設定・何を答えるか・解答欄の形をTMPSの言葉で説明しています。
Q. 第1問(E)はどう扱えばよいですか？
過去問集の注記によると、(E)は出題範囲外のため全員正解扱いとされています。このページでは参考として計算の考え方だけを載せ、答えの検算もしています。本番で見かけたら、解けなくても他の問題の時間を削らないことが大切です。
Q. そっくり類題セットとは何ですか？
2026年度と同じ4大問・同じ空欄の数と形式で、数値・設定を変えたTMPSオリジナル問題です。本文・設問はすべて新しく作ったもので、全問の答え・解説をこのページに掲載し、本番形式の問題冊子PDFも無料で配布しています。
Q. 解説に誤りを見つけたらどうすればいいですか？
公式LINEからお知らせください。確認のうえ修正し、更新日を記載します。
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問題等で誤りを発見された場合、修正しますので、TMPS医学館までLINEを下さい。
受験生・指導者の皆様からのご指摘を真摯に受け止め、最も信頼できる過去問解説・類題ライブラリーとして随時アップデートいたします。
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