現場戦略
試験会場でのリアルな立ち回り（大問II）
⏱ 目標時間 & 死守ライン
目標25分。(1)の漸化式・一般項・「初めて0個」の確率【あ】〜【く】は、絶対に落とせない中核の得点源。
⚠️ 損切り・警戒ライン
(2)の分散や(3)の和の計算がもつれたら一旦保留。大問IIIの(1)〜(4)を先に取りに行く判断を。
💡 初手の思考トリガー
「玉の動き」ではなく「赤玉の個数が取り得る値（状態）」を書き出す。赤玉は4個または2個にしかならない（一方通行遷移）と見抜けば1変数の漸化式に帰着！
STEP 0 遷移図を作る
赤4・白2のとき：2個とも赤の確率は $\dfrac{{}_4C_2}{{}_6C_2}=\dfrac{6}{15}=\dfrac{2}{5}$、そのままの確率は $\dfrac{3}{5}$。
赤2・白2のとき：2個とも赤の確率は $\dfrac{{}_2C_2}{{}_4C_2}=\dfrac{1}{6}$、そのままの確率は $\dfrac{5}{6}$。
赤0のとき：以後ずっと赤0（吸収状態）。
$$\boxed{4個}\ \xrightarrow{\ 2/5\ }\ \boxed{2個}\ \xrightarrow{\ 1/6\ }\ \boxed{0個}\qquad(\text{とどまる確率はそれぞれ } 3/5,\ 5/6)$$
(1)漸化式と一般項【あ】〜【き】
📝 何を答えるか
$p_{n+1}$ を $p_n$ の定数倍で、$q_{n+1}$ を $p_n$ と $q_n$ の1次式で表したときの係数【あ】【い】【う】。さらに一般項として $p_n$【え】と、$q_n$ を「定数 ×｛(ある数)$^n$ −(ある数)$^n$｝」の形で表したときの定数【お】と2つの数【か】【き】（大きい方が【か】）。
$$p_{n+1}=\frac{3}{5}p_n,\qquad q_{n+1}=\frac{2}{5}p_n+\frac{5}{6}q_n$$
初期状態は赤4個なので $p_0=1,\ q_0=0$。よって $p_n=\left(\dfrac{3}{5}\right)^n$。
$q_n$ は、$q_n=K\left(\frac{3}{5}\right)^n$ の形の特殊解を探すのが最速。
$$K\cdot\frac{3}{5}=\frac{2}{5}+\frac{5}{6}K\iff K\left(\frac{3}{5}-\frac{5}{6}\right)=\frac{2}{5}\iff K=-\frac{12}{7}$$
一般解 $q_n=C\left(\frac{5}{6}\right)^n-\frac{12}{7}\left(\frac{3}{5}\right)^n$ に $q_0=0$ を入れて $C=\frac{12}{7}$。
$$q_n=\frac{12}{7}\left\{\left(\frac{5}{6}\right)^n-\left(\frac{3}{5}\right)^n\right\}$$
検算：$q_1=\frac{12}{7}\cdot\frac{7}{30}=\frac{2}{5}$。1回目で赤2個になる確率 $\frac{2}{5}$ と一致。
(1)続き：初めて赤0個になる確率【く】
📝 何を答えるか
操作を $n$ 回行い終えたとき、その $n$ 回目で初めて袋の赤玉が0個になる確率を、$n$ の式で答える。
「$n$ 回目で初めて0個」⇔「$n-1$ 回後に赤2個」かつ「$n$ 回目に赤2個を引く」。
$$\frac{1}{6}q_{n-1}=\frac{1}{6}\cdot\frac{12}{7}\left\{\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}-\left(\frac{3}{5}\right)^{n-1}\right\}=\frac{2}{7}\left\{\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}-\left(\frac{3}{5}\right)^{n-1}\right\}$$
$n=1$ を代入すると $0$。1回では0個になれないことと一致。
(2)期待値と分散【け】〜【そ】
📝 何を答えるか
$n$ 回後の赤玉が4個なら $6$、2個なら $\frac{7}{2}$、0個なら $0$ という値をとる確率変数 $X_n$ の期待値【け】と、分散を「$3\times$｛3つの等比数列の項の和｝」の形で表したときの係数と公比【こ】〜【そ】（公比は大きい順）。
$$E(X_n)=6p_n+\frac{7}{2}q_n=6\left(\frac{3}{5}\right)^n+6\left\{\left(\frac{5}{6}\right)^n-\left(\frac{3}{5}\right)^n\right\}=6\left(\frac{5}{6}\right)^n$$
$\left(\frac{3}{5}\right)^n$ の項がきれいに消えるのは、出題者が用意した「当たりのサイン」。
$$E(X_n^2)=36p_n+\frac{49}{4}q_n=36\left(\frac{3}{5}\right)^n+21\left\{\left(\frac{5}{6}\right)^n-\left(\frac{3}{5}\right)^n\right\}=21\left(\frac{5}{6}\right)^n+15\left(\frac{3}{5}\right)^n$$
$$V(X_n)=21\left(\frac{5}{6}\right)^n-36\left(\frac{25}{36}\right)^n+15\left(\frac{3}{5}\right)^n=3\left\{7\left(\frac{5}{6}\right)^n-12\left(\frac{25}{36}\right)^n+5\left(\frac{3}{5}\right)^n\right\}$$
(3)ゲームの得点の期待値【た】〜【な】
📝 何を答えるか
操作を $N$ 回行う。$n$ 回目（$1\leqq n\leqq N$）で初めて赤玉が0個になったら $2^{N-n}$ 点、$N$ 回終わっても赤玉が残っていれば0点。この得点の期待値を「定数 ×｛3つの等比数列の項の和｝」の形で表したときの定数と係数・公比【た】〜【な】（公比は大きい順）。
$$E=\sum_{n=1}^{N}2^{N-n}\cdot\frac{2}{7}\left\{\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}-\left(\frac{3}{5}\right)^{n-1}\right\}$$
公比 $r$ の部分を一般に計算しておくと速い：
$$\sum_{n=1}^{N}2^{N-n}r^{n-1}=2^{N-1}\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{r}{2}\right)^{n-1}=\frac{2^N-r^N}{2-r}$$
$r=\frac{5}{6}$ なら $\frac{6}{7}\left(2^N-\left(\frac{5}{6}\right)^N\right)$、$r=\frac{3}{5}$ なら $\frac{5}{7}\left(2^N-\left(\frac{3}{5}\right)^N\right)$。差をとって $\frac{2}{7}$ をかけると
$$E=\frac{2}{49}\left\{2^N-6\left(\frac{5}{6}\right)^N+5\left(\frac{3}{5}\right)^N\right\}$$
検算：$N=1$ では期待値は0のはず。代入すると $\frac{2}{49}(2-5+3)=0$ で一致。
TMPSコーチング診断
🩺【自己診断】大問IIで手が止まった人への処方箋
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漸化式が立たない
頭の中だけで確率を追おうとしてメモリがパンクしています。余白に「状態遷移図（丸と矢印）」を描き、$n \to n+1$ で何が起きるかを必ず可視化しましょう。
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(1)の計算ミス
母数 $_6C_2=15$ を用いた確率の計算精度不足。$n=1$ を代入して具体値と一致するか、その場で「セルフ検算」する習慣があれば必ず防げます。
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一般項が出せない
特性方程式を用いた典型漸化式の定着不足。医学部受験では等比数列型・階差数列型への帰着は1秒で手が勝手に動くレベルまで反復練習が必要です。
