自治医科大学 医学部 数学（2025年度）全問題・超図解解説

STEP 1因数分解の形をつくる

3次式 $P$ が、1次式である $Q = 3x+1$，$R = 2x-1$，$S = x-3$ のすべてで割り切れるということは、$P$ は積 $QRS$ で割り切れます。
$P$ も $QRS$ もともに $x$ の3次式なので、定数 $k$ を用いて次のように表せます。 $$P = k(3x + 1)(2x - 1)(x - 3)$$

STEP 2定数項を比較して $k$ を求める

いきなり全部展開する前に、定数項（$x$ がつかない項）だけに注目しましょう！
問題文より $P$ の定数項は $+3$ です。一方、右辺の定数項は $k \times 1 \times (-1) \times (-3) = 3k$ です。 $$3k = 3 \implies k = 1$$ なんと $k = 1$ と一瞬で決まりました！

STEP 3展開して係数 $a, b, c$ を決定する

$k = 1$ を代入して、順番に丁寧に展開します。まず前の2つのカッコ $(3x+1)(2x-1)$ を展開すると： $$(3x + 1)(2x - 1) = 6x^2 - 3x + 2x - 1 = 6x^2 - x - 1$$ これに $(x - 3)$ を掛けます。 $$\begin{aligned} P &= (6x^2 - x - 1)(x - 3) \\ &= 6x^3 - 18x^2 - x^2 + 3x - x + 3 \\ &= 6x^3 - 19x^2 + 2x + 3 \end{aligned}$$ これをもとの式 $P = ax^3 + bx^2 + cx + 3$ と係数比較すると、 $$a = 6, \quad b = -19, \quad c = 2$$

STEP 4$|ac + b|$ を計算する

$$|ac + b| = |6 \times 2 + (-19)| = |12 - 19| = |-7| = 7 \quad \cdots $$ 【超重要チェック！】 もう一度 $(6x^2 - x - 1)(x - 3)$ の展開を確認しましょう：
・$x^3$ の係数：$6 \times 1 = 6 \implies a = 6$
・$x^2$ の係数：$6 \times (-3) + (-1) \times 1 = -18 - 1 = -19 \implies b = -19$
・$x$ の係数：$(-1) \times (-3) + (-1) \times 1 = 3 - 1 = 2 \implies c = 2$
？ でも待ってください！問題文の $P$ の式をよく拡大して見直してみましょう。
問題文：「$P = ax^3 + bx^2 + cx + 3$」… もし $a=6, b=-19, c=2$ なら $|ac+b| = |12 - 19| = 7$（㋢）ですが、もし $Q, R, S$ の符号や求める式をもう一度確認すると： 問題文は確かに $Q = 3x+1, R = 2x-1, S = x-3$ で、$|ac+b|$ を求めています。
あ！したがって $|ac + b| = |6 \times 2 + (-19)| = |-7| = 7$（記号：㋢）となります！（※スピードチェックの表記も確認：正しくは ㋢ (7) です！）

STEP 11つの文字（$x$）について整理する

「実数 $x, y$ が1つの式を満たす」という問題を見たら、「平方完成して $(\text{実数})^2 + (\text{実数})^2 = 0$ の形に持ち込む」のが鉄則です！
まず、$x$ についての降べきの順に並べ替えます。 $$x^2 + 4(y + 3)x + 8y^2 + 72 = 0$$

STEP 2$x$ について平方完成する

$x$ の係数が $4(y+3)$ なので、その半分は $2(y+3)$ です。平方完成すると： $$\{x + 2(y + 3)\}^2 - \{2(y + 3)\}^2 + 8y^2 + 72 = 0$$ 後半の $y$ の式を展開して整理します。 $$\begin{aligned} -\{2(y + 3)\}^2 + 8y^2 + 72 &= -4(y^2 + 6y + 9) + 8y^2 + 72 \\ &= -4y^2 - 24y - 36 + 8y^2 + 72 \\ &= 4y^2 - 24y + 36 \end{aligned}$$

STEP 3残った $y$ の式も平方完成（因数分解）する

$4y^2 - 24y + 36$ を $4$ でくくると、きれいな2乗の形になります！ $$4(y^2 - 6y + 9) = 4(y - 3)^2$$ したがって、もとの方程式は次のように変形できます。 $$(x + 2y + 6)^2 + 4(y - 3)^2 = 0$$

STEP 4実数の2乗の性質から $x, y$ を求める

$x, y$ は実数なので、$(x + 2y + 6)^2 \geqq 0$ かつ $4(y - 3)^2 \geqq 0$ です。
0以上のもの同士を足して $0$ になるのは、両方とも $0$ のときだけです。 $$\begin{cases} x + 2y + 6 = 0 & \cdots ① \\ y - 3 = 0 & \cdots ② \end{cases}$$ ②より $y = 3$。これを①に代入すると、 $$x + 2(3) + 6 = 0 \implies x + 12 = 0 \implies x = -12$$ よって求める $|x + y|$ の値は、 $$|x + y| = |-12 + 3| = |-9| = 9$$

STEP 1$p$ と $q$ の正体（周期性と積 $pq$）を見抜く！

複素数平面（極形式）で考えると、$p$ と $q$ は単位円上の超有名角です！
$$p = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} \quad (\text{偏角 } 60^\circ)$$ $$q = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3} \quad (\text{偏角 } 120^\circ)$$ さらに、各パートの指数を見ると $p^{16}q^{13} = p^3(pq)^{13}$ のように $p$ と $q$ のペア $(pq)$ が大量に作れます！
そこで、まず積 $pq$ を計算してみます。偏角の和は $60^\circ + 120^\circ = 180^\circ (\pi)$ なので、なんと $pq = -1$ になります！
（直接計算しても $pq = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}i + \dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}i - \dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{4} = -1$ です！）
また、$p$ の偏角は $60^\circ$ なので、 $$p^2 = q, \quad p^3 = -1, \quad p^6 = 1$$ という美しい周期性をもっています。

STEP 28つの項を $pq = -1$ と $p^3 = -1$ で一気に簡単にする

$(pq)^n = (-1)^n$（$n$ が奇数なら $-1$、偶数なら $+1$）を使って、8つの項を1つずつ変換します！

• 第1項：$p^{16}q^{13} = p^3(pq)^{13} = (-1) \times (-1)^{13} = (-1) \times (-1) = \mathbf{1}$
• 第2項：$p^{26}q^{22} = p^4(pq)^{22} = p^4 \times (-1)^{22} = p^3 \cdot p \times 1 = \mathbf{-p}$
• 第3項：$p^{35}q^{33} = p^2(pq)^{33} = p^2 \times (-1)^{33} = \mathbf{-p^2}$
• 第4項：$p^{45}q^{42} = p^3(pq)^{42} = (-1) \times (-1)^{42} = (-1) \times 1 = \mathbf{-1}$
• 第5項：$p^{14}q^{13} = p(pq)^{13} = p \times (-1)^{13} = \mathbf{-p}$
• 第6項：$p^{54}q^{52} = p^2(pq)^{52} = p^2 \times (-1)^{52} = \mathbf{p^2}$
• 第7項：$p^{33}q^{32} = p(pq)^{32} = p \times (-1)^{32} = \mathbf{p}$
• 第8項：$p^{12}q^{13} = (pq)^{12}q = (-1)^{12}q = q = \mathbf{p^2}$ （∵ $q = p^2$）

STEP 3すべて足し合わせて絶対値を求める

8つの項の和を計算すると、面白いように相殺されて消えていきます！ $$\begin{aligned} (\text{8項の和}) &= 1 + (-p) + (-p^2) + (-1) + (-p) + p^2 + p + p^2 \\ &= (1 - 1) + (-p - p + p) + (-p^2 + p^2 + p^2) \\ &= -p + p^2 \end{aligned}$$ ここで $p = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$，$p^2 = q = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$ を代入すると、虚部がちょうど消えます！ $$-p + p^2 = -\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) + \left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) = -1$$ よって、求める式の値は、 $$|(-p + p^2) + 6| = |-1 + 6| = |5| = 5$$

STEP 1$\cos x = t$ と置換して因数分解（または定数分離）する

$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ を代入して、$\cos x$ だけの式に統一します。 $$(1 - \cos^2 x) - 2k\cos x - 3k - 1 = 0$$ $1$ と $-1$ が消えて、両辺に $-1$ を掛けると非常にシンプルな式になります！ $$\cos^2 x + 2k\cos x + 3k = 0$$ ここで $\cos x = t$ とおくと、実数 $x$ が存在する条件は $-1 \leqq t \leqq 1$ の範囲に実数解 $t$ が存在することです。

STEP 2$k$ について解く（定数分離）と1秒で終わる！

$t^2 + 2kt + 3k = 0$ は $k$ についての1次式なので、$k$ についてまとめて定数分離しましょう。 $$t^2 + k(2t + 3) = 0 \implies k = -\frac{t^2}{2t + 3}$$ （$-1 \leqq t \leqq 1$ のとき、分母 $2t + 3$ は $1 \leqq 2t + 3 \leqq 5$ なので絶対に $0$ になりません！）

STEP 3$-1 \leqq t \leqq 1$ における $k$ の最大値 $M$・最小値 $m$ を求める

関数 $f(t) = -\dfrac{t^2}{2t + 3}$ （$-1 \leqq t \leqq 1$）の値域を求めます。
分子の $t^2$ は常に $t^2 \geqq 0$、分母の $2t+3$ は常に正（$1 \leqq 2t+3 \leqq 5$）なので、常に $f(t) \leqq 0$ です！
・最大値 $M$：$t = 0$ のとき、$f(0) = 0$ となり、これが最大値 $M = 0$ です！
・最小値 $m$：微分して増減を調べます（商の微分法）。 $$f'(t) = -\frac{2t(2t + 3) - t^2 \cdot 2}{(2t + 3)^2} = -\frac{2t^2 + 6t}{(2t + 3)^2} = -\frac{2t(t + 3)}{(2t + 3)^2}$$ $-1 \leqq t \leqq 1$ において $t + 3 > 0$ なので、

• $-1 \leqq t < 0$ のとき $f'(t) > 0$（増加）
• $0 < t \leqq 1$ のとき $f'(t) < 0$（減少）

STEP 4$|M + m|$ を求める

$$|M + m| = |0 + (-1)| = 1$$

STEP 1周期6（1周分＝0）を使って大多数を消去する！

角 $\theta_k = \dfrac{k\pi}{3}$ は、$k$ が $1$ 増えるごとに $60^\circ$（$\dfrac{\pi}{3}$）ずつ回転します。
つまり、連続する6個の項で単位円をちょうど1周（正六角形の6頂点）するため、6個ごとの和は $\sin$ も $\cos$ も $0$ になります！
$20 = 6 \times 3 + 2$ なので、$k = 3 \sim 20$ の18個（3周分）の和はすべて $0$ になり、最初の2項（$k = 1, 2$）だけが残ります！

STEP 2残った $k = 1, 2$ だけを計算する

$$A = \sin\frac{\pi}{3} + \sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$$ $$B = \cos\frac{\pi}{3} + \cos\frac{2\pi}{3} = \frac{1}{2} + \left(-\frac{1}{2}\right) = 0$$ （もし $k=1 \sim 18$ を消して $k=19, 20$ を残しても、$\dfrac{19\pi}{3} = 6\pi + \dfrac{\pi}{3}$，$\dfrac{20\pi}{3} = 6\pi + \dfrac{2\pi}{3}$ なので全く同じです！）

STEP 3$(A + B)^2$ を計算する

$$A + B = \sqrt{3} + 0 = \sqrt{3}$$ よって、 $$(A + B)^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$$ （※スピードチェック確認：$(A+B)^2 = 3$ なので記号は ㋟ (3) です！）

STEP 1$G$（大小関係が決まった自然数の組）を求める

$1$ から $20$ までの20個の自然数の中から、異なる3個を選びさえすれば、小さい順に自動的に $a, b, c$ が1通りに決まります。
したがって、20個から3個を選ぶ組合せ ${}_{20}\mathrm{C}_3$ です。 $$G = {}_{20}\mathrm{C}_3 = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 20 \times 19 \times 3 = 1140$$

STEP 2$H$（0以上の整数の和＝重複組合せ）を求める

$p, q, r, s$ は「0以上の整数」で、足して $19$ になります。
これは、19個の「〇（丸）」と、それを4つの部屋に分ける3本の「｜（仕切り棒）」の合計 $19 + 3 = 22$ 個を並べる方法と同じです！ $$H = {}_{19+4-1}\mathrm{C}_{4-1} = {}_{22}\mathrm{C}_3 = \frac{22 \times 21 \times 20}{3 \times 2 \times 1} = 11 \times 7 \times 20 = 1540$$

STEP 3$\dfrac{|G - H|}{50}$ を計算する

$$\frac{|G - H|}{50} = \frac{|1140 - 1540|}{50} = \frac{400}{50} = 8$$

STEP 1$\triangle\mathrm{CPD}$ の底辺を $\mathrm{CD} = 1$ と固定して考える

$\triangle\mathrm{CPD}$ において、辺 $\mathrm{CD}$ の長さは常に $1$ で一定です。
したがって、$\triangle\mathrm{CPD}$ の面積が最小になるのは、点 $\mathrm{P}$ から辺 $\mathrm{CD}$ に下ろした高さが最小になるときです。
対称性より、$\mathrm{PC} = \mathrm{PD}$ の二等辺三角形になっているため、辺 $\mathrm{CD}$ の中点を $\mathrm{M}$ とすると、$\mathrm{PM} \perp \mathrm{CD}$ であり、$\triangle\mathrm{CPD}$ の高さは線分 $\mathrm{PM}$ の長さになります。

STEP 2高さ $\mathrm{PM}$ が最小になる点 $\mathrm{P}$ の位置を求める

$\mathrm{PM}$ が最小になるのは、$\mathrm{PC}$（および $\mathrm{PD}$）が最小になるとき、すなわち点 $\mathrm{P}$ が辺 $\mathrm{AB}$ の中点にあるときです！
1辺 $1$ の正三角形 $\mathrm{ABC}$ において、頂点 $\mathrm{C}$ から辺 $\mathrm{AB}$ の中点 $\mathrm{P}$ に引いた中線の長さ $\mathrm{PC}$ は、 $$\mathrm{PC} = \mathrm{PD} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

STEP 3三平方の定理で高さ $\mathrm{PM}$ と最小面積 $S$ を求める

直角三角形 $\mathrm{PMC}$ において、斜辺 $\mathrm{PC} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$、底辺 $\mathrm{CM} = \dfrac{1}{2}$ なので、三平方の定理より： $$\mathrm{PM} = \sqrt{\mathrm{PC}^2 - \mathrm{CM}^2} = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4} - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ よって、$\triangle\mathrm{CPD}$ の面積の最小値 $S$ は、 $$S = \frac{1}{2} \times \mathrm{CD} \times \mathrm{PM} = \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$ したがって、求める値は、 $$\frac{\sqrt{2}}{S} = \frac{\sqrt{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{4}} = 4$$

STEP 1余弦定理を代入して角 $A, B$ を辺の長さ $k$ に書き換える

3辺の長さが $c = \mathrm{AB} = 3$，$b = \mathrm{AC} = 6$，$a = \mathrm{BC} = k$ です。
余弦定理より、$\cos B$ と $\cos A$ を辺の長さで表します。 $$\cos B = \frac{3^2 + k^2 - 6^2}{2 \cdot 3 \cdot k} = \frac{k^2 - 27}{6k}$$ $$\cos A = \frac{3^2 + 6^2 - k^2}{2 \cdot 3 \cdot 6} = \frac{45 - k^2}{36}$$

STEP 2与えられた関係式 $k\cos B = 6\cos A + 3$ に代入して $k$ を求める

$$k \cdot \frac{k^2 - 27}{6k} = 6 \cdot \frac{45 - k^2}{36} + 3$$ 約分すると、左辺と右辺の分母がどちらも $6$ になります！ $$\frac{k^2 - 27}{6} = \frac{45 - k^2}{6} + 3$$ 両辺を $6$ 倍して分母を払います。 $$k^2 - 27 = 45 - k^2 + 18$$ $$2k^2 = 90 \implies k^2 = 45 \implies k = 3\sqrt{5} \quad (\because k > 0)$$

STEP 3$\cos A$ から $\sin A$ を求め、面積 $S$ を出す！

$k^2 = 45$ を STEP 1 の $\cos A = \dfrac{45 - k^2}{36}$ に代入すると、なんと！ $$\cos A = \frac{45 - 45}{36} = 0 \implies A = 90^\circ$$ $\triangle\mathrm{ABC}$ は $\angle\mathrm{A} = 90^\circ$ の直角三角形だったのです！
したがって、面積 $S$ は底辺 $\mathrm{AB} = 3$、高さ $\mathrm{AC} = 6$ より一瞬で求まります。 $$S = \frac{1}{2} \times 3 \times 6 = 9$$ 求める値は、 $$\frac{S^2}{9} = \frac{9^2}{9} = 9$$ （※スピードチェック確認：$\dfrac{S^2}{9} = 9$ なので記号は ㋻ (9) です！）

STEP 15で割った余りの一覧表を作る

$N$ を $5$ で割った余り $r$ が $0, 1, 2, 3, 4$ のそれぞれについて、$r^2, r^3, r^4$ を $5$ で割った余りを計算して表にまとめます。

STEP 2求める式の値を計算する

表から得られた $a = 3, S_a = 5$，$b = 5, S_b = 10$，$c = 2, S_c = 1$ を代入します。 $$\begin{aligned} |S_a - a| + |S_b - b| + |S_c - c| &= |5 - 3| + |10 - 5| + |1 - 2| \\ &= 2 + 5 + 1 \\ &= 8 \end{aligned}$$ （※スピードチェック確認：合計は $2 + 5 + 1 = 8$ なので記号は ㋥ (8) です！）

STEP 1原点 $\mathrm{O}$ を始点にして内積を分解する！

円 $C$ は原点 $\mathrm{O}(0,0)$ が中心、半径 $2$ の円なので、円上の点 $\mathrm{P}$ は常に $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}| = 2$ を満たします。
そこで、$\overrightarrow{\mathrm{AP}} = \overrightarrow{\mathrm{OP}} - \overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BP}} = \overrightarrow{\mathrm{OP}} - \overrightarrow{\mathrm{OB}}$ として内積を展開します！ $$\begin{aligned} \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}} &= (\overrightarrow{\mathrm{OP}} - \overrightarrow{\mathrm{OA}}) \cdot (\overrightarrow{\mathrm{OP}} - \overrightarrow{\mathrm{OB}}) \\ &= |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2 - (\overrightarrow{\mathrm{OA}} + \overrightarrow{\mathrm{OB}}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}} + \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}} \end{aligned}$$

STEP 2各パーツの数値を代入する

・$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2 = 2^2 = 4$
・$\overrightarrow{\mathrm{OA}} = (-12, 0)$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}} = (0, -5)$ は直交しているので、$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}} = (-12)\times 0 + 0 \times (-5) = 0$
・$\overrightarrow{\mathrm{OA}} + \overrightarrow{\mathrm{OB}} = (-12, -5)$ とおくと、その大きさはピタゴラス数（$5:12:13$）より： $$|\overrightarrow{\mathrm{OA}} + \overrightarrow{\mathrm{OB}}| = \sqrt{(-12)^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$$ よって、内積の式は次のように超シンプルになります！ $$\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}} = 4 - (\overrightarrow{\mathrm{OA}} + \overrightarrow{\mathrm{OB}}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$$

STEP 3最大値 $M$ と最小値 $m$ の和 $M + m$ を求める

点 $\mathrm{P}$ が原点中心・半径 $2$ の円上を1周するとき、$(\overrightarrow{\mathrm{OA}} + \overrightarrow{\mathrm{OB}}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$ は、

• $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ が $\overrightarrow{\mathrm{OA}} + \overrightarrow{\mathrm{OB}}$ と逆向きのとき最小値 $-13 \times 2 = -26$
• $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ が $\overrightarrow{\mathrm{OA}} + \overrightarrow{\mathrm{OB}}$ と同じ向きのとき最大値 $+13 \times 2 = +26$

STEP 1「垂線の足 $\mathrm{H}$」の幾何学的性質で内積がすべて $|\overrightarrow{\mathrm{OH}}|^2$ に化ける！

線分 $\mathrm{OP}$ の長さが最小となるとき、点 $\mathrm{H}$ は原点 $\mathrm{O}$ から平面 $\mathrm{ABC}$ に下ろした垂線の足です。
つまり、$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$ は平面 $\mathrm{ABC}$ 上のすべてのベクトルと垂直（内積 $0$）です！
平面上のベクトル $\overrightarrow{\mathrm{HA}} = \overrightarrow{\mathrm{OA}} - \overrightarrow{\mathrm{OH}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OH}}$ も垂直なので、 $$(\overrightarrow{\mathrm{OA}} - \overrightarrow{\mathrm{OH}}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{OH}} = 0 \implies \mathbf{\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OH}} = |\overrightarrow{\mathrm{OH}}|^2}$$ なんと！全く同様に $\mathrm{B}, \mathrm{C}$ についても、 $$\mathbf{\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OH}} = |\overrightarrow{\mathrm{OH}}|^2, \quad \overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OH}} = |\overrightarrow{\mathrm{OH}}|^2}$$ が成り立ちます！

STEP 2求める式に代入すると…全部消えて $0$ になる！？

この性質を、問題で聞かれている式に代入してみましょう！ $$\begin{aligned} &\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OH}} + \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OH}} - \overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OH}} - |\overrightarrow{\mathrm{OH}}|^2 \\ &= |\overrightarrow{\mathrm{OH}}|^2 + |\overrightarrow{\mathrm{OH}}|^2 - |\overrightarrow{\mathrm{OH}}|^2 - |\overrightarrow{\mathrm{OH}}|^2 \\ &= \mathbf{0} \end{aligned}$$ ええっ！点 $\mathrm{A, B, C}$ の座標すら使わずに $0$ になりました！
念のため、実際に $\mathrm{H}$ の座標と $|\overrightarrow{\mathrm{OH}}|^2$ も計算して検算しておきましょう：
平面 $\mathrm{ABC}$ の方程式（切片形）は $\dfrac{x}{8} + \dfrac{y}{4} + \dfrac{z}{2} = 1 \iff x + 2y + 4z = 8$ です。
原点からこの平面への距離 $|\overrightarrow{\mathrm{OH}}|$ は、点と平面の距離の公式より： $$|\overrightarrow{\mathrm{OH}}| = \frac{|0 + 0 + 0 - 8|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 4^2}} = \frac{8}{\sqrt{21}} \implies |\overrightarrow{\mathrm{OH}}|^2 = \frac{64}{21}$$ 確かに $\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OH}} = \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OH}} = \overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OH}} = \dfrac{64}{21}$ となり、求める式は $\dfrac{64}{21} + \dfrac{64}{21} - \dfrac{64}{21} - \dfrac{64}{21} = 0$ で間違いありません！
（※スピードチェック確認：解答は ㋐ (0) です！）

STEP 1$x^2 = t$ と置換…する前に因数分解できないか見る！

$x^2 = t$ とおくと、$t$ の2次方程式になります。 $$t^2 - 2(k + 2)t + (k^2 - 2k - 3) = 0$$ もとの4次方程式が「異なる4つの実数解 $x = \pm\sqrt{t_1}, \pm\sqrt{t_2}$」をもつための必要十分条件は、この $t$ の2次方程式が「異なる2つの正の実数解（$t > 0$）」をもつことです！

STEP 2判別式・軸・定数項の3条件を立てる

$t$ の2次方程式が異なる2つの正の解をもつ条件は次の3つです。

1. 判別式 $D > 0$： $$\frac{D}{4} = (k + 2)^2 - (k^2 - 2k - 3) = k^2 + 4k + 4 - k^2 + 2k + 3 = 6k + 7 > 0 \implies k > -\frac{7}{6}$$
2. 2解の和 $> 0$（軸 $> 0$）： $$2(k + 2) > 0 \implies k > -2$$
3. 2解の積 $> 0$（定数項 $> 0$）： $$k^2 - 2k - 3 > 0 \implies (k - 3)(k + 1) > 0 \implies k < -1 \text{ または } 3 < k$$

STEP 3共通範囲を求めて整数 $k$ を決定する

1, 2, 3 の共通範囲をとると、 $$-\frac{7}{6} < k < -1 \quad \text{または} \quad 3 < k$$ ここで $-\dfrac{7}{6} = -1.166\dots$ なので、$-\dfrac{7}{6} < k < -1$ の間には整数 $k$ は存在しません！
したがって、整数 $k$ は $3 < k$ すなわち $k = 4, 5, 6, \dots$ となり、$|k|$ の最小値は $k = 4$ のとき $4$ です。

STEP 1$\log x = t$ と置換して見通しをよくする

$(\log x)^4 \geqq 0$ なので、面積 $S$ は次の定積分で表されます。 $$S = \int_{e^{-1}}^{e^2} (\log x)^4 \, dx$$ ここで $\log x = t$ とおくと、$x = e^t$ より $dx = e^t \, dt$ です。
積分区間は $x : e^{-1} \to e^2$ のとき $t : -1 \to 2$ となるので、 $$S = \int_{-1}^{2} t^4 e^t \, dt$$

STEP 2$\int t^4 e^t \, dt$ の原始関数（瞬間部分積分）を求める

$\int P(t)e^t \, dt$ の形は、微分と符号（$+ - + - +$）を交互に並べる瞬間部分積分公式で1行で積分できます！
$$\int P(t)e^t \, dt = \left\{ P(t) - P'(t) + P''(t) - P'''(t) + P^{(4)}(t) \right\} e^t$$ $P(t) = t^4$ とすると、

• $P(t) = t^4$
• $P'(t) = 4t^3$
• $P''(t) = 12t^2$
• $P'''(t) = 24t$
• $P^{(4)}(t) = 24$

STEP 3上端 $t = 2$ と下端 $t = -1$ を代入して計算する

$$S = \Big[ (t^4 - 4t^3 + 12t^2 - 24t + 24)e^t \Big]_{-1}^{2}$$ ・$t = 2$ のとき： $$(16 - 4 \cdot 8 + 12 \cdot 4 - 24 \cdot 2 + 24)e^2 = (16 - 32 + 48 - 48 + 24)e^2 = 8e^2$$ ・$t = -1$ のとき： $$((-1)^4 - 4(-1)^3 + 12(-1)^2 - 24(-1) + 24)e^{-1} = (1 + 4 + 12 + 24 + 24)e^{-1} = 65e^{-1}$$ したがって、上端から下端を引くと： $$S = 8e^2 - 65e^{-1}$$ （※スピードチェック確認：$8e^2 - 65e^{-1}$ は選択肢 ㋩ です！）

STEP 1$30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$ の直角三角形 $\triangle\mathrm{POQ}$ に注目する！

直線 $\ell$ の傾きは $\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \tan 30^\circ$ なので、直線 $\ell$ が $x$ 軸の正の向きとなす角は $30^\circ$ です。
円 $C_1$（中心 $\mathrm{O}(0,0)$、半径 $r_1 = 1$）と直線 $\ell$ の接点を $\mathrm{Q}$ とすると、$\angle\mathrm{PQO} = 90^\circ$、$\angle\mathrm{OPQ} = 30^\circ$ の直角三角形 $\triangle\mathrm{POQ}$ ができます！
辺の比は $\mathrm{OQ} : \mathrm{OP} = 1 : 2$ であり、半径 $\mathrm{OQ} = 1$ なので、 $$\mathrm{OP} = |k| = 2$$ （ちなみに円 $C_1$ に接する傾き $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ の直線は $y = \dfrac{1}{\sqrt{3}}(x \pm 2)$ の2本ありますが、どちらであっても $|k| = 2$ で確定です！）

STEP 1円 $C_2$ でも全く同じ直角三角形 $\triangle\mathrm{PO_2R}$ を使う！

円 $C_2$ の中心を $\mathrm{O}_2(\beta, 0)$、半径を $r_2 = \sqrt{\dfrac{25}{4}} = \dfrac{5}{2}$、直線 $\ell$ との接点を $\mathrm{R}$ とします。
$\triangle\mathrm{PO_2R}$ も $\angle\mathrm{O_2PR} = 30^\circ$，$\angle\mathrm{PRO_2} = 90^\circ$ の直角三角形なので、辺の比 $\mathrm{O_2R} : \mathrm{PO_2} = 1 : 2$ より、点 $\mathrm{P}(k, 0)$ と中心 $\mathrm{O}_2(\beta, 0)$ の距離 $\mathrm{PO}_2$ は半径 $\mathrm{O_2R} = \dfrac{5}{2}$ のちょうど2倍です！ $$\mathrm{PO}_2 = |\beta - k| = 2 \times \frac{5}{2} = 5$$

STEP 2条件 $\dfrac{3}{2} < \beta < \dfrac{7}{2}$ に合うものを探す

$k = \pm 2$ と $|\beta - k| = 5 \iff \beta = k \pm 5$ を組み合わせると、$\beta$ の候補は、

• $k = -2$（外接線）のとき：$\beta = -2 + 5 = \mathbf{3}$ （または $-2 - 5 = -7$）
• $k = +2$（内接線）のとき：$\beta = 2 + 5 = 7$ （または $2 - 5 = -3$）

STEP 1接点 $\mathrm{Q}$ と $\mathrm{R}$ の座標を図から読み取る（またはベクトルで瞬殺！）

上のSVG図を見てください！
点 $\mathrm{P}(-2, 0)$ を通り傾き $\tan 30^\circ$ の直線 $\ell$ は第2象限・第1象限を通るので、原点 $\mathrm{O}(0,0)$ から直線 $\ell$ に下ろした垂線 $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ の偏角は $90^\circ + 30^\circ = 120^\circ$ です。
・点 $\mathrm{Q}(q_1, q_2)$ の座標（半径 $1$）： $$(q_1, q_2) = (\cos 120^\circ, \sin 120^\circ) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$ ・点 $\mathrm{R}(r_1, r_2)$ の座標（中心 $(3,0)$ から同じ向きに長さ $\dfrac{5}{2}$ 進んだ点）： $$\overrightarrow{\mathrm{OR}} = \overrightarrow{\mathrm{OO}_2} + \frac{5}{2}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$$

STEP 2$q_1 r_1 + q_2 r_2 = \overrightarrow{\mathrm{OQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OR}}$ として計算する！

実は、$q_1 r_1 + q_2 r_2$ というのはベクトルの内積 $\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OR}}$ そのものです！
$\overrightarrow{\mathrm{OR}} = (3, 0) + \dfrac{5}{2}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ をそのまま内積に入れると、座標をバラバラに計算するよりもずっと速いです！ $$\begin{aligned} q_1 r_1 + q_2 r_2 &= \overrightarrow{\mathrm{OQ}} \cdot \left( \overrightarrow{\mathrm{OO}_2} + \frac{5}{2}\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \right) \\ &= \overrightarrow{\mathrm{OQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OO}_2} + \frac{5}{2}|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|^2 \\ &= \left(-\frac{1}{2}\right) \times 3 + \frac{5}{2} \times 1^2 \\ &= -\frac{3}{2} + \frac{5}{2} = 1 \end{aligned}$$ （もちろん成分で $r_1 = 3 - \dfrac{5}{4} = \dfrac{7}{4}$，$r_2 = \dfrac{5\sqrt{3}}{4}$ を求めて $q_1 r_1 + q_2 r_2 = -\dfrac{7}{8} + \dfrac{15}{8} = 1$ としても同じです！）

STEP 1$S_3$ は3項だけなので直接足すのが一番速い！

$$S_3 = 1 + \frac{8}{9} + \left(\frac{8}{9}\right)^2 = 1 + \frac{8}{9} + \frac{64}{81}$$ ここで $\dfrac{8}{9} = \dfrac{72}{81}$ なので、 $$S_3 = 1 + \frac{72 + 64}{81} = 1 + \frac{136}{81} = 2 + \frac{55}{81}$$ よって $2 < S_3 < 3$ なので、$p = 2$ です。

STEP 1不等式 $S_n > 5$ を $\left(\dfrac{8}{9}\right)^n$ について整理する

$S_n$ は単調増加なので、「$5 < S_n < 6$ を満たす最小の $n$」とは、初めて $S_n > 5$ となる $n$ のことです。 $$9 - 9\left(\frac{8}{9}\right)^n > 5 \iff 9\left(\frac{8}{9}\right)^n < 4 \iff \left(\frac{8}{9}\right)^n < \frac{4}{9}$$

STEP 2両辺の常用対数をとって $n$ の範囲を求める

両辺の常用対数（底 $10$）をとります。 $$n \log_{10}\frac{8}{9} < \log_{10}\frac{4}{9}$$ ここで、事前準備より $\log_{10}\dfrac{8}{9} = -0.0512$ であり、右辺は： $$\log_{10}\frac{4}{9} = 2\log_{10} 2 - 2\log_{10} 3 = 2(0.3010 - 0.4771) = 2(-0.1761) = -0.3522$$ よって、 $$-0.0512 n < -0.3522 \implies n > \frac{0.3522}{0.0512} = \frac{3522}{512} = 6.8789\dots$$ （$512 \times 6 = 3072$，$512 \times 7 = 3584$ なので、$6$ と $7$ の間だとすぐ分かります！）
したがって、これを満たす最小の自然数 $q$ は $7$ です。

STEP 1【問題 19】整数部分の最大値 $M$ を求める

$S_n = 9 - 9\left(\dfrac{8}{9}\right)^n$ において、$\left(\dfrac{8}{9}\right)^n > 0$ なので、常に $S_n < 9$ です。
そして $n$ が大きくなると $\left(\dfrac{8}{9}\right)^n$ は限りなく $0$ に近づくため、$S_n$ は $8$ を超えて $9$ に限りなく近づきます（$8 < S_n < 9$）。
よって、$N < S_n < N + 1$ を満たす自然数 $N$ の最大値 $M$ は $8$ です！

STEP 2【問題 20】$8 < S_n < 9$ となる最小の自然数 $m$ を求める

$S_n > 8$ を解きます。 $$9 - 9\left(\frac{8}{9}\right)^n > 8 \iff 9\left(\frac{8}{9}\right)^n < 1 \iff \left(\frac{8}{9}\right)^n < \frac{1}{9}$$ 両辺の常用対数をとると、$\log_{10}\dfrac{1}{9} = -2\log_{10} 3 = -2(0.4771) = -0.9542$ より、 $$-0.0512 n < -0.9542 \implies n > \frac{0.9542}{0.0512} = \frac{9542}{512}$$ 割り算を実行します：

• $512 \times 10 = 5120$（残り $9542 - 5120 = 4422$）
• $512 \times 8 = 4096$，$512 \times 9 = 4608$