$u=2^{x-2}\ (>0)$ とおくと $2^{2-x}=\dfrac1u$ です。方程式は $u-\dfrac1u=\dfrac{31\sqrt2}{8}$。
📌 このページの使い方
- 過去問集をお持ちの方：本番と同じ70分で解き、答え一覧で採点してから解説へ
- お持ちでない方：各小問の「どういう問題か」を読めば、問題の中身がそのまま分かります
- 最後にそっくり類題セット（PDF版あり）を70分で解き、初見でも同じ解き方ができるか確かめる
※ 著作権に配慮し、入試問題の本文・図は掲載していません。空欄の記号（ア・イ・…）は、本番の解答欄との対応を示すためのものです。※ 大問Ⅲは記述式のため、解答の代わりに「答案例」を載せています（書き方の一例です）。
⚠️ 問題等で誤りを発見された場合、修正しますので、TMPS医学館までLINEを下さい。（迅速に確認・更新いたします）
LINEで誤りを連絡3分で分かる 2026年度の順天堂大の数学
- ✅ 全3大問・試験時間70分。大問Ⅰ・Ⅱは空欄に数字や符号、選択肢の記号を入れるマーク式、大問Ⅲは記述式（証明）です。
- ✅ 大問Ⅰは小問集合。(1)指数・対数・三角の方程式と不等式、(2)さいころとコインを組み合わせた確率、(3)必要条件・十分条件の判定5問。1つ1つは短く、確実に取りたい所です。
- ✅ 大問Ⅱは「平行移動と回転」で2次曲線を読み解く問題。(1)楕円の平行移動、(2)複素数による回転、(3)その2つを使って、回転と平行移動を重ねた双曲線を調べます。(1)(2)は(3)の道具です。
- ✅ 大問Ⅲは「sin x の導関数 → sin x ≦ x → 多項式による評価 → 数値の範囲」と続く証明問題。前の小問の結果を次で使う流れをつかめるかが勝負です。
Yuiちゃん
記述の大問があると、マーク式の時間が足りなくなりそうで不安です…。
ニックニ先生
大問Ⅰは小問集合ですから24分を目安にテンポよく終えましょう。Ⅱは(3)が重いため、(1)(2)で道具をしっかりそろえてから臨みます。記述のⅢは(1)(2)だけでも確実に得点源になりますよ。解く順番をあらかじめ決めておけば本番でも焦りません。Yuiちゃん
空欄が多いと、どこで間違えたか分からなくなりそうです。ニックニ先生
ですから途中式は必ず手元に残してください。たとえ空欄の答えが合っていても、過程が曖昧だと次は落としてしまいますよ。70分の立ち回りマップ
時間はTMPSの目安です。解く順番と「捨てどころ」をセットで覚えておきましょう。
🧭 おすすめの解く順番
大問Ⅰ → 大問Ⅱ → 大問Ⅲ → 見直し6分
各大問の前半は誘導に乗れば短時間で取れます。Ⅱ(3)やⅢ(3)(4)で詰まったら、他の大問の取れる所を先に取りに行き、時間が余ったら戻りましょう。
本番の答え一覧（採点用）
解説を読む前の採点用です。マーク式の空欄はすべて、記号計算と全数探索のスクリプトで独立に確かめています（結果は下の注記）。
大問Ⅰ
(1)(a) ア/イ＝9/2(1)(b) ウ/エ＝1/4 オ2(1)(c) カ0 キ/ク＝1/6 ケ/コ＝1/4 サ/シ＝3/4(2)(a) アイ/ウエオ＝21/128(2)(b) カ/キク＝5/16(2)(c) ケコサ/シスセソ＝105/1024(3) ア(A) イ(B) ウ(A) エ(C) オ(B)
大問Ⅱ
(1) ア2 イ8 ウ5(2) エ(C) オ(A) カ(C) キ(B) ク(A) ケ(C)(3) コサ15 シ2 ス1 セ5 ソ3 タ2 チ2 ツテ15 ト3 ナ2 ニ1 ヌ2 ネ3 ノハ15
大問Ⅲ（記述式）
(1) 答案例あり（導関数の定義から）(2) 答案例あり（sin x ≦ x）(3) 答案例あり（帰納法）(4) 答案例あり（0.83＜sin 1＜0.85 ： 5/6 ≦ sin 1 ≦ 101/120）
⚠️ 読み取りの注意：大問Ⅰ(1)(b)の右辺は、底が x の対数 $\log_x 4$ と読んでいます（解くと解が $\frac14$ と整数の2つになり、空欄の形と一致します）。紙面の小さい添字なので、手元の過去問集でも確かめてください。
※ 検算：マーク式の全空欄を、sympy（記号計算）と全数探索・数値計算で確かめ、すべて一致しました。大問Ⅲは記述式なので、示すべき不等式を数値でも確かめています（答案そのものは論理の確認です）。
採点したら → 30秒の得点診断へ大問Ⅰ 小問集合 ── 式を整理する(1)、確率を数える(2)、条件を判定する(3)
11の小問がマーク式で並びます。(1)に9分、(2)に9分、(3)に6分が目安です。1つずつが独立しているので、詰まったら次へ進んで構いません。
現場戦略試験会場でのリアルな立ち回り（大問Ⅰ）
⏱ 目標時間 & 死守ライン目標24分（(1)(a)(b)(c)で9分、(2)(a)(b)(c)で9分、(3)の5問で6分）。11問すべてに答えが出る問題なので、ここは落としたくない。
⚠️ 損切り・警戒ライン(1)(b)で対数の式がもつれたら「底をそろえて $L=\log_2x$ とおく」に切り替える。1問4分を超えたら後回し。(3)は迷ったら「反例を1つ探す」。
💡 初手の思考トリガー(1)(a)は逆数の関係（$u$ と $1/u$）、(1)(c)は因数分解、(2)は期待値のように平均する、(3)は十分・必要を矢印で書く。
(1)(a)指数方程式（空欄ア・イ）
📝 どういう問題か？
$2^{x-2}$ と $2^{2-x}$ の差が、$\sqrt2$ を含む数に等しい方程式を解く。2つの項が逆数の関係にあることに気づけるかが入口。
- ア・イ：方程式の解 $x$ を既約分数「ア／イ」で答える
$$8u^2-31\sqrt2\,u-8=0\ \Longleftrightarrow\ (u-4\sqrt2)(8u+\sqrt2)=0$$
$u>0$ より $u=4\sqrt2=2^{5/2}$。したがって $x-2=\dfrac52$ で $x=\dfrac92$。
🎯 (1)(a) の答え
ア：9イ：2
⚠️ 因数分解がすぐ見えないときは解の公式でもよい（判別式が $\left(\dfrac{33\sqrt2}{8}\right)^2\!\times\!\dots$ の形で平方になる）。$u=-\dfrac{\sqrt2}{8}$ は $u>0$ に反するので必ず捨てる。
(1)(b)底が変数の対数をふくむ方程式（空欄ウ・エ・オ）
📝 どういう問題か？
左辺は「$x$ の $(3+\log_2x)$ 乗」、右辺は「4の $\log_x4$ 乗」。底と指数のどちらにも $x$ が入った方程式を、対数をとって解く。
- ウ・エ：1つ目の解（分数）
- オ：もう1つの解（整数）
$x>0,\ x\ne1$ が必要です（$\log_x4$ の底の条件）。$L=\log_2x\ (\ne0)$ とおくと $\log_x4=\dfrac2L$。両辺の $\log_2$ をとります。
$$\log_2\text{（左辺）}=L(3+L),\qquad \log_2\text{（右辺）}=\frac2L\cdot\log_24=\frac4L$$
$$L(3+L)=\frac4L\ \Longrightarrow\ L^3+3L^2-4=0\ \Longrightarrow\ (L-1)(L+2)^2=0$$
$L=1,\ -2$ より $x=2,\ \dfrac14$。
🎯 (1)(b) の答え
ウ／エ：1／4オ：2
⚠️ $L=0$（$x=1$）は底の条件に反するので、方程式を作った時点で除外されている。因数分解は $L=1$ を代入して0になることを見つけ、組立除法で $(L-1)(L^2+4L+4)$ にする。
(1)(c)三角不等式（空欄カ〜シ）
📝 どういう問題か？
$\sin2x$、$\sin x$、$\cos x$ が混ざった式の値が0以下になる $x$ を、$0\le x\le\pi$ の範囲で答える。2つの区間の和になる。
- カ：範囲の左端（0以上の数）
- キ／ク・ケ／コ・サ／シ：$\pi$ の何倍かを表す3つの分数
$2\sin2x=4\sin x\cos x$ を使うと、左辺は2つの因数の積にまとまります。
$$2\sin2x-2\sqrt3\sin x-2\sqrt2\cos x+\sqrt6=(2\sin x-\sqrt2)(2\cos x-\sqrt3)\le0$$
積が0以下になるのは、2つの因数が「逆の符号」のとき。範囲ごとに整理します。
| $2\sin x-\sqrt2\ge0$ の範囲 | $2\cos x-\sqrt3\le0$ の範囲 | 積≦0 | |
|---|---|---|---|
| ① 前が＋、後が− | $\dfrac\pi4\le x\le\dfrac{3\pi}{4}$ | $\dfrac\pi6\le x\le\pi$ | $\dfrac\pi4\le x\le\dfrac{3\pi}{4}$ |
| ② 前が−、後が＋ | $0\le x\le\dfrac\pi4,\ \dfrac{3\pi}4\le x\le\pi$ | $0\le x\le\dfrac\pi6$ | $0\le x\le\dfrac\pi6$ |
2つをつなげて $0\le x\le\dfrac16\pi,\ \dfrac14\pi\le x\le\dfrac34\pi$。
🎯 (1)(c) の答え
カ：0キ／ク：1／6ケ／コ：1／4サ／シ：3／4
Yuiちゃん
因数分解のところで、$\sin2x$ を $2\sin x\cos x$ にするのは思いつきませんでした…。ニックニ先生
三角関数に $\sin2x$ と $\sin x$ と $\cos x$ が混ざっているときは、まず2倍角の公式で「$\sin x$ と $\cos x$ だけ」の形に統一します。その上で因数分解の可能性を探りましょう。定数項の $\sqrt6$ が $\sqrt2\cdot\sqrt3$ に分解できる形になっているのが、因数分解を見抜く重要なサインですよ。(2)さいころの目と同じ枚数のコイン（空欄アイ/ウエオ・カ/キク・ケコサ/シスセソ）
📝 どういう問題か？
「さいころで枚数を決め、その枚数のコインを投げる」二段階の確率。出た目ごとの確率を求め、さいころの目が出る確率で平均する。
- (a)アイ／ウエオ：さいころを1回投げ、出た目と同じ枚数のコインを投げたとき、表が1枚も出ない確率（既約分数、分子2桁・分母3桁）
- (b)カ／キク：同じ操作で、ちょうど1枚だけ表が出る確率（分子1桁・分母2桁）
- (c)ケコサ／シスセソ：さいころを2回投げ、出た目の和と同じ枚数のコインを投げたとき、ちょうど1枚だけ表が出る確率（分子3桁・分母4桁）
(a) 目が $n$ のとき、表が1枚も出ない確率は $\left(\dfrac12\right)^n$。目は等確率 $\dfrac16$ なので、
$$\frac16\sum_{n=1}^6\left(\frac12\right)^n=\frac16\left(1-\frac1{64}\right)=\frac16\cdot\frac{63}{64}=\frac{21}{128}$$
(b) $n$ 枚でちょうど1枚が表の確率は $n\cdot\dfrac1{2^n}$。
$$\sum_{n=1}^6\frac n{2^n}=2-\frac{6+2}{2^6}=\frac{15}8\ \Longrightarrow\ \frac16\cdot\frac{15}8=\frac5{16}$$
（$\sum_{k=1}^{n}\dfrac{k}{2^k}=2-\dfrac{n+2}{2^n}$ は、$S$ と $\frac12S$ をずらして引くと出る。）
(c) 和 $s$ が出る確率は $\dfrac{6-|s-7|}{36}$、そのとき ちょうど1枚が表の確率は $\dfrac{s}{2^s}$。$s=2,\dots,12$ で足します。
| 和 $s$ | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 出方（/36） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
| $s/2^s$ | $\frac{2}{4}$ | $\frac{3}{8}$ | $\frac{4}{16}$ | $\frac{5}{32}$ | $\frac{6}{64}$ | $\frac{7}{128}$ | $\frac{8}{256}$ | $\frac{9}{512}$ | $\frac{10}{1024}$ | $\frac{11}{2048}$ | $\frac{12}{4096}$ |
分母を $36\times4096$ にそろえて各項の分子を足すと $2048+3072+3072+2560+1920+1344+640+288+120+44+12=15120$。
$$\frac{15120}{36\times4096}=\frac{105}{1024}$$
🎯 (2) の答え
アイ／ウエオ：21／128カ／キク：5／16ケコサ／シスセソ：105／1024
⚠️ (c) は「2回のさいころ」の出方が36通りあることを忘れて、和ごとの確率を足し忘れる／重複して数えるミスが多い。出方の数は $6-|s-7|$ と覚える。
(3)必要条件・十分条件の判定（空欄ア〜オ）
📝 どういう問題か？
「Pであることは、Qであるための〜」という形。P⇒Q が成り立てば十分条件、Q⇒P が成り立てば必要条件。
- (A)必要十分条件／(B)必要条件であるが十分条件でない／(C)十分条件であるが必要条件でない／(D)どちらでもない、の4択から選ぶ。5つの小問(a)〜(e)に1つずつ記号を入れる
- (a)積分の等式と関数の形、(b)√a＋√b と √ab の無理数性、(c)多項式の割り切れる条件、(d)複素数の関係式と三角形の形、(e)ベクトルの係数の和と点の位置
どの小問も「P⇒Q」と「Q⇒P」を別々に調べ、成り立たない方は反例を1つ見つけます。
| P（であること） | Q（であるための） | P⇒Q | Q⇒P | 答え | |
|---|---|---|---|---|---|
| (a) | $\displaystyle\int_a^bf(x)dx=\frac{b^3-a^3}{3}$ がすべての $a,b$ で | $f(x)=x^2$ | 成り立つ（$b$ で微分） | 成り立つ（積分して確認） | (A) |
| (b) | $\sqrt a+\sqrt b$ が無理数 | $\sqrt{ab}$ が無理数 | 成り立たない（反例 $a=2,b=8$） | 成り立つ（対偶） | (B) |
| (c) | $P(\alpha)=P(\beta)=0$（$\alpha\ne\beta$） | $(x-\alpha)(x-\beta)$ で割り切れる | 成り立つ（因数定理） | 成り立つ | (A) |
| (d) | $\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2=0$ | △OAB が二等辺三角形 | 成り立つ（頂角120°） | 成り立たない（反例：頂角が直角など） | (C) |
| (e) | $s+t=1$ | C が線分AB の内分点 | 成り立たない（外分点もある） | 成り立つ | (B) |
(b)の対偶：$\sqrt a+\sqrt b=r$（有理数）とすると、両辺を2乗して $a+b+2\sqrt{ab}=r^2$ より $\sqrt{ab}$ は有理数。つまり「$\sqrt a+\sqrt b$ が有理数 ⇒ $\sqrt{ab}$ が有理数」なので、「$\sqrt{ab}$ が無理数 ⇒ $\sqrt a+\sqrt b$ が無理数」。ここで P は $\sqrt a+\sqrt b$、Q は $\sqrt{ab}$ なので Q⇒P。
(d)の中身：$\beta\ne0$ なので $t=\dfrac\alpha\beta$ とおくと $t^2+t+1=0$、$t=\dfrac{-1\pm\sqrt3i}{2}$。絶対値は1（OA＝OB）で、偏角は $\pm120^\circ$ なので「頂角120°の二等辺三角形」。逆に二等辺三角形でも頂角が120°とは限らない。
🎯 (3) の答え
ア：(A)イ：(B)ウ：(A)エ：(C)オ：(B)
⚠️ 「PであることはQであるための」は、Pが条件、Qが目標。P⇒Q が言えれば「十分」。向きを取り違えると(B)と(C)が入れ替わる。(e)は「内分点＝線分上」なので、直線上の外側の点（外分点）で反例を作る。
ニックニ先生の総整理表
大問Ⅰ：小問の型と着眼点
| 小問 | 型 | 着眼点 |
|---|---|---|
| (1)(a) | 指数方程式 | $2^{x-2}$ を $u$ とおき、逆数の項を $1/u$ に。$u>0$ で解を選ぶ |
| (1)(b) | 対数方程式 | 底と指数に $x$。$L=\log_2x$ とおいて対数をとる。$x\ne1$ |
| (1)(c) | 三角不等式 | 2倍角→因数分解。符号の組み合わせ2通りを範囲で整理 |
| (2) | 二段階の確率 | 出た目ごとの確率 × 目の確率 の平均。(c)は和の出方 $6-|s-7|$ |
| (3) | 必要・十分 | P⇒Q、Q⇒P を別々に調べ、成り立たない方は反例 |
TMPSコーチング診断
🩺【自己診断】大問Ⅰで手が止まった人への処方箋
- (1)(a)2つの項が逆数だと気づけない → $2^{x-2}$ と $2^{2-x}$ は積が1。$u$ と $1/u$ に置き換える
- (1)(b)底に $x$ があって混乱 → $\log_2x=L$ とおき、$\log_x4=2/L$ に直して両辺の $\log_2$ をとる
- (1)(c)三角関数が混ざって手が出ない → 2倍角で $\sin x,\cos x$ にそろえ、定数項に着目して因数分解
- (2)確率の数え方が定まらない → 「目が $n$ のとき…」と1つずつ式を書き、最後に平均する
- (3)向きで迷う → 「P⇒Q は成り立つ？」「Q⇒P は成り立つ？」を◯×で書いてから記号を決める
大問Ⅱ 平行移動と回転 ── (1)(2)の道具で、(3)の双曲線を解きほぐす
楕円の平行移動、複素数による回転ときて、(3)では回転して平行移動した双曲線を扱います。(3)の問いはどれも、(1)(2)で作った式の使い回しです。
現場戦略試験会場でのリアルな立ち回り（大問Ⅱ）
⏱ 目標時間 & 死守ライン目標20分（(1)3分・(2)5分・(3)12分）。(3)は計算量が多いので、(1)(2)を8分で終えて残り12分をあてる。
⚠️ 損切り・警戒ライン(3)で $C_1\to C_2$ の平行移動量が合わないときは、$x,y$ の係数の比較を連立方程式で解き直す。7分を超えたら、後半（焦点・漸近線）の穴埋めの形から答えを拾う。
💡 初手の思考トリガー(1)は$x\to x-1,\ y\to y+2$、(2)は$\cos\theta+i\sin\theta$ を掛ける。この2つを(3)で使う。
(1)楕円の平行移動（空欄ア・イ・ウ）
📝 どういう問題か？
楕円 $x^2+2y^2=4$ を $x$ 方向に1、$y$ 方向に$-2$ だけ動かした式を展開する。
- ア・イ・ウ：平行移動した楕円の方程式を、$x^2+2y^2-\text{ア}x+\text{イ}y+\text{ウ}=0$ の形に直したときの係数と定数項
$$(x-1)^2+2(y+2)^2=4\ \Longrightarrow\ x^2-2x+1+2y^2+8y+8-4=0\ \Longrightarrow\ x^2+2y^2-2x+8y+5=0$$
🎯 (1) の答え
ア：2イ：8ウ：5
(2)回転と複素数（空欄エ〜ケ、選択肢(A)〜(D)）
📝 どういう問題か？
原点中心に $\theta$ だけ回転した点の座標 $(X,Y)$ を、複素数の積 $X+iY=(\alpha+i\beta)(x+iy)$ で表し、実部・虚部を比べて座標の式にする。
- エ・オ：$\alpha,\beta$ にあたるものを選択肢から選ぶ
- カ・キ・ク・ケ：$X=ax+by,\ Y=cx+dy$ の係数 $a,b,c,d$ にあたるものを選ぶ
- 選択肢：(A) $\sin\theta$ (B) $-\sin\theta$ (C) $\cos\theta$ (D) $-\cos\theta$
$\theta$ 回転は $\cos\theta+i\sin\theta$ を掛けること。よって $\alpha=\cos\theta$、$\beta=\sin\theta$。展開すると
$$(\cos\theta+i\sin\theta)(x+iy)=(x\cos\theta-y\sin\theta)+i(x\sin\theta+y\cos\theta)$$
実部が $X$、虚部が $Y$ なので $a=\cos\theta,\ b=-\sin\theta,\ c=\sin\theta,\ d=\cos\theta$。
🎯 (2) の答え
エ：(C)オ：(A)カ：(C)キ：(B)ク：(A)ケ：(C)
(3)回転・平行移動した曲線（空欄コサ〜ノハ）
📝 どういう問題か？
$xy$ の項をもつ2次曲線 $C_1$ を、「平行移動を戻す → 回転を戻す」の2段階で、軸に平行な形の双曲線 $C_3$ まで戻して調べる。
- コサ：定数（2桁、$C_2$ と $C_3$ の両方に同じ値が入る）
- シ・ス：$C_2\to C_1$ の平行移動量（$x$ 方向・$y$ 方向）
- セ・ソ：$C_3:\ \text{セ}x^2-\text{ソ}y^2=\text{コサ}$ の係数
- タ・チ：$C_3$ の焦点 $(\pm\text{タ}\sqrt{\text{チ}},0)$
- ツテ・ト：漸近線 $y=\pm\dfrac{\sqrt{\text{ツテ}}}{\text{ト}}x$
- ナ・ニ：$C_1$ の2本の漸近線が通る点
- ヌ・ネ・ノハ：$C_1$ の漸近線の傾き $\text{ヌ}\sqrt{\text{ネ}}\pm\sqrt{\text{ノハ}}$
① 平行移動量：$C_2$ を $(p,q)$ だけ動かすと、$x\to x-p,\ y\to y-q$ なので、$Q(x,y)=3x^2+4\sqrt3xy-y^2$ のとき
$$Q(x-p,y-q)=Q(x,y)-2(3p+2\sqrt3q)x-2(2\sqrt3p-q)y+Q(p,q)$$
$C_1$ の $x$ の係数 $-(12+4\sqrt3)$、$y$ の係数 $2-8\sqrt3$ と比べて
$$3p+2\sqrt3q=6+2\sqrt3,\qquad 2\sqrt3p-q=-1+4\sqrt3\ \Longrightarrow\ (p,q)=(2,1)$$
定数項：$Q(2,1)=11+8\sqrt3$ なので $11+8\sqrt3-k=-4+8\sqrt3$、$k=15$。よって $C_2:\ Q(x,y)=15$。
② 回転を戻す：$Q$ の係数行列 $\begin{pmatrix}3&2\sqrt3\\2\sqrt3&-1\end{pmatrix}$ の固有値は $\lambda^2-2\lambda-15=0$ より $5,\ -3$。回転すると $xy$ の項が消えて、$C_3:\ 5x^2-3y^2=15$（$\theta=\dfrac\pi6$ の回転、(2)の式①で確かめられる）。
③ 焦点と漸近線：$C_3:\ \dfrac{x^2}{3}-\dfrac{y^2}{5}=1$。焦点は $(\pm\sqrt{3+5},0)=(\pm2\sqrt2,0)$、漸近線は $y=\pm\sqrt{\dfrac53}x=\pm\dfrac{\sqrt{15}}{3}x$。
④ $C_1$ の漸近線：$C_1$ は $C_2$ を $(2,1)$ 平行移動したものなので、漸近線は点 $(2,1)$ を通ります。傾き $m$ は、$C_2$ の最高次の部分 $Q$ が0になる方向、つまり $3+4\sqrt3m-m^2=0$ の解です。
$$m^2-4\sqrt3m-3=0\ \Longrightarrow\ m=2\sqrt3\pm\sqrt{12+3}=2\sqrt3\pm\sqrt{15}$$
🎯 (3) の答え
コサ：15シ：2ス：1セ：5ソ：3タ：2チ：2ツテ：15ト：3ナ：2ニ：1ヌ：2ネ：3ノハ：15
⚠️ 回転と平行移動は、順序で式が変わる。この問題は「$C_3\to$（回転）$\to C_2\to$（平行移動）$\to C_1$」なので、戻すときは「平行移動 → 回転」の順。先に回転を戻すと中心がずれる。
Yuiちゃん
(3)は空欄がたくさんあって、どこから手をつければよいか分かりません…。ニックニ先生
空欄の並び自体が、解法の美しい誘導になっています。「$C_2$ の定数→移動量→$C_3$ の係数→焦点→漸近線→$C_1$ の漸近線」と、上から一本の流れに乗って解き進められます。最初の $(p,q)$ さえ決まれば、あとは落ち着いて機械的に処理していけますよ。ニックニ先生の総整理表
大問Ⅱ：図形と式の型
| 小問 | 型 | 着眼点 |
|---|---|---|
| (1) | 楕円の平行移動 | $x\to x-1,\ y\to y+2$ を代入して展開 |
| (2) | 回転と複素数 | $\cos\theta+i\sin\theta$ を掛け、実部・虚部で $X,Y$ |
| (3) | 2次曲線の標準化 | 平行移動を戻す → 固有値で $xy$ を消す → 焦点・漸近線 |
TMPSコーチング診断
🩺【自己診断】大問Ⅱで手が止まった人への処方箋
- (1)符号がずれる → $(x-p)$ の形で $p=1$、$(y+2)$ の形で $q=-2$。展開は項ごとに
- (2)選択肢が選べない → $\alpha+i\beta$ を先に $\cos\theta+i\sin\theta$ と決め、展開した実部・虚部と照らす
- (3)平行移動量が出ない → $x$ の係数・$y$ の係数を比べた2本の連立方程式。両方で $\sqrt3$ の項と整数の項を分けて比較
- (3)漸近線の傾きが出ない → 最高次の部分 $3+4\sqrt3m-m^2=0$ と考える。中心は(p,q)
大問Ⅲ sin x の不等式 ── (1)の微分から(4)の数値評価まで、つながりを追う
記述式です。(1)(2)は定義と微分で確実に、(3)は帰納法の設計、(4)は(3)の特別な場合を使って数値の範囲を示します。解答欄の字数に収まるよう、要点だけを書く練習も大切です。
現場戦略試験会場でのリアルな立ち回り（大問Ⅲ）
⏱ 目標時間 & 死守ライン目標20分（(1)4分・(2)3分・(3)8分・(4)5分）。(1)(2)で7分、(3)(4)で13分。
⚠️ 損切り・警戒ライン(3)の帰納法がまとまらないときは、$n=1$ の場合の計算（$F_1=x-\sin x$）と「$F_n$ の導関数が $G_n$」の関係だけ書いて、(4)に進む。(4)は(3)の結果を認めて書ける。
💡 初手の思考トリガー最初の一手は(1)の加法定理。$\sin(x+h)-\sin x$ を $\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h$ に分ける。
(1)導関数の定義から $(\sin x)'=\cos x$ を示す
📝 どういう問題か？
微分の定義 $\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ に $\sin$ を代入し、加法定理で分けて極限をとる。
- 記述：導関数の定義にしたがって $(\sin x)'=\cos x$ を示す。$\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ は使ってよい
$(\sin x)'=\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}=\lim_{h\to0}\left\{\sin x\cdot\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\cdot\frac{\sin h}{h}\right\}$。
$\dfrac{\cos h-1}{h}=\dfrac{(\cos h-1)(\cos h+1)}{h(\cos h+1)}=-\dfrac{\sin h}{h}\cdot\dfrac{\sin h}{\cos h+1}\to-1\cdot0=0$。
また $\dfrac{\sin h}{h}\to1$。よって $(\sin x)'=\sin x\cdot0+\cos x\cdot1=\cos x$。
⚠️ $\dfrac{\cos h-1}{h}\to0$ は、分子分母に $\cos h+1$ を掛けて $\sin^2h$ を作るのが定石。$\dfrac{\cos h-1}{h^2}\to-\dfrac12$ は使えない（問題の許可は $\dfrac{\sin x}{x}\to1$ だけ）。
(2)$x\ge0$ のとき $\sin x\le x$
📝 どういう問題か？
(1)で求めた導関数を使い、差の関数 $x-\sin x$ の増減から示す。
- 記述：$x\ge0$ のとき $\sin x\le x$ を示す
$k(x)=x-\sin x$ とおくと $k'(x)=1-\cos x\ge0$。$k(0)=0$ なので、$x\ge0$ で $k(x)\ge0$、すなわち $\sin x\le x$。
(3)$F_n(x)\ge0,\ G_n(x)\ge0$（数学的帰納法）
📝 どういう問題か？
正弦・余弦の「テイラー展開を途中で打ち切った多項式」と本物の差の符号を、$n$ について一斉に示す。交互に符号が変わる評価を、帰納法で一気に作る。
- 記述：$S_n(x)=\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\dfrac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}$、$T_n(x)=\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\dfrac{x^{2k-2}}{(2k-2)!}$ を使って、$F_n=(-1)^{n-1}(S_n-\sin x)$、$G_n=(-1)^{n-1}(T_n-\cos x)$ とする。$x\ge0$ で、すべての自然数 $n$ について $F_n(x)\ge0$ かつ $G_n(x)\ge0$ を示す
道具：まず $S_n$、$T_n$ を微分します。
$$S_n'(x)=T_n(x),\qquad T_n'(x)=-S_{n-1}(x)\ \ (S_0=0)$$
すると $F_n$、$G_n$ の導関数は、1つ前（または同じ番号）の関数でそろいます。
$$F_n'(x)=(-1)^{n-1}\{T_n-\cos x\}=G_n(x),\qquad G_n'(x)=(-1)^{n-1}\{-S_{n-1}+\sin x\}=F_{n-1}(x)\ \ (n\ge2)$$
さらに $x=0$ では $T_n(0)=1$、$S_n(0)=0$ なので $F_n(0)=G_n(0)=0$。
$n=1$：$G_1=1-\cos x\ge0$。$F_1=x-\sin x\ge0$ は(2)。
$n-1$ で成り立つと仮定して $n$：$G_n'=F_{n-1}\ge0$、$G_n(0)=0$ より $G_n\ge0$。次に $F_n'=G_n\ge0$、$F_n(0)=0$ より $F_n\ge0$。
数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ について $F_n\ge0,\ G_n\ge0$（$x\ge0$）。
⚠️ 証明の骨格は「導関数が前の不等式に等しい ＋ 出発点が0」。$G_n$ を先に、$F_n$ を後に示す順序が重要（$F_n$ の導関数が $G_n$）。$n=1$ だけ導関数の式が使えない（$G_1'=\sin x$ は符号が一定でない）ので、$G_1$ は直接 $1-\cos x\ge0$ で示す。
(4)$0.83<\sin1<0.85$
📝 どういう問題か？
(3)の $F_2(1)\ge0$ と $F_3(1)\ge0$ から、$\sin 1$ の下限と上限を作る。
- 記述：$0.83<\sin1<0.85$ を示す
(3)で $x=1$、$n=2$：$F_2(1)=-(S_2(1)-\sin1)\ge0$ より $\sin1\ge S_2(1)=1-\dfrac16=\dfrac56=0.8333\cdots>0.83$。
$n=3$：$F_3(1)=S_3(1)-\sin1\ge0$ より $\sin1\le S_3(1)=1-\dfrac16+\dfrac1{120}=\dfrac{101}{120}=0.84166\cdots<0.85$。
よって $0.83<\sin1<0.85$。
Yuiちゃん
(3)の記号が多くて、何を示せばよいのか分からなくなりました…。ニックニ先生
$F_n$ と $G_n$ は「sin と cos の多項式近似と本物の誤差」を表しています。見かけの複雑さに惑わされず、「$F_n$ を微分すると $G_n$」「$G_n$ を微分すると $F_{n-1}$」「そして $x=0$ で値が0」というこの3点さえ答案に明記できれば、あとは(2)と同様の美しい議論で確実に満点が取れます。ニックニ先生の総整理表
大問Ⅲ：証明の型
| 小問 | 型 | 着眼点 |
|---|---|---|
| (1) | 導関数の定義 | 加法定理 → $(\cos h-1)/h$ を $\sin^2h$ に直して極限 |
| (2) | 差の関数の増減 | $x-\sin x$ を微分、$k(0)=0$ |
| (3) | 帰納法 | $F_n'=G_n$、$G_n'=F_{n-1}$、$x=0$ で0。$n=1$ は直接 |
| (4) | 評価の利用 | (3)に $x=1$、$n=2,3$ を代入して下限・上限 |
TMPSコーチング診断
🩺【自己診断】大問Ⅲで手が止まった人への処方箋
- (1)極限が出ない → 加法定理で分けたあと、$\cos h-1$ の分子分母に $\cos h+1$ を掛ける
- (2)差の関数が作れない → 「示したい不等式 ≦ の右−左」を $k(x)$ とおく
- (3)帰納法がまとまらない → $n=1$ の確認と、「$F_n'=G_n$、$G_n'=F_{n-1}$」の2式だけ先に書く
- (4)値の代入で迷う → $n=2$ は $F_2=\sin x-S_2$（符号が逆）、$n=3$ は $F_3=S_3-\sin x$。符号は $(-1)^{n-1}$
TMPS ORIGINAL
順天堂大2026型 そっくり類題セット
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（全3大問・解答解説つき）
2026年度の本番と同じ3大問・同じ小問構成で、数値と設定を変えたTMPSオリジナル問題です。式を整理する力と、証明の流れをつかむ力の練習に使ってください。
試験時間の目安 70分小問集合・図形と式・記述（証明）
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印刷して本番と同じように70分で解けます。解答・解説はこのページの下に掲載しています。
※ 順天堂大学の入試問題ではありません。本文・設問・人物・団体（架空）はすべてTMPS医学館が作成したオリジナルで、出典のある引用ではありません。
類題 大問Ⅰ
空欄に適する解答をマークせよ。（符号は $-$，数字は1文字ずつ）
(1)
(a)
方程式 $3^{x-1}-3^{1-x}=\dfrac{26\sqrt3}{9}$ の解は $x=\dfrac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}$ である。
(b)
方程式 $x^{3+\log_3x}=81^{\log_x3}$ の解は $x=\dfrac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}$，オ である。
(c)
$0\le x\le\pi$ のとき，$2\sin2x-2\sqrt2\sin x-2\sqrt3\cos x+\sqrt6\le0$ を満たす $x$ の範囲は
カ$\le x\le\dfrac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}\pi$，$\dfrac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}\pi\le x\le\dfrac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}\pi$
である。
カ$\le x\le\dfrac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}\pi$，$\dfrac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}\pi\le x\le\dfrac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}\pi$
である。
(2)
(a)
1〜5の数字が1つずつ書かれた5枚のカードから1枚を引き，書かれた数と同じ枚数のコインを投げる。このとき，表が1枚も出ない確率は
$\dfrac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウエオ}}}$
である。
$\dfrac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウエオ}}}$
である。
(b)
1，2，3の数字が1つずつ書かれた3枚のカードから1枚を引き，書かれた数の2倍の枚数のコインを投げる。このとき，ちょうど1枚だけ表が出る確率は
$\dfrac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キク}}}$
である。
$\dfrac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キク}}}$
である。
(c)
1〜4の数字が1つずつ書かれた4枚のカードの中から，1枚を引いて数を記録して戻す操作を2回行い，記録した2つの数の和と同じ枚数のコインを投げる。このとき，ちょうど1枚だけ表が出る確率は
$\dfrac{\boxed{\text{ケコサ}}}{\boxed{\text{シスセソ}}}$
である。
$\dfrac{\boxed{\text{ケコサ}}}{\boxed{\text{シスセソ}}}$
である。
(3)
次の ア〜オ に当てはまるものを，下の(A)〜(D)から選べ。
(A) 必要十分条件である (B) 必要条件であるが，十分条件でない (C) 十分条件であるが，必要条件でない (D) 必要条件でも十分条件でもない
(A) 必要十分条件である (B) 必要条件であるが，十分条件でない (C) 十分条件であるが，必要条件でない (D) 必要条件でも十分条件でもない
(a)
連続関数 $f(x)$ について，$\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx=\dfrac13$ となることは $f(x)=x^2$ であるための ア。
(b)
異なる2つの正の整数 $a,\ b$ について，$\sqrt a+\sqrt b$ が有理数であることは，$a,\ b$ がともに平方数であるための イ。
(c)
多項式 $P(x)$ と実数 $\alpha$ について，$P(x)$ が $(x-\alpha)^2$ で割り切れることは $P(\alpha)=0$ であるための ウ。
(d)
複素数平面上の異なる3点 $\mathrm O(0),\ \mathrm A(\alpha),\ \mathrm B(\beta)$ について，$\alpha^2-\alpha\beta+\beta^2=0$ が成り立つことは $\triangle\mathrm{OAB}$ が正三角形になるための エ。
(e)
平面上の2点 $\mathrm A(\vec a),\ \mathrm B(\vec b)$ について，$\vec a\ne\vec0,\ \vec b\ne\vec0$ で $\vec a$ と $\vec b$ は平行でないとする。点 C の位置ベクトルが $s\vec a+t\vec b$（$s,t$ は定数）で与えられるとき，$s+t=2$ であることは点 C が直線 AB 上にあるための オ。
▶ 大問Ⅰ の答えと解説を見る
大問Ⅰ の答えと解説
(1)(a)
ア/イ：5/2
- $u=3^{x-1}\ (u>0)$ とおくと $3^{1-x}=\dfrac1u$。方程式は $u-\dfrac1u=\dfrac{26\sqrt3}{9}$。
- 両辺に $9u$ を掛けて $9u^2-26\sqrt3\,u-9=0$。左辺は $(u-3\sqrt3)(9u+\sqrt3)$ と因数分解できる。
- $u>0$ より $u=3\sqrt3=3^{3/2}$。よって $x-1=\dfrac32$，$x=\dfrac52$。
(1)(b)
ウ/エ：1/9オ：3
- 真数条件と底の条件から $x>0,\ x\ne1$。$L=\log_3x\ (L\ne0)$ とおくと $\log_x3=\dfrac1L$。
- 両辺の $\log_3$ をとって $L(3+L)=4\cdot\dfrac1L$。すなわち $L^3+3L^2-4=0$，$(L-1)(L+2)^2=0$。
- $L=1,\ -2$ より $x=3,\ \dfrac19$。
(1)(c)
カ：0キ/ク：1/4ケ/コ：1/3サ/シ：2/3
- $2\sin2x=4\sin x\cos x$ より，左辺は $(2\sin x-\sqrt3)(2\cos x-\sqrt2)$ と因数分解できる。
- $\le0$ になるのは「$\sin x\ge\dfrac{\sqrt3}{2}$ かつ $\cos x\le\dfrac{\sqrt2}{2}$」または「$\sin x\le\dfrac{\sqrt3}{2}$ かつ $\cos x\ge\dfrac{\sqrt2}{2}$」。
- 前者は $\dfrac\pi3\le x\le\dfrac{2\pi}{3}$ かつ $x\ge\dfrac\pi4$ で $\dfrac\pi3\le x\le\dfrac{2\pi}3$。後者は $0\le x\le\dfrac\pi4$。
(2)(a)
アイ/ウエオ：31/160
- 引いた数が $n$ のとき表が1枚も出ない確率は $\left(\dfrac12\right)^n$。各 $n$ は確率 $\dfrac15$ なので
- $\dfrac15\left(\dfrac12+\dfrac14+\dfrac18+\dfrac1{16}+\dfrac1{32}\right)=\dfrac15\cdot\dfrac{31}{32}=\dfrac{31}{160}$。
(2)(b)
カ/キク：9/32
- コインを $m$ 枚投げてちょうど1枚が表になる確率は $\dfrac{m}{2^m}$。$m=2,4,6$ なので
- $\dfrac24+\dfrac4{16}+\dfrac6{64}=\dfrac{32+16+6}{64}=\dfrac{54}{64}=\dfrac{27}{32}$。
- よって $\dfrac13\cdot\dfrac{27}{32}=\dfrac{9}{32}$。
(2)(c)
ケコサ/シスセソ：195/1024
- 和 $s$ の確率は $s=2,3,4,5,6,7,8$ に対して $\dfrac{1}{16},\dfrac{2}{16},\dfrac{3}{16},\dfrac{4}{16},\dfrac{3}{16},\dfrac{2}{16},\dfrac{1}{16}$。
- 求める確率は $\displaystyle\sum_s P(s)\cdot\dfrac{s}{2^s}$。各項の分母を $4096$ にそろえると，分子は $128+192+192+160+72+28+8=780$。
- よって $\dfrac{780}{4096}=\dfrac{195}{1024}$。
(3)(a)
ア：(B)
- $f(x)=x^2$ ならば $\displaystyle\int_0^1x^2dx=\dfrac13$ なので必要条件。
- 逆は成り立たない。たとえば $f(x)=\dfrac13$（定数）でも積分は $\dfrac13$ だが $f(x)\ne x^2$。
(3)(b)
イ：(A)
- $\sqrt a+\sqrt b=r$（有理数）とすると $\sqrt a=r-\sqrt b$。両辺を2乗して $a=r^2-2r\sqrt b+b$ より $\sqrt b=\dfrac{r^2+b-a}{2r}$ は有理数。$\sqrt b$ が有理数となるのは $b$ が平方数のときに限り，同様に $a$ も平方数。
- 逆に $a,b$ が平方数なら $\sqrt a,\sqrt b$ は整数で，その和は有理数。
(3)(c)
ウ：(C)
- $(x-\alpha)^2$ で割り切れれば $P(\alpha)=0$（十分条件）。
- 逆は成り立たない。$P(x)=x(x-1),\ \alpha=0$ のとき $P(0)=0$ だが $x^2$ では割り切れない。
(3)(d)
エ：(A)
- $\beta\ne0$ なので $t=\dfrac\alpha\beta$ とおくと $t^2-t+1=0$，$t=\dfrac{1\pm\sqrt3i}{2}=\cos\left(\pm\dfrac\pi3\right)+i\sin\left(\pm\dfrac\pi3\right)$。
- $|t|=1$ すなわち $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$ で，頂角が $60^\circ$ なので正三角形。逆に正三角形なら $t$ はこの形になる。
(3)(e)
オ：(D)
- 点Cが直線AB上にあるための条件は $s+t=1$。$s+t=2$ のとき点Cは直線AB上にない（逆に，直線AB上なら $s+t=1$ で $2$ ではない）。
- よって必要条件でも十分条件でもない。
類題 大問Ⅱ
空欄に適する解答をマークせよ。ただし，同じ記号の空欄がある場合は同一の値がはいる。また，カ〜サ に当てはまるものを選択肢(A)〜(D)から選べ。
(1)
楕円 $x^2+3y^2=3$ を $x$ 軸方向に $1$，$y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動した楕円の方程式は
$x^2+3y^2-$ア$x+$イ$y+$ウ$=0$
である。
$x^2+3y^2-$ア$x+$イ$y+$ウ$=0$
である。
(2)
座標平面上の点 $(x,y)$ を原点中心に $-\theta$ 回転して得られる点の座標を $(X,Y)$ とする。複素数平面上で点 $X+iY$ と点 $x+iy$ を考えると，
$X+iY=(\alpha+i\beta)(x+iy)$
となる。ここで，$\alpha=$カ，$\beta=$キ である。これより，
$X=ax+by,\quad Y=cx+dy\quad\cdots\cdots①$
を得る。ここで，$a=$ク，$b=$ケ，$c=$コ，$d=$サ である。
選択肢：(A) $\sin\theta$ (B) $-\sin\theta$ (C) $\cos\theta$ (D) $-\cos\theta$
$X+iY=(\alpha+i\beta)(x+iy)$
となる。ここで，$\alpha=$カ，$\beta=$キ である。これより，
$X=ax+by,\quad Y=cx+dy\quad\cdots\cdots①$
を得る。ここで，$a=$ク，$b=$ケ，$c=$コ，$d=$サ である。
選択肢：(A) $\sin\theta$ (B) $-\sin\theta$ (C) $\cos\theta$ (D) $-\cos\theta$
(3)
曲線 $C_1:\ 3x^2-4\sqrt3xy-y^2+(12\sqrt3-6)x+(6+4\sqrt3)y-51-12\sqrt3=0$ について考える。
曲線 $C_1$ は，原点に関して対称な曲線 $C_2:\ 3x^2-4\sqrt3xy-y^2=$シス を $x$ 軸方向に セ，$y$ 軸方向に ソ だけ平行移動した曲線である。
また，(2)の①で $\theta=\dfrac\pi6$ とおくと，曲線 $C_2$ は $x$ 軸および $y$ 軸に関して対称な曲線 $C_3:\ $タ$x^2-$チ$y^2=$シス を原点の周りに $-\dfrac\pi6$ 回転した曲線であることがわかる。
曲線 $C_3$ は焦点 $\left(\pm\boxed{\text{ツ}}\sqrt{\boxed{\text{テ}}},\ 0\right)$，漸近線 $y=\pm\dfrac{\sqrt{\boxed{\text{トナ}}}}{\boxed{\text{ニ}}}x$ をもつ双曲線である。したがって，曲線 $C_1,\ C_2$ も双曲線であり，$C_1$ の漸近線はともに点 $\big($ヌ，ネ$\big)$ を通り，傾きがそれぞれ $-$ノ$\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}\pm\sqrt{\boxed{\text{ヒフ}}}$ で与えられる2直線である。
曲線 $C_1$ は，原点に関して対称な曲線 $C_2:\ 3x^2-4\sqrt3xy-y^2=$シス を $x$ 軸方向に セ，$y$ 軸方向に ソ だけ平行移動した曲線である。
また，(2)の①で $\theta=\dfrac\pi6$ とおくと，曲線 $C_2$ は $x$ 軸および $y$ 軸に関して対称な曲線 $C_3:\ $タ$x^2-$チ$y^2=$シス を原点の周りに $-\dfrac\pi6$ 回転した曲線であることがわかる。
曲線 $C_3$ は焦点 $\left(\pm\boxed{\text{ツ}}\sqrt{\boxed{\text{テ}}},\ 0\right)$，漸近線 $y=\pm\dfrac{\sqrt{\boxed{\text{トナ}}}}{\boxed{\text{ニ}}}x$ をもつ双曲線である。したがって，曲線 $C_1,\ C_2$ も双曲線であり，$C_1$ の漸近線はともに点 $\big($ヌ，ネ$\big)$ を通り，傾きがそれぞれ $-$ノ$\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}\pm\sqrt{\boxed{\text{ヒフ}}}$ で与えられる2直線である。
▶ 大問Ⅱ の答えと解説を見る
大問Ⅱ の答えと解説
(1)
ア：2イ：6ウ：1
- $x\to x-1,\ y\to y+1$ として $(x-1)^2+3(y+1)^2=3$。
- 展開して $x^2-2x+1+3y^2+6y+3-3=0$，すなわち $x^2+3y^2-2x+6y+1=0$。
(2)
カ：(C)キ：(B)ク：(C)ケ：(A)コ：(B)サ：(C)
- $-\theta$ 回転は $\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)=\cos\theta-i\sin\theta$ を掛けること。よって $\alpha=\cos\theta$（C），$\beta=-\sin\theta$（B）。
- $(\cos\theta-i\sin\theta)(x+iy)=(x\cos\theta+y\sin\theta)+i(-x\sin\theta+y\cos\theta)$ より，$a=\cos\theta$（C），$b=\sin\theta$（A），$c=-\sin\theta$（B），$d=\cos\theta$（C）。
(3)
シス：45セ：1ソ：3タ：5チ：3ツ：2テ：6トナ：15ニ：3ヌ：1ネ：3ノ：2ハ：3ヒフ：15
- $C_2$ を $x$ 方向に $p$，$y$ 方向に $q$ 平行移動した曲線は，$x\to x-p,\ y\to y-q$ とした式。$x$ の係数，$y$ の係数，定数項を $C_1$ と比べると $(p,q)=(1,3)$。定数項から $k=45$。
- $3x^2-4\sqrt3xy-y^2$ の係数行列 $\begin{pmatrix}3&-2\sqrt3\\-2\sqrt3&-1\end{pmatrix}$ の固有値は $5,\ -3$（$\lambda^2-2\lambda-15=0$）。$C_3$ は $5x^2-3y^2=45$，すなわち $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{15}=1$。
- 焦点は $(\pm\sqrt{9+15},0)=(\pm2\sqrt6,0)$，漸近線は $y=\pm\sqrt{\dfrac{15}{9}}x=\pm\dfrac{\sqrt{15}}{3}x$。
- $C_1$ の漸近線は中心 $(1,3)$ を通る。傾き $m$ は $3-4\sqrt3m-m^2=0$，すなわち $m^2+4\sqrt3m-3=0$ より $m=-2\sqrt3\pm\sqrt{15}$。
類題 大問Ⅲ
以下の問いに答えよ。（解答用紙には結果だけでなく，考え方や途中の式も記すこと。）
(1)
導関数の定義にしたがって $(\cos x)'=-\sin x$ を示せ。ただし，$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ は用いてよい。
(2)
$x\ge0$ のとき，$1-\dfrac{x^2}{2}\le\cos x$ が成り立つことを示せ。
(3)
自然数 $n$ に対して，
$P_n(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\dfrac{x^{2k}}{(2k)!},\quad Q_n(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$
とし，これらを用いて
$f_n(x)=(-1)^n\{P_n(x)-\cos x\},\quad g_n(x)=(-1)^n\{Q_n(x)-\sin x\}$
とする。$x\ge0$ のとき，すべての自然数 $n$ に対して $f_n(x)\ge0$ および $g_n(x)\ge0$ が成り立つことを示せ。
$P_n(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\dfrac{x^{2k}}{(2k)!},\quad Q_n(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$
とし，これらを用いて
$f_n(x)=(-1)^n\{P_n(x)-\cos x\},\quad g_n(x)=(-1)^n\{Q_n(x)-\sin x\}$
とする。$x\ge0$ のとき，すべての自然数 $n$ に対して $f_n(x)\ge0$ および $g_n(x)\ge0$ が成り立つことを示せ。
(4)
$0.54<\cos1<0.55$ を示せ。
▶ 大問Ⅲ の答えと解説を見る
大問Ⅲ の答えと解説
(1)
答案例
- $\dfrac{\cos(x+h)-\cos x}{h}=\dfrac{\cos x(\cos h-1)-\sin x\sin h}{h}$。
- $\dfrac{\cos h-1}{h}=\dfrac{(\cos h-1)(\cos h+1)}{h(\cos h+1)}=-\dfrac{\sin^2h}{h(\cos h+1)}=-\dfrac{\sin h}{h}\cdot\dfrac{\sin h}{\cos h+1}\to-1\cdot0=0\ (h\to0)$。
- また $\dfrac{\sin h}{h}\to1$。よって極限は $\cos x\cdot0-\sin x\cdot1=-\sin x$。
(2)
答案例
- $k(x)=x-\sin x$ とおくと $k'(x)=1-\cos x\ge0$，$k(0)=0$ より $x\ge0$ で $k(x)\ge0$。すなわち $\sin x\le x$。
- $h(x)=\cos x-1+\dfrac{x^2}{2}$ とおくと $h'(x)=-\sin x+x=k(x)\ge0$，$h(0)=0$ より $x\ge0$ で $h(x)\ge0$。
(3)
答案例
- $P_{n+1}'=-Q_n$，$Q_n'=P_n$ である。よって $f_{n+1}'=(-1)^{n+1}(-Q_n+\sin x)=g_n$，$g_n'=(-1)^n(P_n-\cos x)=f_n$。また $P_n(0)=1,\ Q_n(0)=0$ より $f_n(0)=g_n(0)=0$。
- $n=1$：$f_1=\cos x-1+\dfrac{x^2}2\ge0$ は(2)。$g_1'=f_1\ge0$，$g_1(0)=0$ より $g_1\ge0$。
- $n$ で成り立つと仮定する。$f_{n+1}'=g_n\ge0$，$f_{n+1}(0)=0$ より $f_{n+1}\ge0$。続いて $g_{n+1}'=f_{n+1}\ge0$，$g_{n+1}(0)=0$ より $g_{n+1}\ge0$。数学的帰納法により，すべての自然数 $n$ で成り立つ。
(4)
答案例
- (3)の $f_2(1)\ge0$ より $P_2(1)-\cos1\ge0$。$P_2(1)=1-\dfrac12+\dfrac1{24}=\dfrac{13}{24}=0.5416\cdots<0.55$。
- $f_3(1)\ge0$ より $-(P_3(1)-\cos1)\ge0$，すなわち $\cos1\ge P_3(1)=\dfrac{13}{24}-\dfrac1{720}=\dfrac{389}{720}=0.54027\cdots>0.54$。
- よって $0.54<\cos1<0.55$。
※ 類題は、本番の解き方の骨格は残しつつ、数値・設定・符号・問われ方を変えて作っています。大問Ⅲは、sin ではなく cos を主役にして、2つの近似多項式を使う形にしています。全空欄は、スクリプトで確かめてあります。
30秒 得点診断
本番の過去問、またはそっくり類題セットを70分で解いた結果を選んでください。次にやるべきことを表示します。
保護者の方へ：順天堂大の数学で知っておきたい3つのこと
① 「全部解く」より「取れる所を落とさない」
全3大問・70分で、大問Ⅰ・Ⅱはマーク式、大問Ⅲは記述式です。小問集合と各大問の前半は誘導に乗れば短時間で取れるので、ここを落とさない練習が得点に直結します。② 記述の大問は「書き方」も練習が必要
証明問題は、分かっていても書き方で点が変わります。「何を仮定し、何を使い、何を示したか」を短く書く練習を、答案を見てもらいながら進めると伸びが速くなります。③ 秋からは「答案を見てもらう」
70分で3大問を終える配分は、独学では直しにくい部分です。どこで時間を失ったか、第三者の目で見ると最短で伸びます。よくある質問
Q. 順天堂大学 医学部の数学2026年度は、どの順番で解くのがよいですか？
TMPSのおすすめは、大問Ⅰの小問集合を24分、大問Ⅱを20分、記述の大問Ⅲを20分、見直し6分です。Ⅰは1問ずつが短く答えが確実に出るので先に取り、Ⅱは(1)(2)で道具をそろえてから(3)へ、Ⅲは(1)(2)から順に書いて(3)(4)の途中点も拾います。
Q. 問題文が載っていなくても、どんな問題か分かりますか？
分かります。著作権に配慮して問題本文・図は掲載していませんが、各小問の最初に「どういう問題か」として、設定・何を答えるか・解答欄の形をTMPSの言葉で説明しています。
Q. 大問Ⅲの記述式はどう書けばよいですか？
この大問は「導関数の定義から示す」「不等式を示す」「帰納法で示す」「数値の範囲を示す」という証明問題です。ページには答案例を載せています。答案例は1つの書き方で、論理の流れ（何を仮定し、何を使い、何を示したか）が読み手に伝われば別の書き方でも構いません。
Q. そっくり類題セットとは何ですか？
2026年度と同じ3大問・同じ空欄の数と形式で、数値・設定を変えたTMPSオリジナル問題です。本文・設問はすべて新しく作ったもので、全問の答え・解説をこのページに掲載し、本番形式の問題冊子PDFも無料で配布しています。
Q. 解説に誤りを見つけたらどうすればいいですか？
公式LINEからお知らせください。確認のうえ修正し、更新日を記載します。
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問題等で誤りを発見された場合、修正しますので、TMPS医学館までLINEを下さい。
受験生・指導者の皆様からのご指摘を真摯に受け止め、最も信頼できる過去問解説・類題ライブラリーとして随時アップデートいたします。
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