北里大学
医学部 数学
2026年度 解答・解説

(ア)：$\beta-\alpha=(2-2i)-(-2+i)=4-3i$ なので、$|\beta-\alpha|=\sqrt{4^2+3^2}=5$。

(イ)：正三角形の3頂点は、$\alpha$ を中心に $\beta-\alpha$ を $\pm60^\circ$ 回した点が $\gamma$ になります。$d=\beta-\alpha=4-3i$ とおくと、$\gamma=\alpha+d\,e^{\pm i\pi/3}$（$e^{i\pi/3}=\dfrac{1+\sqrt3\,i}{2}$）。

実部・虚部がともに正になるのは上の方だけなので、$\gamma=\dfrac{3\sqrt3}{2}+\left(2\sqrt3-\dfrac12\right)i$。

(ウ)：方程式 $(z+p)^3=q$ の3解は、$-p$ を中心に $120^\circ$ ずつ回した3点で、正三角形の頂点になります。したがって $-p$ は三角形の重心 $G=\dfrac{\alpha+\beta+\gamma}{3}$、そして $q=(\alpha+p)^3=(\alpha-G)^3$ です。

重心は $G=\alpha+\dfrac{d+d\,e^{i\pi/3}}{3}$ なので、$1+e^{i\pi/3}=\sqrt3\,e^{i\pi/6}$ を使って $\alpha-G=-\dfrac{\sqrt3}{3}\,d\,e^{i\pi/6}$。3乗すると $e^{i\pi/2}=i$ が出ます。

(エ)：$(\log x)'=\dfrac1x$ より、$x=e^2$ での傾きは $\dfrac1{e^2}$。

$l$ と $x$ 軸の交点は $x=-e^2$。曲線は $x=1$ で $x$ 軸と交わります。

(オ)：「$l$ と $x$ 軸と $x=e^2$ でできる三角形」から「曲線と $x$ 軸と $x=e^2$ で囲まれた部分」を引きます。三角形の底辺は $2e^2$、高さは $2$ なので面積 $2e^2$。曲線の下の面積は、

(カ)：$l$ を回した立体（円すい）の体積から、曲線を回した立体の体積を引きます。$u=\dfrac{x}{e^2}+1$ と置換すると、

(キ)：$x^2$ の係数が $-1$ の放物線なので、頂点を $(a,k)$ として $f(x)=-(x-a)^2+k$。頂点が $y=-4x+3$ 上にあるので $k=-4a+3$。点 $(2,-1)$ を通る条件を入れると、

(ク)：直線 $y=2x$ が $x$ 軸となす角を $\theta$（$\tan\theta=2$）とすると、この直線に関する対称移動は行列 $\begin{pmatrix}\cos2\theta&\sin2\theta\\\sin2\theta&-\cos2\theta\end{pmatrix}$。$\cos2\theta=\dfrac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}=-\dfrac35$、$\sin2\theta=\dfrac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta}=\dfrac45$ なので、

(ケ)：この変換は2回行うと元に戻る（逆変換も同じ形）ので、$\mathrm{P}=(x,y)$ のとき $s=\dfrac{-3x+4y}{5},\ t=\dfrac{4x+3y}{5}$。$t=-s^2+3$ に代入して25倍します。

(コ)：微分すると $f'(x)=\cos x-(\cos x-x\sin x)=x\sin x\ge0$（$0\le x\le\pi$）。$f$ は増加するので、最小値は $f(0)=0$。

(サ)：$g'(x)=\cos x-\sin x+a=a+\sqrt2\cos\left(x+\dfrac\pi4\right)$。値域は $[a-\sqrt2,\ a+\sqrt2]$。極値をもつのは $g'$ が符号を変えるとき、つまり正負の両方の値をとるとき。

$a=\pm\sqrt2$ のときは、$g'\ge0$（または $\le0$）で、符号が変わらないので極値はありません。

(シ)：商の微分で整理し、$1+\cos2x=2\cos^2x$、$\sin2x=2\sin x\cos x$ を使います。

(コ)より $x>0$ では $f(x)=\sin x-x\cos x>0$。したがって $h'$ の符号は $\cos x$ で決まり、$x=\dfrac\pi2$ で正から負に変わります。最大値は、

箱には常に6個の玉が入っています。赤玉が $r$ 個のとき、赤を取り出す確率は $\dfrac r6$（赤が1個減り、白が1個増える）、白を取り出す確率は $\dfrac{6-r}{6}$（赤の個数は変わらない）。

1回後は $a_1=\dfrac12,\ b_1=\dfrac12$。2回後は、

確率の漸化式：$a_n=\left(\dfrac12\right)^n$。$n+1$ 回後に赤が2個になるのは、「赤3個から赤を取り出す（確率 $\dfrac12$）」か「赤2個から白を取り出す（確率 $\dfrac23$）」のとき。赤1個になるのは、「赤2個から赤を取り出す（確率 $\dfrac13$）」か「赤1個から白を取り出す（確率 $\dfrac56$）」のとき。

期待値の漸化式：赤が $r$ 個のとき、1回で赤が1個減る確率は $\dfrac r6$。期待値をとると、平均して $\dfrac{e_n}{6}$ だけ減ります。

$p_{n+1}=\left(\dfrac32\right)^{n+1}\left\{\dfrac12\left(\dfrac12\right)^n+\dfrac23b_n\right\}$ を整理すると、$\left(\dfrac32\right)^{n+1}\left(\dfrac12\right)^{n+1}=\left(\dfrac34\right)^{n+1}$ と $\left(\dfrac32\right)^{n+1}\cdot\dfrac23b_n=p_n$ に分かれます。

確認：$p_1=\dfrac32\cdot b_1=\dfrac34$、公式で $3-3\cdot\dfrac34=\dfrac34$ と一致。

(3)より $b_n=\left(\dfrac23\right)^np_n=3\left(\dfrac23\right)^n-3\left(\dfrac12\right)^n$。$e_0=3$ と(2)より $e_n=3\left(\dfrac56\right)^n$。期待値の定義 $e_n=3a_n+2b_n+c_n$ から $c_n$ を出します。

確率の合計は1なので、

確認：$n=1$ で $1-\dfrac12+2-\dfrac52=0$、$n=2$ で $1-\dfrac14+\dfrac43-\dfrac{25}{12}=0$。どちらも $d=0$（赤が全部なくなるには最低3回かかる）と一致。

$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\dfrac45\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\dfrac45\cdot\dfrac12(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}})=\dfrac25(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}})$。$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\dfrac1p\overrightarrow{\mathrm{OP}}$、$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\dfrac1q\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ を代入して、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ で表します。

P, Q, N が一直線上にあるので、係数の和が1です。

三角形OPQは、三角形OABの2辺を $p$ 倍・$q$ 倍にしたものなので、$S_2=pq\,S_1$。よって $\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{1}{pq}$。これが最大になるのは $pq$ が最小のときです。(1)と相加・相乗平均の不等式より、

等号は $\dfrac1p=\dfrac1q$、つまり $p=q$ のとき。$\dfrac2p=\dfrac52$ より $p=q=\dfrac45$（$0<p,q<1$ を満たす）。このとき $\dfrac{S_1}{S_2}$ の最大値は $\dfrac{25}{16}$。

範囲：(1)より $q=\dfrac{2p}{5p-2}$。$0<q<1$ から $5p-2>0$ かつ $2p<5p-2$、よって $\dfrac23<p<1$。

面積の式：$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ を基準にした座標で、$\mathrm{P}(p,0),\ \mathrm{Q}(0,q),\ \mathrm{R}(\lambda,\lambda)$（$\lambda=\dfrac{2(1+p)}{5(1+2p)}$）。三角形OABの面積 $S_1$ が「行列式の絶対値1」に対応するので、三角形RPQの面積は行列式の絶対値に $S_1$ を掛けたものです。

$pq=\dfrac{2p^2}{5p-2}$、$p+q=\dfrac{5p^2}{5p-2}$、$2-5\lambda=\dfrac{2p}{1+2p}$ を使うと、

最大値：$u=\dfrac1p\ \left(1<u<\dfrac32\right)$ とおくと、$\dfrac{S_1}{S_3}=5u+\dfrac{u^2}{2}-u^3=:g(u)$。

この $u$ は範囲 $1<u<\dfrac32$ に入っており、前後で $g'$ は正から負なので最大。