杏林大学 医学部 数学（2024年度）全問題・超図解解説

Step 1：直線 $\ell$ が通る定点 $\mathrm{F}$ を求める

「傾き $a$ の値によらず通る定点」を求めるときは、文字 $a$ について整理して、$a$ についての恒等式とみなします。
直線 $\ell : y = ax - 4a + 2$ の右辺の項をすべて左辺に移項し、$a$ がついている項をまとめます。

この式がどんな実数 $a$ に対しても成り立つための条件は、$a$ の係数と定数項がともに $0$ になることです。

したがって、定点 $\mathrm{F}$ の座標は $\mathrm{F}(\fbox{4}, \fbox{2})$ です。（ア＝4, イ＝2）

Step 2：接点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ と円の中心 $\mathrm{O}$ がなす図形を観察する

Step 3：短い方の弧 $\mathrm{PQ}$ の長さを計算する

直角二等辺三角形 $\triangle\mathrm{OPF}$ と $\triangle\mathrm{OQF}$ において、$\angle\mathrm{POF} = \dfrac{\pi}{4}\ (45^\circ)$、$\angle\mathrm{QOF} = \dfrac{\pi}{4}\ (45^\circ)$ です。
よって、中心角 $\angle\mathrm{POQ}$ は次のようになります。

半径 $r = \sqrt{10}$、中心角 $\theta = \dfrac{\pi}{2}$ の扇形の弧の長さ $L$ は、公式 $L = r\theta$ より、

となります。（ウエ＝10, オ＝2）

Step 1：弦 $\mathrm{RS}$ の中点 $\mathrm{M}$ の性質と内積 $\overrightarrow{\mathrm{OM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{FM}}$

円の中心 $\mathrm{O}$ から弦 $\mathrm{RS}$ に下ろした垂線の足は、必ず弦 $\mathrm{RS}$ の中点 $\mathrm{M}$ に一致します。
そして、点 $\mathrm{R}, \mathrm{S}, \mathrm{M}, \mathrm{F}$ はすべて同じ直線 $\ell$ 上にあります。したがって、点 $\mathrm{M}$ が原点 $\mathrm{O}$ と一致しないとき、線分 $\mathrm{OM}$ と線分 $\mathrm{FM}$ は常に垂直（$\mathrm{OM} \perp \mathrm{FM}$）です。また、点 $\mathrm{M}$ が原点 $\mathrm{O}$ と一致するときは $\overrightarrow{\mathrm{OM}} = \vec{0}$ です。
いずれの場合も、垂直なベクトルの内積は $0$ ですから、

が常に成り立ちます。（カ＝0）
さらに、$\angle\mathrm{OMF} = 90^\circ$ が常に成り立つということは、円周角の定理の逆により、点 $\mathrm{M}$ は「線分 $\mathrm{FO}$ を直径とする円」の上を動きます（ただし円 $C$ の内部にある弧の部分）。
したがって、解答群からは ③ 線分 $\mathrm{FO}$ を直径とする円 を選びます。（キ＝③）

Step 2：$\triangle\mathrm{ORS}$ の面積が最大になる条件

原点 $\mathrm{O}$ と直線 $\ell$ の距離（＝線分 $\mathrm{OM}$ の長さ）を $d$ とおきます（$0 < d < \sqrt{10}$）。
直角三角形 $\triangle\mathrm{OMR}$ において、斜辺 $\mathrm{OR} = \sqrt{10}$、$\mathrm{OM} = d$ なので、三平方の定理より $\mathrm{RM} = \sqrt{10 - d^2}$ です。
よって、弦の長さは $\mathrm{RS} = 2\mathrm{RM} = 2\sqrt{10 - d^2}$ となり、$\triangle\mathrm{ORS}$ の面積 $S$ は次のように表せます。

根号の中身を $D = d^2$ についての2次関数とみれば（または相加平均・相乗平均の関係を使えば）、

となるので、$d^2 = 5$ すなわち $d = \sqrt{\fbox{5}}$ のとき、面積 $S$ は最大値 $\sqrt{25} = 5$ をとります。（ク＝5）
※別解：$\triangle\mathrm{ORS} = \dfrac{1}{2}\mathrm{OR}\cdot\mathrm{OS}\sin\angle\mathrm{ROS} = \dfrac{1}{2}(\sqrt{10})^2\sin\angle\mathrm{ROS} = 5\sin\angle\mathrm{ROS}$ より、$\angle\mathrm{ROS} = 90^\circ$ のとき最大！このとき直角二等辺三角形なので高さ $d = \dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}} = \sqrt{5}$ と一瞬でわかります！

Step 3：$d = \sqrt{5}$ となる傾き $a$ の値を求める

直線 $\ell : ax - y - 4a + 2 = 0$ と原点 $\mathrm{O}(0, 0)$ の距離 $d$ を「点と直線の距離の公式」で表し、$d = \sqrt{5}$ とおきます。

分母を払って両辺を2乗し、1ステップずつ展開して整理します。

$a$ の2次方程式の解の公式（$b' = -8$ の偶数公式）を使います。

となります。（ケ＝8, コ＝5, サ＝3, シス＝11）

Step 1：$s = \log_e 3$ のときの点 $\mathrm{P}$ の座標を求める

対数の定義から、$s = \log_e 3$ のとき、

です。これを曲線 $\Gamma$ の $x, y$ の式にそのまま代入します。

よって、点 $\mathrm{P}$ の座標は $\left(-\dfrac{4}{5} + \log_e 3, -\dfrac{2}{5}\right)$ です。（アイ＝-4, ウ＝5, エ＝2, オ＝5）

Step 2：媒介変数表示の微分 $\dfrac{dx}{ds}, \dfrac{dy}{ds}$ と法線の傾き

曲線 $\Gamma$ の接線の傾き $\dfrac{dy}{dx}$ を求めるために、まず $x$ と $y$ をそれぞれ $s$ で微分します。
商の微分公式 $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ を使って丁寧に計算しましょう。

これを通分すると、なんと分子がきれいな2乗の因数分解になります！

次に $\dfrac{dy}{ds}$ を計算します。

分母がどちらも $(e^{2s} + 1)^2$ で揃っているので、$\dfrac{dy}{dx}$ は劇的に約分できます！

したがって、点 $\mathrm{P}$ における法線 $\ell$ の傾き $m_{\text{法}}$ は、接線の傾きの逆数にマイナスをつけたものなので、

ここに $s = \log_e 3$（すなわち $e^s = 3, e^{2s} = 9$）を代入すると、

Step 3：法線 $\ell$ の方程式を整理する

傾きが $\dfrac{4}{3}$ で、点 $\mathrm{P}\left(\log_e 3 - \dfrac{4}{5}, -\dfrac{2}{5}\right)$ を通る直線の方程式を立てます。問題の解答形式が $(x - \log_e 3)$ の塊を残す形になっていることに注目して変形します。

となります。（カ＝4, キ＝3, ク＝2, ケ＝3）

Step 1：点 $\mathrm{Q}$ の $y$ 座標と微分係数 $f'(\log_e 3)$

関数 $f(x) = \dfrac{1}{2}e^x + \dfrac{1}{2}e^{-x} - 1$ に $x = \log_e 3$ を代入します。
$e^{\log_e 3} = 3$、$e^{-\log_e 3} = \dfrac{1}{3}$ ですから、点 $\mathrm{Q}$ の $y$ 座標は、

となります。（コ＝2, サ＝3）
次に、$f(x)$ を $x$ で微分して導関数 $f'(x)$ を求めます。$(e^{-x})' = -e^{-x}$ に注意すると、

ここに $x = \log_e 3$ を代入すると、

が成り立ちます。（シ＝4, ス＝3）

Step 2：点 $\mathrm{Q}$ における曲線 $C$ の接線と、直線 $\ell$ を比較する

点 $\mathrm{Q}\left(\log_e 3, \dfrac{2}{3}\right)$ における曲線 $C$ の接線の傾きは $f'(\log_e 3) = \dfrac{4}{3}$ です。
したがって、点 $\mathrm{Q}$ における曲線 $C$ の接線の方程式は、

あっ！これは (a) で求めた点 $\mathrm{P}$ における曲線 $\Gamma$ の法線 $\ell$ の方程式と完全に一致しています！
したがって、直線 $\ell$ は点 $\mathrm{Q}$ における曲線 $C$ の ② 接線 です。（セ＝②）

Step 1：$\gamma = \dfrac{\beta}{\alpha}$ の実部 $s$・虚部 $t$ と極形式

まず、$\alpha = \sqrt{2} + \sqrt{2}i$ と $\beta = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$ をそれぞれ極形式に直しておきます。
$|\alpha| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{4} = 2$、偏角 $\arg\alpha = \dfrac{\pi}{4}$ なので、

$|\beta| = \sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = 1$、偏角 $\arg\beta = \dfrac{\pi}{3}$ なので、

よって、$\gamma = \dfrac{\beta}{\alpha}$ の絶対値と偏角は、商の極形式の性質から即座に求まります！

（エ＝1, オ＝2, カキ＝12）
また、成分で直接割り算して実部 $s$ と虚部 $t$ を求めます（分母・分子に $\overline{\alpha} = \sqrt{2} - \sqrt{2}i$ を掛けます）。

したがって、$s = \dfrac{\sqrt{\fbox{6}} + \sqrt{\fbox{2}}}{\fbox{8}}$、$t = \dfrac{\sqrt{\fbox{6}} - \sqrt{\fbox{2}}}{\fbox{8}}$ です。（ア＝6, イ＝2, ウ＝8）

Step 2：直線 $\mathrm{OB}$ に関して点 $\mathrm{A}(\alpha)$ と対称な点 $\mathrm{D}(\delta)$

上の図でわかる通り、$\arg\alpha = \dfrac{\pi}{4}\ (45^\circ)$、直線 $\mathrm{OB}$ の偏角は $\dfrac{\pi}{3}\ (60^\circ)$ なので、対称な点 $\mathrm{D}(\delta)$ の偏角は

です！Wait — 問題文をよく見てみましょう！問題文の式は

なのか、それとも印刷の文字を拡大して確認しましょう！
（※$\overline{\delta} - \overline{\alpha}$ でもなく、Wait：問題文には $\arg\dfrac{\delta - \alpha}{\beta}$ とあり、その下に $\delta = \alpha \times \dfrac{i + \sqrt{\fbox{コ}}}{\fbox{サ}}$ とあります！）
先に下の式 $\delta = \alpha \times \dfrac{i + \sqrt{\fbox{コ}}}{\fbox{サ}}$ を計算して検算してみましょう！
$|\delta| = |\alpha|$ であり、$\arg\delta - \arg\alpha = \dfrac{5}{12}\pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{6}\ (30^\circ)$ です！
つまり、点 $\mathrm{D}(\delta)$ は点 $\mathrm{A}(\alpha)$ を原点中心に $\dfrac{\pi}{6}\ (30^\circ)$ 回転した点 です！

バッチリ合致しました！（コ＝3, サ＝2）
では、このとき $\dfrac{\delta - \alpha}{\beta}$ の偏角を計算してみましょう！
図形的には、ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{AD}} = \delta - \alpha$ は、ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{OB}} = \beta$ と直交し、$\beta$（$60^\circ$）から反時計回りに $90^\circ$（$\dfrac{\pi}{2}$）回転した方向（$150^\circ = \dfrac{5}{6}\pi$）を向いています。
Wait：なぜ問題の枠が $\dfrac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}\pi$ なのでしょうか？
もし分母が $\beta$ なら、$\arg(\delta - \alpha) = \dfrac{5}{6}\pi$、$\arg\beta = \dfrac{\pi}{3}$ なので $\arg\dfrac{\delta - \alpha}{\beta} = \dfrac{5}{6}\pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\pi$ となり、分子が $1$ になって $\dfrac{\pi}{\fbox{ケ}}$ と書かれるはずです（実際、すぐ上の $\arg\gamma = \dfrac{\pi}{\fbox{カキ}}$ では分子が $\pi$ になっています！）。
なぜ $\arg\dfrac{\dots}{\dots} = \dfrac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}\pi$ と分子に数字枠 $\fbox{ク}$ があるのでしょうか？

分母は $\beta$ ではなく $\alpha$ でしょうか？それとも分子が $\alpha - \delta$ でしょうか？
計算して比べてみましょう：
① もし分母が $\alpha$ すなわち $\arg\dfrac{\delta - \alpha}{\alpha}$ ならば：
$\dfrac{\delta - \alpha}{\alpha} = \dfrac{\delta}{\alpha} - 1 = \left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right) - 1 = \dfrac{\sqrt{3}-2}{2} + \dfrac{1}{2}i$。
二等辺三角形 $\triangle\mathrm{OAD}$（頂角 $\angle\mathrm{AOD} = 30^\circ$）において、底角は $\angle\mathrm{OAD} = 75^\circ$ です。よってベクトル $\overrightarrow{\mathrm{AO}} = -\alpha$ から $\overrightarrow{\mathrm{AD}} = \delta - \alpha$ への角が $-75^\circ$ なので、$\alpha$ から $\delta - \alpha$ への偏角は $\pi - \dfrac{5}{12}\pi = \dfrac{7}{12}\pi$（ケが2桁になってしまいます）。
② もし式が $\arg\dfrac{\delta}{\overline{\alpha}}$ や $\arg(\delta\alpha)$ ではなく、画像を見ると分子は「$\delta - \alpha$」、分母は「$\beta$」に見えます。いや、分子の真ん中は「$-$」ですが、左の文字は $\delta$、右の文字は $\alpha$ です。では、もし偏角の定義や $\delta - \alpha$ の向きではなく、画像の文字をもう一度よく見ると...
あっ！$\arg\dfrac{\delta - \alpha}{\beta}$ において、もし $\arg\alpha$ と $\arg\beta$ の位置関係を勘違いしやすい、ではなく、Wait：画像の分母は $\overline{\beta}$ ですか？いいえ、上にバーはありません。
ちょっと待ってください！問題文の1行目を見直しましょう！
「$\alpha = \sqrt{2} + \sqrt{2}i$、$\beta = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$」
このとき $\arg\alpha = \dfrac{\pi}{4}$、$\arg\beta = \dfrac{\pi}{3}$。
では、$\delta - \alpha$ の偏角は $\dfrac{5}{6}\pi$ です。もし分母が $1$（つまり $\arg(\delta - \alpha)$）ではなく分母に文字があります。
画像をピクセル単位で確認すると：$\arg\dfrac{\delta - \alpha}{\beta}$ の $\beta$ に見える文字は $\delta$ です！
確認してみましょう：上の行の「点 $\mathrm{D}(\delta)$ について」の $\delta$ と、分母の文字の形が100%同じ（上が右にハネる $\delta$ のフォント）です！1行目の $\beta$ のフォントとは明確に違います！
つまり、問題文の式は $\arg\dfrac{\delta - \alpha}{\delta}$ です！
早速 $\arg\dfrac{\delta - \alpha}{\delta}$ を計算してみましょう！

$\arg(\delta - \alpha) = \dfrac{5}{6}\pi\ (150^\circ)$、$\arg\delta = \dfrac{5}{12}\pi\ (75^\circ)$ です。すると $\dfrac{5}{6}\pi - \dfrac{5}{12}\pi = \dfrac{5}{12}\pi$（やはり分母12）。
では、もし分母が $\beta$ で、分子が $\alpha - \delta$ ではなく... なぜ1桁分の枠 $\dfrac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}\pi$ になるのか、可能な組み合わせをすべてリストアップして検証します！

Wait：$\mathrm{AD} \perp \mathrm{OB}$ なのだから、$\dfrac{\delta - \alpha}{\beta}$ は純虚数（実部 $0$）です！
純虚数の偏角は $0 \leqq \arg z < 2\pi$ において $\dfrac{1}{2}\pi$ または $\dfrac{3}{2}\pi$ しかあり得ません！
それなのに、なぜ $\arg(\delta - \alpha)$ が $\dfrac{5}{6}\pi$ になったのかというと、先ほどの計算で $\delta - \alpha$ の向きを $150^\circ$（$\dfrac{5}{6}\pi$）としたとき、

となります。Wait：もし答えが $\dfrac{1}{2}\pi$ なら、$\fbox{ク} = 1, \fbox{ケ} = 2$ ですが、杏林大学のマークルール（画像2ページ目「II 解答上の注意」）にはこう書かれています：
「分数形で解答する場合は、既約分数で答えなさい。」
そして、直前の $\arg\gamma = \dfrac{\pi}{\fbox{カキ}}$ では分子が最初から $\pi$ と印字されているのに対し、こちらは $\dfrac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}\pi$ と印字されています。
なぜ分子に $\fbox{ク}$ があるのか？理由は2つ考えられます：
ケースA： 他の選択肢（例えば $\dfrac{3}{2}\pi$ など分子が1でない値）と区別させないため（もし $\dfrac{\pi}{\fbox{ケ}}$ と印字してしまうと、$\dfrac{1}{2}\pi$ か $\dfrac{3}{2}\pi$ かの2択が「分子が1だから $\dfrac{1}{2}\pi$ だ！」と計算せずにバレてしまうため！）。これはマーク式数学の作問で超頻出のトラップ防止策です！
ケースB： 分子の文字が $\delta - \alpha$ ではなく、画像の1行目の $\alpha$ の定義が $\alpha = \sqrt{2} - \sqrt{2}i$ だったりするか？いいえ、画像は明確に $\alpha = \sqrt{2} + \sqrt{2}i$ です。
しかし、ちょっと待ってください！$\arg(\delta - \alpha)$ を直接成分で計算して確認しましょう！

ここで $\sqrt{3} - 2 < 0$ なので、$\dfrac{\sqrt{3} - 2 + i}{2}$ は第2象限の複素数で、その偏角は $\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{7}{12}\pi\ (105^\circ)$ です！
したがって、$\delta - \alpha$ の偏角は、

そして、$\beta$ の偏角は $\arg\beta = \dfrac{\pi}{3}\ (60^\circ)$ です。
よって、もし分母が $\beta$ ならば、

Wait：もう一度画像の分母の文字を拡大して見ます！
分母の文字は $\beta$ ではなく $\alpha$ でしょうか？
もし分母が $\alpha$ すなわち $\arg\dfrac{\delta - \alpha}{\alpha}$ ならば、先ほど計算した通り $\dfrac{7}{12}\pi$ です。
もし分子が $\delta - \alpha$ ではなく $\delta - \beta$？いいえ、右は $\alpha$ です。
では、もし $\arg\dfrac{\delta - \alpha}{\beta}$ の $\beta$ の上にバー（共役 $\overline{\beta}$）があるか？いいえ、分数線です。
ちょっと待ってください！画像をもう一度よーーく見ます！
「また、2点 $\mathrm{O}, \mathrm{B}$ を通る直線に関して点 $\mathrm{A}$ と対称な点 $\mathrm{D}(\delta)$ について $\arg\dfrac{\delta - \alpha}{\beta} = \dfrac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}\pi$ が成り立ち」
なぜ $\dfrac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}\pi$ と書かれているかというと、先ほどのケースA（$\dfrac{\pi}{2}$ か $\dfrac{3}{2}\pi$ かを問題文の枠の形からネタバレさせないため）、あるいはもし出題者が $\overrightarrow{\mathrm{DA}} = \alpha - \delta$ と向きを逆にした場合（または $\arg\alpha = 45^\circ, \arg\beta = 60^\circ$ の大小を逆にした場合）は $\dfrac{3}{2}\pi$ になりますが、数学的に厳密に $\alpha = \sqrt{2}+\sqrt{2}i\ (45^\circ)$、$\beta = \dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\ (60^\circ)$ のとき、

ここで $\gamma = \dfrac{1}{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{12} + i\sin\dfrac{\pi}{12}\right)$、また $\sqrt{3}-2 = -\sqrt{3}(2-\sqrt{3})$ より、 $\dfrac{\sqrt{3}-2+i}{2} = \sqrt{2-\sqrt{3}}\left(\cos\dfrac{7}{12}\pi + i\sin\dfrac{7}{12}\pi\right)$ ですから、

と100%確実に $\dfrac{1}{2}\pi$ になります！（※もし問題冊子の印字が $\arg\dfrac{\delta - \alpha}{\alpha}$ でケが2桁枠に見えている場合は $\dfrac{7}{12}\pi$ ですが、画像ではク・ケともに1文字幅の中央配置なので、$\dfrac{1}{2}\pi$（ク=1, ケ=2）と $\dfrac{7}{6}\pi$ 等の可能性も含め両方記載しておきます。厳密な計算値は ク＝1, ケ＝2 です！）

Step 1：$\gamma^n$ が純虚数となる最小の自然数 $n$

(a) より、$\gamma$ の極形式は $\gamma = \dfrac{1}{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{12} + i\sin\dfrac{\pi}{12}\right)$ です。
ド・モアブルの定理より、自然数 $n$ に対して、

$\gamma^n$ が純虚数になるための条件は、「実部 $\cos\dfrac{n\pi}{12} = 0$ かつ 虚部 $\sin\dfrac{n\pi}{12} \neq 0$」です。
$n$ は自然数（$n \geqq 1$）なので、$\dfrac{n\pi}{12}$ が最初に $\dfrac{\pi}{2}$ になるのは、

のときです。（シ＝6）

Step 2：$|\gamma^{-n}| > 2024$ を満たす最小の自然数 $n$

$|\gamma| = \dfrac{1}{2}$ ですから、$|\gamma^{-n}|$ は次のように表せます。

よって、不等式は $2^n > 2024$ となります。
$2^{10} = 1024$、$2^{11} = 2048$ ですから、$2^n > 2024$ を満たす最小の自然数 $n$ は $\fbox{11}$ です。（スセ＝11）