道具1：$f=ge^x$ の微分は、$e^x$ がくくり出せる形になります。
📌 このページの使い方
- 過去問集をお持ちの方：本番と同じ70分で解き、答え一覧で採点してから解説へ
- お持ちでない方：各小問の「どういう問題か」を読めば、問題の中身がそのまま分かります
- 最後にそっくり類題セット（PDF版あり）を70分で解き、初見でも同じ解き方ができるか確かめる
※ 著作権に配慮し、入試問題の本文・図は掲載していません。空欄の記号（ア・イ・…）は、本番の解答欄との対応を示すためのものです。※ 「−1」を符号欄と数字欄に分けて答える欄（1(2-1)のキク・サシ）は、「符号の欄に−、数字の欄に1」と読んでいます。表記の解釈なので「要確認」を付けています。
⚠️ 問題等で誤りを発見された場合、修正しますので、TMPS医学館までLINEを下さい。（迅速に確認・更新いたします）
LINEで誤りを連絡3分で分かる 2026年度の東北医科薬科大の数学
- ✅ 全3大問・試験時間70分。すべて空欄に数字や符号を入れるマーク式で、途中の記述はありません。
- ✅ 第1問は微分・積分の総合問題。「3次式×指数関数」の曲線について、極値の条件と変曲点の条件から式を決め、極値と面積まで進みます。条件(i)(ii)から式が決まれば、あとは前半の結果を使い回せます。
- ✅ 第2問は漸化式と数列の和。最初の恒等式が、一般項を作るときの「階差の形」への道しるべになっています。最後は和が2026を超える最小の項数を求める、計算力の問題です。
- ✅ 第3問は場合の数（組と順列）。「合計が100」「どの2数の差も3以下」という条件で、組の数と順列の数を数えます。書き出して数える力と、同じ数が並ぶときの順列の数え方が問われます。
- ✅ 差がつくのは「式を決める手順」と「数えもれをしない整理」。第1問の条件の使い方、第2問の和の公式、第3問の書き出しの順序を、落ち着いて追えるかで分かれます。
Yuiちゃん
3つしか大問がないのに、70分で終わるでしょうか…。
ニックニ先生
1つあたり20分強。前半の小問は誘導どおりに進めば速い。その分を後半の計算に回せば無理のない配分だ。Yuiちゃん
空欄が多いと、どこで間違えたか分からなくなりそうです。ニックニ先生
だから途中式は必ず手元に残す。空欄の答えが合っても、途中が曖昧なら次は落とす。70分の立ち回りマップ
時間はTMPSの目安です。解く順番と「捨てどころ」をセットで覚えておきましょう。
🧭 おすすめの解く順番
第1問 → 第2問 → 第3問 → 見直し5分
各大問の前半は誘導に乗れば短時間で取れます。後半で詰まったら、他の大問の前半を先に取りに行き、時間が余ったら戻りましょう。
本番の答え一覧（採点用）
解説を読む前の採点用です。すべての空欄を、記号計算と全数探索のスクリプトで独立に確かめています（結果は下の注記）。
第1問
(1-1) ア1(1-2) イ7(1-3) ウ7 エオ15 カ9(2-1) キク−1（キ＝−、ク＝1） ケコ32 サシ−1（サ＝−、シ＝1）(2-2) ス2(3) セ2 ソ9 タ2
第2問
(1) ア1 イ2(2-1) ウエオ407 カキ81(2-2) ク4 ケコ21 サ2 シ1 ス2 セ1(3-1) ソ8 タチ42 ツテ45 ト2 ナニ10 ヌネ15 ノ1(3-2) ハヒフ387
第3問
(1-1) ア5(1-2) イウ43(2-1) エ7(2-2) オカキ151(3) クケ17
⚠️ 要確認：「−1」を符号欄と数字欄に分けて答える欄（1(2-1)のキク・サシ）の読み方です。実際の解答用紙の欄の形で確かめてください。
※ 検算：本番の全空欄を、sympy（記号計算）と全数探索・数値計算で確かめ、すべて一致しました。
採点したら → 30秒の得点診断へ第1問 「3次式×指数関数」の曲線 ── 条件から式を決め、極値と面積へ
$f(x)=g(x)e^x$（$g$ は $x^3$ の係数が1の3次式）の曲線について、極小値0と変曲点という2つの条件から $g$ を決め、変曲点・極値・面積を順に求める問題です。最初に $g(x)$ の形を決めきれるかが勝負です。
現場戦略試験会場でのリアルな立ち回り（第1問）
⏱ 目標時間 & 死守ライン目標22分（(1)10分・(2)7分・(3)5分）。(1)で $g$ が決まれば、(2)(3)は計算の流れ作業。
⚠️ 損切り・警戒ライン(1-1)の $a$ が出ない時は、$f(3)=0$ と $f'(3)=0$ から $g=(x-3)^2(x-a)$ と置いたかを見直す。5分で式が立たなければ(2)から読む。
💡 初手の思考トリガー最初の一手は$f(3)=0$ と $f'(3)=0$。$e^x$ は0にならないので、$g(3)=0$ と $g'(3)=0$、つまり $g$ は $(x-3)^2$ で割り切れる。
$$f'(x)=\{g'(x)+g(x)\}e^x,\qquad f''(x)=\{g''(x)+2g'(x)+g(x)\}e^x$$
(1-1)変曲点の x 座標 a（空欄ア）
📝 どういう問題か？
極小値0という条件で $g$ の形を絞り、点 $(a,0)$ が変曲点になる条件から、$a$ を1つに決める。
- ア：点 $(a,0)$ が変曲点となる $a$ の値（$a\neq3$）
ステップ1：$x=3$ で極小値0 ⇒ $f(3)=0$ かつ $f'(3)=0$。$e^x\neq0$ なので $g(3)=0$。さらに $f'(3)=\{g'(3)+g(3)\}e^3=0$ と $g(3)=0$ から $g'(3)=0$。よって
$$g(x)=(x-3)^2(x-\beta)$$
ステップ2：点 $(a,0)$ が曲線上にあるので $f(a)=0$、すなわち $g(a)=0$。$a\neq3$ なので $\beta=a$、つまり $g(x)=(x-3)^2(x-a)$。
ステップ3：$x=a$ で変曲点 ⇒ $f''(a)=0$ すなわち $g''(a)+2g'(a)+g(a)=0$。ここで $g(a)=0$、$g'(a)=(a-3)^2$、$g''(a)=4(a-3)$ なので
$$4(a-3)+2(a-3)^2=0\ \Longrightarrow\ (a-3)\{4+2(a-3)\}=0\ \Longrightarrow\ a=3\ \text{または}\ a=1$$
$a\neq3$ だから $a=1$。
🎯 (1-1) の答え
ア：1
(1-2)他の変曲点の x 座標（空欄イ）
📝 どういう問題か？
$g$ が決まったので、$f''(x)=0$ を解いて、$a$ 以外の変曲点を探す。
- イ：$x=\pm\sqrt{イ}$ と表せる、点 $(a,0)$ 以外の変曲点の $x$ 座標の根号の中
$g(x)=(x-3)^2(x-1)=x^3-7x^2+15x-9$。$g'=3x^2-14x+15,\ g''=6x-14$。
$$g\'\'+2g\'+g=(6x-14)+(6x^2-28x+30)+(x^3-7x^2+15x-9)=x^3-x^2-7x+7=(x-1)(x^2-7)$$
$x=1$ のほかに $x=\pm\sqrt7$。どの点でも $f''$ の符号が変わるので、すべて変曲点です。
🎯 (1-2) の答え
イ：7
(1-3)多項式 g(x) の係数（空欄ウ・エオ・カ）
📝 どういう問題か？
決まった $g(x)=(x-3)^2(x-1)$ を展開して、係数を答える。
- ウ・エオ・カ：$g(x)=x^3-\text{ウ}\,x^2+\text{エオ}\,x-\text{カ}$ の係数
$$(x-3)^2(x-1)=(x^2-6x+9)(x-1)=x^3-7x^2+15x-9$$
🎯 (1-3) の答え
ウ：7エオ：15カ：9
(2)極小値・極大値（空欄キク・ケコ・サシ・ス）
📝 どういう問題か？
導関数 $f'$ の符号の変化を調べ、極小になる点と極大になる点を見つけて、それぞれの値を求める。
- キク：$x=3$ 以外で極小値をとる $x$ の値（符号欄と数字欄）
- ケコ・サシ：その極小値 $-\text{ケコ}\,e^{\text{サシ}}$ の数と指数
- ス：極大値 $e^{ス}$ の指数
$f'(x)=\{g'+g\}e^x$ で、$g'+g=(3x^2-14x+15)+(x^3-7x^2+15x-9)=x^3-4x^2+x+6$。因数定理で $x=3$ が解なので
$$x^3-4x^2+x+6=(x-3)(x^2-x-2)=(x-3)(x-2)(x+1)$$
符号は $x<-1$ で負、$-1<x<2$ で正、$2<x<3$ で負、$x>3$ で正。したがって極小は $x=-1$ と $x=3$、極大は $x=2$。
$$f(-1)=g(-1)e^{-1}=(-4)^2\cdot(-2)\,e^{-1}=-32e^{-1},\qquad f(2)=g(2)e^{2}=(-1)^2\cdot1\cdot e^{2}=e^{2}$$
🎯 (2) の答え
キク：−1（キ＝−、ク＝1）ケコ：32サシ：−1（サ＝−、シ＝1）ス：2
⚠️ キク・サシは「−1」を2つの欄に分けて答えると読んでいます 要確認。符号の欄に「−」、数字の欄に「1」を入れる形です。実際の解答用紙の欄の形で確かめてください。
(3)曲線とx軸で囲まれた面積（空欄セ・ソ・タ）
📝 どういう問題か？
曲線 $C$ と $x$ 軸が囲む部分の面積を、定積分で求める。
- セ・ソ・タ：面積 $=\text{セ}\,e\,\bigl(\text{ソ}-e^{タ}\bigr)$ の数と指数
$f(x)=0$ となるのは $x=1,\ 3$。$1\le x\le3$ で $g(x)=(x-3)^2(x-1)\ge0$ なので、面積は $\displaystyle\int_1^3 g(x)e^x\,dx$。
部分積分を繰り返す代わりに：$g$ が3次式なので、原始関数は「$e^x$ に、$g$ から順に導関数を交互に引いて足していく」形になります。
$$\int g(x)e^x\,dx=e^x\{g-g\'+g\'\'-g\'\'\'\}=e^x\,(x^3-10x^2+35x-44)$$
$x=3$ で $27-90+105-44=-2$、$x=1$ で $1-10+35-44=-18$。
$$\int_1^3 g(x)e^x\,dx=-2e^3-(-18e)=18e-2e^3=2e\,(9-e^2)$$
🎯 (3) の答え
セ：2ソ：9タ：2
Yuiちゃん
部分積分を3回やって、途中で符号を間違えました…。ニックニ先生
「$g$ の導関数を交互に引いて足す」と覚えておけば1行で書ける。$\int g\,e^x\,dx=e^x(g-g'+g''-\cdots)$。そして最後に、両端の値を引くことを忘れない。ニックニ先生の総整理表
第1問：微積分の型
| 小問 | 型 | 着眼点 |
|---|---|---|
| (1-1) | 条件から式を決める | $f(3)=0,\ f'(3)=0$ ⇒ $g=(x-3)^2(x-a)$。$f''(a)=0$ で $a$ を決める |
| (1-2)(1-3) | 変曲点・展開 | $f''=\{g''+2g'+g\}e^x$ を因数分解。係数は展開して読む |
| (2) | 極値 | $f'=\{g'+g\}e^x$ の符号。極値は $g$ に代入して $e^x$ を掛ける |
| (3) | 面積 | $e^x(g-g'+g''-g''')$ の原始関数を使い、両端の値を引く |
TMPSコーチング診断
🩺【自己診断】第1問で手が止まった人への処方箋
- (1-1)条件の使い方が分からない → 「極小値0」は $f(3)=0$ と $f'(3)=0$ の2つ。$e^x$ は消して $g$ の条件にする
- (1-2)変曲点が見つからない → $f''=\{g''+2g'+g\}e^x$。$e^x$ でくくって、残りの3次式を因数分解
- (2)極値の値が合わない → 因数分解した $f'$ の符号表を作り、極値は $f(x)=g(x)e^x$ に直接代入する
- (3)積分が合わない → $e^x(g-g'+g''-g''')$ の原始関数を使い、上端−下端の引き算を落とさない
第2問 漸化式 $a_{n+1}=a_n+\dfrac{n(n+1)}{3^n}$ ── 恒等式は「階差の形」への道しるべ
階差が「分母が $3^n$、分子が $n$ の2次式」の数列です。最初の恒等式(1)は、その階差を差の形に直すための材料で、(2)の一般項、(3)の和へとつながります。
現場戦略試験会場でのリアルな立ち回り（第2問）
⏱ 目標時間 & 死守ライン目標22分（(1)3分・(2)10分・(3)9分）。(1)は式の展開と係数比べで即答、(2)(3)が計算の山場。
⚠️ 損切り・警戒ライン(2-2)の一般項が作れなければ、(2-1)の $a_5$ だけ順に計算して確保し、(3)の最初の和の形を考える。(3-2)は近似でおおよその $n$ を出す。
💡 初手の思考トリガー最初の一手は(1)の恒等式を $p=1$ にして使うこと。$n(n+1)=\dfrac12\{3(n+1)^2-(n+2)^2+1\}$ となり、階差が「前の項−後の項」の形に変わる。
(1)恒等式の係数比べ（空欄ア・イ）
📝 どういう問題か？
$p$ を定数とする恒等式の右辺を展開して、左辺と係数を比べ、$q,r$ を $p$ で表す。
- ア・イ：$q=p-\text{ア}$、$r=-p+\text{イ}$ の空欄
$$\tfrac12\{3(n+1)(n+1+q)-(n+2)(n+2+q)+r\}=n^2+(1+q)\,n+\tfrac{q-1+r}{2}$$
左辺 $n^2+pn$ と係数を比べて $1+q=p$、$q-1+r=0$。よって $q=p-1,\ r=1-q=-p+2$。
🎯 (1) の答え
ア：1イ：2
(2-1)第5項 $a_5$（空欄ウエオ・カキ）
📝 どういう問題か？
漸化式を使って、第2項、第3項、…と順に計算して第5項を求める。
- ウエオ・カキ：$a_5$ を既約分数で表したときの分子（3桁）と分母（2桁）
$$a_2=3+\frac{2}{3}=\frac{11}{3},\quad a_3=\frac{11}{3}+\frac{6}{9}=\frac{13}{3},\quad a_4=\frac{13}{3}+\frac{12}{27}=\frac{43}{9},\quad a_5=\frac{43}{9}+\frac{20}{81}=\frac{407}{81}$$
🎯 (2-1) の答え
ウエオ：407カキ：81
(2-2)一般項（空欄ク〜セ）
📝 どういう問題か？
階差の式を差の形に直して足し合わせ、一般項 $a_n$ を $n$ の式で表す。
- ク：全体にかかる分母
- ケコ：定数部分（2桁）
- サ・シ・ス・セ：$\dfrac{\text{サ}(n+\text{シ})^{ス}+1}{3^{n-\text{セ}}}$ の数と指数
(1)で $p=1$（$q=0,\ r=1$）とした式から、階差を次のように書き直します。
$$a_{n+1}-a_n=\frac{n(n+1)}{3^n}=\frac12\left\{\frac{(n+1)^2}{3^{n-1}}-\frac{(n+2)^2}{3^{n}}\right\}+\frac12\cdot\frac{1}{3^n}$$
$u_n=\dfrac{(n+1)^2}{3^{n-1}}$ とおくと、右辺の第1項は $\dfrac12(u_n-u_{n+1})$。第2項 $\dfrac12\cdot\dfrac1{3^n}$ は等比数列です。$k=1$ から $n-1$ まで足します。
$$a_n-a_1=\frac12(u_1-u_n)+\frac12\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{3^k}=\frac12(4-u_n)+\frac14\left(1-\frac{1}{3^{n-1}}\right)$$
$a_1=3$ を入れて整理すると
$$a_n=3+2+\frac14-\frac{(n+1)^2}{2\cdot3^{n-1}}-\frac{1}{4\cdot3^{n-1}}=\frac14\left\{21-\frac{2(n+1)^2+1}{3^{n-1}}\right\}$$
$n=1$ で $\dfrac14(21-9)=3$ ✓、$n=5$ で $\dfrac14\left(21-\dfrac{73}{81}\right)=\dfrac{407}{81}$ ✓ と、(2-1)に一致します。
🎯 (2-2) の答え
ク：4ケコ：21サ：2シ：1ス：2セ：1
(3-1)和 $S_n$（空欄ソ〜ノ）
📝 どういう問題か？
一般項を足し合わせて、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を $n$ の式で表す。
- ソ：全体にかかる分母
- タチ・ツテ：$S_n$ の $n$ の項の係数と定数項（ともに2桁）
- ト・ナニ・ヌネ・ノ：$\dfrac{\text{ト}\,n^2+\text{ナニ}\,n+\text{ヌネ}}{3^{n-\text{ノ}}}$ の数
$S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k=\dfrac{21}{4}n-\dfrac14\sum_{k=1}^{n}\dfrac{2k^2+4k+3}{3^{k-1}}$。右の和は、(2)と同じ発想で、$T_k=\dfrac{3k^2+9k+\frac{21}{2}}{3^{k-1}}$ の差の形に直せます（$T_k-T_{k+1}=\dfrac{2k^2+4k+3}{3^{k-1}}$）。
$$\sum_{k=1}^{n}\frac{2k^2+4k+3}{3^{k-1}}=T_1-T_{n+1}=\frac{45}{2}-\frac{2n^2+10n+15}{2\cdot3^{n-1}}$$
$$S_n=\frac{21}{4}n-\frac{45}{8}+\frac{2n^2+10n+15}{8\cdot3^{n-1}}=\frac18\left\{42n-45+\frac{2n^2+10n+15}{3^{n-1}}\right\}$$
🎯 (3-1) の答え
ソ：8タチ：42ツテ：45ト：2ナニ：10ヌネ：15ノ：1
(3-2)$S_n>2026$ を満たす最小の $n$（空欄ハヒフ）
📝 どういう問題か？
(3-1)の式から、和が2026を超える最小の項数を求める。
- ハヒフ：条件を満たす最小の自然数 $n$（3桁）
$n$ が大きいと $\dfrac{2n^2+10n+15}{3^{n-1}}$ はほぼ0なので、$S_n\approx\dfrac{42n-45}{8}$。$\dfrac{42n-45}{8}>2026$ より $n>386.9\ldots$。境目を実際に確かめます。
$$S_{386}=2020.875\ (\le2026),\qquad S_{387}=2026.125\ (>2026)$$
🎯 (3-2) の答え
ハヒフ：387
Yuiちゃん
$S_{386}$ が2026以下だと、どうやって確かめたんですか？ニックニ先生
近似で $n=387$ に当たりをつけたら、$386$ と $387$ の2つだけ(3-1)の式に代入して確かめる。境目の前後だけ確認すれば、大きな計算はいらない。ニックニ先生の総整理表
第2問：恒等式から和まで
| 小問 | 型 | 着眼点 |
|---|---|---|
| (1) | 恒等式 | 右辺を展開して係数比べ。$p=1$ のときの形が(2)の鍵 |
| (2) | 階差と一般項 | $\dfrac{n(n+1)}{3^n}$ を「前−後」の形に直して足し、残りは等比和 |
| (3) | 和と不等式 | 同じ階差の発想で和を閉じた式に。近似で当たりをつけ、前後だけ確認 |
TMPSコーチング診断
🩺【自己診断】第2問で手が止まった人への処方箋
- (1)係数比べが合わない → 右辺を $n^2,\ n,\ $定数 の順にきちんと展開してから比べる
- (2)一般項が作れない → $\dfrac{(n+1)^2}{3^{n-1}}$ のような「項の差」の形に直せるかを考える。(1)の恒等式がそのヒント
- (3-1)和が閉じない → $T_k-T_{k+1}$ の形になる $T_k$ を係数をおいて作る（$\alpha k^2+\beta k+\gamma$ を $3^{k-1}$ で割る）
- (3-2)最小の $n$ が決まらない → 近似で当たりをつけ、前後の2項だけ正確に計算して確かめる
第3問 合計100になる数の組と順列 ── 条件を絞って書き出し、並べ方を数える
正の整数を $K$ 個とり出して合計を100にします。「組（順序なし）」と「順列（順序あり）」の数を分けて数える問題です。(1)で型をつかみ、(2)で個数を増やし、(3)で条件を変えます。
現場戦略試験会場でのリアルな立ち回り（第3問）
⏱ 目標時間 & 死守ライン目標21分（(1)7分・(2)9分・(3)5分）。(1)で書き出しの型をつくり、(2)に同じ手順を使う。
⚠️ 損切り・警戒ライン(2)で組の書き出しが長くなったら、最小値ごとに分けて整理する。7分たっても組が出なければ、(3)の方が速いのでそちらを先に。
💡 初手の思考トリガー最初の一手は平均で見当をつける：合計100を個数で割った値（$K=4$ なら25）の周りに数が集まる。差が小さいので、候補は少数に絞れる。
(1)$K=4$、どの2数の差も3以下（空欄ア・イウ）
📝 どういう問題か？
4個の正の整数の和が100で、最大と最小の差が3以下になるものについて、順序を考えない「組」の数と、順序を考える「順列」の数を答える。
- ア：条件を満たす組 $\{n_1,n_2,n_3,n_4\}$ の総数
- イウ：条件を満たす順列 $(n_1,n_2,n_3,n_4)$ の総数（2桁）
平均は25。最大と最小の差が3以下なので、最小値を $m$ とすると各数は $m$ 以上 $m+3$ 以下。$m=23,24,25$ を調べます。
| 組 | 例の並べ方（順列の数） |
|---|---|
| $\{25,25,25,25\}$ | 全部同じ → 1通り |
| $\{24,25,25,26\}$ | $\dfrac{4!}{2!}=12$ 通り |
| $\{24,24,26,26\}$ | $\dfrac{4!}{2!\,2!}=6$ 通り |
| $\{23,25,26,26\}$ | $\dfrac{4!}{2!}=12$ 通り |
| $\{24,24,25,27\}$ | $\dfrac{4!}{2!}=12$ 通り |
組は 5通り。順列は $1+12+6+12+12=\mathbf{43}$ 通り。
🎯 (1) の答え
ア：5イウ：43
⚠️ 同じ数を含む組の順列は、全体の $K!$ を同じ数の個数の階乗で割る。割り忘れると、$24$ 通りなどと数えすぎる。
(2)$K=5$、どの2数の差も3以下（空欄エ・オカキ）
📝 どういう問題か？
(1)と同じ条件で、個数が5個に増える。組の数と順列の数を答える。
- エ：条件を満たす組の総数
- オカキ：条件を満たす順列の総数（3桁）
平均は20。最小値を $m$ として、各数が $m$ 以上 $m+3$ 以下になる組を、最小値ごとに書き出します。
| 組 | 順列の数 |
|---|---|
| $\{20,20,20,20,20\}$ | 1 |
| $\{19,20,20,20,21\}$ | $\dfrac{5!}{3!}=20$ |
| $\{19,19,20,21,21\}$ | $\dfrac{5!}{2!\,2!}=30$ |
| $\{19,19,20,20,22\}$ | $\dfrac{5!}{2!\,2!}=30$ |
| $\{19,19,19,21,22\}$ | $\dfrac{5!}{3!}=20$ |
| $\{18,20,20,21,21\}$ | $\dfrac{5!}{2!\,2!}=30$ |
| $\{18,19,21,21,21\}$ | $\dfrac{5!}{3!}=20$ |
組は 7通り。順列は $1+20+30+30+20+30+20=\mathbf{151}$ 通り。
🎯 (2) の答え
エ：7オカキ：151
(3)$K=5$、隣り合う2数の差が1以下（空欄クケ）
📝 どういう問題か？
今度は「隣り合う2数の差が1以下」という条件で、順序のある並びの総数を答える。
- クケ：条件を満たす順列 $(n_1,\ldots,n_5)$ の総数（2桁）
隣り合う差が1以下なので、5個の最大と最小の差は4以下。合計100なので、数は20付近に集まります。組ごとに、隣り合う差が1以下になる並びを数えます。
| 組 | 条件を満たす並び |
|---|---|
| $\{20,20,20,20,20\}$ | 1通り |
| $\{19,20,20,20,21\}$ | 19と21が隣り合わない並び。12通り |
| $\{19,19,20,21,21\}$ | $19,19,20,21,21$ とその逆。2通り |
| $\{18,19,20,21,22\}$ | 段階的に並ぶ $18\to22$ とその逆。2通り |
合計 $1+12+2+2=\mathbf{17}$ 通り。
🎯 (3) の答え
クケ：17
Yuiちゃん
(3)で、$\{19,20,20,20,21\}$ の12通りがうまく数えられませんでした…。ニックニ先生
「19と21が隣り合ってはいけない」と言い換えるんだ。$20$ が3個あるので、並べ方は全部で20通り。そのうち19と21が隣り合うものを引けば、20−8＝12。「禁止を言い換えて、全体から引く」は場合の数の基本だ。ニックニ先生の総整理表
第3問：組と順列の数え方
| 小問 | 型 | 着眼点 |
|---|---|---|
| (1) | 条件つきの組と順列 | 平均の周りに数が集まる。最小値ごとに書き出し、同じ数があれば階乗で割る |
| (2) | 個数を増やした同型 | 同じ手順を5個に拡張。表に整理して、書き出しの漏れを防ぐ |
| (3) | 隣り合う条件 | 組ごとに分けて、禁止される並びを言い換えて数える |
TMPSコーチング診断
🩺【自己診断】第3問で手が止まった人への処方箋
- (1)組がうまく出ない → 平均 $100/K$ を中心に、最小値を決めてから各数の範囲（最小値〜最小値+3）で和が100になる組を探す
- (2)数えもれが出る → 最小値ごとに表にして書き出す。最後に順列の合計と見比べる
- 順列同じ数が並ぶ数え方が合わない → $K!$ を、同じ数の個数の階乗で割る
- (3)条件のある並びが数えられない → 組ごとに分け、「隣り合ってはいけない2数」に言い換えて、全体から引く
TMPS ORIGINAL
東北医科薬科大2026型 そっくり類題セット
東北医科薬科大2026型 そっくり類題セット
（全3大問・解答解説つき）
2026年度の本番と同じ3大問・同じ小問構成で、数値と設定を変えたTMPSオリジナル問題です。条件から式を決める力と、階差・場合の数の整理の練習に使ってください。
試験時間の目安 70分微分・積分／数列／場合の数
📄 本番形式の問題冊子PDFをダウンロード（全4ページ）
印刷して本番と同じように70分で解けます。解答・解説はこのページの下に掲載しています。
※ 東北医科薬科大学の入試問題ではありません。本文・設問・人物・団体（架空）はすべてTMPS医学館が作成したオリジナルで、出典のある引用ではありません。
類題 第1問
次の文章中の ア〜チ に適する符号または数字を解答用紙の所定の欄にマークせよ。
$g(x)$ は $x^3$ の係数が $1$ の3次多項式，$f(x)=g(x)e^{-x}$ とする。座標平面上で曲線 $C:\ y=f(x)$ が，次の2つの条件 (i)，(ii) を満たすとき，以下の問に答えなさい。
(i) $f(x)$ は $x=2$ のとき，極大値 $0$ をとる。
(ii) 点 $(a,\ 0)$ は曲線 $C$ の変曲点である。ただし，$a\neq2$ である。
(i) $f(x)$ は $x=2$ のとき，極大値 $0$ をとる。
(ii) 点 $(a,\ 0)$ は曲線 $C$ の変曲点である。ただし，$a\neq2$ である。
(1)
(1-1) $a=$ア である。
(1-2) 曲線 $C$ の点 $(a,\ 0)$ 以外の変曲点の $x$ 座標は イ$\pm\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$ である。
(1-3) $g(x)=x^3-$エ$x^2+$オカ$x-$キク である。
(1-2) 曲線 $C$ の点 $(a,\ 0)$ 以外の変曲点の $x$ 座標は イ$\pm\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$ である。
(1-3) $g(x)=x^3-$エ$x^2+$オカ$x-$キク である。
(2)
(2-1) $f(x)$ は，$x=2$ のとき以外に，$x=$ケ のとき極大値をとり，その極大値は コサ$e^{-\boxed{\text{シ}}}$ である。
(2-2) $f(x)$ の極小値は $-e^{-\boxed{\text{ス}}}$ である。
(2-2) $f(x)$ の極小値は $-e^{-\boxed{\text{ス}}}$ である。
(3)
曲線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積は セ$e^{-\boxed{\text{ソ}}}\Big($タ$-e^{\boxed{\text{チ}}}\Big)$ である。
▶ 第1問 の答えと解説を見る
第1問 の答えと解説
(1)
ア：4イ：5ウ：7エ：8オカ：20キク：16
- $f(2)=0$ より $g(2)=0$。$f'(x)=\{g'(x)-g(x)\}e^{-x}$ で $f'(2)=0$ だから $g'(2)=0$。よって $g(x)=(x-2)^2(x-\beta)$ とおける。
- 点 $(a,0)$ が $C$ 上にあるので $g(a)=0$。$a\ne2$ だから $\beta=a$，$g(x)=(x-2)^2(x-a)$。
- $f''(x)=\{g''(x)-2g'(x)+g(x)\}e^{-x}$。$x=a$ で $g(a)=0,\ g'(a)=(a-2)^2,\ g''(a)=4(a-2)$ なので $4(a-2)-2(a-2)^2=0$，すなわち $(a-2)(8-2a)=0$。$a\ne2$ より $a=4$。
- $g(x)=(x-2)^2(x-4)=x^3-8x^2+20x-16$。$g-2g'+g''=x^3-14x^2+58x-72=(x-4)(x^2-10x+18)$ より，他の変曲点は $x=5\pm\sqrt7$。
(2)
ケ：6コサ：32シ：6ス：3
- $f'(x)=\{g'(x)-g(x)\}e^{-x}=-(x-2)(x-3)(x-6)e^{-x}$。符号は $x<2$ で $+$，$2<x<3$ で $-$，$3<x<6$ で $+$，$x>6$ で $-$。
- 極大は $x=2$ と $x=6$，極小は $x=3$。$f(6)=g(6)e^{-6}=32e^{-6}$，$f(3)=g(3)e^{-3}=-e^{-3}$。
(3)
セ：2ソ：4タ：9チ：2
- $C$ と $x$ 軸の共有点は $x=2,\ 4$。$2\le x\le4$ で $g(x)\le0$ なので，面積は $-\displaystyle\int_2^4 g(x)e^{-x}dx$。
- $\displaystyle\int g(x)e^{-x}dx=-e^{-x}\{g+g'+g''+g'''\}=-e^{-x}(x^3-5x^2+10x-6)$。
- $x=4$ で $-18e^{-4}$，$x=2$ で $-2e^{-2}$。面積 $=-\{-18e^{-4}-(-2e^{-2})\}=18e^{-4}-2e^{-2}=2e^{-4}(9-e^{2})$。
類題 第2問
次の文章中の ア〜ハヒフ に適する符号または数字を解答用紙の所定の欄にマークせよ。
次のように定義される数列 $\{a_n\}$ を考える。以下の問に答えなさい。
$\begin{cases}a_1=2,\\ a_{n+1}=a_n+\dfrac{n(n+1)}{3^n}\quad(n=1,2,3,\cdots).\end{cases}$
$\begin{cases}a_1=2,\\ a_{n+1}=a_n+\dfrac{n(n+1)}{3^n}\quad(n=1,2,3,\cdots).\end{cases}$
(1)
次の等式はすべての整数 $n$ について成立する恒等式であるとする。ただし，$p$ は整数の定数とする。
$n(n+p)=\dfrac12\Big\{3n(n+q)-(n+1)(n+1+q)+r\Big\}$
このとき，定数 $q,\ r$ を $p$ を用いて表すと $q=p+$ア，$r=p+$イ となる。
$n(n+p)=\dfrac12\Big\{3n(n+q)-(n+1)(n+1+q)+r\Big\}$
このとき，定数 $q,\ r$ を $p$ を用いて表すと $q=p+$ア，$r=p+$イ となる。
(2)
(2-1) 数列 $\{a_n\}$ の第5項は，$a_5=\dfrac{\boxed{\text{ウエオ}}}{\boxed{\text{カキ}}}$ である。
(2-2) $\{a_n\}$ の一般項は，
$a_n=\dfrac{1}{\boxed{\text{ク}}}\left\{\boxed{\text{ケコ}}-\dfrac{\boxed{\text{サ}}\,(n+\boxed{\text{シ}})^{\boxed{\text{ス}}}+1}{3^{n-\boxed{\text{セ}}}}\right\}$
である。
(2-2) $\{a_n\}$ の一般項は，
$a_n=\dfrac{1}{\boxed{\text{ク}}}\left\{\boxed{\text{ケコ}}-\dfrac{\boxed{\text{サ}}\,(n+\boxed{\text{シ}})^{\boxed{\text{ス}}}+1}{3^{n-\boxed{\text{セ}}}}\right\}$
である。
(3)
数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。
(3-1) $S_n=\dfrac{1}{\boxed{\text{ソ}}}\left\{\boxed{\text{タチ}}\,n-\boxed{\text{ツテ}}+\dfrac{\boxed{\text{ト}}\,n^2+\boxed{\text{ナニ}}\,n+\boxed{\text{ヌネ}}}{3^{n-\boxed{\text{ノ}}}}\right\}$ である。
(3-2) $S_n>1500$ を満たす最小の自然数 $n$ は ハヒフ である。
(3-1) $S_n=\dfrac{1}{\boxed{\text{ソ}}}\left\{\boxed{\text{タチ}}\,n-\boxed{\text{ツテ}}+\dfrac{\boxed{\text{ト}}\,n^2+\boxed{\text{ナニ}}\,n+\boxed{\text{ヌネ}}}{3^{n-\boxed{\text{ノ}}}}\right\}$ である。
(3-2) $S_n>1500$ を満たす最小の自然数 $n$ は ハヒフ である。
▶ 第2問 の答えと解説を見る
第2問 の答えと解説
(1)
ア：1イ：2
- 右辺を展開すると $\dfrac12\{2n^2+(2q-2)n+(r-1-q)\}=n^2+(q-1)n+\dfrac{r-1-q}{2}$。
- 左辺 $n^2+pn$ と係数を比べて $q-1=p$，$r-1-q=0$。よって $q=p+1,\ r=p+2$。
(2)
ウエオ：326カキ：81ク：4ケコ：17サ：2シ：1ス：2セ：1
- まず値を順に求める。$a_2=2+\dfrac{2}{3}=\dfrac83,\ a_3=\dfrac83+\dfrac{6}{9}=\dfrac{10}{3},\ a_4=\dfrac{10}{3}+\dfrac{12}{27}=\dfrac{34}{9},\ a_5=\dfrac{34}{9}+\dfrac{20}{81}=\dfrac{326}{81}$。
- $\dfrac{n(n+1)}{3^n}=\dfrac{c_n-c_{n+1}}{1}$ の形に直す。$c_n=\dfrac{2(n+1)^2+1}{4\cdot3^{n-1}}$ とおくと $c_n-c_{n+1}=\dfrac{n(n+1)}{3^n}$ となる。
- よって $a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(c_k-c_{k+1})=a_1+c_1-c_n$。$c_1=\dfrac94$ より $a_n=\dfrac{17}{4}-\dfrac{2(n+1)^2+1}{4\cdot3^{n-1}}=\dfrac14\left\{17-\dfrac{2(n+1)^2+1}{3^{n-1}}\right\}$。
- $n=5$ を代入して $a_5=\dfrac14\left\{17-\dfrac{73}{81}\right\}=\dfrac{326}{81}$。
(3)
ソ：8タチ：34ツテ：45ト：2ナニ：10ヌネ：15ノ：1ハヒフ：355
- $S_n=\dfrac{17}{4}n-\dfrac14\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{2(k+1)^2+1}{3^{k-1}}$。右の和は，$\dfrac{2k^2+4k+3}{3^{k-1}}$ の和で，階差の形に直して計算すると $\dfrac{45}{2}-\dfrac{2n^2+10n+15}{2\cdot3^{n-1}}$ に等しい。
- $S_n=\dfrac{17}{4}n-\dfrac{45}{8}+\dfrac{2n^2+10n+15}{8\cdot3^{n-1}}=\dfrac18\left\{34n-45+\dfrac{2n^2+10n+15}{3^{n-1}}\right\}$。
- $S_n$ は $n$ について増加し，$n=354$ で $1500$ 以下，$n=355$ で $1500$ をこえる（スクリプトで確認）。最小は $355$。
類題 第3問
次の文章中の ア〜クケ に適する符号または数字を解答用紙の所定の欄にマークせよ。
正の整数全体の集合から重複を許して $1$ 個ずつ順に合計 $K$ 個の数 $n_1,n_2,n_3,\cdots,n_K$（$j$ 番目にとり出した数を $n_j$ とする $(1\le j\le K)$）を
条件 (i) $n_1+n_2+\cdots+n_K=66$
を満たすようにとり出し，その組 $\{n_1,n_2,\cdots,n_K\}$ や順列 $(n_1,n_2,\cdots,n_K)$ を考える。例えば，$K=2$ のとき，$n_1+n_2=66$ を満たす2個の正の整数を考えると，順序を考慮しなければ，組 $\{n_1,n_2\}$ は $\{1,65\},\{2,64\},\cdots,\{33,33\}$ の $33$ 通りである。一方，順序を考慮すると順列 $(n_1,n_2)$ は $(1,65),(2,64),\cdots,(64,2),(65,1)$ の $65$ 通りである。
このとき，以下の問に答えなさい。
条件 (i) $n_1+n_2+\cdots+n_K=66$
を満たすようにとり出し，その組 $\{n_1,n_2,\cdots,n_K\}$ や順列 $(n_1,n_2,\cdots,n_K)$ を考える。例えば，$K=2$ のとき，$n_1+n_2=66$ を満たす2個の正の整数を考えると，順序を考慮しなければ，組 $\{n_1,n_2\}$ は $\{1,65\},\{2,64\},\cdots,\{33,33\}$ の $33$ 通りである。一方，順序を考慮すると順列 $(n_1,n_2)$ は $(1,65),(2,64),\cdots,(64,2),(65,1)$ の $65$ 通りである。
このとき，以下の問に答えなさい。
(1)
$K=4$ とする。$n_1,n_2,n_3,n_4$ が，条件 (i) に加え，さらに $|n_i-n_j|\le2\ (1\le i<j\le4)$ を満たすようにとり出すとき，
(1-1) このような，組 $\{n_1,n_2,n_3,n_4\}$ の総数は ア 通りである。
(1-2) このような，順列 $(n_1,n_2,n_3,n_4)$ の総数は イウ 通りである。
(1-1) このような，組 $\{n_1,n_2,n_3,n_4\}$ の総数は ア 通りである。
(1-2) このような，順列 $(n_1,n_2,n_3,n_4)$ の総数は イウ 通りである。
(2)
$K=5$ とする。$n_1,n_2,n_3,n_4,n_5$ が，条件 (i) に加え，さらに $|n_i-n_j|\le3\ (1\le i<j\le5)$ を満たすようにとり出すとき，
(2-1) このような，組 $\{n_1,n_2,n_3,n_4,n_5\}$ の総数は エ 通りである。
(2-2) このような，順列 $(n_1,n_2,n_3,n_4,n_5)$ の総数は オカキ 通りである。
(2-1) このような，組 $\{n_1,n_2,n_3,n_4,n_5\}$ の総数は エ 通りである。
(2-2) このような，順列 $(n_1,n_2,n_3,n_4,n_5)$ の総数は オカキ 通りである。
(3)
$K=5$ とする。$n_1,n_2,n_3,n_4,n_5$ が，条件 (i) に加え，さらに $|n_{i+1}-n_i|\le1\ (1\le i\le4)$ を満たすようにとり出すとき，このような，順列 $(n_1,n_2,n_3,n_4,n_5)$ の総数は クケ 通りである。
▶ 第3問 の答えと解説を見る
第3問 の答えと解説
(1)
ア：3イウ：14
- 4個の和が $66$ で，最大と最小の差が $2$ 以下。平均 $16.5$ なので，$\{16,16,17,17\},\{15,17,17,17\},\{16,16,16,18\}$ …などを調べる。
- 条件を満たす組は $\{16,16,17,17\},\ \{15,17,17,17\},\ \{16,16,16,18\}$ の3通り。
- 順列は，$\{16,16,17,17\}$ が $\dfrac{4!}{2!2!}=6$，$\{15,17,17,17\}$ が $4$，$\{16,16,16,18\}$ が $4$ で，合計 $14$ 通り。
(2)
エ：7オカキ：155
- 5個の和が $66$，最大と最小の差が $3$ 以下。平均が $13.2$ なので，最小値 $m$ は $11,12,13$ のいずれか（$m\ge14$ だと和が $70$ をこえる）。
- 条件を満たす組は $\{11,13,14,14,14\},\ \{12,12,12,15,15\},\ \{12,12,13,14,15\},\ \{12,12,14,14,14\},\ \{12,13,13,13,15\},\ \{12,13,13,14,14\},\ \{13,13,13,13,14\}$ の7通り。
- 順列の数はそれぞれ $20,\ 10,\ 60,\ 10,\ 20,\ 30,\ 5$ で，合計 $155$ 通り。
(3)
クケ：16
- 隣り合う差が1以下なので，全体の最大と最小の差は4以下で，和が $66$ になる組は限られる。
- 組で分けると，$\{13,13,13,13,14\}$ は $14$ の位置が自由で $5$ 通り。$\{12,13,13,14,14\}$ は 並べ方 $30$ 通りのうち，$12$ と $14$ が隣り合わないものだけが条件に合い，$9$ 通り。$\{12,12,13,14,15\}$ は $12,12,13,14,15$ とその逆の $2$ 通り。
- 合計 $5+9+2=16$ 通り（スクリプトでも全数探索で確認）。
※ 類題は、本番の解き方の骨格は残しつつ、数値・設定を変えて作っています。第1問は、条件を「極大値0」に変えたため、本番とは逆向きの形（指数が $e^{-x}$）になっています。全空欄は、スクリプトで確かめてあります。
30秒 得点診断
本番の過去問、またはそっくり類題セットを70分で解いた結果を選んでください。次にやるべきことを表示します。
保護者の方へ：東北医科薬科大の数学で知っておきたい3つのこと
① 「全部解く」より「取れる所を落とさない」
全3大問・70分で、すべて空欄に数字や符号を入れる形式です。各大問の前半は誘導に乗れば短時間で取れるので、ここを落とさない練習が得点に直結します。② 計算力の差がそのまま点差に
式を決める手順、数列の和、書き出しの整理など、正確さが問われる箇所が多い試験です。途中式を省略せず、符号と約分を確かめる習慣が効きます。③ 秋からは「答案を見てもらう」
70分で3大問を終える配分は、独学では直しにくい部分です。どこで時間を失ったか、第三者の目で見ると最短で伸びます。よくある質問
Q. 東北医科薬科大学 医学部の数学2026年度は、どの順番で解くのがよいですか？
TMPSのおすすめは、第1問（微分・積分）22分、第2問（数列）22分、第3問（場合の数）21分、見直し5分です。どの大問も前半の小問は誘導どおりに進めば短時間で取れるので、まず各大問の前半を確実に取り、後半は時間の許す限りで進めます。
Q. 問題文が載っていなくても、どんな問題か分かりますか？
分かります。著作権に配慮して問題本文・図は掲載していませんが、各小問の最初に「どういう問題か」として、設定・何を答えるか・解答欄の形をTMPSの言葉で説明しています。
Q. 空欄に「−」を入れる欄はどう読めばよいですか？
第1問(2-1)のキク・サシのように、符号欄と数字欄が並ぶ空欄があります。このページでは「符号の欄に−、数字の欄に1」と読んで答えを示し、解釈に幅がある所には「要確認」を付けています。実際の解答用紙の欄の形で確かめてください。
Q. そっくり類題セットとは何ですか？
2026年度と同じ3大問・同じ小問構成で、数値・設定を変えたTMPSオリジナル問題です。本文・設問はすべて新しく作ったもので、全問の答え・解説をこのページに掲載し、本番形式の問題冊子PDFも無料で配布しています。
Q. 解説に誤りを見つけたらどうすればいいですか？
公式LINEからお知らせください。確認のうえ修正し、更新日を記載します。
安心安全・継続更新システム
問題等で誤りを発見された場合、修正しますので、TMPS医学館までLINEを下さい。
受験生・指導者の皆様からのご指摘を真摯に受け止め、最も信頼できる過去問解説・類題ライブラリーとして随時アップデートいたします。
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