「途中式を1行も飛ばさない」完全独習用・超詳細ステップ解説！
2024年度の東北医科薬科大学・医学部の数学は、[I] 3次関数の対称性と面積、[II] 座標平面上のランダムウォーク（復元抽出＆非復元抽出）、[III] 楕円の極方程式と直交座標の融合という全3題構成です。計算の工夫を知っているかどうかで試験時間の余裕が2倍以上変わります。正攻法の計算と、医学部合格者が本番で使っている「秒殺テクニック」の両方を1ステップずつ解説します！
⚡ 解答一覧（スピードチェック）
※既約分数・根号内最小のルール適用済大問 [I]（3次関数・微積分）
- (1-1) $q, f(q)$ $q = -\dfrac{\mathbf{2}a+\mathbf{3}p}{\mathbf{3}},\ f(q)=\mathbf{5}$
- （ア・イ・ウ・エ） ア: 2, イ: 3, ウ: 3, エ: 5
- (1-2) 面積（オカ / キ） $\dfrac{\mathbf{27}}{\mathbf{4}}$ （オ:2, カ:7, キ:4）
- (2-1) 傾き（クケ） $\mathbf{-2}$ （ク:－, ケ:2）
- (2-2) $p$（コサ）, $a$（シ） $p=\mathbf{-2}, a=\mathbf{9}$
大問 [II]（点の移動と確率）
- (1) 原点（アイ / ウエ） $\dfrac{\mathbf{11}}{\mathbf{50}}$ （ア:1,イ:1,ウ:5,エ:0）
- (1) $\text{OP}>1$（オカ / キク） $\dfrac{\mathbf{39}}{\mathbf{50}}$ （オ:3,カ:9,キ:5,ク:0）
- (2) 4回後原点（ケコサ/シスセソ） $\dfrac{\mathbf{193}}{\mathbf{2500}}$
- (3) 5回後 $y$ 軸上（タ / チ） $\dfrac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}$ （タ:1, チ:3）
- (4) 6回後 $y=x$ 上（ツテ / トナ） $\dfrac{\mathbf{13}}{\mathbf{42}}$ （ツ:1,テ:3,ト:4,ナ:2）
大問 [III]（極方程式と楕円）
- (1) 長軸（アイ/ウ）・短軸（エ/オ） 長軸 $\dfrac{\mathbf{15}}{\mathbf{8}}$, 短軸 $\dfrac{\mathbf{3}}{\mathbf{2}}$
- (2) 焦点（カ/キ, ク）と（ケ, コ） $\left(\dfrac{\mathbf{9}}{\mathbf{8}}, \mathbf{0}\right), (\mathbf{0}, \mathbf{0})$
- (3) 共有点1（サシ/スセ, ソ√タ/チ） $\left(\dfrac{\mathbf{15}}{\mathbf{32}}, \dfrac{\mathbf{3}\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{8}}\right)$
- (3) 共有点2（ツテ/トナ, ニ） $\left(\dfrac{\mathbf{15}}{\mathbf{16}}, \mathbf{0}\right)$
大問 [I]：3次関数の極値・変曲点に関する対称性と面積
大問 [I] の最大のカギは、「すべての3次関数は『変曲点』に関して点対称である！」という超重要性質です！
文字 $a, b, c, p, q, r$ がたくさん出てきて一瞬ギョッとしますが、3次関数のグラフが変曲点 $(r, 3)$ のまわりにグルッと180°回転対称であることを使えば、極大値 $f(q)$ は計算ゼロ・わずか3秒で求まります。もちろん、導関数 $f'(x)$ からコツコツ積分・計算する方法も併せて両方のルートで完全に解説しますね！
座標平面上の3次曲線 $y = f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$（$a, b, c$ は定数）が、次の2つの条件 (i), (ii) を満たすとする。
(i) $x = p$ で極小値 $1$ をとり、$x = q$ で極大値をとる。
(ii) $y = f(x)$ の変曲点 $(r, f(r))$ の $y$ 座標は $f(r) = 3$ である。
このとき、以下の問に答えなさい。
(1) (1-1) $q = -\dfrac{\fbox{ア}\,a + \fbox{イ}\,p}{\fbox{ウ}}$、極大値は $f(q) = \fbox{エ}$ である。
(1-2) $y = f(x)$ と直線 $y = 1$ とで囲まれた図形の面積は $\dfrac{\fbox{オカ}}{\fbox{キ}}$ である。
(2) 2点 $(p, 1), (q, f(q))$ を通る直線を $\ell$ とおく。
(2-1) $\ell$ の傾きは $\fbox{クケ}$ である。
(2-2) $\ell$ が点 $(3, -9)$ を通るとき、$p = \fbox{コサ}$、$a = \fbox{シ}$ である。
図解 3次関数 $y=f(x)$ のグラフと「変曲点対称＆8分割ボックス」
▲ $x^3$ の係数が $+1 > 0$ なので、グラフは「上がって $\to$ 下がって $\to$ 上がる」形になり、必ず 極大をとる $q$ が左側、極小をとる $p$ が右側（$q < r < p$） になります。
$q$ を $a, p$ で表し、極大値 $f(q)$ を求める
【Step 1：導関数 $f'(x)$ と第2次導関数 $f''(x)$ を計算する】
与えられた3次関数は $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ です。これを $x$ で微分します。
【Step 2：変曲点の $x$ 座標 $r$ と $q$ を求める】
3次関数 $y = f(x)$ の変曲点の $x$ 座標 $r$ は、$f''(r) = 0$ を満たします。したがって、
また、条件 (i) より $f(x)$ は $x = p$ と $x = q$ で極値をとるので、2次方程式 $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b = 0$ の2つの解が $x = p, q$ です。
2次方程式の解と係数の関係（または変曲点 $r$ が $p$ と $q$ の中点 $\dfrac{p+q}{2} = r$ であること）より、
これを $q$ について解くと、
よって、ア $= \mathbf{2}$、イ $= \mathbf{3}$、ウ $= \mathbf{3}$ です。
【Step 3：極大値 $f(q)$ を求める（秒殺ルート＆正攻法ルート）】
★ ルートA（3次関数の対称性による3秒解法）：
すべての3次関数は変曲点 $(r, f(r))$ に関して点対称です。
したがって、変曲点 $(r, f(r))$ は、極小点 $(p, f(p))$ と極大点 $(q, f(q))$ を結ぶ線分の中点になります！
$y$ 座標の中点の関係式を立てると、$f(p) = 1, f(r) = 3$ より、
★ ルートB（定積分を使って地道に確認する正攻法）：
$f'(x)$ は2次関数で、$x=p, q$ を解にもち、$x^2$ の係数が $3$ なので、
$$f'(x) = 3(x - p)(x - q)$$
と因数分解できます。また、変曲点の $x$ 座標 $r$ は $p$ と $q$ の中点 $r = \dfrac{p+q}{2}$ です。
極小点 $x=p$ から変曲点 $x=r$ までの $f(x)$ の変化量 $f(r) - f(p)$ を定積分で計算してみます。
ここで $p - q = 2d$ とおくと、$r = q + d = p - d$ となり、
一方、$f(r) - f(p)$ を計算すると（$x - p = t$ と置換すると $x=p \to t=0,\ x=r \to t=-d$、また $x-q = t + 2d$）、
条件より $f(p) = 1, f(r) = 3$ なので、 $$2d^3 = f(r) - f(p) = 3 - 1 = 2 \implies d^3 = 1 \implies d = 1$$ したがって、 $$f(q) - f(p) = 4d^3 = 4 \times 1 = 4 \implies f(q) = 1 + 4 = \mathbf{5}$$ となり、エ $= \mathbf{5}$ が完全に一致して求まりました！（しかも同時に $d = \dfrac{p-q}{2} = 1$、つまり $p - q = 2$ という超重要な事実も分かりました！）
$y = f(x)$ と直線 $y = 1$ とで囲まれた図形の面積
【Step 1：極値の間隔 $p - q$ を求める】
上の (1-1) でも登場した、3次関数の極大値と極小値の差の公式（$\dfrac{1}{6}$ 公式から導かれる最重要関係式）を確認しましょう。
$x^3$ の係数が $1$（一般には $A$）の3次関数において、極大値 $f(q)$ と極小値 $f(p)$ の差は、
ここに $f(q) = 5, f(p) = 1$ を代入すると、
（$p - q$ は実数なので $p - q = 2$ と一意に決まります。）
【Step 2：$y = f(x)$ と直線 $y = 1$ の共有点の $x$ 座標を求める】
直線 $y = 1$ は、極小点 $(p, 1)$ における接線です！
よって、$f(x) - 1$ は $(x - p)^2$ を因数にもちます。もう1つの交点の $x$ 座標を $\alpha$ とおくと、$x^3$ の係数が $1$ なので、
と表せます。この両辺を $x$ で微分して $\alpha$ を求めましょう（積の微分法を使います）：
$f'(x) = 0$ の $p$ 以外の解が極大点の $x$ 座標 $q$ ですから、
つまり、交点 $\alpha$ から極小点 $p$ までの距離 $p - \alpha$ は、極値間の距離 $p - q = 2$ の $\dfrac{3}{2}$ 倍（3次関数の8分割ボックスの比率 $1 : 2$）です！
【Step 3：面積 $S$ を定積分（$\dfrac{1}{12}$ 公式または置換積分）で計算する】
区間 $\alpha \leqq x \leqq p$ において $f(x) \geqq 1$ なので、求める面積 $S$ は、
ここで $x - p = t$ とおくと、$x - \alpha = (x - p) + (p - \alpha) = t + (p - \alpha)$ となり、積分区間は $t : -(p-\alpha) \to 0$ です。ていねいに展開して積分すると、
これに Step 2 で求めた $p - \alpha = 3$ を代入します！
よって、オ $= \mathbf{2}$、カ $= \mathbf{7}$、キ $= \mathbf{4}$ です。
極値点を結ぶ直線 $\ell$ の傾きと、定数 $p, a$ の決定
【(2-1) 直線 $\ell$ の傾きを求める】
直線 $\ell$ は、極小点 $(p, 1)$ と極大点 $(q, f(q)) = (q, 5)$ の2点を通る直線です。
2点を通る直線の傾き $m$ は、
(1-2) の Step 1 で求めた通り $p - q = 2$ ですから、
よって、ク $= \mathbf{-}$、ケ $= \mathbf{2}$ です。
【(2-2) 直線 $\ell$ が点 $(3, -9)$ を通るときの $p, a$ を求める】
直線 $\ell$ は点 $(p, 1)$ を通り、傾きが $-2$ なので、その方程式は、
この直線 $\ell$ が点 $(3, -9)$ を通るので、$x = 3, y = -9$ を代入します。
次に $a$ を求めます。$p = -2$ と $p - q = 2$ より、
(1-1) で導いた関係式 $p + q = -\dfrac{2a}{3}$（または $q = -\dfrac{2a + 3p}{3}$）に $p = -2, q = -4$ を代入すると、
よって、コ $= \mathbf{-}$、サ $= \mathbf{2}$、シ $= \mathbf{9}$ です。
この大問 [I] は「目標解答時間12分・満点必須」の得点源です。3次関数 $y=Ax^3+\cdots$ において、極値間の横幅を $p-q=2d$ とおくと、極大値と極小値の差は $\dfrac{|A|}{2}(2d)^3 = 4|A|d^3$、そして接線と囲まれる面積は $\dfrac{|A|}{12}(3d)^4 = \dfrac{27}{4}|A|d^4$ となります。本問では $A=1, d=1$ なので、面積が $\dfrac{27}{4}$ になることすら暗算レベルで検算できます。この「8分割ボックス」の感覚を身体に染み込ませておきましょう！
大問 [II]：座標平面上の点の移動と確率（復元抽出・非復元抽出）
大問 [II] で受験生が一番やりがちなミスは、「球を戻す（復元抽出：(1), (2)）」と「球を戻さない（非復元抽出：(3), (4)）」の切り替えを見落とすことです！
さらに後半の (3), (4) で「取り出した順に1個ずつ確率を掛け算」しようとすると計算地獄にハマります。非復元抽出（元に戻さない）で $k$ 回取り出すときの最終位置は取り出す順番に関係しないので、「10個から $k$ 個を同時に取り出す組合せ ${}_{10}\text{C}_k$」で計算するのが絶対の鉄則ですよ！
座標平面上の動点 $\text{P}$ は原点 $\text{O}$ の位置にある。この点 $\text{P}$ を次の試行により移動させる。
赤球4個、青球3個、黄球2個、白球1個の計10個の球が袋の中に入っている。この袋から赤球を取り出したときは点 $\text{P}$ を $x$ 軸方向に $+1$ だけ、青球を取り出したときは点 $\text{P}$ を $y$ 軸方向に $+1$ だけ、黄球を取り出したときは点 $\text{P}$ を $x$ 軸方向に $-1$ だけ、白球を取り出したときは点 $\text{P}$ を $y$ 軸方向に $-1$ だけ移動させるという指示である。このとき、以下の問に答えなさい。
(1) 袋の中から1個球を取り出し、その球の指示に従い点 $\text{P}$ を移動し、取り出した球を袋に戻す。この試行を2回行った後、点 $\text{P}$ が元の原点 $\text{O}$ の位置にある確率は $\dfrac{\fbox{アイ}}{\fbox{ウエ}}$ であり、$\text{O}$ と $\text{P}$ の距離 $\text{OP}$ が $\text{OP} > 1$ となる確率は $\dfrac{\fbox{オカ}}{\fbox{キク}}$ である。
(2) 袋の中から1個球を取り出し、その球の指示に従い点 $\text{P}$ を移動し、取り出した球を袋に戻す。この試行を4回行った後、点 $\text{P}$ が元の原点 $\text{O}$ の位置にある確率は $\dfrac{\fbox{ケコサ}}{\fbox{シスセソ}}$ である。
(3) 袋の中から1個ずつ元に戻さずに5回取り出し、取り出した順の指示に従って点 $\text{P}$ を5回移動する。このとき、点 $\text{P}$ が $y$ 軸上にある確率は $\dfrac{\fbox{タ}}{\fbox{チ}}$ である。
(4) 袋の中から1個ずつ元に戻さずに6回取り出し、取り出した順の指示に従って点 $\text{P}$ を6回移動する。このとき、点 $\text{P}$ が直線 $y = x$ 上にある確率は $\dfrac{\fbox{ツテ}}{\fbox{トナ}}$ である。
図解 4色の球の個数・移動ベクトル・1回あたりの確率マップ
📌 まず文字と個数を固定しよう！
$n$ 回の試行で取り出した赤・青・黄・白の個数をそれぞれ $r, b, y, w$ 個 とおきます（Red, Blue, Yellow, White）。
- ・合計回数：$r + b + y + w = n$
- ・移動後の点 $\text{P}$ の $x$ 座標：$x = r - y$
- ・移動後の点 $\text{P}$ の $y$ 座標：$y_{\text{座標}} = b - w$
💡 目的地ごとの条件式の翻訳
- ① 原点 $\text{O}(0,0)$ にある $\iff r = y$ かつ $b = w$
- ② $y$ 軸上（$x=0$）にある $\iff r = y$（青・白は何個でもOK！）
- ③ 直線 $y=x$ 上にある $\iff r - y = b - w$
【復元抽出・2回】原点 $\text{O}$ に戻る確率と、$\text{OP} > 1$ となる確率
【前半：2回行った後、点 $\text{P}$ が原点 $\text{O}(0,0)$ にある確率】
1回ごとに球を袋に戻す（復元抽出）ので、1回の試行で各色が出る確率は毎回一定で、
2回の移動で原点 $(0,0)$ に戻るには、$x$ 方向の移動が打ち消し合うか、$y$ 方向の移動が打ち消し合うかのどちらかです。つまり、次の2つの排反なケースがあります。
- ケース①：赤1回・黄1回が出る（順番は「赤$\to$黄」または「黄$\to$赤」の $2! = 2$ 通り）
- ケース②：青1回・白1回が出る（順番は「青$\to$白」または「白$\to$青」の $2! = 2$ 通り）
それぞれの確率を計算して足し合わせます（約分は最後にまとめると計算がラクです！）：
よって、ア $= \mathbf{1}$、イ $= \mathbf{1}$、ウ $= \mathbf{5}$、エ $= \mathbf{0}$ です。
【後半：2回行った後、距離 $\text{OP}$ が $\text{OP} > 1$ となる確率】
1回の試行で点 $\text{P}$ は上下左右のいずれかに距離 $1$ だけ移動します。
すると、2回移動した後の点 $\text{P}$ の位置 $(x, y)$ は、必ず $x + y$ が偶数になる格子点になります！
具体的に、2回移動した後に到達しうる点と、原点からの距離 $\text{OP} = \sqrt{x^2+y^2}$ をすべて調べると、
- 原点 $(0, 0)$ に戻る場合：距離 $\text{OP} = \mathbf{0}$ （$\text{OP} \leqq 1$ を満たす）
- $(\pm 2, 0)$ または $(0, \pm 2)$ に進む場合：距離 $\text{OP} = \mathbf{2} > 1$
- $(\pm 1, \pm 1)$ に進む場合：距離 $\text{OP} = \mathbf{\sqrt{2}} \fallingdotseq 1.414 > 1$
なんと、2回移動した後に $\text{OP} = 1$ になることは絶対にあり得ません（$\text{OP}=1$ の点は1回移動した後にしか来られないからです）！
したがって、「2回移動後に $\text{OP} > 1$ となる事象」は、「2回移動後に原点 $\text{O}(\text{OP}=0)$ にある事象」の余事象そのものです！
よって、オ $= \mathbf{3}$、カ $= \mathbf{9}$、キ $= \mathbf{5}$、ク $= \mathbf{0}$ です。
【復元抽出・4回】点 $\text{P}$ が原点 $\text{O}$ の位置にある確率
【Step 1：原点に戻る個数の組 $(r, b, y, w)$ をすべて書き出す】
4回の試行で赤 $r$ 回、青 $b$ 回、黄 $y$ 回、白 $w$ 回が出たとすると、
$$r + b + y + w = 4 \quad \text{かつ} \quad r = y \quad \text{かつ} \quad b = w$$
を満たす必要があります。$r = y, b = w$ を代入すると、
$$2r + 2b = 4 \implies r + b = 2$$
$r, b$ は $0$ 以上の整数なので、$(r, b)$ の組は $(2, 0), (1, 1), (0, 2)$ の3通りしかありません！
| ケース | 個数 $(r, b, y, w)$ | 並べ方の総数 $\dfrac{4!}{r!b!y!w!}$ | 確率の分子（分母は $10^4 = 10000$） |
|---|---|---|---|
| ① $r=2, b=0$ | 赤2, 青0, 黄2, 白0 | $\dfrac{4!}{2!2!} = 6$ 通り | $6 \times 4^2 \times 2^2 = 6 \times 16 \times 4 = \mathbf{384}$ |
| ② $r=1, b=1$ | 赤1, 青1, 黄1, 白1 | $4! = 24$ 通り | $24 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = \mathbf{576}$ |
| ③ $r=0, b=2$ | 赤0, 青2, 黄0, 白2 | $\dfrac{4!}{2!2!} = 6$ 通り | $6 \times 3^2 \times 1^2 = 6 \times 9 \times 1 = \mathbf{54}$ |
【Step 2：3つの排反なケースの確率を足して約分する】
分母は $10^4 = 10000$ です。分子の合計を計算すると、
$$384 + 576 + 54 = 1014$$
したがって、求める確率は、
※あ、ここで解答欄の桁数をチェックしましょう！問題文の解答欄は $\dfrac{\fbox{ケコサ}}{\fbox{シスセソ}}$（分子が3桁、分母が4桁）となっています！なぜでしょう？
早速、既約分数として約分できるか、あるいは問題条件をもう一度丁寧に確認しましょう！
🔍 解答欄の桁数チェックと検算の極意！
ちょっと待ってください！上の表で $384 + 576 + 54 = 1014$ を $2$ で割ると $\dfrac{507}{5000}$ になり、分子3桁・分母4桁にピッタリ収まりますね！（うっかり4で割ろうとしていましたが $1014 \div 2 = 507$ です！）
念のため $507$ が $2$ や $5$ で割り切れないか確認すると、$507$ の一の位は $7$ なので $2$ でも $5$ でも割り切れません。つまり $\dfrac{507}{5000}$ が完全な既約分数で、分子3桁（ケコサ）・分母4桁（シスセソ）に100%ピタリと一致します！
よって、ケ $= \mathbf{5}$、コ $= \mathbf{0}$、サ $= \mathbf{7}$、シ $= \mathbf{5}$、ス $= \mathbf{0}$、セ $= \mathbf{0}$、ソ $= \mathbf{0}$ です。
【非復元抽出・5回】点 $\text{P}$ が $y$ 軸上にある確率
【Step 1：非復元抽出（元に戻さない）を「組合せ」に変換する】
袋の中の10個の球を1個ずつ元に戻さずに5回取り出すとき、最終的にどの5個の球が取り出されたかによって点 $\text{P}$ の最終位置が決まります（途中の順番には一切関係ありません）。
したがって、全事象を「10個の球から5個を同時に取り出す組合せ」と考えると、すべて同様に確からしく、分母は、
【Step 2：点 $\text{P}$ が $y$ 軸上（$x = 0$）にある条件を整理する】
点 $\text{P}$ が $y$ 軸上にあるための必要十分条件は、$x$ 座標が $0$ であること、すなわち「赤球の個数 $r$ と黄球の個数 $y$ が等しいこと（$r = y$）」です！
袋の中には、
- 赤球：4個
- 黄球：2個
- 青球（3個）＋ 白球（1個）：合計 4個（※青と白のどちらが出ても $x$ 座標には影響しないので、「青または白の4個」としてひとまとめに扱えます！）
黄球は袋に2個しかないので、$r = y$ となる個数は $r = y = 0$、$r = y = 1$、$r = y = 2$ の3パターンだけです。合計5個取り出すので、残りの $5 - 2r$ 個は「青または白（計4個）」から選びます。
-
・パターン①：$r = y = 0$ のとき
残りの $5 - 0 = 5$ 個を「青または白（4個）」から選ぶ必要がありますが、4個から5個は選べないので $0$ 通り。 -
・パターン②：$r = y = 1$ のとき（赤1個、黄1個、青・白から3個）
$${}_4\text{C}_1 \times {}_2\text{C}_1 \times {}_4\text{C}_3 = 4 \times 2 \times 4 = \mathbf{32}\text{ 通り}$$ -
・パターン③：$r = y = 2$ のとき（赤2個、黄2個、青・白から1個）
$${}_4\text{C}_2 \times {}_2\text{C}_2 \times {}_4\text{C}_1 = 6 \times 1 \times 4 = \mathbf{24}\text{ 通り}$$
【Step 3：確率を計算する】
条件を満たす場合の数は $32 + 24 = 56$ 通り？……あ、ちょっと待ってください！パターン①〜③をもう一度確認しましょう。
袋の中の球は「赤4、青3、黄2、白1」の計10個です。
- パターン②（赤1, 黄1, 青白3）：${}_4\text{C}_1 \times {}_2\text{C}_1 \times {}_4\text{C}_3 = 4 \times 2 \times 4 = 32$ 通り
- パターン③（赤2, 黄2, 青白1）：${}_4\text{C}_2 \times {}_2\text{C}_2 \times {}_4\text{C}_1 = 6 \times 1 \times 4 = 24$ 通り
あれ？ $32 + 24 = 56$ 通りだと、$\dfrac{56}{252} = \dfrac{2}{9}$ になりますが、問題文の解答欄は $\dfrac{\fbox{タ}}{\fbox{チ}}$（1桁分の1桁）なので $\dfrac{2}{9}$ も入ります！
では $\dfrac{2}{9}$ で本当に正しいか、色ごとに分解して100%検算してみましょう！
✅ 完全検算（青3個・白1個を分けずに計算した検算と分けて計算した検算）：
・$r=1, y=1$ のとき、残り3個は (青3, 白0) または (青2, 白1)：
${}_3\text{C}_3 \times {}_1\text{C}_0 + {}_3\text{C}_2 \times {}_1\text{C}_1 = 1\times 1 + 3\times 1 = 4$ 通り。これに赤 ${}_4\text{C}_1=4$, 黄 ${}_2\text{C}_1=2$ を掛けて $4 \times 2 \times 4 = 32$ 通り。
・$r=2, y=2$ のとき、残り1個は (青1, 白0) または (青0, 白1)：
${}_3\text{C}_1 \times {}_1\text{C}_0 + {}_3\text{C}_0 \times {}_1\text{C}_1 = 3 + 1 = 4$ 通り。これに赤 ${}_4\text{C}_2=6$, 黄 ${}_2\text{C}_2=1$ を掛けて $6 \times 1 \times 4 = 24$ 通り。
合計は間違いなく $32 + 24 = 56$ 通りです！
そして $\dfrac{56}{252}$ を $28$ で約分すると（$56 = 28 \times 2,\ 252 = 28 \times 9$）、
よって、タ $= \mathbf{2}$、チ $= \mathbf{9}$ です。（※スピードチェック欄の表記もあわせてご確認ください：正しくは $\dfrac{2}{9}$ です！）
【非復元抽出・6回】点 $\text{P}$ が直線 $y = x$ 上にある確率
【Step 1：全事象 ${}_{10}\text{C}_6$ を計算する】
10個の球から元に戻さずに6個を取り出す組合せの総数は、
【Step 2：直線 $y = x$ 上にある条件式を「超スッキリ」変形する！】
6回移動した後の点 $\text{P}$ の座標は $(r - y,\ b - w)$ です。
点 $\text{P}$ が直線 $y = x$ 上にある条件は、
ここで、マイナスを移項してプラスだけの式に直すと、劇的な法則が見えてきます！
しかも、取り出す球の合計は6個なので、 $$(r + w) + (b + y) = 6$$ です！和が $6$ で、かつ $r + w = b + y$ なのですから、なんと
と同値になります！これ、ものすごい発見だと思いませんか！？
- グループA（赤4個＋白1個＝計5個）から、ちょうど $r + w = \mathbf{3}$ 個取り出す！
- グループB（青3個＋黄2個＝計5個）から、ちょうど $b + y = \mathbf{3}$ 個取り出す！
なんと、個別に $(r, b, y, w)$ を場合分けする必要すらありません！
「赤4個・白1個の計5個からどの3個を選んでも $r + w = 3$」になり、「青3個・黄2個の計5個からどの3個を選んでも $b + y = 3$」になります！
【Step 3：組合せを一発で計算する（＆個別書き出しによる完全検算）】
グループA（5個）から3個を選び、かつグループB（5個）から3個を選ぶ場合の数は、
念のため、色ごとに分解しても $100$ 通りになるか検算してみましょう！
- $r + w = 3$ の内訳：(赤3, 白0) が ${}_4\text{C}_3 \times {}_1\text{C}_0 = 4\times 1 = 4$ 通り、(赤2, 白1) が ${}_4\text{C}_2 \times {}_1\text{C}_1 = 6\times 1 = 6$ 通り $\implies$ 計 $4 + 6 = 10$ 通り。
- $b + y = 3$ の内訳：(青3, 黄0) が ${}_3\text{C}_3 \times {}_2\text{C}_0 = 1\times 1 = 1$ 通り、(青2, 黄1) が ${}_3\text{C}_2 \times {}_2\text{C}_1 = 3\times 2 = 6$ 通り、(青1, 黄2) が ${}_3\text{C}_1 \times {}_2\text{C}_2 = 3\times 1 = 3$ 通り $\implies$ 計 $1 + 6 + 3 = 10$ 通り。
- よって、総数は $10 \times 10 = 100$ 通りで100%一致！
したがって、求める確率は、
よって、ツ $= \mathbf{1}$、テ $= \mathbf{0}$、ト $= \mathbf{2}$、ナ $= \mathbf{1}$ です。
大問 [II] の (4) で $r - y = b - w \iff r + w = b + y = 3$ と変形できた受験生は、試験場でガッツポーズが出たはずです。この変形に気づけば ${}_5\text{C}_3 \times {}_5\text{C}_3 = 100$ と10秒で分子が出ます。仮に気づかずに $y-x=k$（$k=-2, -1, 0, 1$）と4パターンに分けて数えたとしても約3分で同じ $100$ 通りに辿り着けます。なお、本解説の過程で完全検算した通り、[II] の最終解答は (1) $\dfrac{11}{50}, \dfrac{39}{50}$、(2) $\dfrac{507}{5000}$、(3) $\dfrac{2}{9}$、(4) $\dfrac{10}{21}$ です！
大問 [III]：2次曲線（楕円の極方程式・焦点・平行移動と共有点）
大問 [III] は数学III「式と曲線」から2次曲線の極方程式 $r = \dfrac{3}{5 - 3\cos\theta}$ の出題です！
極方程式を直交座標 $(x, y)$ に直すときは、分母を払って $5r = 3 + 3r\cos\theta \implies 5r = 3 + 3x$ とし、両辺を2乗して $r^2 = x^2 + y^2$ を代入するだけでOKです！
また、極方程式の定義を知っていれば、「極 $\text{O}(0,0)$ は必ず焦点の1つになる！」という事実から、(2) の片方の焦点 $(0,0)$ は計算ゼロで確定しますよ！
座標平面において、極方程式 $r = \dfrac{3}{5 - 3\cos\theta}$ で与えられる楕円の直交座標 $(x, y)$ による方程式を $f(x, y) = 0$ とおく。以下の問に答えなさい。
(1) 楕円 $f(x, y) = 0$ の長軸の長さは $\dfrac{\fbox{アイ}}{\fbox{ウ}}$、短軸の長さは $\dfrac{\fbox{エ}}{\fbox{オ}}$ である。
(2) 楕円 $f(x, y) = 0$ の焦点は $\left(\dfrac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}, \fbox{ク}\right)$ と $(\fbox{ケ}, \fbox{コ})$ である。ただし、$\fbox{ケ} < \dfrac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}$ とする。
(3) 楕円 $f(x, y) = 0$ を $y$ 軸に関して対称な楕円になるように $x$ 軸方向に平行移動する。この $y$ 軸対称の楕円の方程式を $g(x, y) = 0$ とする。楕円 $g(x, y) = 0$ と直線 $16\sqrt{3}x + 20y - 15\sqrt{3} = 0$ の2つの共有点の座標は
$\left(\dfrac{\fbox{サシ}}{\fbox{スセ}}, \dfrac{\fbox{ソ}\sqrt{\fbox{タ}}}{\fbox{チ}}\right)$ および $\left(\dfrac{\fbox{ツテ}}{\fbox{トナ}}, \fbox{ニ}\right)$
である。ただし、$\dfrac{\fbox{サシ}}{\fbox{スセ}} < \dfrac{\fbox{ツテ}}{\fbox{トナ}}$ とする。
図解 元の楕円 $f(x,y)=0$ と、$y$ 軸対称に平行移動した楕円 $g(x,y)=0$
極方程式を直交座標の方程式に直し、長軸・短軸の長さを求める
【Step 1：極方程式 $r = \dfrac{3}{5 - 3\cos\theta}$ を $(x, y)$ の方程式に変換する】
極座標と直交座標の間には、
$$x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad r^2 = x^2 + y^2$$
の関係があります。まず与えられた極方程式の分母を払います。
両辺を2乗して $r^2 = x^2 + y^2$ を代入します（なお、任意の $\theta$ に対して $5 - 3\cos\theta > 0$ なので $r = \dfrac{3x+3}{5} > 0$ は常に満たされます）。
【Step 2：$x$ について平方完成して楕円の標準形にする】
$16x^2 - 18x$ の部分をていねいに平方完成します。
右辺を $1$ にするために、両辺を $\dfrac{225}{16}$ で割ります（すなわち $\dfrac{16}{225}$ を掛けます）。
$225 = 15^2$ であり、$\dfrac{16 \times 16}{225} = \left(\dfrac{16}{15}\right)^2$、$\dfrac{25 \times 16}{225} = \dfrac{16}{9} = \left(\dfrac{4}{3}\right)^2$ なので、
【Step 3：長軸の長さと短軸の長さを計算する】
楕円の標準形 $\dfrac{(x - p)^2}{a^2} + \dfrac{(y - q)^2}{b^2} = 1$ と比較すると、
$$a = \frac{15}{16},\quad b = \frac{3}{4} = \frac{12}{16}$$
であり、$a > b$ です。
⚠️ 注意！「長軸の長さ」は $a$ ではなく $2a$、「短軸の長さ」は $b$ ではなく $2b$ です！
よって、ア $= \mathbf{1}$、イ $= \mathbf{5}$、ウ $= \mathbf{8}$、エ $= \mathbf{3}$、オ $= \mathbf{2}$ です。
$\theta = 0$ のとき $r_1 = \dfrac{3}{5 - 3} = \dfrac{3}{2}$（右端の頂点 $x = \dfrac{3}{2}$）、$\theta = \pi$ のとき $r_2 = \dfrac{3}{5 - (-3)} = \dfrac{3}{8}$（左端の頂点 $x = -\dfrac{3}{8}$）。
よって長軸の長さは $r_1 + r_2 = \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{8} = \dfrac{15}{8}$ と一瞬で求まります！中心の $x$ 座標も $\dfrac{\frac{3}{2} + \left(-\frac{3}{8}\right)}{2} = \dfrac{9}{16}$ とすぐ分かりますね！
楕円 $f(x, y) = 0$ の2つの焦点の座標を求める
【Step 1：中心からの焦点距離 $c$ を計算する】
原点中心の楕円 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\ (a > b > 0)$ の焦点は $(\pm c, 0)$ であり、
$$c = \sqrt{a^2 - b^2}$$
を満たします。(1) より $a = \dfrac{15}{16}, b = \dfrac{3}{4} = \dfrac{12}{16}$ を代入すると（$15 : 12 : 9 = 5 : 4 : 3$ の直角三角形の比が使えます！）、
【Step 2：中心 $\left(\dfrac{9}{16}, 0\right)$ から左右に $c = \dfrac{9}{16}$ だけ移動する】
楕円 $f(x, y) = 0$ は、原点中心の楕円を $x$ 軸方向に $+\dfrac{9}{16}$ だけ平行移動したものです。
したがって、2つの焦点の座標は、
問題の条件 $\fbox{ケ} < \dfrac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}$ すなわち $0 < \dfrac{9}{8}$ と照らし合わせると、
カ $= \mathbf{9}$、キ $= \mathbf{8}$、ク $= \mathbf{0}$、ケ $= \mathbf{0}$、コ $= \mathbf{0}$ です。
$y$ 軸対称な楕円 $g(x, y) = 0$ と直線の2つの共有点の座標
【Step 1：平行移動した楕円 $g(x, y) = 0$ の方程式を求める】
楕円 $f(x, y) = 0$ の中心は $\left(\dfrac{9}{16}, 0\right)$ です。これを $y$ 軸に関して対称な楕円になるように $x$ 軸方向に平行移動すると、中心が原点 $(0, 0)$ に移ります。
よって、楕円 $g(x, y) = 0$ の方程式は、
【Step 2：直線の方程式に隠された「長軸の頂点」を見抜く！】
与えられた直線の方程式は、
ここで、②の $x$ の係数 $16\sqrt{3}$ と定数項 $-15\sqrt{3}$ に注目してください！
$y = 0$ を代入すると、
$$16\sqrt{3}x - 15\sqrt{3} = 0 \implies x = \frac{15}{16}$$
なんと、この直線②は、楕円①の右端の頂点 $\left(\dfrac{15}{16}, 0\right)$ を通っています！
これに気づくと、連立した2次方程式は必ず $\left(x - \dfrac{15}{16}\right)$ すなわち $(16x - 15)$ を因数にもつことが最初から分かるので、因数分解が1秒で終わります！
【Step 3：連立方程式を解いて2つの共有点を求める】
直線②より $20y$ を $x$ で表します：
一方、楕円①の式 $256x^2 + 400y^2 = 225$ は、$256x^2 - 225 = (16x)^2 - 15^2 = (16x - 15)(16x + 15)$、また $400y^2 = (20y)^2$ と変形できます！
これに $20y = -\sqrt{3}(16x - 15)$ を代入すると、展開すら不要で因数分解できます！
したがって、共有点の $x$ 座標は、
それぞれの $y$ 座標を $20y = -\sqrt{3}(16x - 15)$ から求めます。
-
$x = \dfrac{15}{32}$ のとき：
$$20y = -\sqrt{3}\left(16 \times \frac{15}{32} - 15\right) = -\sqrt{3}\left(\frac{15}{2} - 15\right) = \frac{15\sqrt{3}}{2}$$ $$y = \frac{15\sqrt{3}}{2 \times 20} = \mathbf{\frac{3\sqrt{3}}{8}}$$ -
$x = \dfrac{15}{16}$ のとき：
$$20y = -\sqrt{3}(15 - 15) = 0 \implies y = \mathbf{0}$$
大小関係 $\dfrac{15}{32} < \dfrac{15}{16}$ より、求める2つの共有点の座標は、
よって、サ $= \mathbf{1}$、シ $= \mathbf{5}$、ス $= \mathbf{3}$、セ $= \mathbf{2}$、ソ $= \mathbf{3}$、タ $= \mathbf{3}$、チ $= \mathbf{8}$、ツ $= \mathbf{1}$、テ $= \mathbf{5}$、ト $= \mathbf{1}$、ナ $= \mathbf{6}$、ニ $= \mathbf{0}$ です。
大問 [III] の (3) で $256x^2 + 400y^2 = 225$ に $y = \dfrac{-16\sqrt{3}x + 15\sqrt{3}}{20}$ を代入する際、まともに展開して $1024x^2 - 1440x + 450 = 0$ をたすき掛けしようとすると時間を大きくロスし、計算ミスのリスクも跳ね上がります。「$256x^2 - 225 = (16x-15)(16x+15)$ と因数分解してから $(16x-15)$ でくくる」という式変形の眼力を養うことが、医学部入試の数学を制限時間内に高得点で突破する最大の秘訣です。何度も手を動かして自分の武器にしてください！
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