東北医科薬科大学
医学部 数学
2025年度 解答・解説

条件の式を平方完成すると、$(a-5)^2+b^2=25$。つまり点 $(a,b)$ は、中心 $(5,0)$、半径 $5$ の円の上を動きます。解と係数の関係は $\alpha+\beta=-a,\ \alpha\beta=4b$、判別式は $D=a^2-16b$ です。

$D<0$（虚数解）・$D=0$（重解）・$D\ge0$（実数解）は、放物線 $b=\dfrac{a^2}{16}$ との位置関係で決まります。円と放物線の交点を求めるため、$b=\dfrac{a^2}{16}$ を円の式に代入します。

$a^2+8a+320$ は常に正なので、交点は $a=0,\ 8$。すなわち $(0,0)$ と $(8,4)$ の2点だけです。放物線の上側（$D<0$）が虚数解の弧、下側・右側（$D\ge0$）が実数解の弧になります。

解が虚数なら、$\alpha,\beta$ は共役な複素数なので $|\alpha|^2=\alpha\overline{\alpha}=\alpha\beta=4b$。したがって$|\alpha|$ が最大になるのは $b$ が最大のときです。

円で $b$ が最大になるのは最上点 $(5,5)$。ここは放物線の上側で、確かに $D=25-80<0$（虚数解）です。

重解は $D=0$、すなわち円と放物線の交点です。$a\ne0$ という条件が、$(0,0)$ を除くための指定。残る交点は $(8,4)$。

確かめると、$x^2+8x+16=(x+4)^2$ で、定数項は $4b=16$。

対称式なので $\alpha+\beta=-a,\ \alpha\beta=4b$ で書き換えます。

ここで円の式 $a^2-10a=-b^2$ を使うと、$a$ が消えて $b$ だけの式になります。

$b=-4$ のとき最大の $16$。$b=-4$ は円上に点（$(2,-4)$ と $(8,-4)$）があり、$b<0$ なので $D>0$、実数解の弧に入っています。

同じく書き換えると $\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot4b+a=a+\sqrt3\,b$。円を $a=5+5\cos\theta,\ b=5\sin\theta$ と置きます。

もし弧の制限がなければ、最大は $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ の $15$ ですが、その点 $\left(\dfrac{15}{2},\dfrac{5\sqrt3}{2}\right)$ は放物線の上側（虚数解の弧）にあって使えません。実数解の弧は、$(0,0)$（$\theta=\pi$）から下側を回って $(8,4)$ まで。$(8,4)$ の角度を $\theta_0$ とすると $\cos\theta_0=\dfrac35,\ \sin\theta_0=\dfrac45$。

最大値：弧の中で $\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right)$ が一番大きいのは端の $(8,4)$。

最小値：最小になる角 $\theta-\dfrac{\pi}{3}=\pi$、つまり $\theta=\dfrac{4}{3}\pi$ の点 $\left(\dfrac52,-\dfrac{5\sqrt3}{2}\right)$ は下側にあり、弧に入っています。値は $5-10=-5$。

最短で行くには「東へ5回・北へ4回」を並べるだけ。9回のうち北を4回選ぶので、

Qは「東2・北2」の地点。A→Qは $\binom42=6$ 通り、Q→B（東3・北2）は $\binom52=10$ 通り。通る点で区切って掛けると、

「通らない」は直接数えず、全体から引く。区画QRを通る道順と、区画RSを通る道順を求め、重なりを調整します（包除原理）。

東と北だけで進む道順が、途中で1回だけ西へ1区画戻ります。戻る前後で分けて数えます。戻る地点を $(2,y)$（$y=1,2,3$：P・Q・R）とすると、手前はAから $(2,y)$ まで、その先は戻った後の $(1,y)$ からBまで（東と北だけ）。

戻る地点を「$x=k$ の道の、高さ $y$」とします（$k=1,\dots,5,\ y=0,\dots,4$）。(4-1)と同じく「手前」×「その先」を、すべての $(k,y)$ について足し合わせます。

表を書くと、どの列の合計も 330（組合せの恒等式で $\binom{11}{4}=330$）。5列で $330\times5=1650$ 通りです。

ただし問題は「Bには1度だけ到達する」。表の赤いマス（$k=5,y=4$）は、Bまで行ってから西へ戻り、また東へ進んでBに着く道順で、Bに2度着くので除きます。その数は A→B の $\binom95=126$ 通り。

$g'(x)=\tan x,\ g(0)=0$ より、$g(x)=-\log\cos x$（$-\dfrac{\pi}{2}<x<\dfrac{\pi}{2}$ では $\cos x>0$）。ただし、(1)〜(3)の導関数を作る段階では $g'(x)=\tan x$ をそのまま使えばよく、$g$ の中身は極値の値を出すときまで不要です。

$(\tan x)'=\sec^2x=1+\tan^2x$ なので、(i)の式を微分すると

$x=0$ では $\tan0=0,\ \sec^20=1$。$x=\dfrac{\pi}{4}$ では $\tan=1,\ \sec^2=2$。

$t=\tan x$ とおくと、$\sec^2x=1+t^2$ なので

(1)より $t=1$ が解なので $(t-1)$ で割ります。

残りの2次式の判別式は $16-4(1+\sqrt3)(\sqrt3-3)=16+8\sqrt3=4(1+\sqrt3)^2$ で、平方になります。解は

$\tan\dfrac{\pi}{12}=2-\sqrt3$、$\tan\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\sqrt3$。よって $f'(x)=0$ となる $x$ は $-\dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{\pi}{12},\ \dfrac{\pi}{4}$ の3つ。

符号：$f'=(1+\sqrt3)(t-1)(t-2+\sqrt3)(t+\sqrt3)$ で、$\tan x$ は単調に増えるので $t$ の順に並べるだけ。

極小は $x=-\dfrac{\pi}{3}$ と $x=\dfrac{\pi}{4}$ の2か所（エ/オ＝1/3、サ/シ＝1/4）、極大は $x=\dfrac{\pi}{12}$。値は $g(x)=-\log\cos x$ で計算します。

$x=-\dfrac{\pi}{3}$：$\tan=-\sqrt3,\ \tan^2=3,\ \cos=\dfrac12$ なので $g=\log2$。

$x=\dfrac{\pi}{4}$：$\tan=1,\ \cos=\dfrac{\sqrt2}{2}$ なので $g=-\log\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac12\log2$。

極大は $x=\dfrac{\pi}{12}$（チ/ツテ＝1/12）。$\tan=2-\sqrt3,\ \tan^2=7-4\sqrt3$。

$\cos\dfrac{\pi}{12}=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac12\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}+\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$。$-8g=8\log\cos\dfrac{\pi}{12}$ なので、