東京慈恵会医科大学
医学部 物理
2024年度 解答・解説

① 代入する。$x=r\cos\alpha,\ y=r\sin\alpha,\ v_x=v\cos\beta,\ v_y=v\sin\beta$ を $J=m(xv_y-yv_x)$ に入れます。

② 面積と結びつける。$\vec r$ と $\vec v$ を2辺とする平行四辺形の面積は $rv\,|\sin(\beta-\alpha)|=|J|/m$。ケプラーの第2法則（面積速度一定）は、$|J|$ が変わらないという主張になります。

③ 正負の意味。$\sin(\beta-\alpha)>0$ は、速度の向き $\beta$ が位置ベクトルの向き $\alpha$ より反時計回り側にあること。つまり $J>0$ は、小球が原点のまわりを反時計回りに回っていることを表し、$J<0$ なら時計回りです。

① $\Delta t$ 後の $J$ を作る。$\Delta t$ 後の位置は $(x+v_x\Delta t,\ y+v_y\Delta t)$、速度は $\left(v_x+\dfrac{F_x}{m}\Delta t,\ v_y+\dfrac{F_y}{m}\Delta t\right)$ です。これを $J=m(xv_y-yv_x)$ に入れます。

② 打ち消し合う項を見つける。$mv_xv_y\Delta t$ の項が2つ、符号が逆で消えます。$\Delta t^2$ 以上の項は $\Delta t\to0$ で落ちます。

③ 保存の条件。$J$ が保存されるのは $xF_y-yF_x=0$、すなわち $\dfrac{F_x}{x}=\dfrac{F_y}{y}$ のとき。これは力 $\vec F$ が位置ベクトル $\vec r$ と平行（つねに原点に向かう、または原点から遠ざかる向き）であることを意味します。$\vec F=\vec 0$ のときも成り立ちます。太陽の重力のような中心力では、角運動量が保存し、面積速度が一定になります。

速さは $v=R\omega$。反時計回りの円運動では、速度は位置ベクトルより $90^\circ$ だけ反時計回り側を向いているので、問1の式で $\beta-\alpha=\dfrac{\pi}{2}$。

運動エネルギーは $K=\dfrac12mv^2=\dfrac12mR^2\omega^2$。問3より $\omega=\dfrac{J}{mR^2}$ を代入します。

ア。量子論では、角周波数（角速度）$\omega$ の光子1個のエネルギーは $\hbar\omega=\dfrac{h}{2\pi}\omega$。振動数 $\nu=\dfrac{\omega}{2\pi}$ を $h\nu$ に入れた形と同じです。

イ。$J$ が $\Delta J$ だけ減ったとき、エネルギー $K=\dfrac{J^2}{2mR^2}$ の減少を、$\Delta J$ の1次までで書きます。

失うエネルギーは $\Delta J\times\omega$ で、$R$ や $m$ には関係しません（イ $=\omega$）。

ウ。光子放出の前後でエネルギーと角運動量が保存されるなら、失ったエネルギー $\omega\Delta J$ が光子のエネルギー $\dfrac{h}{2\pi}\omega$ に等しい。

光子1個が持ち去る角運動量の大きさは $\dfrac{h}{2\pi}$（ウ）。$R$ や $m$ には無関係です。

① 何が動いているか。コイルを動かすと、導線中の自由電子もコイルといっしょに速度 $\vec u$ で動きます。磁場の中を速度 $\vec u$ で動く電荷 $-e$ には、ローレンツ力 $-e\,\vec u\times\vec B$ がはたらきます。

② 起電力の正体。この力が電子を導線に沿って動かす向きの成分をもてば、電子は導線に沿って運ばれます。単位電荷あたりの力を導線に沿って1周ぶん足し合わせたものが起電力です。

③ 材質によらない理由。力 $-e\,\vec u\times\vec B$ は、「電子が動く速度」と「磁場」だけで決まり、導線が何でできているかを表す量（抵抗率や電子の数など）が入っていません。単位電荷あたりの力 $\vec u\times\vec B$ から起電力が決まるので、起電力は材質に無関係です（流れる電流の大きさは抵抗で変わります）。

① ローレンツ力は使えない。コイルは動かないので電子は静止しており、ローレンツ力 $q\vec v\times\vec B$ は $\vec v=\vec0$ で0になります。問題文でも、これは前提として述べられています。

② 代わりに電場。磁石を動かすと、コイルの位置の磁場が時間変化します。時間変化する磁場は、導線のまわりに渦を巻く電場（誘導電場）をつくります。この電場が、静止している電子に力 $-e\vec E$ を及ぼします。

③ 材質によらない理由。起電力は、単位電荷あたりの力 $\vec E$ を導線に沿って足し合わせたもの $\oint\vec E\cdot d\vec l$ です。誘導電場は、磁場の時間変化だけで決まる量で、導線の材質に関係しません。したがって起電力も材質によりません。

① 電場による力。電場は $y$ 軸正の向きで強さ $E$ なので、力は $(0,\ qE)$。

② ローレンツ力。磁束密度は $z$ 軸正の向きで大きさ $B$、つまり $(0,0,B)$。速度 $(v_x,v_y,0)$ との外積を作ります。

これに $q$ をかけて、電場の力と足します。

① 観測者Sから見る。$x$ 軸正の向きに速さ $V$ で動く観測者から見ると、粒子の速度は $(v_x-V,\ v_y)$。問1の力は、この速度で書き直せます。

② $V=E/B$ とおく。$V=\dfrac{E}{B}$ のとき $F_y=-qB(v_x-V)$ となり、Sから見た速度 $(v_x-V,\ v_y)$ の成分だけで力が書けて、電場の項が消えた「磁場だけの運動方程式」と同じ形になります。この形は、磁場中の円運動に対応します。

① 磁場中の円運動の式。Sから見た粒子は、$z$ 軸正向きの磁場の中を、速さ $u$ の等速円運動をします。向心力がローレンツ力です。

② 回る向き（符号）。$q>0$ で磁場が $+z$ 向きのとき、磁場による力は問1より $(qBv_y,\ -qBv_x)$ なので、速度が $+x$ 向きなら力は $-y$ 向き。右へ進みながら下へ曲がるので、$z$ 軸の正の側から見て時計回りです。反時計回りを正としているので、$\omega$ は負になります。

① Sから見た速度。時刻0で粒子は地面系で静止しているので、Sから見た速度は $(0-V,\ 0)=(-V,\ 0)$。ここから、角速度 $\omega$ の等速円運動を始めます。Sから見た速度を $(u_x,u_y)=(v_x-V,\ v_y)$ とおくと、問2の形から運動方程式は次のようになります。

初期条件 $(u_x,u_y)=(-V,0)$ を満たす解は、速度ベクトルが角度 $\omega t$ だけ回る形です。

代入して確かめます：$\dfrac{du_x}{dt}=V\omega\sin\omega t=-\omega u_y$、$\dfrac{du_y}{dt}=-V\omega\cos\omega t=\omega u_x$ で、両方の式を満たします。

② 地面系の速度。$v_x=u_x+V$ と $v_y=u_y$ に戻します。

③ 位置。$t=0$ で原点なので、時間で積分します（$\omega<0$ のままで構いません）。

積分の確認：$\dfrac{d}{dt}\left[\dfrac V\omega(\omega t-\sin\omega t)\right]=V(1-\cos\omega t)$、$\dfrac{d}{dt}\left[-\dfrac V\omega(1-\cos\omega t)\right]=-V\sin\omega t$ で、速度と合っています。粒子は、全体としては $x$ 軸正の向きに進みながら円を描くサイクロイド曲線を描きます。

考え方：Iでは、「コイルを動かす」と「磁石を動かす」で、起電力という同じ結果が出るのに、説明はローレンツ力（磁場）と誘導電場（電場）で別々でした。IIでは、観測者Sから見ると電場が消えて磁場だけになりました。どちらも、電場と磁場の区別が観測者の立場で変わるという共通点があります。

考え方：ファラデーの法則は、コイルとその縁にかける曲面を自由に選んでよいと言っています。もし磁束が曲面の形によって変わるなら、同じコイルに対して起電力が2通りに決まってしまいます。つまり、同じ縁をもつどの曲面を取っても、貫く磁束は等しいことが必要です。

閉曲面に応用する。閉曲面を、縁（閉じた曲線）で2つの曲面 $S_1,S_2$ に分けます。$S_1$ と $S_2$ は同じ縁をもつので、貫く磁束は等しい（向きをそろえると）。閉曲面全体では、外向きに数えた磁束は $S_1$ の分と $S_2$ の分で打ち消し合います。

ガウスの法則との対応。電場のガウスの法則は、閉曲面を貫く電束が内部の総電気量に比例すると述べます。ここで電場を磁束密度に置き換えると、右辺は総磁気量になり、それが0であるということです。真空中に単独で置かれた物体がもつ総磁気量は0、つまりN極だけ、S極だけの物体（磁気単極子）は存在しないことになります。