問題文は掲載できませんが、
解説を読むだけでどんな問題かもわかる！
さらに、そっくり類題PDFを見れば、実際の問題イメージもわかるよ!
各小問を「どういう問題か」から説明し、途中式を1行も飛ばさずに解説。最後に、本番と同じ3大問の構成で作ったそっくり類題セット（全問解答つき）で、慶應2026を丸ごと演習できます。
📌 このページの使い方
※ 著作権に配慮し、入試問題の本文・図は掲載していません。問題の設定や問われている内容は、TMPSの言葉で説明しています。解答欄の記号【ア】などは、本番の解答欄との対応を示すためのものです。
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時間はTMPSの目安です（本番は理科2科目で120分。物理に60分を使う想定）。解く順番と「捨てどころ」をセットで覚えておきましょう。
記号は本番の解答欄に対応しています。先に解いてから開いてください。
問1
問2
問3
問4
問1・問2
問3（重力下の羽根つき）
問4（磁場中・弾性衝突）
問5
問1・問2
問3
問4
※ 答えはTMPSが自力で導き、記号計算と数値シミュレーションで検算したものです（公開されている解答は参照していません）。
採点したら → 30秒の得点診断へ独立した4つの小問。熱力学・音のドップラー効果とうなり・正弦波の式・原子核の崩壊。
熱機関・熱力学第1法則・気体の内部エネルギーを、それぞれ記号だけで答える問題。
熱効率は「もらった熱のうち、仕事に変えられた割合」。もらった熱は $Q_1$ なので
指定された文字が $Q_1,W$ なので、$\dfrac{W}{Q_1}$ と答える。1サイクルで $W=Q_1-Q_2$ なので後ろの形と同じ。
(b) 第1法則吸収した熱は「内部エネルギーを増やす分」と「外へ仕事をする分」に分かれる。
体積が変わらないので気体は仕事をしない（$W=0$）。吸った熱がすべて内部エネルギーに変わる。定積モル比熱の定義より
内部エネルギーは温度だけで決まる（理想気体）ので、この式は定積でなくても成り立つ。ほかの小問でも使える。
ドップラー効果を2回使って、うなりの回数を求める問題。
観測者は音源の後ろにいるので、音源は観測者から遠ざかる。波長が伸びて、振動数は低くなる。
反射板は音源の前方にあるので、反射板が受け取る音は音源が近づく向き。静止した反射板は、受け取った振動数のまま反射する（反射板が観測者に対して動かないので、戻る途中でもう変化しない）。
うなりの回数は2つの振動数の差。
検算：$v\to0$ なら音源は止まって2つの音は同じになり、うなりは0。式も $v\to0$ で0になる。
x軸の正の向きに進む正弦波の式 $y=A\sin(\text{【ア】}\,t-\text{【イ】}\,x)$ の空欄を、周期 $T$ と速さ $v$ で埋める問題。
位置を固定して時間だけ動かすと、周期 $T$ で1回振動する。
波が速さ $v$ で進む条件は、位相 $\omega t-kx$ が一定になる点が速さ $\dfrac{\omega}{k}$ で動くこと。よって $\dfrac{\omega}{k}=v$。
波長 $\lambda=vT$ を使うと $k=\dfrac{2\pi}{\lambda}$。見慣れた形と同じ。
質量数と原子番号の保存から、α崩壊とβ崩壊の回数を求める問題。
α崩壊で質量数は4減り、β崩壊では変わらない。
α崩壊1回で原子番号は2減り、β崩壊1回で1増える。β崩壊を $b$ 回とすると
円運動・衝突の基本問題 → 重力下の羽根つき（漸化式と極限）→ 磁場中の羽根つき（半円の連鎖）→ 多数の質点の平均。
円運動の「道のり」ではなく「始点と終点の距離」から作る平均の速さを求める問題。
半周すると始点と終点は円の直径の両端なので、直線距離は $2r$。かかる時間は、道のり $\pi r$ を速さ $V$ で割って $\dfrac{\pi r}{V}$。
$r$ が約分で消えるのがポイント。この結果は問5(g)でそのまま使う（半円の連鎖の平均の速さ）。
運動量保存から、衝突で失われた運動エネルギーを式にする問題。
$m$ の側は速さが $V$ のままなので、その運動エネルギーは打ち消し合う。残るのは $M$ の側だけ。
$v-v'=\dfrac{2mV}{M}$、$v+v'=2v-\dfrac{2mV}{M}$ を代入して
一定の速さで上向きに通過する羽子板で、質点を打ち上げ続ける問題。ここからが「羽根つき」の本編。
羽子板に乗ると、静止している質点は速さ $v$ で下向きに近づく。衝突後は速さ $ev$ で上向きに離れる。地面から見ると、羽子板の速さ $v$ がさらに足される。
$n$ 回目に打ち上げられた質点は、重力でいったん止まって同じ速さ $V_n$ で戻ってくる（エネルギー保存）。羽子板の系では $v+V_n$ で近づき、$e(v+V_n)$ で離れる。地面系に直して
$n\to\infty$ で $V_n,V_{n+1}$ がともに $V_\infty$ に近づくと、漸化式から
十分大きな $n$ では、質点は毎回速さ $V_\infty$ で下向きに衝突し、速さ $V_\infty$ で上向きに戻る。これは問2で「質点の速度が $-V\to+V$」に変わった状況と同じ。問2の結果で $V=V_\infty$ とし、$M\gg m$ なので $\dfrac{mV}{M}$ の項を捨てると
「問2の結果を問3(d)で使う」のが出題の構造。問2を飛ばして(d)から解くと時間が溶ける。
磁場の中では、質点は羽子板から離れたあと半円を描いて戻ってくる。その半径と軌跡を答える問題。
磁場中の円運動では、向心力が磁場からの力なので
半円を回って $y=0$ に戻ってくる質点の速さは、出発したときと同じ（磁場は仕事をしない）。羽子板の系で近づく速さが $v+$（質点の速さ）なので、弾性衝突後の速さは前の速さ＋$2v$ になる。
半径は速さに比例するので、半径も $1:2:3:\cdots$ と等差数列で増える（倍々ではない）。$\mathrm C_1$ の半径を2マスとすると、続く半円の半径は 4, 6, 8, … マス。
半円は直径ぶんだけ右へずれていくので、$y=0$ を横切る位置は $4\to12\to24\to\cdots$（$2n(n+1)$ マス）。
質点を原点から供給し続け、右の回収器で回収する定常状態で、平均の量を求める問題。
各質点は速さ $V_\infty$ で入射し、非弾性衝突のあとも速さ $V_\infty$ で戻る（問3(c)の不動点）ので、毎回同じ半径の半円を描く。問1より右向きの平均の速さは $\dfrac{2V_\infty}{\pi}$。単位時間に領域を通過する個数は「単位長さあたりの個数 $\times$ 平均の速さ」なので
1回の衝突で質点の運動量は $V_\infty$ 下向き → $V_\infty$ 上向きと変わるので、羽子板が受ける力積の大きさは $2mV_\infty$。
半円1つ分（半周期）の時間は、磁場中の円運動の周期 $\dfrac{2\pi m}{QB}$ の半分で $\dfrac{\pi m}{QB}$。質点の速さによらない。領域内の質点は全部で $NL$ 個、それぞれが半周期ごとに1回衝突するので、単位時間の衝突回数は $\dfrac{NL\,QB}{\pi m}$。
電流 $I$ が磁場 $B$ の中で長さ $L$ にわたって流れるときの力 $ILB$ と同じ形になる。質点の流れを「電流」と見なせば、羽子板が受ける力は電流が磁場から受ける力に等しい、という物理的な読みが答えを保証する。
平行板コンデンサーの容量 → RC直列交流回路 → 極板間隔が揺れるマイクロフォン → 設計条件。
面積 $S$、間隔 $d_0$ の平行板コンデンサーの電気容量を答える基本問題。
以後、$d_0$ が出てきたら $\dfrac{\varepsilon_0S}{d_0}=C_0$ と読み替える。問3の式変形でこれを使う。
交流電源・抵抗 $R$・コンデンサー $C_0$ の直列回路で、電流の大きさ・位相・周波数依存性を求める問題。
【ア】$=R$、【イ】$=\dfrac{1}{C_0}$。
(b) インピーダンスと位相十分に時間がたった定常状態では、電流も角周波数 $\omega$ で振動する。コンデンサーのリアクタンスは $\dfrac{1}{\omega C_0}$ なので、抵抗とのベクトル和（直角三角形）として
$\alpha>0$ なので、電流は電源電圧より位相が進む（コンデンサーの典型）。
(c) 電流の振幅のグラフ$\dfrac{V_0}{Z}=\dfrac{V_0}{\sqrt{R^2+1/(\omega C_0)^2}}$ を端で調べる。
分母の $\dfrac{1}{\omega C_0}$ は $\omega$ とともに単調に減るので、振幅は原点から単調に増加し、$\dfrac{V_0}{R}$ に近づくだけで超えない曲線。
極板間隔 $D(t)=d_0+d\sin(\omega t)$ で振動するコンデンサーを直流電源 $V$ と抵抗 $R$ につなぐ。電荷 $Q$ を微小量 $d$ の1次式で近似して解く問題。
コンデンサーの電圧は $\dfrac{Q}{C(t)}$ なので
（$C_0=\dfrac{\varepsilon_0S}{d_0}$ より $\dfrac{1}{\varepsilon_0S}=\dfrac{1}{C_0d_0}$。）これと $Q=q_0+q_1d$ を代入して $d^2$ の項を捨てる。
よって【エ】$=\dfrac{1}{C_0}$、【オ】$=\dfrac{\sin\omega t}{C_0d_0}$。
任意の微小量 $d$ で成り立つには $A_0=A_1=0$。$A_0=0$ で、十分時間がたつと電荷が変化しなくなる（$\Delta q_0/\Delta t=0$）ので
$A_1=0$ に $q_0=C_0V$ を代入すると、$q_1$ の式の最後の項は
$q_1$ の式は、$0=R\dfrac{\Delta q_1}{\Delta t}+\dfrac{q_1}{C_0}+\dfrac{V\sin\omega t}{d_0}$、つまり
これは問2(a)の式で $V_0\to-\dfrac{V}{d_0}$ としたものと同じ。したがって問2(b)の結果を借りて、電流に相当する $\dfrac{\Delta q_1}{\Delta t}$ は
全電流は $I=\dfrac{\Delta Q}{\Delta t}=\dfrac{\Delta q_0}{\Delta t}+d\dfrac{\Delta q_1}{\Delta t}=d\dfrac{\Delta q_1}{\Delta t}$（$q_0$ は一定）。抵抗の電圧の大きさは
振幅だけでなく時間変化 $|\sin(\omega t+\alpha)|$ まで答えるのが完全な答え。振幅 $\dfrac{RVd}{d_0Z}$ だけだと未完成になる。
問3の回路を、音を電気信号に変える装置（マイクロフォン）として使うときの設計条件を考察する問題。
これは問2(c)のグラフと同じ形（$\omega$ について単調増加で、上限 1）。$\omega RC_0\gg1$ なら 1 に十分近く、周波数によらず一定になる。
STEP 2 一番厳しい周波数$\omega$ が最小の $20\,\mathrm{Hz}$ でも成り立てばよい。
逆に低周波が落ちるのは $RC_0$ が小さいとき（たとえば $RC_0=8\,\mathrm{ms}$ なら $20\,\mathrm{Hz}$ の出力は約0.71倍に減る）。
2026年度の本番と同じ3大問・同じ小問構成で、数値や設定を変えたTMPSオリジナル問題です。本番の出題イメージをつかみながら、初見の問題として60分で演習できます。
印刷して本番と同じように60分で解けます。解答・解説はこのページの下に掲載しています。
※ 慶應義塾大学の入試問題ではありません。問題文・図・解答はすべてTMPS医学館が作成したものです。
問1
(a) 冷凍機（エアコンの冷房）が1回のサイクルで、低温の熱源から熱量 $Q_2$ を吸収し、高温の熱源へ熱量 $Q_1$ を放出した。この間に外部から冷凍機にされた仕事を $W$ とする。この冷凍機の成績係数 $K=\dfrac{Q_2}{W}$ を、$Q_1,\ Q_2$ を用いて答えよ。
(b) ある物体が熱源へ熱量 $Q$ を放出し、外部から仕事 $W'$ をされた。このとき、この物体の内部エネルギーの変化量 $\Delta U$ を $Q,\ W'$ を用いて答えよ。
(c) 気体（物質量 $n$、定圧モル比熱 $C_P$、気体定数 $R$）の圧力を一定に保ち、温度を $\Delta T$ だけ上昇させた。このとき、この気体の内部エネルギーの変化量 $\Delta U$ を $n,\ C_P,\ R,\ \Delta T$ を用いて答えよ。
問2 音速を $V\,[\mathrm{m/s}]$ とする。図1のように、静止した音源 S（振動数 $f\,[\mathrm{Hz}]$）と静止した観測者、および音源に向かって速さ $u\,[\mathrm{m/s}]$（ただし $u 問3 媒質の変位 $y$、振幅 $A$、時間 $t$、波長 $\lambda$、速さ $v$ で $x$ 軸の負の向きに伝わる正弦波の式 $y=A\sin(\,\text{【ア】}\,t+\text{【イ】}\,x\,)$ における【ア】、【イ】にあてはまる適切な式を答えよ。 問4 ${}^{232}_{\ 90}\mathrm{Th}$ が $\alpha$ 崩壊と $\beta$ 崩壊をくり返して ${}^{208}_{\ 82}\mathrm{Pb}$ になった。$\alpha$ 崩壊と $\beta$ 崩壊の回数を答えよ。
問1 (a) 冷凍機の1サイクルで $Q_1=Q_2+W$ なので $W=Q_1-Q_2$。よって $K=\dfrac{Q_2}{Q_1-Q_2}$。(b) 放熱 $Q$、された仕事 $W'$ なので $\Delta U=W'-Q$。(c) 定圧変化で吸う熱は $nC_P\Delta T$、気体がする仕事は $nR\Delta T$。$\Delta U=nC_P\Delta T-nR\Delta T=n(C_P-R)\Delta T$（マイヤーの関係 $C_V=C_P-R$ と同じ）。
問2 反射板を「観測者」としてドップラー効果を使うと、受け取る振動数は $\dfrac{V+u}{V}f$。反射板はこの振動数の「音源」として速さ $u$ で観測者側へ近づくので、観測者が聞く反射音は
直接音は $f$ のままなので、うなりは $f_2-f=\dfrac{2u}{V-u}f$。
問3 負の向きに進む波は位相が $\omega t+kx$ で、$\dfrac{\omega}{k}=v$、$k=\dfrac{2\pi}{\lambda}$。よって【ア】$=\dfrac{2\pi v}{\lambda}$、【イ】$=\dfrac{2\pi}{\lambda}$。
問4 質量数 $\dfrac{232-208}{4}=6$ 回（α）。原子番号 $90-12+b=82$ より $b=4$ 回（β）。
問1 ある物体が半径 $r$ の円軌道上を一定の速さ $V$ で $\dfrac14$ 周運動した。平均の速さ（始点と終点を結ぶ直線距離を、この運動に要した時間で割った値）を、$r,\ V$ のうち必要なものを用いて答えよ（図2）。
問2 直線上の完全非弾性衝突を考える。質量 $M$ で速度 $v\ (v>0)$ の物体と、質量 $m$ で速度 $-V\ (V>0)$ の物体が衝突して一体となった。この衝突で失われた運動エネルギー（衝突前の全運動エネルギー − 衝突後の全運動エネルギー）は $\dfrac12\times\text{【ア】}\times(v+V)^2$ となる。【ア】にあてはまる適切な式を $m,\ M$ を用いて答えよ。
質量 $m$ の質点を羽子板で打ち上げ続ける「羽根つき」を考える。羽子板は面を $y$ 軸に垂直に保ち、$y=0$ の位置を $y$ 軸の正の向きに一定の速さ $v$ で通過し続ける。質点が $y=0$ に来るたびに、羽子板とちょうど $y=0$ で衝突する。羽子板は質点より十分に重く、その速度は衝突によって変わらないとしてよい。質点と羽子板のはね返り係数を $e\ (0 問3 鉛直上向きに $y$ 軸をとり、重力加速度の大きさを $g$ とする（図3）。 (a) 質点が下向きの速さ $u$ で $y=0$ に達し、羽子板と衝突した。衝突直後の質点の速さ $V_1$ を $e,\ v,\ u$ を用いて答えよ。 (b) (a) の衝突のあと、質点は重力によって運動し、再び $y=0$ に戻って羽子板に打ち返される。この操作がくり返されるとして、$n$ 回目の衝突直後の質点の速さを $V_n$ とする。$n$ 回目の衝突から $(n+1)$ 回目の衝突までの時間 $T_n$ を $g,\ V_n$ を用いて、また $V_{n+1}$ を $e,\ v,\ V_n$ を用いて答えよ。 (c) $n$ が無限大のときの $V_n$ の極限値 $V_\infty$ を、$e,\ v$ を用いて答えよ。 (d) $n$ が十分大きいとき、衝突直後の質点が達する最高点の高さ $h$ を、$g,\ e,\ v$ を用いて答えよ。 以下では重力を無視し、$xyz$ 直交座標で表される空間に、$z$ 軸の負の向きに磁束密度 $B\ (B>0)$ の磁場があるものとする（図4）。質点の質量は $m$、電荷は $Q\ (Q>0)$ で、電荷は磁場との相互作用を通してのみ質点の運動に影響する。羽子板、質点供給器、質点回収器は電場も磁場も生じない。羽子板と質点のはね返り係数は、以下では $e=\dfrac12$ とする。 問4 (e) 原点に静止していた質点が、羽子板と衝突した。衝突後、質点は $y\geqq0$ の領域で円軌道（半円）を描いた。この軌道を $\mathrm{C}_1$ 軌道と呼ぶ。$\mathrm{C}_1$ 軌道の半径を $m,\ Q,\ v,\ B$ を用いて答えよ。 (f) 質点は $y=0$ 面を横切るたびに羽子板と衝突をくり返す。下の方眼には $\mathrm{C}_1$ 軌道（半径2マス）が描かれている。$\mathrm{C}_1$ 軌道のあとの質点の軌道を、方眼に描け。ただし、描く半円の半径は、方眼で読み取れるように（マスの数で）示すこと。 問5 質点供給器を原点に置き、質点が供給され続ける磁場中の羽根つきを考える（図5）。質点供給器は、原点から $y$ 軸の負の向きに速さ $V_\infty$ で、単位時間に $J$ 個の割合で一定間隔に質点を射出する。質点回収器は $x=-L$ で質点を回収する。$V_\infty$ は問3(c)で求めた速さ、はね返り係数は上と同じ $e=\dfrac12$ とする。質点どうしに力は働かず、羽子板の長さは $L$ より十分に長く、$L$ は円軌道の半径より十分に大きいとする。 (g) 羽根つきが行われる領域 $-L\leqq x\leqq 0$ に存在する質点の個数の時間平均 $N$ を、問1を参考にして $J,\ L,\ V_\infty$ を用いて答えよ。 (h) 羽子板が、この領域のすべての質点から受ける力の時間平均の大きさを、$m,\ Q,\ J,\ v,\ B,\ L$ のうち必要なものを用いて答えよ。
問1 $\dfrac14$ 周の弦の長さは $\sqrt2\,r$、かかる時間は $\dfrac{\pi r}{2V}$。平均の速さは $\dfrac{\sqrt2\,r}{\pi r/(2V)}=\dfrac{2\sqrt2\,V}{\pi}$。
問2 衝突後の速度は $\dfrac{Mv-mV}{M+m}$。エネルギーの差を整理すると $\dfrac12\cdot\dfrac{Mm}{M+m}(v+V)^2$ となるので【ア】$=\dfrac{Mm}{M+m}$（換算質量×相対速度²の形）。
問3 (a) 羽子板の系で近づく速さは $v+u$、離れる速さは $e(v+u)$。地面系で $V_1=v+e(v+u)=(1+e)v+eu$。
(b) 打ち上げ速さ $V_n$ で戻るまでの時間は $T_n=\dfrac{2V_n}{g}$。戻ってきた質点の速さは $V_n$ なので $V_{n+1}=(1+e)v+eV_n$。(c) $V_\infty=(1+e)v+eV_\infty$ より $V_\infty=\dfrac{(1+e)v}{1-e}$。(d) $h=\dfrac{V_\infty^2}{2g}=\dfrac{(1+e)^2v^2}{2g(1-e)^2}$。
問4 (e) 衝突後の速さは $V_1=(1+e)v=\dfrac32v$。半径 $r_1=\dfrac{mV_1}{QB}=\dfrac{3mv}{2QB}$。
(f) $z$ 軸の負の向きの磁場で $Q>0$ なので、質点は$-x$ の向きに半円を描く（解答欄の方眼は原点が右端にある）。各半円の速さは $V_{n+1}=\tfrac32v+\tfrac12V_n$（$V_1=\tfrac32v$）なので、$V_1:V_2:V_3:\cdots=1.5:2.25:2.625:\cdots$。$\mathrm C_1$ を2マスとすると半径は 2, 3, 3.5, 3.75, … マス（増え方は半分ずつになり、4マスに近づく）。着地点は原点から左へ $4,\ 10,\ 17,\ 24.5,\ \dots$ マス。
問5 (g) 1個の質点が領域 $L$ にいる時間は、問1と同じ見方で「$L\div$ 平均の速さ」。1つの半円の平均の速さは $\dfrac{2V_\infty}{\pi}$ なので、供給率 $J$ との積から $N=J\times\dfrac{L}{2V_\infty/\pi}=\dfrac{\pi JL}{2V_\infty}$。
(h) 1回の衝突の力積は $2mV_\infty$、半周期は $\dfrac{\pi m}{QB}$。領域内の質点 $N$ 個がそれぞれ半周期ごとに衝突するので
平行板コンデンサに関する次の問いに答えよ。真空の誘電率を $\varepsilon_0$ とし、コンデンサの端の効果は無視する。$\Delta t$ を微小な時間とし、その間の関数 $f(t)$ の変化を $\Delta f(t)$ と書く。
問1 面積 $S_0$ の2枚の極板を間隔 $d_0$ で平行に置き、その間を比誘電率 $\varepsilon_r$ の誘電体で満たした。このコンデンサの電気容量 $C_0$ を $\varepsilon_0,\ \varepsilon_r,\ S_0,\ d_0$ を用いて答えよ。以後、この電気容量を $C_0$ とする。
問2 図6のように、電圧の最大値 $V_0$、角周波数 $\omega$ の交流電源、抵抗値 $R$ の抵抗、電気容量 $C_0$ のコンデンサを直列に接続した。電流は図の矢印の向きを正とし、電源電圧は矢印の向きに電流を流そうとする向きを正として $V(t)=V_0\sin(\omega t)$ とする。
(a) 時刻 $t$ にコンデンサに蓄えられた電荷を $Q(t)$ とすると、キルヒホッフの第2法則から $V_0\sin(\omega t)=\text{【ア】}\dfrac{\Delta Q(t)}{\Delta t}+\text{【イ】}Q(t)$ となる。【ア】、【イ】を $t,\ \omega,\ V_0,\ R,\ C_0$ のうち必要なものを用いて答えよ。
(b) 十分に時間が経ったとき、抵抗を流れる電流は $I(t)=\dfrac{V_0}{Z}\sin(\omega t+\alpha)$ と表せる。$Z$ と $\tan\alpha$ を、$\omega,\ V_0,\ R,\ C_0$ のうち必要なものを用いて答えよ。
(c) コンデンサの両端の電圧の振幅 $V_C$ の、$\omega$ への依存性の概形を、解答欄のグラフに図示せよ（横軸 $\omega$、縦軸 $V_C$）。
問3 $d_0$ を一定に保ったまま、右側の極板を上下にずらして極板が重なる面積を $S(t)=S_0\bigl(1+\eta\sin\omega t\bigr)$ のように時間変化させる（$\eta$ は $1$ より十分小さい正の定数）。このコンデンサを図7のように、電圧 $V$ の直流電源と抵抗値 $R$ の抵抗に接続した。時刻 $t$ の電気容量を $C(t)$ とし、蓄えられた電荷 $Q(t)$ は、コンデンサの両端の電位差と $C(t)$ の積とする。電流 $I$ は図の矢印の向きを正とする。
(d) キルヒホッフの第2法則から $V=\text{【ア】}\dfrac{\Delta Q(t)}{\Delta t}+\text{【ウ】}Q(t)\ \cdots(1)$ となる。【ウ】を $t,\ \omega,\ V,\ R,\ C(t)$ のうち必要なものを用いて答えよ。ただし【ア】は問2(a)と同じ式である。
$Q(t)$ を $\eta$ の1次式 $Q(t)=q_0(t)+q_1(t)\,\eta\ \cdots(2)$ で近似して(1)式を解こう。ここで $q_0(t),\ q_1(t)$ は時間の関数で、$\eta$ に依存しない。(1)式に(2)式を代入して $\eta$ のべきでまとめ、$\eta^2$ 以上の項は十分に小さいとして無視すると $0=A_0+A_1\eta\ \cdots(3)$ が得られる。ここで $A_0,\ A_1$ は $\eta$ を含まない式であり
となる（必要なら、$|x|\ll1$ のとき $\dfrac{1}{1+x}\fallingdotseq1-x$ を用いてよい）。(3)式が任意の微小量 $\eta$ で成り立つには $A_0=A_1=0$ でなければならない。$A_0=0$ より、十分に時間が経過したあとは $q_0(t)=\text{【カ】}$ となる。以後の計算では $q_0(t)=\text{【カ】}$ とおく。同様に $A_1=0$ より、十分に時間が経過したあとの $q_1(t)$ は $0=\text{【ア】}\dfrac{\Delta q_1(t)}{\Delta t}+\text{【エ】}q_1(t)+\text{【キ】}$ を満たす。
(e) 【エ】〜【キ】を $t,\ \omega,\ V,\ R,\ C_0$ のうち必要なものを用いて答えよ。
(f) 回路をつないで十分に時間が経過したあとの、抵抗に生じる電圧の大きさ $|V_R(t)|$ を、問2を参考にして $t,\ \omega,\ V,\ R,\ C_0,\ \eta$ のうち必要なものを用いて答えよ。
問4 問3の回路は、音波で極板を動かして電圧に変換するマイクロフォンとして使える。出力は抵抗に生じる電圧である。人間の可聴周波数は $20\,\mathrm{Hz}$ から $20000\,\mathrm{Hz}$ である。$20\,\mathrm{Hz}$ の音に対しても、出力電圧の振幅が、$\omega RC_0\to\infty$ としたときの振幅の $90\,\%$ 以上になるようにしたい。$R$ と $C_0$ が満たすべき条件を、問2(c)も参考にして求めよ。数値で答える場合は $\sqrt{19}\fallingdotseq4.36$、$\pi\fallingdotseq3.14$ を用いてよい。
問1 $C_0=\dfrac{\varepsilon_r\varepsilon_0S_0}{d_0}$。
問2 (a) $V_0\sin\omega t=R\dfrac{\Delta Q}{\Delta t}+\dfrac{1}{C_0}Q$ より【ア】$=R$、【イ】$=\dfrac{1}{C_0}$。(b) $Z=\sqrt{R^2+\dfrac{1}{\omega^2C_0^2}}$、$\tan\alpha=\dfrac{1}{\omega C_0R}$。
(c) コンデンサの電圧の振幅は $V_C=\dfrac{I_0}{\omega C_0}=\dfrac{V_0}{\sqrt{1+(\omega RC_0)^2}}$。$\omega\to0$ で $V_0$（直流では電源電圧がそのままかかる）、$\omega\to\infty$ で 0 に近づく、単調に減少する曲線。（本番のグラフは電流の振幅で増加、類題はコンデンサ電圧で減少。向きが逆になる点に注意。）
問3 (d) 【ウ】$=\dfrac{1}{C(t)}$。(e) $C(t)=C_0(1+\eta\sin\omega t)$ なので、ヒントの近似から $\dfrac{1}{C(t)}\fallingdotseq\dfrac{1}{C_0}(1-\eta\sin\omega t)$。これを代入して $\eta^2$ を捨てると
よって【エ】$=\dfrac{1}{C_0}$、【オ】$=-\dfrac{\sin\omega t}{C_0}$。$A_0=0$ で【カ】$=C_0V$。したがって【キ】$=-\dfrac{\sin\omega t}{C_0}\cdot C_0V=-V\sin\omega t$。
(f) $q_1$ の式は $R\dfrac{\Delta q_1}{\Delta t}+\dfrac{q_1}{C_0}=V\sin\omega t$ で、問2(a)の $V_0$ を $V$ に置き換えたもの。よって $\dfrac{\Delta q_1}{\Delta t}=\dfrac{V}{Z}\sin(\omega t+\alpha)$。電流は $I=\eta\dfrac{\Delta q_1}{\Delta t}$ なので
問4 振幅は $\dfrac{R\eta V}{Z}=\eta V\cdot\dfrac{\omega RC_0}{\sqrt{1+(\omega RC_0)^2}}$。$\omega RC_0\to\infty$ のときの振幅は $\eta V$。$20\,\mathrm{Hz}$ で90%以上なら
20 Hz が最も条件が厳しく、それより高い周波数では自動的に満たされる。
本番の過去問、またはそっくり類題セットを60分で解いた結果を選んでください。次にやるべきことを表示します。
TMPSのおすすめは I → III → IIの問3まで → 見直し → IIの問4・問5 の順です。大問IIは問3(c)までを確実に取り、磁場中の作図と最後の力の見積もりは時間が残ったときに挑戦します。
分かります。著作権に配慮して問題本文・図は掲載していませんが、各小問の最初に「どういう問題か」として、設定・何を求めるか・答え方をTMPSの言葉で説明しています。
2026年度と同じ3大問・同じ小問構成で、数値や設定を変えたTMPSオリジナル問題です。全問の解答・解説をこのページに掲載し、本番形式の問題冊子PDFも無料で配布しています。
公開されている解答は参照せず、TMPSが自力で導いた答えを、記号計算と数値シミュレーションで独立に検算しています。それでも誤りを見つけた場合は、公式LINEからお知らせください。
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「どこで時間を失ったか」「どの問題を捨てるべきだったか」「作図やグラフのどこで減点されるか」を、Sora先生があなたの答案から直接診断します。