Aの長さを$\ell$とします。まずAだけに注目し、Aの下端のまわりのモーメントを考えます。Aの下端にはたらく床からの力は、モーメントの腕が0なので式に出てきません。接点でBから受ける力のうち、Aに沿う成分（摩擦力）も、Aの直線上なので腕が0。残るのは、Aに垂直な成分$N$と重さ$W$だけです。
📌 このページの使い方
- 過去問集をお持ちの方：本番と同じ50分（理科2科目で100分）で解き、答え一覧で採点してから解説へ
- お持ちでない方：各小問の「どういう問題か」を読めば、問題の中身がそのまま分かります
- 最後にそっくり類題セット（PDF版あり）を50分で解き、初見でも同じ解き方ができるか確かめる
※ 著作権に配慮し、入試問題の本文・図は掲載していません。解答番号（1〜29）は、本番のマークシートとの対応を示すためのものです。※ 図の読み取りなど、スクリプトでは確かめきれない箇所は「要確認」を付けています。
⚠️ 問題等で誤りを発見された場合、修正しますので、TMPS医学館までLINEを下さい。（迅速に確認・更新いたします）
LINEで誤りを連絡3分で分かる 2025年度の北里大の物理
- ✅ 全3大問・解答番号は1〜29。すべて空欄に入る式や値を「解答群」から選ぶマーク式です。理科は2科目で100分なので、物理には約50分です。
- ✅ 第1問は5問の小問集合（解答番号1〜14）。棒のつりあい・人工衛星・コンデンサーの仕事・ドップラー効果のうなり・気体の混合と、力学・電磁気・波動・熱が並びます。
- ✅ 第2問は台車の上のばね振り子（15〜22）。台車の加速度を「慣性力」に直し、つりあいの位置を中心とした単振動で考えます。加速・等速・減速と場面が変わるたびに「つりあいの位置」が動くのが主題です。
- ✅ 第3問は荷電粒子の加速・偏向・磁場中の円運動（23〜29）。極板で加速し、別の極板で曲げ、最後に磁場で円弧を描かせてスクリーンに当てる、一続きの問題です。
- ✅ 全問が「式を先に作ってから、解答群から選ぶ」形。選択肢を見て答えを推測するのではなく、先に自分で式を出して照らし合わせましょう。似た形の式が並ぶので、係数の違いで判断します。
Yuiちゃん
全部マークなのに、50分で足りるでしょうか…。
Sora先生
大問ごとに目標時間を決めておけば大丈夫。第1問は1問3〜4分で20分、残りの30分を2つの大問に配るイメージだよ。Yuiちゃん
選択肢がたくさんあって迷いそうです。Sora先生
先に自分で式を出すのがコツ。式が出れば、選択肢のどれが同じ形かを探すだけだよ。50分の立ち回りマップ
本番は理科2科目で100分。物理は50分を目安にします。時間はTMPSの目安です。
🧭 おすすめの解く順番
第3問の問1〜3 → 第1問 → 第2問 → 第3問の残り（見直しは各大問の最後の1〜2分）
第3問の前半（加速・偏向）は式が短く、ほぼ手を動かせば出ます。第2問は問4・5が重いので、問3まで取れれば合格ライン。第3問の最後の磁場の問題は、図の読み取りが要るので最後に回します。
本番の答え一覧（採点用）
解説を読む前の採点用です。解答番号1〜29の全29個を、数式処理と数値シミュレーションの両方で独立に確かめています（結果は下の注記）。
第1問（解答番号 1〜14）
1：⑦ 要確認2：③ 要確認3：⑧ 要確認4：⑨5：③6：⑩ 要確認7：⑤ 要確認8：⑥ 要確認9：⑦10：②11：⑩12：⑥13：⑤14：⑧
第2問（15〜22）
15：⑧16：⑮17：⑬18：⑬19：⑪20：⑬21：⑱22：⑥
第3問（23〜29）
23：③24：⑧25：③26：⑤27：⑤28：⑥29：⑭ 要確認
⚠️ 要確認（スクリプトでは確かめきれない箇所）：第1問問1（解答番号1〜3）は図の棒の置き方（Bの先端がAの中点に接し、どちらも水平面と60°）の読み取り、問3（6〜8）は「電源から切り離したコンデンサー（電気量一定）」という読み取り、第3問問7（29）は図7の点rをCの右上の角と読んだこと。いずれも選択肢の形と矛盾しないことは確認していますが、図の読み取りなので断定せずに「要確認」としています。
※ 検算：29問について、数式処理（sympy）と数値シミュレーション（力のつりあいの6元連立方程式、人工衛星と台車のばね振り子の運動方程式の数値積分、コンデンサーのエネルギー、気体の混合、荷電粒子の運動の数値積分、波面の追跡など）を実行し、全選択肢のうち一致するのが正解の1つだけであることを確かめました。
採点したら → 30秒の得点診断へ第1問 小問集合 ── 式を先に作ってから選ぶ
力学（つりあい・人工衛星）・電磁気・波動・熱の5つの独立した小問です。1問あたり3〜4分が目安。答えの形が分数と根号なので、選択肢と照らす前に自分の式を最後まで出しましょう。
現場戦略試験会場でのリアルな立ち回り（第1問）
⏱ 目標時間 & 死守ライン目標20分（問1は5分、問2は3分、問3は4分、問4は5分、問5は3分）。問2・5は式が立てば必ず取れる。
⚠️ 損切り・警戒ライン問1の連立で3分悩んだら、Aの「下端まわりのモーメント」だけで出る垂直抗力（解答番号1）だけ取って先へ。問4はうなりの式が組めなければ、直接音と反射音の振動数を1行ずつ書き出すところまで。
💡 初手の思考トリガー問1は「Aは下端のまわり」「Bは下端のまわり」の2回のモーメント。問3は電気量一定なら、エネルギーは間隔に比例。問4は直接音と反射音を別々に求め、差を取る。
問12本の棒を組み合わせたつりあい（解答番号1〜3）
📝 どういう問題か？
あらい水平面の上で、重さ$W$の長い棒Aと、長さがAの半分で重さ$2W$の棒Bが、Bの先端がAの中点に接する形で、どちらも水平面と$60^\circ$で静止している。接点の力と、床からの力を求める問題。
- 解答番号1：BがAから受ける垂直抗力の大きさが何×$W$かを選ぶ（共通の16通り）
- 解答番号2：BがAから受ける摩擦力の大きさが何×$W$かを選ぶ（同じ解答群）
- 解答番号3：Aが水平面から受ける摩擦力の大きさが何×$W$かを選ぶ（同じ解答群）
$$N\cdot\frac{\ell}{2}=W\cdot\frac{\ell}{2}\cos60^{\circ}\ \Rightarrow\ N=\frac{W}{2}$$
解答番号1は$\dfrac12$の⑦要確認。つぎにBだけに注目し、Bの下端のまわりのモーメントを考えます。接点はBの先端で、Bの長さは$\dfrac{\ell}{2}$。Bの重さ$2W$は、Bの中央にはたらきます。AがBに及ぼす力は、垂直抗力$N$（右下向き）と摩擦力$f$（Aに沿って右上向き）です。
$$N\cdot\frac{\ell}{4}+f\cdot\frac{\sqrt3\,\ell}{4}=2W\cdot\frac{\ell}{8}\ \Rightarrow\ N+\sqrt3\,f=W$$
（腕の長さ：Bの先端はBの下端から見て左へ$\dfrac{\ell}{4}$、上へ$\dfrac{\sqrt3\ell}{4}$の位置。Bの重さ$2W$は、中央なので下端から水平に$\dfrac{\ell}{8}$の位置にはたらきます。）$N=\dfrac{W}{2}$を入れると$f=\dfrac{W}{2\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{6}W$で、解答番号2は③要確認。
最後にA全体の水平方向のつりあいです。Aが接点でBから受ける力は、$N$と$f$の反作用で、その水平成分の合計が、床からの摩擦力とつりあいます。
$$F=N\sin60^{\circ}+f\cos60^{\circ}=\frac{\sqrt3}{4}W+\frac{\sqrt3}{12}W=\frac{\sqrt3}{3}W$$
解答番号3は⑧要確認。（検算：A、B全体の鉛直方向の床の垂直抗力は合計$3W$、水平方向の床の摩擦力は大きさが等しく向きが逆になります。数値の連立方程式でもこれを確かめました。）
🎯 問1の答え
1：⑦ 要確認2：③ 要確認3：⑧ 要確認
⚠️ Bの重さ$2W$を、Aのモーメントの式に入れてしまうミスが典型です。「Aの式にはAの重さと接点の力だけ」と決めておきましょう。また、接点の力を水平・鉛直に分けると式が複雑になります。Aに垂直な成分とAに沿う成分に分けると、モーメントの式が1行で終わります。
問2人工衛星の角速度と周期（解答番号4・5）
📝 どういう問題か？
地表の重力加速度$g$と半径$R$だけが与えられ、万有引力定数や天体の質量は与えられない。「$GM=gR^2$」で書き換えてから円運動の式を立てる定番問題。
- 解答番号4：半径$R$の球形の天体の表面から高さ$h$を回る人工衛星の角速度を選ぶ（12通り）
- 解答番号5：その周期を選ぶ（12通り）
天体の質量を$M$とします。表面での重力は$mg=\dfrac{GMm}{R^2}$なので、$GM=gR^2$。軌道半径は$R+h$で、円運動の運動方程式は次のとおりです。
$$m(R+h)\omega^2=\frac{GMm}{(R+h)^2}\ \Rightarrow\ \omega=\sqrt{\frac{GM}{(R+h)^3}}=\sqrt{\frac{gR^2}{(R+h)^3}}\ \ (⑨)$$
$$T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{(R+h)^3}{gR^2}}\ \ (③)$$
🎯 問2の答え
4：⑨5：③
⚠️ 軌道半径は$R$ではなく$R+h$です。一方で、$GM=gR^2$の$R$は地表（天体の半径）。この2つの$R$を混ぜると、⑧や⑫と迷います。
問3コンデンサーの極板を動かす仕事と誘電体を入れる仕事（解答番号6〜8）
📝 どういう問題か？
静電エネルギー$U$をもつ平行板コンデンサーの極板をゆっくり引き離し、さらに極板と同じ面積で厚さ$d_2$の誘電体を、すき間なく挿入する。外力がした仕事を、エネルギーの変化から求める問題。
- 解答番号6：極板の間隔を$d_1$から$d_2$に広げる間に、極板に加えている力がした仕事が$U$の何倍かを選ぶ（共通の16通り）
- 解答番号7：誘電体を挿入する間にした仕事を「[7]×[8]×$U$」と書いたときの[7]を選ぶ（6と同じ解答群）
- 解答番号8：同じく[8]を、比誘電率$\varepsilon_r$で表した式から選ぶ（8通り）
「電源から切り離してある」ので、極板の電気量$Q$は一定です。このとき静電エネルギーは$U=\dfrac{Q^2}{2C}=\dfrac{Q^2d}{2\varepsilon_0S}$なので、間隔$d$に比例します。間隔が$d_1\to d_2$になると、エネルギーは$U\to\dfrac{d_2}{d_1}U$。ゆっくり動かすので、外力の仕事はエネルギーの変化に等しくなります。要確認
$$W_1=\frac{d_2}{d_1}U-U=\frac{d_2-d_1}{d_1}U\ \ (⑩)$$
つぎに、厚さ$d_2$の誘電体を全面に入れると、極板の間は誘電体で満たされ、電気容量が$\varepsilon_r$倍になります。電気量は変わらないので、エネルギーは$\dfrac{1}{\varepsilon_r}$倍。仕事は、挿入前のエネルギー$\dfrac{d_2}{d_1}U$を使って次のようになります。
$$W_2=\frac{d_2}{d_1}U\left(\frac{1}{\varepsilon_r}-1\right)=\frac{d_2}{d_1}\times\frac{1-\varepsilon_r}{\varepsilon_r}\times U$$
解答番号7は$\dfrac{d_2}{d_1}$の⑤、8は$\dfrac{1-\varepsilon_r}{\varepsilon_r}$の⑥です。$\varepsilon_r>1$なので$W_2<0$、つまり誘電体は引きこまれ、外力は負の仕事をします。
🎯 問3の答え
6：⑩ 要確認7：⑤ 要確認8：⑥ 要確認
⚠️ 電源につないだままなら電圧が一定で、エネルギー（$\tfrac12CV^2$）の変化が仕事に等しくなりません。「切り離してある＝$Q$一定」を最初に確認し、$U=\dfrac{Q^2}{2C}$の形で考えましょう。
問4ドップラー効果と直接音・反射音のうなり（解答番号9〜12）
📝 どういう問題か？
静止した観測者Oが、音源Sから直接届く音と、壁で反射して届く音の両方を同時に聞く。音源が壁に向かって動いている状況で、うなりの回数を求め、速さを変えたあとの1回目の変化を調べる問題。
- 解答番号9・10：音源Sが壁に向かって速さ$v$で動いているときに、Oが1秒間に聞くうなりの回数を「[9]×[10]」の形で表す。[9]は係数（13通り）、[10]は$Vvf$を含む分数式（10通り）
- 解答番号11・12：Sが点pを通過した直後に速さを$\dfrac{v}{2}$に変えたとき、1回目に変化したときのうなりの振動数を「[11]×[12]」の形で表す
音の速さを$V$、音源の振動数を$f$とします。音源は壁に向かって動き、観測者Oから遠ざかっています。まず、Oに直接届く音は、音源が遠ざかるので振動数が下がります。壁は静止していて、壁には音源が近づくので、壁が受けて反射する音の振動数は上がります。反射音は静止した壁から出るため、Oに届く振動数は壁が受けた値のままです。
$$f_{\text{直接}}=\frac{V}{V+v}f,\qquad f_{\text{反射}}=\frac{V}{V-v}f$$
$$f_{\text{反射}}-f_{\text{直接}}=Vf\left(\frac{1}{V-v}-\frac{1}{V+v}\right)=2\times\frac{Vvf}{(V+v)(V-v)}$$
解答番号9は$2$の⑦、10は$\dfrac{Vvf}{(V+v)(V-v)}$の②です。
つぎに、Sが点pを通った直後に速さを$\dfrac{v}{2}$に変えます。点pはOと壁の間にあり、pで出た音は、直接Oへ向かう音のほうが、壁をまわってくる音より先に届きます。だから「1回目の変化」は、直接音の振動数が変わるときです。このとき反射音はまだ変化前の値のままです。
$$f^{\prime}_{\text{直接}}=\frac{V}{V+v/2}f=\frac{2V}{2V+v}f,\qquad f_{\text{反射}}=\frac{V}{V-v}f$$
$$f_{\text{反射}}-f^{\prime}_{\text{直接}}=Vf\cdot\frac{(2V+v)-2(V-v)}{(V-v)(2V+v)}=3\times\frac{Vvf}{(V-v)(2V+v)}$$
解答番号11は$3$の⑩、12は$\dfrac{Vvf}{(V-v)(2V+v)}$の⑥です。数値でも、音の山の到着時刻を1つずつ追って振動数を測り、公式と一致することを確かめました。
🎯 問4の答え
9：⑦10：②11：⑩12：⑥
⚠️ 「どちらの音が先に変わるか」を逆にすると、反射音の振動数が変化後の値になり、⑫など別の形に引っかかります。pはOに近い＝直接音が先と、図を描いて確認しましょう。
問52つの断熱容器の気体を混ぜる（解答番号13・14）
📝 どういう問題か？
断熱容器AとBを、コックのついた細い管でつなぎ、コックを開いて単原子分子理想気体を混ぜる。混合後に温度が$2T$になったことから、混合前のBの温度と、混合後の圧力を求める問題。
- 解答番号13：混合後の圧力が$P$の何倍かを選ぶ（9通り）
- 解答番号14：混合前のBの気体の温度が$T$の何倍かを選ぶ（同じ解答群）
断熱容器で外と熱のやりとりがなく、仕事もしないので、混合の前後で内部エネルギーの和が保存します。単原子分子理想気体では$U=\dfrac32nRT=\dfrac32PV$。混合前のBの温度を$T_B$とすると、物質量は$n_AR=\dfrac{PV}{T}$、$n_BR=\dfrac{2P\cdot2V}{T_B}$です。
$$\frac32\left(PV+4PV\right)=\frac32\left(\frac{PV}{T}+\frac{4PV}{T_B}\right)\cdot2T\ \Rightarrow\ 5=2+\frac{8T}{T_B}\ \Rightarrow\ T_B=\frac83T\ \ (⑧)$$
混合後は、物質量の合計が$n_A+n_B$、体積が$3V$、温度が$2T$です。
$$nR=\frac{PV}{T}+\frac{4PV}{T_B}=\frac{PV}{T}\left(1+\frac32\right)=\frac{5PV}{2T},\qquad P_{\text{混合後}}=\frac{nR\cdot2T}{3V}=\frac53P\ \ (⑤)$$
🎯 問5の答え
13：⑤14：⑧
Yuiちゃん
混ぜる前と後で、何が変わらないのかがいつも分からなくなります…。Sora先生
断熱で仕事もしないなら、変わらないのは「内部エネルギーの合計」と「物質量の合計」。圧力や温度は変わるけど、この2つで式を立てれば解けるよ。⚠️ 混合前のBの温度を、Aと同じ$T$と思いこむミスが多い問題です。温度が$2T$で等しくなるのは混合後。混合前のBの温度が分からないので、エネルギー保存の式で出します。
Sora先生の総整理表
第1問：5問の型
| 問 | 型 | 着眼点 |
|---|---|---|
| 問1 | 2本の棒のつりあい | Aは下端まわり、Bは下端まわりの2回のモーメント |
| 問2 | 人工衛星 | $GM=gR^2$、軌道半径は$R+h$ |
| 問3 | コンデンサー | 切り離し＝$Q$一定。$U\propto d$、誘電体は$1/\varepsilon_r$倍 |
| 問4 | うなり | 直接音と反射音を別々に求め、差を取る。先に変わるのは直接音 |
| 問5 | 気体の混合 | 内部エネルギーと物質量の合計が保存 |
TMPSコーチング診断
🩺【自己診断】第1問で手が止まった人への処方箋
- 問1式が立たない → 下端のまわりのモーメントを、A、Bの順に1本ずつ。接点の力はAに垂直な成分とAに沿う成分に分ける
- 問2式が選べない → $GM=gR^2$ を先に書き、軌道半径に$R+h$を入れる
- 問3仕事が合わない → 電気量一定で、エネルギーを$Q^2/(2C)$で書く。仕事＝エネルギーの変化
- 問4うなりが出ない → 直接音と反射音の振動数を別の行に。1回目の変化は直接音
- 問5圧力が合わない → エネルギー保存で$T_B$を出してから、$nR$の合計を使う
第2問 台車の上のばね振り子 ── 慣性力とつりあいの位置
台車が加速・等速・減速と動くあいだ、台車の中のAはばねの単振動をします。台車が加速している間は「慣性力」を足して、つりあいの位置を中心に考えるのが鉄則です。
現場戦略試験会場でのリアルな立ち回り（第2問）
⏱ 目標時間 & 死守ライン目標14分（問1は3分、問2は2分、問3は3分、問4は4分、問5は2分）。問1〜3は式が短いので確実に取る。
⚠️ 損切り・警戒ライン問4の「振幅が4倍」の式で迷ったら、先に問5の距離を、問2の時間$T$だけを使って出す。問5は問4が分からなくても、減速の加速度を仮定すれば、等速の距離までは出せる。
💡 初手の思考トリガー加速中は慣性力$ma$を足して、つりあいの位置が$\tfrac{ma}{k}$ずれる。つりあいの位置を中心とした「位置」と「速さ÷$\omega$」の2つで振幅が決まる。
問1加速する台車の中の単振動の振幅とエネルギー（解答番号15・16）
📝 どういう問題か？
台車の壁に、ばね定数$k$のばねKで質量$m$の小物体Aをつないで静止させ、台車を一定の加速度$a$で動かし始める。台車の中の人から見たAの運動を問う問題。
- 解答番号15：Aの振幅を選ぶ（15通り）
- 解答番号16：ばねKがもっとも縮んだときにKにたくわえられている弾性エネルギーを選ぶ（15通り）
台車の中の人から見ると、Aには加速度と逆向きの慣性力$ma$がはたらきます。この慣性力は、ばねを縮める向きです。つりあいの位置は、ばねが$\dfrac{ma}{k}$だけ縮んだ位置です。Aは、ばねが自然の長さの位置から静かに運動を始めるので、その位置が振動の端で、振幅はつりあいの位置までの距離です。
$$x_0=\frac{ma}{k}\ \ (⑧)$$
いちばん縮んだときは、つりあいの位置から振幅ぶんさらに縮んだ位置なので、縮みは$\dfrac{2ma}{k}$。弾性エネルギーは次のとおりです。
$$\frac12k\left(\frac{2ma}{k}\right)^2=\frac{2m^2a^2}{k}\ \ (⑮)$$
🎯 問1の答え
15：⑧16：⑮
問2加速をやめるまでの時間（解答番号17）
📝 どういう問題か？
台車の加速している時間を、Aの単振動の周期から読み取る問題。
- 解答番号17：Kが2回目にもっとも縮んだ瞬間に台車が加速をやめるとき、台車が加速している時間を選ぶ（14通り）
Aは自然の長さの位置（端）から出発します。1回目にいちばん縮むのは半周期後、2回目は1周期半（$\dfrac32$周期）後。周期は$2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$です。
$$T=\frac32\times2\pi\sqrt{\frac mk}=3\pi\sqrt{\frac mk}\ \ (⑬)$$
🎯 問2の答え
17：⑬
問3加速をやめたあとの振幅と最大の速さ（解答番号18・19）
📝 どういう問題か？
加速をやめると慣性力が消え、つりあいの位置が自然の長さの位置に戻る。そのときのAの状態から、新しい振幅を求める問題。
- 解答番号18：台車が一定の速度になったあとのAの振幅が、[15]の何倍かを選ぶ（18通り）
- 解答番号19：そのときのAの速さの最大値を選ぶ（14通り）
加速をやめた瞬間のAは、いちばん縮んだ位置（自然の長さから$\dfrac{2ma}{k}$縮んだ位置）で、台車に対して止まっています。慣性力がなくなると、つりあいの位置は自然の長さの位置になるので、この位置が新しい端です。
$$A^{\prime}=\frac{2ma}{k}=2\times\frac{ma}{k}\ \ (⑬),\qquad v_{\max}=\omega A^{\prime}=\sqrt{\frac km}\cdot\frac{2ma}{k}=2a\sqrt{\frac mk}\ \ (⑪)$$
🎯 問3の答え
18：⑬19：⑪
問4台車が減速するときのばね振り子（解答番号20・21）
📝 どういう問題か？
台車が一定の速度になってからAが1周期ぶん振動し、直後に台車が一定の加速度で減速して静止する。減速中の振幅から減速の大きさを求め、静止後の振幅も求める問題。
- 解答番号20：台車が減速している間、Aが[15]の4倍の振幅で単振動し続けたとき、台車の加速度の大きさが$a$の何倍かを選ぶ（18通り）
- 解答番号21：台車が静止したあとも単振動を続けるAの振幅が、[15]の何倍かを選ぶ（同じ解答群）
1周期ぶん振動した直後のAは、加速をやめた瞬間と同じ状態：いちばん縮んだ位置（縮み$\dfrac{2ma}{k}$）で、台車に対して止まっています。台車が減速（加速度の大きさ$a_2$）すると、慣性力$ma_2$がばねを伸ばす向きにはたらき、つりあいの位置は自然の長さから$\dfrac{ma_2}{k}$だけ伸びた位置に移ります。
Aは速さ0なので、振幅はつりあいの位置までの距離です。縮み側の$\dfrac{2ma}{k}$から、伸び側の$\dfrac{ma_2}{k}$までなので、次のとおりです。
$$A_2=\frac{2ma}{k}+\frac{ma_2}{k}=4\cdot\frac{ma}{k}\ \Rightarrow\ a_2=2a\ \ (⑬)$$
つぎに、台車が静止するまでの時間を求めます。台車の速さは$a\times3\pi\sqrt{\dfrac mk}$で、これを$2a$で減速するので、時間は$\dfrac{3\pi}{2}\sqrt{\dfrac mk}$。周期の$\dfrac34$にあたります。減速中のAは、つりあいの位置（伸び$\dfrac{2ma}{k}$）のまわりを、端（縮み側の$\dfrac{4ma}{k}$）から$\dfrac34$周期ぶん進みます。$\dfrac34$周期後は、つりあいの位置を通過するところで、そのときの速さは最大です。
$$x=\text{つりあいの位置}=\text{伸び}\ \frac{2ma}{k},\qquad v=\omega\times4\cdot\frac{ma}{k}$$
台車が静止すると、つりあいの位置は自然の長さに戻ります。新しい振幅は、「自然の長さからの位置」と「速さ÷$\omega$」の2乗和の平方根です。
$$A_3=\sqrt{\left(\frac{2ma}{k}\right)^2+\left(\frac{4ma}{k}\right)^2}=2\sqrt5\cdot\frac{ma}{k}\ \ (⑱)$$
🎯 問4の答え
20：⑬21：⑱
⚠️ 減速の向きを取り違えて、つりあいの位置を縮み側にずらすと、$A_2=\dfrac{2ma}{k}-\dfrac{ma_2}{k}$となり、$a_2$が負の値になってしまいます。「加速度の向き（進行方向と逆）」を図に書いて、慣性力が進行方向にはたらくことを確かめましょう。
問5台車が動いた距離（解答番号22）
📝 どういう問題か？
台車の運動を、加速、等速、減速の3段階に分けて、速度と時間から距離を足し合わせる問題。
- 解答番号22：問2の$T$を使って、台車が最初の加速を始めてから静止するまでに動いた距離が$aT^2$の何倍かを選ぶ（13通り）
台車の運動は3段階です。加速：時間$T$、距離$\dfrac12aT^2$、このときの速さは$aT$。等速：Aが1周期（$2\pi\sqrt{\dfrac mk}=\dfrac23T$）ぶん振動する間なので、距離は$aT\times\dfrac23T$。減速：加速度$2a$、初速$aT$、時間$\dfrac T2$なので、距離は$\dfrac{(aT)^2}{2\cdot2a}=\dfrac14aT^2$。
$$\left(\frac12+\frac23+\frac14\right)aT^2=\frac{17}{12}aT^2\ \ (⑥)$$
🎯 問5の答え
22：⑥
Yuiちゃん
どうして加速しているあいだは、台車の中で慣性力を足すのですか？Sora先生
台車の中の人から見ると、Aは台車に対して動くけど、台車は加速度運動していて慣性系じゃないからだよ。「加速度と逆向きに$ma$の力が加わる」と考えると、台車が止まっているときと同じ単振動の式が使えるんだ。Sora先生の総整理表
第2問：台車の型
| 問 | 型 | 着眼点 |
|---|---|---|
| 問1 | 加速中の単振動 | 慣性力$ma$でつりあいの位置が$ma/k$ずれる。振幅＝そこまでの距離 |
| 問2 | 時間 | 端から出発。2回目の最大の縮みは$\tfrac32$周期後 |
| 問3 | 加速をやめる | つりあいの位置が自然の長さに戻る。端の位置から振幅が決まる |
| 問4 | 減速 | 慣性力の向きに注意。減速時間は周期の$\tfrac34$。振幅は「位置」と「速さ÷$\omega$」の2乗和 |
| 問5 | 3段階の距離 | 加速＋等速＋減速を足す。時間は$T$で表す |
TMPSコーチング診断
🩺【自己診断】第2問で手が止まった人への処方箋
- 問1振幅が出ない → 慣性力$ma$を足して、つりあいの位置（$ma/k$）を先に出す。最初の位置が端なら、振幅はそこまでの距離
- 問2時間が合わない → 端から出発する単振動で、何回目の最大の縮みかを数える（1回目は半周期後）
- 問3振幅が合わない → 加速をやめた瞬間の位置と速さを書き、つりあいの位置（自然の長さ）からの距離で振幅を決める
- 問4減速の大きさが出ない → 慣性力の向きを図で確認。縮み側と伸び側の距離を足す
- 問5距離が合わない → 3段階に分け、各段階の時間を$T$で表す
第3問 荷電粒子の加速・偏向・磁場中の円運動
極板ABで加速し、極板CDで曲げ、スクリーンSに当てる一続きの問題です。後半は、CD間に磁場をかけて円弧を描かせます。問1〜3・6は式の形で決まるので先に取れます。
現場戦略試験会場でのリアルな立ち回り（第3問）
⏱ 目標時間 & 死守ライン目標16分（問1〜3は4分、問4・5は4分、問6は2分、問7は4分、見直し2分）。問1〜3・6を確実に取る。
⚠️ 損切り・警戒ライン問5の$n$を使った式が重いときは、先に問6だけ取る。問7は図の読み取り（点rの位置）が要るので、最後に回して、半径と角度の幾何から出す。
💡 初手の思考トリガー加速は仕事とエネルギー、偏向は等速＋等加速度の合成、磁場は円運動の半径$r=\tfrac{mv}{qB}$と幾何。
問1AB間での力（解答番号23）
📝 どういう問題か？
正の電気量$q$、質量$m$の小球Pが、間隔$d_1$の平行板AB間の一様な電場の中にある。電場の強さ$V_1/d_1$から、力を求める基本問題。
- 解答番号23：PがAB間にあるとき、Pにはたらく力の大きさを選ぶ（18通り）
$$F=qE_1=q\cdot\frac{V_1}{d_1}\ \ (③)$$
🎯 問1の答え
23：③
問2Bの穴を出た直後の速さ（解答番号24）
📝 どういう問題か？
静止から電位差$V_1$で加速された小球の速さを、仕事とエネルギーから求める問題。
- 解答番号24：PがBの穴を飛び出した直後の速さを選ぶ（12通り）
$$\frac12mv^2=qV_1\ \Rightarrow\ v=\sqrt{\frac{2qV_1}{m}}\ \ (⑧)$$
🎯 問2の答え
24：⑧
問3CD間での加速度（解答番号25）
📝 どういう問題か？
CD間の電場の強さは$V_2/d_2$。運動方程式から加速度を出す問題。
- 解答番号25：PがCD間にあるとき、Pに生じている加速度の大きさを選ぶ（16通り）
$$ma=q\cdot\frac{V_2}{d_2}\ \Rightarrow\ a=\frac{qV_2}{md_2}\ \ (③)$$
🎯 問3の答え
25：③
問4CD間を通り抜けるための$V_2$の最大値（解答番号26）
📝 どういう問題か？
一辺$a$のCD間（間隔$d_2$）を、中心線に沿って入ったPが、極板にぶつからずに出るための条件。「$z$方向は等速、$y$方向は等加速度」の合成運動で考える問題。
- 解答番号26：PがCD間を通り抜けるための$V_2$の最大値が、$V_1$の何倍かを選ぶ（14通り）
CD間を通る時間は$t=\dfrac av$（$a$はCDの一辺、$v$は問2の速さ）。$y$方向に動く距離が、中心線から極板までの距離$\dfrac{d_2}{2}$以下であることが、通り抜ける条件です。
$$\frac12\cdot\frac{qV_2}{md_2}\cdot\frac{a^2}{v^2}\le\frac{d_2}{2}\ \Rightarrow\ \frac{V_2a^2}{4V_1d_2}\le\frac{d_2}{2}\ \Rightarrow\ V_2\le\frac{2d_2^2}{a^2}V_1\ \ (⑤)$$
🎯 問4の答え
26：⑤
⚠️ 通り抜ける条件を、$d_2$（全体の間隔）以下と取り違えると、答えが2倍の$\dfrac{4d_2^2}{a^2}$（⑥）になって引っかかります。中心線から極板までは$\tfrac{d_2}{2}$。
問5スクリーンに当たる点の$y$座標（解答番号27）
📝 どういう問題か？
CD間を出たあとは、等速直線運動でSに到達する。出口でのずれと向きから、スクリーン上の位置を求める問題。
- 解答番号27：問4の[26]を$n$とおき、$V_2=nV_1$のとき、Pが到達したS上の点の$y$座標を、$n$と$\ell$を用いて表した式を選ぶ（16通り）
CD間を出た直後の$y$方向のずれ$y_1$と、進む向きの傾き$\tan\theta$は、次のとおりです（$n$は$V_2=nV_1$の比）。
$$y_1=\frac{na^2}{4d_2},\qquad \tan\theta=\frac{v_y}{v}=\frac{qV_2}{md_2}\cdot\frac{a}{v^2}=\frac{na}{2d_2}$$
出口からスクリーンまで$z$方向の距離は$\ell-\dfrac a2$なので、スクリーン上のずれは次のようになります。
$$y=y_1+\left(\ell-\frac a2\right)\tan\theta=\frac{na^2}{4d_2}+\frac{na\ell}{2d_2}-\frac{na^2}{4d_2}=\frac{na\ell}{2d_2}$$
途中の$a^2$の項は打ち消し合います。軌跡を後ろへ延長すると、CD間の中央を通るからです。ここで$n=\dfrac{2d_2^2}{a^2}$を使って$\dfrac{a}{d_2}=\sqrt{\dfrac2n}$を代入します。
$$y=\frac{n\ell}{2}\sqrt{\frac2n}=\frac{\sqrt{2n}}{2}\,\ell\ \ (⑤)$$
🎯 問5の答え
27：⑤
問6磁場中の円弧の半径（解答番号28）
📝 どういう問題か？
CD間の電位差は0にして、$y$軸に平行な磁場だけをかける。粒子は$xz$平面内の円弧を描く。円運動の半径を、速さから出す問題。
- 解答番号28：CD間に磁束密度$B$の磁場をかけ、$V_1$で加速した粒子P$^{\prime}$が描く円弧の半径を選ぶ（8通り）
磁場からの力$qvB$が向心力になります。速さは問2の$v=\sqrt{\dfrac{2qV_1}{m}}$（磁場は仕事をしないので変わりません）。
$$\frac{mv^2}{r}=qvB\ \Rightarrow\ r=\frac{mv}{qB}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mV_1}{q}}=\sqrt{\frac{2mV_1}{qB^2}}\ \ (⑥)$$
🎯 問6の答え
28：⑥
問7スクリーンに当たる点の$x$座標（解答番号29）
📝 どういう問題か？
円弧の端の点r（$x$座標が$\dfrac a2$）の位置から、円の半径と進む向きを幾何で決め、等速直線運動でSまで延長する問題。
- 解答番号29：P$^{\prime}$が点rでCD間を抜け、Sに到達したとき、S上の点の$x$座標を選ぶ（14通り）
図7から、点rはCの右上の角（$x=\dfrac a2$、$z$方向の終端の辺の上）と読みます要確認。入り口の$x=0$から$z$方向に$a$進んだ点で$x=\dfrac a2$なので、円の中心を$x=r$に置くと、次の関係が成り立ちます。
$$a^2+\left(r-\frac a2\right)^2=r^2\ \Rightarrow\ r=\frac54a,\qquad \sin\theta=\frac ar=\frac45,\ \ \tan\theta=\frac43$$
点rを出てからSまでの$z$方向の距離は、$\ell-\dfrac a2$（点rは中央のpからS側に$\dfrac a2$）です。到達点の$x$座標は次のようになります。
$$x=\frac a2+\left(\ell-\frac a2\right)\cdot\frac43=\frac{8\ell-a}{6}\ \ (⑭)$$
🎯 問7の答え
29：⑭ 要確認
⚠️ 点rの位置を図で確かめずに、$x=\dfrac a2$の点を「辺の中央」と読むと、半径が変わり、答えが⑭以外の形になります。入り口から$z$方向に進んだ距離が$a$（正方形の一辺）かどうかを、図の点rで確かめましょう。
Sora先生の総整理表
第3問：荷電粒子の型
| 問 | 型 | 着眼点 |
|---|---|---|
| 問1 | 一様な電場 | 力$=qV_1/d_1$ |
| 問2 | 加速 | 仕事とエネルギー：$\tfrac12mv^2=qV_1$ |
| 問3 | 偏向の加速度 | $a=qV_2/(md_2)$ |
| 問4 | 通り抜ける条件 | $z$方向は等速、$y$方向は等加速度。中心線から極板まで$d_2/2$ |
| 問5 | スクリーン上のずれ | 軌跡の延長線はCD間の中央を通る |
| 問6 | 磁場中の円運動 | $r=mv/(qB)$。磁場は仕事をしない |
| 問7 | 円弧の幾何 | 半径と角度を三平方の定理で。出口の傾き$\tan\theta$で直進 |
TMPSコーチング診断
🩺【自己診断】第3問で手が止まった人への処方箋
- 問1〜3式が選べない → 電場$E=V/d$、力$qE$、加速度$qE/m$を順に書く
- 問4条件が合わない → 通る時間$t=a/v$と、$y$方向の等加速度運動の式を書く。中心線から極板までは$d_2/2$
- 問5式が重い → 出口の位置と傾きから、延長線がCD間の中央を通ることを使う
- 問6半径が出ない → 向心力＝磁場の力$qvB$、速さは問2の$v$
- 問7幾何が決まらない → 入り口と点rの座標から、円の中心と半径を三平方の定理で。出口の傾きを求めてSまで直進
TMPS ORIGINAL
北里大2025型 そっくり類題セット
北里大2025型 そっくり類題セット
（全3大問・解答解説つき）
2025年度の本番と同じ3大問・同じ解答番号の数（1〜29）で、題材・数値・設定を変えたTMPSオリジナル問題です。式を先に作ってから解答群を選ぶ力と、50分の立ち回りを確かめられます。入試問題ではありません。
試験時間の目安 50分（理科2科目で100分）2本の棒・人工衛星・コンデンサー・ドップラー効果・気体の混合・台車のばね振り子・荷電粒子の偏向
📄 本番形式の問題冊子PDFをダウンロード（全9ページ）
印刷して本番と同じように50分で解けます。解答・解説はこのページの下に掲載しています。
※ 北里大学の入試問題ではありません。本文・設問・人物・団体（架空）はすべてTMPS医学館が作成したオリジナルで、出典のある引用ではありません。
類題 第1問 小問集合
図 2本の棒のつりあい（TMPS作成） 
図 観測者・音源・壁（TMPS作成） 
図 2つの断熱容器（TMPS作成）
- 特に指示のない限り，重力加速度の大きさを $g$ とし，空気抵抗・摩擦・糸の質量は無視してよい。
- 解答はすべて，各解答群の選択肢の番号（①〜）を選ぶマーク形式を想定している。解答番号は 1〜29。
つぎの問い（問1〜問5）の空欄 に入る適語を解答群から選択せよ。（解答番号 1〜14）
問1 図のように，重さ $2W$ [N] の一様で表面のあらい棒Aと，長さがAの $\dfrac{2}{3}$ で重さ $W$ [N] の一様な棒Bを，あらい水平面上で，Bの先端がAの下端から長さの $\dfrac{2}{3}$ の点に接するように組み合わせたところ，AとBはともに水平面と角 $45^\circ$ をなして静止した。このとき，BがAから受ける垂直抗力の大きさは 1$\times W$ [N]，BがAから受ける摩擦力の大きさは 2$\times W$ [N] であり，Aが水平面から受ける摩擦力の大きさは 3$\times W$ [N] である。（解答番号 1・2・3）
1・2・3 の解答群
① $\dfrac{1}{4}$② $\dfrac{\sqrt{2}}{8}$③ $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$④ $\dfrac{3\sqrt{2}}{8}$⑤ $\dfrac{1}{2}$⑥ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$⑦ $\dfrac{3}{4}$⑧ $\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$⑨ $1$⑩ $\dfrac{5}{4}$⑪ $\sqrt{2}$⑫ $\dfrac{3}{2}$⑬ $\dfrac{7}{4}$⑭ $2$⑮ $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$⑯ $2\sqrt{2}$
問2 地球とは別の，半径 $R$ [m] の一様な球形の天体がある。この天体の表面での重力加速度の大きさを $g$ [m/s$^2$] とする。天体の表面から高さ $h$ [m] の位置を等速円運動する人工衛星の速さは 4 [m/s] であり，周期は 5 [s] である。ただし，天体の自転や大気の影響は無視する。（解答番号 4・5）
4 の解答群
① $\sqrt{gR}$② $\sqrt{g(R+h)}$③ $\sqrt{\dfrac{gR^2}{R+h}}$④ $\sqrt{\dfrac{g(R+h)^2}{R}}$⑤ $\sqrt{\dfrac{gR^3}{(R+h)^2}}$⑥ $\sqrt{\dfrac{g(R+h)^3}{R^2}}$⑦ $\sqrt{2gR}$⑧ $\sqrt{2g(R+h)}$⑨ $\sqrt{\dfrac{2gR^2}{R+h}}$⑩ $\sqrt{\dfrac{gR}{2}}$⑪ $\sqrt{\dfrac{g(R+h)}{2}}$⑫ $\sqrt{\dfrac{gR^2}{2(R+h)}}$
5 の解答群
① $2\pi\sqrt{\dfrac{(R+h)^3}{gR^2}}$② $2\pi\sqrt{\dfrac{R+h}{g}}$③ $2\pi\sqrt{\dfrac{R}{g}}$④ $2\pi\sqrt{\dfrac{(R+h)^2}{gR}}$⑤ $2\pi\sqrt{\dfrac{R^2}{g(R+h)}}$⑥ $2\pi\sqrt{\dfrac{R^3}{g(R+h)^2}}$⑦ $\pi\sqrt{\dfrac{(R+h)^3}{gR^2}}$⑧ $\pi\sqrt{\dfrac{R+h}{g}}$⑨ $\pi\sqrt{\dfrac{R}{g}}$⑩ $\pi\sqrt{\dfrac{(R+h)^2}{gR}}$⑪ $\pi\sqrt{\dfrac{R^2}{g(R+h)}}$⑫ $\pi\sqrt{\dfrac{R^3}{g(R+h)^2}}$
問3 電源から切り離した，極板の間隔 $d_1$ [m] の平行板コンデンサーC（真空）が，静電エネルギー $U$ [J] をもっている。まず，Cの極板に力を加えて，極板の間隔が $d_2$ [m]（$d_2<d_1$）になるまで極板をゆっくりと近づけた。この間に極板に加えている力がした仕事は 6$\times U$ [J] である。つぎに，比誘電率 $\varepsilon_r$ で，極板と同じ面積をもつ厚さ $\dfrac{d_2}{2}$ の誘電体の板Dを，極板に平行にすべりこませ，極板の全面をおおうまでゆっくりと挿入した。この間にDに加えている力がした仕事は 7$\times$8$\times U$ [J] である。ただし，電場は極板間のみに存在し一様であるものとする。（解答番号 6・7・8）
6・7 の解答群
① $\dfrac{1}{d_1}$② $\dfrac{1}{d_2}$③ $\dfrac{d_2}{d_1}$④ $\dfrac{d_1}{d_2}$⑤ $\dfrac{d_2}{2d_1}$⑥ $\dfrac{d_1}{2d_2}$⑦ $\dfrac{d_1-d_2}{d_1}$⑧ $\dfrac{d_2-d_1}{d_1}$⑨ $\dfrac{d_1-d_2}{2d_1}$⑩ $\dfrac{d_2-d_1}{2d_1}$⑪ $\dfrac{d_1-d_2}{d_2}$⑫ $\dfrac{d_2-d_1}{d_2}$⑬ $\dfrac{d_1-d_2}{2d_2}$⑭ $\dfrac{d_2-d_1}{2d_2}$
8 の解答群
① $\dfrac{\varepsilon_r-1}{\varepsilon_r}$② $\dfrac{1-\varepsilon_r}{\varepsilon_r}$③ $\dfrac{\varepsilon_r-1}{2\varepsilon_r}$④ $\dfrac{1-\varepsilon_r}{2\varepsilon_r}$⑤ $\dfrac{\varepsilon_r}{\varepsilon_r-1}$⑥ $\dfrac{\varepsilon_r}{1-\varepsilon_r}$⑦ $\dfrac{1+\varepsilon_r}{2\varepsilon_r}$⑧ $\dfrac{1-\varepsilon_r}{1+\varepsilon_r}$
問4 図のように，風のない空気中で，静止している観測者Oと，振動数 $f$ [Hz] の音を出す音源Sと，定点p，および壁が直線上に並んでいる。SはOと壁の間を，Oに向かって速さ $v$ [m/s] で移動していて，点pはSとOの間にある。このとき，OはSから直接届く音と壁から反射してくる音の両方を同時に観測することで，1秒間に 9$\times$10 回のうなりを聞いた。つぎに，Sは点pを通過した直後に速さを $\dfrac{3v}{2}$ [m/s] に変えて移動を続けた。するとOが観測するうなりの振動数が2回変化した。このとき，1回目に変化したときのうなりの振動数は 11$\times$12 [Hz] である。ただし，音の速さを $V$ [m/s] とする。（解答番号 9・10・11・12）
9・11 の解答群
① $\dfrac{1}{2}$② $1$③ $\dfrac{3}{2}$④ $2$⑤ $\dfrac{5}{2}$⑥ $3$⑦ $\dfrac{7}{2}$⑧ $4$⑨ $\dfrac{9}{2}$⑩ $5$⑪ $\dfrac{11}{2}$⑫ $6$⑬ $7$
10・12 の解答群
① $\dfrac{Vvf}{(V-v)^2}$② $\dfrac{Vvf}{(V+v)(V-v)}$③ $\dfrac{Vvf}{(V+v)^2}$④ $\dfrac{Vvf}{(V-v)(2V-3v)}$⑤ $\dfrac{Vvf}{(V+v)(2V-3v)}$⑥ $\dfrac{Vvf}{(V-v)(2V+3v)}$⑦ $\dfrac{Vvf}{(V+v)(2V+3v)}$⑧ $\dfrac{Vvf}{(2V-3v)^2}$⑨ $\dfrac{Vvf}{(2V-3v)(2V+3v)}$⑩ $\dfrac{Vvf}{(2V+3v)^2}$
問5 図のように，断熱容器Aと断熱容器Bがコックのついた細い断熱された管でつながっており，内部にはそれぞれ単原子分子理想気体が封入されている。ただし，A内の気体の圧力は $P$ [Pa]，体積は $V$ [m$^3$]，温度は $T$ [K] であり，B内の気体の圧力は $3P$ [Pa]，体積は $2V$ [m$^3$] である。つぎに，コックを開いて気体を混合させたところ，A内とB内の気体はともに温度 $2T$ [K] となった。このとき，気体を混合した後のA内とB内の圧力は 13$\times P$ [Pa] であり，気体を混合する前のB内の気体の温度は 14$\times T$ [K] である。（解答番号 13・14）
13・14 の解答群
① $\dfrac{1}{3}$② $\dfrac{2}{3}$③ $1$④ $\dfrac{4}{3}$⑤ $\dfrac{5}{3}$⑥ $2$⑦ $\dfrac{7}{3}$⑧ $\dfrac{8}{3}$⑨ $3$⑩ $\dfrac{6}{5}$⑪ $\dfrac{7}{5}$⑫ $\dfrac{12}{5}$
▶ 第1問 の答えと解説を見る
第1問 小問集合 の答えと解説
問1
⑧③⑨
- Bの先端の接点はAの下端から $\dfrac{2}{3}$ の位置，Bの長さもAの $\dfrac{2}{3}$ で，どちらも水平面と $45^\circ$ なので，A，B，水平面は二等辺三角形をつくる。接点でBがAから受ける力を，Aに垂直な成分 $N$ と，Aに沿う成分 $f$ に分ける。
- Bのつりあい（Bの下端のまわりのモーメント）：Bの重さ $W$ は下端から水平に $\dfrac{1}{2}\ell_B\cos45^\circ$ の位置，$N$ はBの先端にはたらく。三角形の辺の関係を使って整理すると，$N=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}W$ → 1は⑧。
- 同じモーメントの式の，Aに沿う成分から $f=\dfrac{\sqrt{2}}{4}W$ → 2は③。
- Aのつりあい：水平方向では，接点での力の水平成分と，床の摩擦力（水平面から受ける摩擦力）がつりあう。接点でAがBから受ける力は $N$ と $f$ の反作用なので，水平成分は $\dfrac{3\sqrt{2}}{4}W\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{4}W\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=W$。よって床の摩擦力は $W$ → 3は⑨。（鉛直方向の確認：Aが床から受ける垂直抗力 $\dfrac{3}{2}W$ と，Bが床から受ける垂直抗力 $\dfrac{3}{2}W$ の合計が全体の重さ $3W$ に一致する。）
問2
③①
- 天体の質量を $M$，万有引力定数を $G$ とすると，表面での重力は $\dfrac{GMm}{R^2}=mg$ なので $GM=gR^2$。
- 高さ $h$ の円軌道（軌道半径 $R+h$）の運動方程式：$m\dfrac{v^2}{R+h}=\dfrac{GMm}{(R+h)^2}$ より $v=\sqrt{\dfrac{GM}{R+h}}=\sqrt{\dfrac{gR^2}{R+h}}$ → 4は③。
- 周期は $T=\dfrac{2\pi(R+h)}{v}=2\pi\sqrt{\dfrac{(R+h)^3}{gR^2}}$ → 5は①。
問3
⑧③④
- 電源から切り離してあるので，極板上の電気量 $Q$ は一定。静電エネルギーは $U=\dfrac{Q^2d}{2\varepsilon_0S}$ なので，間隔 $d$ に比例する。間隔が $d_1\to d_2$ になると，エネルギーは $U\to\dfrac{d_2}{d_1}U$。外力のした仕事は，エネルギーの変化に等しく $\left(\dfrac{d_2}{d_1}-1\right)U=\dfrac{d_2-d_1}{d_1}U$（近づけると負の仕事＝極板が引きあう力に引かれる）→ 6は⑧。
- つぎに，厚さ $\dfrac{d_2}{2}$ の誘電体が全面を満たすと，極板間は「真空の層 $\dfrac{d_2}{2}$」と「誘電体の層 $\dfrac{d_2}{2}$」の直列。$Q$ 一定なので，エネルギーは「$\dfrac{Q^2}{2\varepsilon_0S}\times$（実効的な厚さ）」に比例し，実効的な厚さは $\dfrac{d_2}{2}+\dfrac{d_2}{2\varepsilon_r}=\dfrac{d_2}{2}\cdot\dfrac{\varepsilon_r+1}{\varepsilon_r}$。
- 挿入前の実効的な厚さは $d_2$ なので，エネルギーは $\dfrac{\varepsilon_r+1}{2\varepsilon_r}$ 倍。仕事は $\dfrac{d_2}{d_1}U\left(\dfrac{\varepsilon_r+1}{2\varepsilon_r}-1\right)=\dfrac{d_2}{d_1}\cdot\dfrac{1-\varepsilon_r}{2\varepsilon_r}U$ → 7は③，8は④。
問4
④②⑩⑤
- Sは壁から遠ざかり，Oに近づいている。Oに直接届く音の振動数は $f_1=\dfrac{V}{V-v}f$。壁に届く音は，音源が遠ざかるので $\dfrac{V}{V+v}f$ で，壁は静止しているので，反射してOに届く音も $f_2=\dfrac{V}{V+v}f$。
- うなりの回数は $f_1-f_2=Vf\left(\dfrac{1}{V-v}-\dfrac{1}{V+v}\right)=2\times\dfrac{Vvf}{(V+v)(V-v)}$ → 9は④，10は②。
- 点pはOに近いので，pで出た音は，壁を回る音より先にOに届く。つまり1回目の変化は「直接音の振動数が変わる」こと。速さ $\dfrac{3v}{2}$ の直接音は $\dfrac{Vf}{V-3v/2}=\dfrac{2Vf}{2V-3v}$，反射音は（まだ変化前の）$\dfrac{Vf}{V+v}$。
- うなりは $\dfrac{2Vf}{2V-3v}-\dfrac{Vf}{V+v}=Vf\cdot\dfrac{2(V+v)-(2V-3v)}{(2V-3v)(V+v)}=5\times\dfrac{Vvf}{(V+v)(2V-3v)}$ → 11は⑩，12は⑤。
問5
⑦⑫
- 断熱で外との仕事もないので，混合の前後で内部エネルギーの和が保存する。単原子分子では $U=\dfrac{3}{2}nRT=\dfrac{3}{2}PV$。混合前のBの温度を $T_B$，物質量を $n_A,n_B$ とすると $n_AR=\dfrac{PV}{T}$，$n_BR=\dfrac{3P\cdot2V}{T_B}=\dfrac{6PV}{T_B}$。
- エネルギー保存：$PV+6PV=\left(\dfrac{PV}{T}+\dfrac{6PV}{T_B}\right)\cdot2T$ より $7=2+\dfrac{12T}{T_B}$，$T_B=\dfrac{12}{5}T$ → 14は⑫。
- 混合後は，物質量の合計 $n_A+n_B$，体積 $3V$，温度 $2T$。$nR=\dfrac{PV}{T}+\dfrac{6PV}{T_B}=\dfrac{PV}{T}\left(1+\dfrac{5}{2}\right)=\dfrac{7PV}{2T}$ なので，圧力は $\dfrac{nR\cdot2T}{3V}=\dfrac{7}{3}P$ → 13は⑦。
類題 第2問 台車の上のばね振り子
図 台車とばね振り子（TMPS作成）
つぎの問い（問1〜問5）の空所 に入る適語を解答群から選択せよ。（解答番号 15〜22）
図のように，なめらかな床をもつ台車の鉛直な壁に，ばね定数 $k$ [N/m] の軽いばねKの一端を固定し，Kの他端には質量 $m$ [kg] の小物体Aを取り付けた。Kが自然の長さの状態でAを静止させたまま，台車を水平面上に静かに置いた。つぎに，台車を壁のある向きに一定の大きさ $a$ [m/s$^2$] の加速度で動かしたところ，Aは台車の中で単振動を始めた。ただし，KとAと台車は水平方向にのみ運動するものとし，Aは台車の壁とは衝突しないものとする。また，Aの運動は台車の中の人が観測するものとする。
問1 Aの振幅は 15 [m] であり，Aが台車に対して動く速さの最大値は 16 [m/s] である。（解答番号 15・16）
15 の解答群
① $\dfrac{ma}{2k}$② $\dfrac{ma}{k}$③ $\dfrac{2ma}{k}$④ $\dfrac{ka}{2m}$⑤ $\dfrac{ka}{m}$⑥ $\dfrac{2ka}{m}$⑦ $\dfrac{m}{2ka}$⑧ $\dfrac{m}{ka}$⑨ $\dfrac{2m}{ka}$⑩ $\dfrac{kma}{2}$⑪ $kma$⑫ $2kma$
16・19 の解答群
① $\dfrac{a}{2}\sqrt{\dfrac{m}{k}}$② $\dfrac{a}{2}\sqrt{\dfrac{k}{m}}$③ $a\sqrt{\dfrac{m}{k}}$④ $a\sqrt{\dfrac{k}{m}}$⑤ $\sqrt{2}\,a\sqrt{\dfrac{m}{k}}$⑥ $\sqrt{2}\,a\sqrt{\dfrac{k}{m}}$⑦ $2a\sqrt{\dfrac{m}{k}}$⑧ $2a\sqrt{\dfrac{k}{m}}$⑨ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}a\sqrt{\dfrac{m}{k}}$⑩ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}a\sqrt{\dfrac{k}{m}}$⑪ $\sqrt{5}\,a\sqrt{\dfrac{m}{k}}$⑫ $\sqrt{5}\,a\sqrt{\dfrac{k}{m}}$
問2 Aが運動を始めてから，Aがはじめてつりあいの位置を通過した瞬間に台車は加速をやめ，その後は一定の速度で運動を続けた。台車が加速を始めてから加速をやめるまでの時間は 17 [s] である。（解答番号 17）
17 の解答群
① $\dfrac{\pi}{4}\sqrt{\dfrac{m}{k}}$② $\dfrac{\pi}{3}\sqrt{\dfrac{m}{k}}$③ $\dfrac{\pi}{2}\sqrt{\dfrac{m}{k}}$④ $\dfrac{2\pi}{3}\sqrt{\dfrac{m}{k}}$⑤ $\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$⑥ $\dfrac{\pi}{4}\sqrt{\dfrac{k}{m}}$⑦ $\dfrac{\pi}{3}\sqrt{\dfrac{k}{m}}$⑧ $\dfrac{\pi}{2}\sqrt{\dfrac{k}{m}}$⑨ $\dfrac{2\pi}{3}\sqrt{\dfrac{k}{m}}$⑩ $\pi\sqrt{\dfrac{k}{m}}$⑪ $\dfrac{3\pi}{2}\sqrt{\dfrac{m}{k}}$⑫ $2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$
問3 台車が一定の速度で運動を始めてから，Aは 15 とは異なる振幅で単振動し始めた。このときの振幅は 15 の 18 倍であり，Aが台車に対して動く速さの最大値は 19 [m/s] である。（解答番号 18・19）
18 の解答群
① $\dfrac{1}{4}$② $\dfrac{1}{2}$③ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$④ $\dfrac{3}{4}$⑤ $1$⑥ $\sqrt{2}$⑦ $\dfrac{3}{2}$⑧ $\sqrt{3}$⑨ $2$⑩ $\sqrt{5}$⑪ $\dfrac{5}{2}$⑫ $3$⑬ $2\sqrt{2}$⑭ $4$
問4 台車が一定の速度で運動を始めてから，Aが1周期分の振動をした直後に，台車は運動と逆向きの一定の加速度で減速を始め，やがて静止した。台車が減速している間，Aは 15 の $\dfrac{\sqrt{13}}{2}$ 倍の振幅で単振動し続けた。このとき，台車の加速度の大きさは 20$\times a$ [m/s$^2$] である。また，台車が静止した後も単振動を続けるAの振幅は，15 の 21 倍である。（解答番号 20・21）
20・21 の解答群
① $\dfrac{1}{4}$② $\dfrac{1}{2}$③ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$④ $\dfrac{3}{4}$⑤ $1$⑥ $\sqrt{2}$⑦ $\dfrac{3}{2}$⑧ $\sqrt{3}$⑨ $2$⑩ $\sqrt{5}$⑪ $\dfrac{5}{2}$⑫ $3$⑬ $2\sqrt{2}$⑭ $4$
問5 17 を $T$ [s] とおく。台車が最初の加速度運動を始めてから静止するまでに，台車が水平面上で移動した距離は 22$\times aT^2$ [m] である。（解答番号 22）
22 の解答群
① $\dfrac{1}{2}$② $1$③ $\dfrac{3}{2}$④ $2$⑤ $\dfrac{5}{2}$⑥ $3$⑦ $\dfrac{7}{2}$⑧ $4$⑨ $\dfrac{9}{2}$⑩ $5$⑪ $\dfrac{11}{2}$⑫ $6$⑬ $\dfrac{13}{2}$⑭ $7$
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第2問 台車の上のばね振り子 の答えと解説
問1
②③
- 台車の中の人から見ると，Aにはたらく慣性力 $ma$ が，ばねの伸びる向きにはたらく。つりあいの位置は，自然の長さから $\dfrac{ma}{k}$ だけ伸びた位置。Aは自然の長さの位置から静かに運動を始めるので，その位置が振動の端であり，振幅は つりあいの位置までの距離 $\dfrac{ma}{k}$ → 15は②。
- 角振動数は $\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$。速さの最大値は $\omega\times$振幅 $=\sqrt{\dfrac{k}{m}}\cdot\dfrac{ma}{k}=a\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ → 16は③。
問2
③
- 台車の中でのAの運動は，つりあいの位置を中心にした単振動。自然の長さの位置（振動の端）から出発して，はじめてつりあいの位置（中心）を通るのは，周期 $2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ の $\dfrac{1}{4}$ 後。
- よって $t=\dfrac{1}{4}\cdot2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}=\dfrac{\pi}{2}\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ → 17は③。
問3
⑥⑤
- 台車が加速をやめた瞬間のAは，つりあいの位置（自然の長さから $\dfrac{ma}{k}$ 伸びた位置）を，台車に対して速さ $a\sqrt{\dfrac{m}{k}}$（問1の最大値）で通過している。
- 加速をやめると慣性力が消え，つりあいの位置は自然の長さの位置に戻る。Aは「自然の長さから $\dfrac{ma}{k}$ 伸びた位置を，速さ $a\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ で通る」ところから，改めて自然の長さを中心に単振動する。
- 振幅を $A'$ とすると，エネルギー保存より $\dfrac{1}{2}kA'^2=\dfrac{1}{2}k\left(\dfrac{ma}{k}\right)^2+\dfrac{1}{2}m\cdot a^2\dfrac{m}{k}=k\left(\dfrac{ma}{k}\right)^2$ なので $A'=\sqrt{2}\,\dfrac{ma}{k}$ → 18は⑥。速さの最大値は $\sqrt{\dfrac{k}{m}}A'=\sqrt{2}\,a\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ → 19は⑤。
問4
②⑩
- 1周期分の振動をした直後のAの状態は，加速をやめたときと同じ：自然の長さから $\dfrac{ma}{k}$ だけ伸びた位置，台車に対する速さ $a\sqrt{\dfrac{m}{k}}$（伸びる向き）。
- 減速の加速度の大きさを $a_2$ とすると，台車の中では慣性力 $ma_2$ が，ばねを縮める向きにはたらき，つりあいの位置は自然の長さから $\dfrac{ma_2}{k}$ だけ縮んだ位置に移る。この位置を中心にみると，Aは「$\dfrac{ma+ma_2}{k}$ だけ離れた位置」で「速さ $a\sqrt{\dfrac{m}{k}}$」をもつので，振幅 $A_2$ は $A_2^2=\left(\dfrac{ma+ma_2}{k}\right)^2+\left(\dfrac{ma}{k}\right)^2$（速さ÷$\omega$ が $\dfrac{ma}{k}$）。
- $A_2=\dfrac{\sqrt{13}}{2}\dfrac{ma}{k}$ なので $(a+a_2)^2+a^2=\dfrac{13}{4}a^2$，$a_2=\dfrac{1}{2}a$ → 20は②。
- 台車が静止するまでの時間は $t_2=\dfrac{a\cdot\frac{\pi}{2}\sqrt{m/k}}{a_2}=\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$（$\omega t_2=\pi$，減速中の振動の半周期）。半周期後は，つりあいの位置（縮んだ側 $\dfrac{ma}{2k}$）を中心に反対側へ移るので，自然の長さから $\dfrac{ma}{2k}+\dfrac{3ma}{2k}=\dfrac{2ma}{k}$ だけ縮んだ位置で，速さ $a\sqrt{\dfrac{m}{k}}$（縮む向き）。
- 台車が止まると，つりあいの位置が自然の長さに戻る。新しい振幅は $\sqrt{\left(\dfrac{2ma}{k}\right)^2+\left(\dfrac{ma}{k}\right)^2}=\sqrt{5}\,\dfrac{ma}{k}$ → 21は⑩。
問5
⑪
- 台車の運動は3段階。（ⅰ）加速：時間 $T$，距離 $\dfrac{1}{2}aT^2$。このときの速さは $aT$。
- （ⅱ）等速：Aが1周期 $2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}=4T$ の振動をする間，距離は $aT\times4T=4aT^2$。
- （ⅲ）減速：加速度の大きさ $\dfrac{a}{2}$，初速 $aT$ なので，距離は $\dfrac{(aT)^2}{2\cdot a/2}=aT^2$（時間は $2T$）。
- 合計 $\left(\dfrac{1}{2}+4+1\right)aT^2=\dfrac{11}{2}aT^2$ → 22は⑪。
類題 第3問 荷電粒子の偏向
図 極板とスクリーン（TMPS作成） 
図 磁場中の円弧（TMPS作成）
つぎの問い（問1〜問7）の空所 に入る適語を解答群から選択せよ。（解答番号 23〜29）
図のように，じゅうぶん広いスクリーンSの中央を原点Oとする $xyz$ 軸をとり，Sと $xy$ 平面が一致するように真空中で固定した。正方形の4枚の極板A，B，C，Dを用意する。A，Bは一辺 $b$ [m] で，$z$ 軸が中心を通るようにSと平行に固定し，間隔は $d_1$ [m] である。C，Dは一辺 $b$ [m]，間隔は $d_2$ [m] で $xz$ 平面と平行に固定する。このとき，CとDの中心を通り極板と直交する線と $z$ 軸との交点を点pとし，点pと原点Oとの距離は $\ell$ [m] である。ただし，$z$ 軸は，極板Dから $\dfrac{d_2}{3}$ [m]，極板Cから $\dfrac{2d_2}{3}$ [m] の位置を通る。質量 $m$ [kg]，正の電気量 $q$ [C] の小球Pを，Aの中央で静止させ，Bの中央に小さな穴を開ける。AB間に電位差 $V_1$ [V] を与え，CはDより電位差 $V_2$ [V] だけ高くなるようにしたところ，Pは $z$ 軸上を運動し始め，Bの穴を抜けて飛び出した。ただし，AB間とCD間の電場は一様で極板間の外には存在しないものとし，重力の影響は考えない。
問1 PがAB間にあるとき，Pの加速度の大きさは 23 [m/s$^2$] であり，PがAB間を通過するのにかかる時間は 24 [s] である。（解答番号 23・24）
23 の解答群
① $\dfrac{qV_1}{2md_1}$② $\dfrac{qV_1}{md_1}$③ $\dfrac{2qV_1}{md_1}$④ $\dfrac{mV_1}{qd_1}$⑤ $\dfrac{md_1}{qV_1}$⑥ $\dfrac{qd_1}{mV_1}$⑦ $\dfrac{q}{md_1V_1}$⑧ $\dfrac{qV_1^2}{md_1}$⑨ $\dfrac{qV_1}{m}$⑩ $\dfrac{qV_1}{d_1}$⑪ $\dfrac{mqV_1}{d_1}$⑫ $\dfrac{qd_1}{V_1}$
24 の解答群
① $d_1\sqrt{\dfrac{m}{qV_1}}$② $d_1\sqrt{\dfrac{2m}{qV_1}}$③ $d_1\sqrt{\dfrac{m}{2qV_1}}$④ $d_1\sqrt{\dfrac{qV_1}{m}}$⑤ $d_1\sqrt{\dfrac{2qV_1}{m}}$⑥ $d_1\sqrt{\dfrac{qV_1}{2m}}$⑦ $\sqrt{\dfrac{md_1}{qV_1}}$⑧ $\sqrt{\dfrac{2md_1}{qV_1}}$⑨ $\sqrt{\dfrac{md_1}{2qV_1}}$⑩ $\dfrac{d_1}{V_1}\sqrt{\dfrac{m}{q}}$⑪ $\dfrac{2d_1}{V_1}\sqrt{\dfrac{m}{q}}$⑫ $\dfrac{d_1}{2V_1}\sqrt{\dfrac{m}{q}}$
問2 PがCD間にあるとき，Pにはたらく力の大きさは 25 [N] である。（解答番号 25）
25 の解答群
① $\dfrac{qV_2}{2d_2}$② $\dfrac{qV_2}{d_2}$③ $\dfrac{2qV_2}{d_2}$④ $\dfrac{qV_2}{2md_2}$⑤ $\dfrac{qV_2}{md_2}$⑥ $\dfrac{2qV_2}{md_2}$⑦ $\dfrac{qd_2}{V_2}$⑧ $\dfrac{2qd_2}{V_2}$⑨ $\dfrac{qd_2}{2V_2}$⑩ $\dfrac{mqV_2}{d_2}$⑪ $\dfrac{qV_2^2}{d_2}$⑫ $\dfrac{qV_2^2}{2d_2}$
問3 PがCD間を通り抜けるためには，$V_2$ は最大で 26$\times V_1$ [V] である。（解答番号 26）
26 の解答群
① $\dfrac{d_2}{b}$② $\dfrac{2d_2}{3b}$③ $\dfrac{4d_2}{3b}$④ $\dfrac{8d_2}{3b}$⑤ $\dfrac{d_2^2}{b^2}$⑥ $\dfrac{2d_2^2}{3b^2}$⑦ $\dfrac{4d_2^2}{3b^2}$⑧ $\dfrac{8d_2^2}{3b^2}$⑨ $\dfrac{b}{d_2}$⑩ $\dfrac{3b}{4d_2}$⑪ $\dfrac{b^2}{d_2^2}$⑫ $\dfrac{3b^2}{4d_2^2}$⑬ $\dfrac{3b^2}{2d_2^2}$⑭ $\dfrac{3b^2}{8d_2^2}$
問4 26 を $n$ とおき，$V_2=nV_1$ とする。このとき，PはCD間を抜けてSに到達した。Pが到達したS上の点と $z$ 軸（$y$ 軸方向のずれ）との距離を $n$ と $\ell$ を用いて表すと 27 [m] である。（解答番号 27）
27 の解答群
① $\dfrac{1}{3}n\ell$② $\dfrac{\sqrt{3}}{3}n\ell$③ $\dfrac{1}{2}n\ell$④ $n\ell$⑤ $\sqrt{3}\,n\ell$⑥ $2n\ell$⑦ $\dfrac{1}{3}\sqrt{n}\,\ell$⑧ $\dfrac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{n}\,\ell$⑨ $\dfrac{1}{2}\sqrt{n}\,\ell$⑩ $\sqrt{n}\,\ell$⑪ $\sqrt{3}\sqrt{n}\,\ell$⑫ $2\sqrt{n}\,\ell$⑬ $\sqrt{\dfrac{n\ell}{3}}$⑭ $\sqrt{3n\ell}$⑮ $n\sqrt{\dfrac{\ell}{3}}$⑯ $n\sqrt{3\ell}$
つぎに，CD間の電位差を0にし，CD間に大きさ $B$ [T] の一様な磁束密度の磁場を $y$ 軸に平行な向きに加えた。質量 $m$ [kg]，正の電気量 $q$ [C] の小球 $\mathrm{P}'$ をAの中央で静止させ，AB間に電位差 $V_1$ [V] を加えたところ，$\mathrm{P}'$ はBの穴から飛び出した。その後，$\mathrm{P}'$ はCD間で図のような円弧を描き，CD間の $z$ 方向の終端の辺上で $x$ 座標が $\dfrac{b}{4}$ [m] となる点rでCD間を抜け，Sに到達した。ただし，図はCを $y$ 軸の正の側から見たものである。
問5 $\mathrm{P}'$ がCD間にあるとき，$\mathrm{P}'$ にはたらく力の大きさは 28 [N] である。（解答番号 28）
28 の解答群
① $qB\sqrt{\dfrac{2qV_1}{m}}$② $qB\sqrt{\dfrac{qV_1}{m}}$③ $qB\sqrt{\dfrac{qV_1}{2m}}$④ $qB\sqrt{\dfrac{2mV_1}{q}}$⑤ $B\sqrt{\dfrac{2qV_1}{m}}$⑥ $\dfrac{q}{B}\sqrt{\dfrac{2qV_1}{m}}$⑦ $\dfrac{B}{q}\sqrt{\dfrac{2qV_1}{m}}$⑧ $2qB\sqrt{\dfrac{2qV_1}{m}}$
問6 $\mathrm{P}'$ が到達したS上の点の $x$ 座標は 29 [m] である。（解答番号 29）
29 の解答群
① $\dfrac{8\ell-b}{15}$② $\dfrac{8\ell-2b}{15}$③ $\dfrac{8\ell-4b}{15}$④ $\dfrac{16\ell-b}{30}$⑤ $\dfrac{32\ell-b}{60}$⑥ $\dfrac{32\ell-3b}{60}$⑦ $\dfrac{8\ell-b}{17}$⑧ $\dfrac{8\ell-2b}{17}$⑨ $\dfrac{15\ell-b}{17}$⑩ $\dfrac{15\ell-2b}{17}$⑪ $\dfrac{15\ell-b}{32}$⑫ $\dfrac{17\ell-b}{32}$
▶ 第3問 の答えと解説を見る
第3問 荷電粒子の偏向 の答えと解説
問1
②②
- AB間の電場の強さは $E_1=\dfrac{V_1}{d_1}$。Pにはたらく力は $qE_1=\dfrac{qV_1}{d_1}$ なので，加速度の大きさは $\dfrac{qV_1}{md_1}$ → 23は②。
- 静止から等加速度運動で距離 $d_1$ 進むので，$d_1=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{qV_1}{md_1}t^2$ より $t=d_1\sqrt{\dfrac{2m}{qV_1}}$ → 24は②。（Bの穴を出るときの速さは $v=\sqrt{\dfrac{2qV_1}{m}}$ で，以降の問いで使う。）
問2
②
- CD間の電場の強さは $E_2=\dfrac{V_2}{d_2}$。力の大きさは $qE_2=\dfrac{qV_2}{d_2}$ → 25は②。（Cのほうが電位が高いので，力は正電荷をDのほうへ向ける。Dは $z$ 軸に近い極板。）
問3
⑦
- PはCD間（$z$ 方向の長さ $b$）を，速さ $v=\sqrt{\dfrac{2qV_1}{m}}$ で等速に進むので，通過時間は $t=\dfrac{b}{v}$。力は極板Dのほうへ向かい，加速度は $\dfrac{qV_2}{md_2}$。
- 通り抜けられる条件は，Dのほうへのずれが，$z$ 軸からDまでの距離 $\dfrac{d_2}{3}$ 以下であること：$\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{qV_2}{md_2}\cdot\dfrac{b^2}{v^2}\le\dfrac{d_2}{3}$。$v^2=\dfrac{2qV_1}{m}$ を入れると $\dfrac{V_2b^2}{4V_1d_2}\le\dfrac{d_2}{3}$。
- よって $V_2\le\dfrac{4d_2^2}{3b^2}V_1$ → 26は⑦。
問4
⑧
- CD間を出た直後のずれ $y_1$ と，進む向きの傾き $\tan\theta=\dfrac{v_y}{v}$ は，$y_1=\dfrac{V_2b^2}{4V_1d_2}=\dfrac{nb^2}{4d_2}$，$\tan\theta=\dfrac{qV_2}{md_2}\cdot\dfrac{b}{v}\cdot\dfrac{1}{v}=\dfrac{nb}{2d_2}$。
- CD間を出てから，まっすぐSまでの距離は $\ell-\dfrac{b}{2}$。到達点のずれは $y=y_1+\left(\ell-\dfrac{b}{2}\right)\tan\theta=\dfrac{nb\ell}{2d_2}$（途中の $b^2$ の項は打ち消し合う：曲がる向きの延長線は，CD間の中央を通る）。
- ここで $n=\dfrac{4d_2^2}{3b^2}$ より $\dfrac{b}{d_2}=\dfrac{2}{\sqrt{3n}}$。したがって $y=\dfrac{n\ell}{2}\cdot\dfrac{2}{\sqrt{3n}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{n}\,\ell$ → 27は⑧。
問5
①
- 磁場から受ける力の大きさは $qvB$。Bの穴を出た直後の速さは $v=\sqrt{\dfrac{2qV_1}{m}}$（AB間の仕事とエネルギー）で，磁場中の力は仕事をしないので速さは変わらない。よって $qB\sqrt{\dfrac{2qV_1}{m}}$ → 28は①。
問6
⑤
- 円弧の半径を $R$ とする。入り口（$x=0$）から $z$ 方向に $b$ 進んだ点rで $x=\dfrac{b}{4}$ なので，円の中心が $x=R$ にあることから $b^2+\left(R-\dfrac{b}{4}\right)^2=R^2$。これを解いて $R=\dfrac{17}{8}b$。
- rでの進む向きは $z$ 軸から $\theta$ だけ曲がっていて，$\sin\theta=\dfrac{b}{R}=\dfrac{8}{17}$，$\cos\theta=\dfrac{R-b/4}{R}=\dfrac{15}{17}$，$\tan\theta=\dfrac{8}{15}$。
- rを出てからSまでの $z$ 方向の距離は $\ell-\dfrac{b}{2}$（CD間の中央pからSまでが $\ell$，rはpより $\dfrac{b}{2}$ だけS側）。到達点の $x$ 座標は $\dfrac{b}{4}+\left(\ell-\dfrac{b}{2}\right)\cdot\dfrac{8}{15}=\dfrac{32\ell-b}{60}$ → 29は⑤。
※ 類題は、本番の解き方の骨格は残しつつ、題材・数値・向きを変えて作っています（例：第1問は棒の角度と重さと接点の位置を、衛星は角速度から速さへ、コンデンサーは極板を近づけて厚さの半分の誘電体を入れる設定に、第2問は台車の加速をやめるタイミングと減速の大きさを、第3問は粒子を通す位置を極板の端から3分の1の位置にしました）。解答番号1〜29のすべてを、数値シミュレーションで独立に検算しています。
30秒 得点診断
本番の過去問、またはそっくり類題セットを50分で解いた結果を選んでください。次にやるべきことを表示します。
保護者の方へ：北里大の物理で知っておきたい3つのこと
① 「小問集合＋2つの大問」という出題
第1問は力学・電磁気・波動・熱から小問が並び、第2問は力学（台車のばね振り子）、第3問は電磁気（荷電粒子）と、幅の広い範囲を50分で解く構成です。どの分野も、基本の式を使いこなす準備が得点に直結します。② 計算は「式を先に作る」で落とさない
解答群に似た形の式が並ぶ試験です。選択肢を見て推測するのではなく、自分で式を出してから照らし合わせる習慣が、ミスを減らします。③ 秋からは「答案を見てもらう」
理科2科目で100分という配分は、独学では直しにくい部分です。どこで時間を失ったか、第三者の目で見ると最短で伸びます。よくある質問
Q. 北里大学 医学部の物理2025年度は、どの順番で解くのがよいですか？
TMPSのおすすめは、第1問の小問集合を20分、第2問（台車の上のばね振り子）を14分、第3問（荷電粒子の偏向）を16分の合計50分です。本番は理科2科目で100分なので、物理に50分を使う想定です。第1問は1問3〜4分で取り、図の読みや式の選び方に迷う問題は後回しにします。
Q. 問題文が載っていなくても、どんな問題か分かりますか？
分かります。著作権に配慮して問題本文・図は掲載していませんが、各小問の最初に「どういう問題か」として、設定・何を答えるか・解答番号の形をTMPSの言葉で説明しています。
Q. 答えは、どうやって確かめていますか？
本番の解答番号1〜29の全29個を、数式処理（sympy）と数値シミュレーション（力のつりあいの連立方程式、運動方程式の数値積分、波面の追跡など）の両方で独立に確かめています。図の読み取りなどスクリプトでは確かめきれない箇所は、ページ内に「要確認」と明記しています。
Q. そっくり類題セットとは何ですか？
2025年度と同じ3大問・解答番号1〜29の形で、題材・数値・設定を変えたTMPSオリジナル問題です。全問の答え・解説をこのページに掲載し、本番形式の問題冊子PDF（9ページ）も無料で配布しています。
Q. 解説に誤りを見つけたらどうすればいいですか？
公式LINEからお知らせください。確認のうえ修正し、更新日を記載します。
安心安全・継続更新システム
問題等で誤りを発見された場合、修正しますので、TMPS医学館までLINEを下さい。
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