分母を $g(x)=\sin x+\cos x$ とおくと $g'(x)=\cos x-\sin x$。ここが2つ組のポイントです。
📌 このページの使い方
- 過去問集をお持ちの方：本番と同じ70分で解き、答え一覧で採点してから解説へ
- お持ちでない方：各小問の「どういう問題か」を読めば、問題の中身がそのまま分かります
- 最後にそっくり類題セット（PDF版あり）を70分で解き、初見でも同じ解き方ができるか確かめる
※ 著作権に配慮し、入試問題の本文・図は掲載していません。空欄の記号（ア・イ・…）は、本番の解答欄との対応を示すためのものです。※ 大問Ⅲは記述式のため、解答の代わりに「答案例」を載せています（書き方の一例です）。
⚠️ 問題等で誤りを発見された場合、修正しますので、TMPS医学館までLINEを下さい。（迅速に確認・更新いたします）
LINEで誤りを連絡3分で分かる 2024年度の順天堂大の数学
- ✅ 全3大問・試験時間70分。大問Ⅰ・Ⅱは空欄に数字を入れるマーク式、大問Ⅲは記述式です。
- ✅ 大問Ⅰは小問集合。(1)分母が1次式の三角関数の定積分を、2つ組にして解く問題2題、(2)さいころを5回投げたときの「同じ目が続く」確率、(3)$\sum b^{n-k}c^k$ の形の数列と、その和・重み付きの和。1つ1つは短く、確実に取りたい所です。
- ✅ 大問Ⅱは「五角形とベクトル」。(a)余弦定理と面積、(b)2つのベクトルで各点を表す、(c)その五角形で平面を敷き詰めたときの「隣の五角形」までの距離を求めます。(c)は敷き詰めの対称性（点対称の中心）に気づけるかが勝負です。
- ✅ 大問Ⅲは「逆関数で数列を作り、和を整理して不等式にする」記述問題。(1)(2)で具体例を計算し、(3)で対数の和をくずし、(4)で階乗の不等式に結びつけます。
Yuiちゃん
記述の大問があると、マーク式の時間が足りなくなりそうで不安です…。
ニックニ先生
大問Ⅰは短い問題の集まりだから26分で終える。Ⅱは(c)が一番重いので、(a)(b)で道具をそろえてから入る。記述のⅢは(1)(2)だけでも確実に点になる。順番を決めておけば焦らない。Yuiちゃん
空欄が多いと、どこで間違えたか分からなくなりそうです。ニックニ先生
だから途中式は必ず手元に残す。空欄の答えが合っても、途中が曖昧なら次は落とす。70分の立ち回りマップ
時間はTMPSの目安です。解く順番と「捨てどころ」をセットで覚えておきましょう。
🧭 おすすめの解く順番
大問Ⅰ → 大問Ⅱ → 大問Ⅲ → 見直し6分
各大問の前半は誘導に乗れば短時間で取れます。Ⅱ(c)やⅢ(3)(4)で詰まったら、他の大問の取れる所を先に取りに行き、時間が余ったら戻りましょう。
本番の答え一覧（採点用）
解説を読む前の採点用です。マーク式の空欄はすべて、記号計算と全数探索・数値計算のスクリプトで独立に確かめています（結果は下の注記）。
大問Ⅰ
(1)(a) ア/イ＝1/4 ウ/エ＝1/2 オ2 カ/キ＝1/8 ク/ケ＝1/4 コ2(1)(b) サ3 シス26 セ2 ソタ13 チツ15 テト16 ナ1 ニヌ13 ネ3 ノハ13 ヒフ15 ヘホ16(2)(a) アイウ/エオカキ＝625/1296(2)(b) クケコ/サシスセ＝671/1296(2)(c) ソタ/チツテト＝11/1296(2)(d) ナ/ニヌ＝2/27(3)(a) ア3(3)(b) イ/ウ＝1/2(3)(c) エ/オ＝9/8
大問Ⅱ
(a) ア/イ＝3/4 ウ4 エ7 オ4(b) カ7 キ4 ク3 ケ7 コ3 サ4 シ3 ス7 セ7 ソ6 タ1 チ7 ツ6 テ7 ト7 ナ6(c) ニ1 ヌ7 ネ3 ノ7 ハ7 ヒ3 フ4 ヘ7 ホ0 マ4 ミ7 ム2
大問Ⅲ（記述式）
(1) a₂＝3，a₃＝8(2) Sₙ＝n(n−1)(4n+1)/6(3) 答案例あり（Sₙ＝n log n − log n!）(4) 答案例あり（n! ≧ nⁿe^{1−n}）
⚠️ 読み取りの注意：本ページは、大問Ⅰ(1)(a)の積分区間の上端を $\frac\pi4$、(b)の上端を $\frac\pi2$ と読んで解いています（この読みで空欄の形と答えがきれいに一致します）。大問Ⅱ(c)の点 $\mathrm{M}'$ は M の右下、$\mathrm{M}''$ は M の右上にある五角形の辺の中点、と図から読んでいます。紙面の小さい記号なので、手元の過去問集でも確かめてください。
※ 検算：マーク式の全空欄を、sympy（記号計算）・mpmath（数値積分）・全数探索で確かめ、すべて一致しました。大問Ⅱ(c)の敷き詰めは、20万点の点を使って「重なりも隙間もない」ことまで確認しています。大問Ⅲは記述式なので、結果の式を数値でも確かめています（答案そのものは論理の確認です）。
採点したら → 30秒の得点診断へ大問Ⅰ 小問集合 ── 積分を2つ組で解く(1)、連続の確率(2)、数列の和(3)
9つの小問がマーク式で並びます。(1)に10分、(2)に8分、(3)に8分が目安です。1つずつが独立しているので、詰まったら次へ進んで構いません。
現場戦略試験会場でのリアルな立ち回り（大問Ⅰ）
⏱ 目標時間 & 死守ライン目標26分（(1)(a)(b)で10分、(2)(a)〜(d)で8分、(3)(a)(b)(c)で8分）。すべての小問で答えが確実に出る問題なので、ここは落としたくない。
⚠️ 損切り・警戒ライン(1)(b)で式が長くなったら、(a)と同じ「2本の等式を作って連立」の型だと決め直す。1問5分を超えたら後回し。(2)(d)が重ければ(a)〜(c)だけ先に確定。
💡 初手の思考トリガー(1)は分母の微分を分子に作る、(2)は余事象と「続く位置」の数え上げ、(3)は等比数列の和の公式（$b\ne c$）。
(1)(a)分母が sin＋cos の定積分2つ（空欄ア〜コ）
📝 どういう問題か？
分母が $\sin x+\cos x$、分子がそれぞれ $\cos x$ と $\sin x$ の2つの定積分 $A,B$ の値を求める。直接は積分しにくいが、足すと分子が分母と同じになり、引くと分子が分母の微分になることに気づけるかが入口。
- ア・イ：2つの積分 $A,B$ の和の値（$\pi$ の何倍か）
- ウ・エ・オ：2つの積分の差の値（$\log$ をふくむ）
- カ〜コ：$A$ そのものを「$\pi$ の項 ＋ $\log$ の項」の形で
$$\begin{aligned}A+B&=\int_0^{\frac\pi4}\frac{\cos x+\sin x}{\sin x+\cos x}dx\\&=\int_0^{\frac\pi4}1\,dx=\frac\pi4\end{aligned}$$
$$\begin{aligned}A-B&=\int_0^{\frac\pi4}\frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}dx\\&=\Big[\log(\sin x+\cos x)\Big]_0^{\frac\pi4}\\&=\log\sqrt2-\log1=\frac12\log2\end{aligned}$$
連立して $A=\dfrac12\left(\dfrac\pi4+\dfrac12\log2\right)=\dfrac\pi8+\dfrac14\log2$。（$B=\dfrac\pi8-\dfrac14\log2$）
🎯 (1)(a) の答え
ア／イ：1／4ウ／エ：1／2オ：2カ／キ：1／8ク／ケ：1／4コ：2
⚠️ $\log\sqrt2=\dfrac12\log2$ に直し忘れない（空欄は $\log$ の中が整数）。$[\log g]$ は $g>0$ の区間なので絶対値は不要。
(1)(b)分母が sin・cos・定数の和の定積分2つ（空欄サ〜ホ）
📝 どういう問題か？
(a)と同じ型で、分母が $g=2\sin x+3\cos x+13$ に変わり、分子が $\cos x+3$ と $\sin x+2$ になった2つの積分 $C,D$ の値を求める。分子の1次式の係数が、(a)のように1:1ではないので、組み合わせを自分で見つける。
- サ・シス：$C$ の $\pi$ の項の係数（既約分数）、セ・ソタ：$\log$ の項の係数
- チツ・テト：$\log$ の中身（既約分数）
- ナ〜ホ：$D$ について同じ形（$\pi$ の項、$\log$ の項、$\log$ の中身）
$g=2\sin x+3\cos x+13$ の導関数は $g'=2\cos x-3\sin x$。分子の $\cos x+3,\ \sin x+2$ の定数倍で、(i)分母と同じ形になる組と、(ii)分母の微分と同じ形になる組を作ります。
| 作りたいもの | 組み合わせ | 確認 | |
|---|---|---|---|
| (i) | $g$ と同じ形 | $3(\cos x+3)+2(\sin x+2)=2\sin x+3\cos x+13$ | 定数項 $9+4=13$ ✓ |
| (ii) | $g'$ と同じ形 | $2(\cos x+3)-3(\sin x+2)=2\cos x-3\sin x$ | 定数項 $6-6=0$ ✓ |
$$3C+2D=\int_0^{\frac\pi2}1\,dx=\frac\pi2,\qquad 2C-3D=\Big[\log g\Big]_0^{\frac\pi2}=\log\frac{15}{16}$$
（$g(\tfrac\pi2)=2+13=15,\ g(0)=3+13=16$。）これを $C,D$ の連立方程式として解きます。
$$13C=\frac{3\pi}2+2\log\frac{15}{16}\ \Longrightarrow\ C=\frac{3}{26}\pi+\frac2{13}\log\frac{15}{16}$$
$$13D=\pi-3\log\frac{15}{16}\ \Longrightarrow\ D=\frac1{13}\pi-\frac3{13}\log\frac{15}{16}$$
🎯 (1)(b) の答え
サ：3シス：26セ：2ソタ：13チツ：15テト：16ナ：1ニヌ：13ネ：3ノハ：13ヒフ：15ヘホ：16
⚠️ 「分子を分母・分母の微分の2本で表す」と考えると、連立の係数が $3,2$ と $2,-3$ の形で決まる。どちらの式も定数項まで一致するかを必ず確かめる（定数項がずれたら組み合わせが違う）。
Yuiちゃん
分子がぜんぜん分母と同じ形じゃなくて、手が止まりました…。ニックニ先生
分母が「sin・cos・定数」の積分は、分子を $\sin x,\ \cos x,\ 1$ の3つで表せる。「分母と同じ」「分母の微分と同じ」の2本の式を作って連立すれば、$\pi$ の項と $\log$ の項が分かれて出てくる。これは型として覚える。(2)さいころ5回で「同じ目が続く」確率（空欄アイウ/エオカキ〜ナ/ニヌ）
📝 どういう問題か？
1〜6のさいころを5回投げる。「連続する回で同じ目」がどのくらい出るかを、余事象・続く位置の数え上げで求める。(a)が(b)の余事象という誘導つき。
- (a)アイウ／エオカキ：5回投げて、同じ目が続けて出ない確率（既約分数、分子3桁・分母4桁）
- (b)クケコ／サシスセ：同じ目が2回以上続けて出る確率
- (c)ソタ／チツテト：同じ目が4回以上続けて出る確率
- (d)ナ／ニヌ：同じ目が3回以上続けて出る確率（分子1桁・分母2桁）
(a) 2回目以降は「直前と違う目」が出ればよく、確率は毎回 $\dfrac56$。4回分なので $\left(\dfrac56\right)^4=\dfrac{625}{1296}$。
(b) (a)の余事象なので $1-\dfrac{625}{1296}=\dfrac{671}{1296}$。
(c) 4回以上続くのは「1〜4回目が同じ」または「2〜5回目が同じ」。それぞれの確率は $\left(\dfrac16\right)^3=\dfrac1{216}$。両方が起こるのは5回すべて同じ目のときで $\left(\dfrac16\right)^4=\dfrac1{1296}$。
$$\frac2{216}-\frac1{1296}=\frac{12-1}{1296}=\frac{11}{1296}$$
(d) 3回以上続く場合は、位置の重なりが複雑なので余事象「どの目も3回以上は続かない」の目の出方を、回数ごとの漸化式で数えます。$n$ 回投げたときの出方を $c_n$ とすると、最後の目が直前と違えば $5c_{n-1}$ 通り、直前と同じで、その前が違えば $5c_{n-2}$ 通りなので $c_n=5(c_{n-1}+c_{n-2})$。
$$c_1=6,\ c_2=36\ \Longrightarrow\ c_3=210,\ c_4=1230,\ c_5=7200$$
求める確率は $1-\dfrac{7200}{7776}=\dfrac{576}{7776}=\dfrac2{27}$。
🎯 (2) の答え
アイウ／エオカキ：625／1296クケコ／サシスセ：671／1296ソタ／チツテト：11／1296ナ／ニヌ：2／27
⚠️ (c)は「どこから4回続くか」で2通りあるが、両方が起こる場合（5回全部同じ）を二重に数えないのがポイント。(d)は、(c)と同じ足し引きでは「1〜3、2〜4、3〜5」の重なりが多く、ミスしやすい。余事象の漸化式に切り替えるのが安全。
(3)和の形で定義された数列（空欄ア・イ/ウ・エ/オ）
📝 どういう問題か？
$a_n$ は「$b$ の累乗と $c$ の累乗を、指数の和が $n$ になるように並べた和」。$b\ne c$ なら等比数列の和の公式で閉じた式にできる。(b)(c)はその式を使って無限和を求める。
- (a)ア：$b=3,\ c=-2$ のとき、$a_5$ を5で割った余り
- (b)イ／ウ：$b=\dfrac12,\ c=-\dfrac13$ のとき、無限和 $\sum_{n=1}^\infty a_n$（既約分数）
- (c)エ／オ：同じ $b,c$ のとき、$\sum_{n=1}^\infty na_n$（既約分数）
(a) $a_5=3^5+3^4(-2)+3^3(-2)^2+3^2(-2)^3+3(-2)^4+(-2)^5=243-162+108-72+48-32=133$。$133=5\times26+3$ なので余りは3。
(b) $b\ne c$ のとき、公比 $c/b$ の等比数列の和として
$$a_n=\frac{b^{n+1}-c^{n+1}}{b-c}$$
$|b|,|c|<1$ なので $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b^{n+1}=\dfrac{b^2}{1-b}=\dfrac{1/4}{1/2}=\dfrac12$、$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty c^{n+1}=\dfrac{c^2}{1-c}=\dfrac{1/9}{4/3}=\dfrac1{12}$。$b-c=\dfrac56$ より
$$\sum_{n=1}^\infty a_n=\frac{1}{5/6}\left(\frac12-\frac1{12}\right)=\frac65\cdot\frac5{12}=\frac12$$
(c) $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty nx^{n+1}=\dfrac{x^2}{(1-x)^2}\ (|x|<1)$ を使います（$S=\sum nx^n$ とおいて $S-xS$ を作ると出る）。$b$ について $\dfrac{1/4}{1/4}=1$、$c$ について $\dfrac{1/9}{16/9}=\dfrac1{16}$。
$$\sum_{n=1}^\infty na_n=\frac65\left(1-\frac1{16}\right)=\frac65\cdot\frac{15}{16}=\frac98$$
🎯 (3) の答え
(a) ア：3(b) イ／ウ：1／2(c) エ／オ：9／8
⚠️ (a)は閉じた式 $\dfrac{3^6-(-2)^6}{3+2}=\dfrac{729-64}5=133$ でも確かめられる。(c)は $nb^{n+1}$ の和の公式を覚えていないと詰まるので、$S-xS$ で自分で作れるようにしておく。
ニックニ先生の総整理表
大問Ⅰ：小問の型と着眼点
| 小問 | 型 | 着眼点 |
|---|---|---|
| (1)(a) | 分母が $\sin x+\cos x$ の積分 | $A+B$（分子＝分母）と $A-B$（分子＝分母の微分）の2本を連立 |
| (1)(b) | 分母が $2\sin x+3\cos x+13$ の積分 | 分子を「分母」「分母の微分」の2本に組み替え、係数 $3,2$ と $2,-3$ で連立 |
| (2) | さいころの連続 | (a)(b)は余事象、(c)は2つの位置の重なり、(d)は余事象の漸化式 |
| (3) | 数列 $\sum b^{n-k}c^k$ | $\dfrac{b^{n+1}-c^{n+1}}{b-c}$ にして和の公式。$n$ 倍つきは $S-xS$ |
TMPSコーチング診断
🩺【自己診断】大問Ⅰで手が止まった人への処方箋
- (1)(a)積分できない → 分母の微分 $\cos x-\sin x$ を分子に作る。足すと1、引くと $\log$
- (1)(b)分子が分母と違って混乱 → 「分母と同じ組」「分母の微分と同じ組」を、係数を未知数にして探す（定数項も確認）
- (2)数え方が定まらない → 余事象を先に。「4回以上」は位置を2つに分けて、重なりを引く
- (3)和が閉じた式にならない → $b\ne c$ のとき $a_n=\dfrac{b^{n+1}-c^{n+1}}{b-c}$。(c)は $S-xS$ で作る
大問Ⅱ 五角形とベクトル ── (a)(b)で道具をそろえ、(c)の敷き詰めを点対称で解く
凸五角形 ABCDE を、余弦定理 → 2つのベクトル $\vec p,\vec q$ での表示 → 敷き詰めと3段階で調べます。(c)の答えは(b)で作る $\overrightarrow{\mathrm{MB}}$ の使い回しです。
現場戦略試験会場でのリアルな立ち回り（大問Ⅱ）
⏱ 目標時間 & 死守ライン目標20分（(a)4分・(b)8分・(c)8分）。(a)(b)で12分、残りを(c)にあてる。
⚠️ 損切り・警戒ライン(b)で $s,t$ の連立がまとまらないときは、$\vec p\cdot\overrightarrow{\mathrm{BA}}=0$ と $|\overrightarrow{\mathrm{BA}}|=1$ の2本だけに絞る。(c)で敷き詰めの意味が分からなくても、「$2\overrightarrow{\mathrm{MB}}$ を求める」と決めれば答えの形（ニ〜ム）が出せる。
💡 初手の思考トリガー(a)は直角二等辺三角形2つ ＋ △ACE、(b)は「垂直」と「長さ1」の2条件、(c)は点対称の中心2つで2倍。
(a)余弦定理と面積（空欄ア〜オ）
📝 どういう問題か？
5辺がすべて長さ1の凸五角形で、$\angle\mathrm B=\angle\mathrm D=90^\circ$。この条件から、対角線 AC, CE の長さがすぐ決まる。$\triangle\mathrm{ACE}$ を作って $\cos$ と面積を出す。
- ア・イ：$\cos\angle\mathrm{ACE}$（既約分数）
- ウ・エ・オ：五角形の面積 $\dfrac{\text{ウ}+\sqrt{\text{エ}}}{\text{オ}}$
$\triangle\mathrm{ABC}$、$\triangle\mathrm{CDE}$ は直角二等辺三角形なので $\mathrm{AC}=\mathrm{CE}=\sqrt2$。$\mathrm{AE}=1$ です。$\triangle\mathrm{ACE}$ に余弦定理を使うと
$$\cos\angle\mathrm{ACE}=\frac{2+2-1}{2\cdot\sqrt2\cdot\sqrt2}=\frac34$$
$\sin\angle\mathrm{ACE}=\dfrac{\sqrt7}4$ なので $\triangle\mathrm{ACE}=\dfrac12\cdot2\cdot\dfrac{\sqrt7}4=\dfrac{\sqrt7}4$。五角形の面積は $\dfrac12+\dfrac12+\dfrac{\sqrt7}4$。
$$\text{（五角形の面積）}=\frac{4+\sqrt7}{4}$$
🎯 (a) の答え
ア／イ：3／4ウ：4エ：7オ：4
(b)2つのベクトルで各点を表す（空欄カ〜ナ）
📝 どういう問題か？
C を原点とみて、$\vec p,\vec q$ を基底にして A, E, M, B を表していく。「$\overrightarrow{\mathrm{CB}}\perp\overrightarrow{\mathrm{BA}}$（∠B＝90°）」「$|\overrightarrow{\mathrm{BA}}|=1$」「$\overrightarrow{\mathrm{CD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BA}}>0$（向きの確認）」の3条件が $s,t$ を決める。
- カ・キ：$\vec p\cdot\vec q=-\dfrac{\sqrt{\text{カ}}}{\text{キ}}$（$\vec p=\overrightarrow{\mathrm{CB}},\ \vec q=\overrightarrow{\mathrm{CD}}$）
- ク〜シ：$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=s\vec p+t\vec q$ の係数 $s=\dfrac{\text{ク}+\sqrt{\text{ケ}}}{\text{コ}},\ t=\dfrac{\text{サ}}{\text{シ}}$
- ス・セ・ソ：辺 AE の中点 M について $\overrightarrow{\mathrm{CM}}=\dfrac{\text{ス}+\sqrt{\text{セ}}}{\text{ソ}}(\vec p+\vec q)$
- タ〜ナ：$\overrightarrow{\mathrm{MB}}=-\dfrac{\text{タ}+\sqrt{\text{チ}}}{\text{ツ}}\vec p-\dfrac{\text{テ}+\sqrt{\text{ト}}}{\text{ナ}}\vec q$
① 内積：$\angle\mathrm{BCD}=\angle\mathrm{BCA}+\angle\mathrm{ACE}+\angle\mathrm{ECD}=45^\circ+\theta+45^\circ=90^\circ+\theta$（$\cos\theta=\dfrac34$）。
$$\vec p\cdot\vec q=\cos(90^\circ+\theta)=-\sin\theta=-\frac{\sqrt7}4$$
② $s,t$：$\overrightarrow{\mathrm{BA}}=\overrightarrow{\mathrm{CA}}-\overrightarrow{\mathrm{CB}}=(s-1)\vec p+t\vec q$。$\vec p\cdot\overrightarrow{\mathrm{BA}}=0$ から
$$(s-1)-\frac{\sqrt7}4t=0\ \Longrightarrow\ s-1=\frac{\sqrt7}4t$$
これを $|\overrightarrow{\mathrm{BA}}|^2=(s-1)^2+t^2+2(s-1)t\,(\vec p\cdot\vec q)=1$ に代入すると、$\dfrac7{16}t^2+t^2-\dfrac78t^2=\dfrac9{16}t^2=1$ より $t=\pm\dfrac43$。
向きの条件 $\vec q\cdot\overrightarrow{\mathrm{BA}}=(s-1)(\vec p\cdot\vec q)+t=\dfrac9{16}t>0$ から $t=\dfrac43$。よって $s=1+\dfrac{\sqrt7}4\cdot\dfrac43=\dfrac{3+\sqrt7}3$。
③ M と $\overrightarrow{\mathrm{MB}}$：図形は C を通る対称軸について左右対称（B と D、A と E が入れ替わる）なので $\overrightarrow{\mathrm{CE}}=t\vec p+s\vec q$。中点 M は
$$\overrightarrow{\mathrm{CM}}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\overrightarrow{\mathrm{CE}}}2=\frac{s+t}2(\vec p+\vec q)=\frac{7+\sqrt7}6(\vec p+\vec q)$$
$$\overrightarrow{\mathrm{MB}}=\vec p-\overrightarrow{\mathrm{CM}}=-\frac{1+\sqrt7}6\vec p-\frac{7+\sqrt7}6\vec q$$
🎯 (b) の答え
カ：7キ：4ク：3ケ：7コ：3サ：4シ：3ス：7セ：7ソ：6タ：1チ：7ツ：6テ：7ト：7ナ：6
⚠️ $t=\pm\dfrac43$ の2つのうち、どちらが五角形の向きに合うかは$\overrightarrow{\mathrm{CD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BA}}>0$ で決まる。これを見落とすと、A の位置が反対側にずれる。$\overrightarrow{\mathrm{CE}}=t\vec p+s\vec q$ は、対称性を使うと $s,t$ を入れ替えるだけで書ける。
(c)敷き詰めと隣の五角形（空欄ニ〜ム）
📝 どういう問題か？
この五角形と合同なタイルで平面を隙間なく敷き詰める。タイルを平行移動して得られる「隣のタイル」のうち、M に近いもの2つ（右下・右上）の辺の中点を $\mathrm M',\mathrm M''$ として、M からの移動量を調べる。
- ニ〜ヒ：$\overrightarrow{\mathrm{MM}'}=-\dfrac{\text{ニ}+\sqrt{\text{ヌ}}}{\text{ネ}}\vec p-\dfrac{\text{ノ}+\sqrt{\text{ハ}}}{\text{ヒ}}\vec q$
- フ・ヘ：$|\overrightarrow{\mathrm{MM}'}|^2=\text{フ}+\sqrt{\text{ヘ}}$
- ホ：$\overrightarrow{\mathrm{MM}'}\cdot\overrightarrow{\mathrm{MM}''}$ の値
- マ・ミ・ム：$\triangle\mathrm{MM}'\mathrm{M}''$ の面積 $\dfrac{\text{マ}+\sqrt{\text{ミ}}}{\text{ム}}$
① 敷き詰めの構造：この敷き詰めでは、点 B に4枚のタイルの直角が集まり、辺 AE を共有する2枚は M について点対称です。つまり
| 点 | 何が集まる／何の中心 | 意味 |
|---|---|---|
| B | 直角が4つ集まる | 敷き詰め全体が B のまわり 90° 回転で自分自身に重なる（4回対称） |
| M | 辺 AE の中点 | 辺を共有する2枚が M について点対称（2回対称） |
② 2つの点対称を続けると平行移動：M について点対称 → B について点対称、と続けると、点 $X$ は $X\to2M-X\to2B-(2M-X)=X+2\overrightarrow{\mathrm{MB}}$ と動きます。つまり$2\overrightarrow{\mathrm{MB}}$ だけの平行移動でタイルは別のタイルに重なります。これが「平行移動して得られる隣のタイル」で、M に最も近いもののうち右下のものが $\mathrm M'$ を与えます。
③ $\overrightarrow{\mathrm{MM}'}$：(b)の $\overrightarrow{\mathrm{MB}}$ を2倍して
$$\overrightarrow{\mathrm{MM}'}=2\overrightarrow{\mathrm{MB}}=-\frac{1+\sqrt7}3\vec p-\frac{7+\sqrt7}3\vec q$$
④ 長さと内積：B のまわりの 90° 回転は、敷き詰め（M の位置も含む）を自分自身に重ねるので、$\mathrm{MM}'$ と $\mathrm{MM}''$ は、長さが等しく直角です。したがって $\overrightarrow{\mathrm{MM}'}\cdot\overrightarrow{\mathrm{MM}''}=0$。また、2つのベクトルが作る正方形が「平行移動で重なる1周期」で、その中にタイル4枚分が入る（B のまわりの4回転分）ので、面積は $4\times\dfrac{4+\sqrt7}4=4+\sqrt7$。これが $|\overrightarrow{\mathrm{MM}'}|^2$ です。
$$|\overrightarrow{\mathrm{MM}'}|^2=4+\sqrt7,\qquad \overrightarrow{\mathrm{MM}'}\cdot\overrightarrow{\mathrm{MM}''}=0$$
⑤ 三角形：$\triangle\mathrm{MM}'\mathrm{M}''$ は直角二等辺三角形で、直角を挟む2辺が $|\overrightarrow{\mathrm{MM}'}|$。面積は
$$\triangle\mathrm{MM}'\mathrm{M}''=\frac12(4+\sqrt7)=\frac{4+\sqrt7}2$$
🎯 (c) の答え
ニ：1ヌ：7ネ：3ノ：7ハ：7ヒ：3フ：4ヘ：7ホ：0マ：4ミ：7ム：2
⚠️ (c)の「4枚分で正方形の1周期」は、タイルの面積を数えて検算できる。$|\overrightarrow{\mathrm{MM}'}|^2$ を直接計算（$\vec p,\vec q$ の係数から $|\cdot|^2$）して、$4+\sqrt7$ と一致するかで(b)の係数の誤りも見つかる。
Yuiちゃん
(c)の「敷き詰め」の話が長くて、何を求めればいいのか見えなくなりました…。ニックニ先生
難しい言葉は全部落とすと、「M から隣のタイルの M′ まで、どれだけ動くか」だけだ。答えは点対称2回で $2\overrightarrow{\mathrm{MB}}$。(b)で $\overrightarrow{\mathrm{MB}}$ を出してあるから、2倍するだけで空欄の形がそのまま埋まる。ニックニ先生の総整理表
大問Ⅱ：図形とベクトルの型
| 小問 | 型 | 着眼点 |
|---|---|---|
| (a) | 余弦定理・面積 | 直角二等辺三角形2つ → $\mathrm{AC}=\mathrm{CE}=\sqrt2$、$\triangle\mathrm{ACE}$ に余弦定理 |
| (b) | 基底 $\vec p,\vec q$ で表す | $\vec p\cdot\vec q=-\sin\theta$。垂直と長さ1で $s,t$、向きで符号を決める |
| (c) | 敷き詰め | B（4回対称）と M（2回対称）で $2\overrightarrow{\mathrm{MB}}$。長さ等しく直角、面積はタイル4枚 |
TMPSコーチング診断
🩺【自己診断】大問Ⅱで手が止まった人への処方箋
- (a)図が描けない → B・D が直角で辺が全部1なので、C を原点に左右対称に描く。AC=CE=√2
- (b)$s,t$ が決まらない → 「$\vec p\cdot\overrightarrow{\mathrm{BA}}=0$」「$|\overrightarrow{\mathrm{BA}}|=1$」の2本を立て、最後に向きの条件で符号を選ぶ
- (b)M が決まらない → 対称性で $\overrightarrow{\mathrm{CE}}=t\vec p+s\vec q$。中点は平均
- (c)敷き詰めが分からない → 「B のまわりに直角4つ」「AE の中点で点対称」から、2回の点対称で $2\overrightarrow{\mathrm{MB}}$ の平行移動
大問Ⅲ 逆関数から作る数列と和 ── (1)(2)の具体例から(4)の不等式まで
記述式です。(1)(2)は具体例を計算して確実に、(3)は和をずらして整理し、(4)は(3)の結果と1つの不等式で階乗の評価に結びつけます。
現場戦略試験会場でのリアルな立ち回り（大問Ⅲ）
⏱ 目標時間 & 死守ライン目標18分（(1)3分・(2)5分・(3)5分・(4)5分）。(1)(2)で8分、(3)(4)で10分。
⚠️ 損切り・警戒ライン(3)の和の変形がまとまらないときは、$n=2,3$ の具体値で $S_n=n\log n-\log n!$ を確かめるだけでもよい（部分点狙い）。(4)は(3)の結果を認めて書ける。
💡 初手の思考トリガー(1)は$f(x)=n$ を $x$ について解く、(2)は$\sum k^2,\ \sum k$ の公式、(3)は和を2つに分けてずらす、(4)は各項が1以下。
(1)逆関数の値 a₂, a₃
📝 どういう問題か？
数列 $a_n$ は「$f$ の値が $n$ になる $x$」。まず具体的な関数で $a_n$ の式を作る。
- 記述：$f(x)=\sqrt{x+1}$ のとき、$a_n=f^{-1}(n)$ の $a_2,\ a_3$ を求める
$\sqrt{x+1}=n$ を $x$ について解くと $x+1=n^2$、$x=n^2-1$。よって $a_n=n^2-1$。
したがって $a_2=3,\ a_3=8$。
⚠️ 逆関数は「$y=f(x)$ を $x$ について解き、$x,y$ を入れ替える」。ここは $n$ を $y$ のかわりに使うので、$x=n^2-1$ をそのまま $a_n$ として読めばよい。定義域（$x\ge-1$ で $n\ge0$）も確認する。
(2)Sₙ を n の式で表す
📝 どういう問題か？
$S_n=\sum_{k=1}^{n-1}k(a_{k+1}-a_k)$ に $a_n=n^2-1$ を代入して、$\sum k,\ \sum k^2$ の公式で計算する。
- 記述：$f(x)=\sqrt{x+1}$ のとき、$S_n$ を $n$ で表す（$S_1=0$ とする）
$a_{k+1}-a_k=(k+1)^2-k^2=2k+1$ なので $S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}k(2k+1)=2\sum_{k=1}^{n-1}k^2+\sum_{k=1}^{n-1}k$。
$=\dfrac{(n-1)n(2n-1)}3+\dfrac{n(n-1)}2=\dfrac{n(n-1)}6\{2(2n-1)+3\}=\dfrac{n(n-1)(4n+1)}6$。
$n=1$ のとき右辺は0で、$S_1=0$ と一致する。
⚠️ $\sum_{k=1}^{n-1}$ は上端が $n-1$。公式 $\sum_{k=1}^{m}k^2=\dfrac{m(m+1)(2m+1)}6$ の $m$ に $n-1$ を代入するのを忘れない。最後に $n=1,2$ で検算（$S_2=1\cdot3=3$）。
(3)Sₙ を対数で表す式を示す
📝 どういう問題か？
$f(x)=e^x$ なら逆関数は対数。$a_n=\log n$ を代入した和を、2つの和に分けて添え字をずらすと、ほとんどの項が打ち消し合う。
- 記述：$f(x)=e^x$ のとき $S_n=n\log n-\log(n!)$ を示す
$a_n=\log n$（$e^x=n$ より）。$n=1$ のとき $S_1=0$、右辺 $1\cdot\log1-\log1=0$ なので成り立つ。
$n\ge2$ のとき $S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}k\log(k+1)-\sum_{k=1}^{n-1}k\log k$。第1項で $j=k+1$ とおくと $\displaystyle\sum_{j=2}^{n}(j-1)\log j$。
$S_n=\displaystyle\sum_{j=2}^{n}(j-1)\log j-\sum_{j=2}^{n-1}j\log j=(n-1)\log n-\sum_{j=2}^{n-1}\log j=(n-1)\log n-\log\{(n-1)!\}$。
$\log\{(n-1)!\}=\log(n!)-\log n$ なので $S_n=n\log n-\log(n!)$。
⚠️ ずらすときは、第2項の和の範囲が $j=2$ から $n-1$ に減ることに注意（$k=1$ の項は $\log1=0$ なので捨ててよい）。$(n-1)\log n$ が残る形になれば正しい。
(4)階乗の不等式を示す
📝 どういう問題か？
(3)の式の両辺を比べる。$S_n$ は各項 $k\log\left(1+\dfrac1k\right)$ の和であり、各項が1以下であることから $S_n\le n-1$ が言える。
- 記述：すべての正の整数 $n$ について $n!\ge n^ne^{1-n}$ を示す
(3)より $S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}k\{\log(k+1)-\log k\}=\sum_{k=1}^{n-1}k\log\left(1+\frac1k\right)$。
$\log(1+u)\le u\ (u>-1)$ より、各項は $k\log\left(1+\dfrac1k\right)\le k\cdot\dfrac1k=1$。よって $S_n\le n-1$（$n=1$ は $0\le0$）。
(3)から $n\log n-\log(n!)\le n-1$、つまり $\log(n!)\ge n\log n-n+1=\log\left(n^ne^{1-n}\right)$。よって $n!\ge n^ne^{1-n}$。
Yuiちゃん
(3)の和のずらし方が、いつも自信がありません…。ニックニ先生
「$k\log(k+1)$ と $k\log k$」は、$j=k+1$ と置くと $(j-1)\log j$ と $j\log j$ になって添え字がそろう。そろえたら、残るのは両端の項だけだ。$n=3$ くらいで実際に書き出して確かめると、ずらし方が合っているか分かる。ニックニ先生の総整理表
大問Ⅲ：記述の型
| 小問 | 型 | 着眼点 |
|---|---|---|
| (1) | 逆関数の具体値 | $f(x)=n$ を $x$ について解く |
| (2) | 和の公式 | $k(a_{k+1}-a_k)$ を展開 → $\sum k^2,\sum k$。上端は $n-1$ |
| (3) | 和のずらし | $k\log(k+1)$ を $j=k+1$ でそろえる → 残る項は両端 |
| (4) | 不等式の利用 | $\log(1+u)\le u$ で各項 ≦ 1 → $S_n\le n-1$ に(3)を代入 |
TMPSコーチング診断
🩺【自己診断】大問Ⅲで手が止まった人への処方箋
- (1)逆関数が出ない → $f(x)=n$ とおいて $x$ について解く。$a_n=x$
- (2)和が計算できない → $a_{k+1}-a_k$ を先に作る。$\sum k^2$ の上端は $n-1$
- (3)和がまとまらない → $n=3$ で $S_3$ を書き出し、$k\log(k+1)$ と $k\log k$ の打ち消しを確認
- (4)不等式の出所が見えない → 「$\log(1+u)\le u$」を各項に使う。$n$ 個の項で $n-1$ 以下
TMPS ORIGINAL
順天堂大2024型 そっくり類題セット
順天堂大2024型 そっくり類題セット
（全3大問・解答解説つき）
2024年度の本番と同じ3大問・同じ小問構成で、数値と設定を変えたTMPSオリジナル問題です。連続・数列の計算力と、敷き詰めを対称性で見抜く力、和の整理から不等式へつなぐ力の練習に使ってください。
試験時間の目安 70分小問集合・図形とベクトル・記述
📄 本番形式の問題冊子PDFをダウンロード（全4ページ）
印刷して本番と同じように70分で解けます。解答・解説はこのページの下に掲載しています。
※ 順天堂大学の入試問題ではありません。本文・設問・人物・団体（架空）はすべてTMPS医学館が作成したオリジナルで、出典のある引用ではありません。
類題 大問Ⅰ
空欄に適する解答をマークせよ。ただし，同じ小問（(1)，(2)，(3)）の中で同じ記号の空欄がある場合は同一の値がはいる。
(1)
(a)
$A=\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\dfrac{\cos x}{2\sin x+\cos x}\,dx,\ \ B=\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\dfrac{\sin x}{2\sin x+\cos x}\,dx$ とすると，
$A+2B=\dfrac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}\pi,\ \ 2A-B=\log\boxed{\text{ウ}}$ である。したがって，
$A=\dfrac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オカ}}}\pi+\dfrac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}\log\boxed{\text{ケ}},\ \ B=\dfrac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}\pi-\dfrac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}\log\boxed{\text{セ}}$ である。
$A+2B=\dfrac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}\pi,\ \ 2A-B=\log\boxed{\text{ウ}}$ である。したがって，
$A=\dfrac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オカ}}}\pi+\dfrac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}\log\boxed{\text{ケ}},\ \ B=\dfrac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}\pi-\dfrac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}\log\boxed{\text{セ}}$ である。
(b)
$C=\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\dfrac{\cos x+2}{3\sin x+2\cos x+13}\,dx,\ \ D=\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\dfrac{\sin x+3}{3\sin x+2\cos x+13}\,dx$ とすると，
$C=\dfrac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タチ}}}\pi+\dfrac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テト}}}\log\dfrac{\boxed{\text{ナニ}}}{\boxed{\text{ヌネ}}},\ \ D=\dfrac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハヒ}}}\pi-\dfrac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘホ}}}\log\dfrac{\boxed{\text{マミ}}}{\boxed{\text{ムメ}}}$ である。
$C=\dfrac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タチ}}}\pi+\dfrac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テト}}}\log\dfrac{\boxed{\text{ナニ}}}{\boxed{\text{ヌネ}}},\ \ D=\dfrac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハヒ}}}\pi-\dfrac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘホ}}}\log\dfrac{\boxed{\text{マミ}}}{\boxed{\text{ムメ}}}$ である。
(2)
1個の正四面体のさいころ（目は1，2，3，4で，どの目も同じ確率で出る）を6回投げるとき，
(a)
同じ目が続けて出ない確率は $\dfrac{\boxed{\text{アイウ}}}{\boxed{\text{エオカキ}}}$ である。
(b)
同じ目が2回以上続けて出る確率は $\dfrac{\boxed{\text{クケコ}}}{\boxed{\text{サシスセ}}}$ である。
(c)
同じ目が5回以上続けて出る確率は $\dfrac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タチツテ}}}$ である。
(d)
同じ目が3回以上続けて出る確率は $\dfrac{\boxed{\text{ナニヌ}}}{\boxed{\text{ネノハヘ}}}$ である。
(3)
実数 $b,\ c$ を用いて一般項が $a_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}b^{\,n-k}c^k$ と表される数列 $\{a_n\}$ を考える。
(a)
$b=5,\ c=-2$ のとき，$a_4$ を6で割った余りは ア である。
(b)
$b=\dfrac13,\ c=-\dfrac14$ のとき，$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\dfrac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}$ である。
(c)
$b=\dfrac13,\ c=-\dfrac14$ のとき，$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}na_n=\dfrac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オカ}}}$ である。
ただし，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}nx^n=0\ (|x|<1)$ を用いた。
ただし，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}nx^n=0\ (|x|<1)$ を用いた。
▶ 大問Ⅰ の答えと解説を見る
大問Ⅰ の答えと解説
(1)(a)
ア/イ：1/2ウ：2エ/オカ：1/10キ/ク：2/5ケ：2コ/サ：1/5シ/ス：1/5セ：2
- 分母を $g(x)=2\sin x+\cos x$ とおく。$A+2B$ の被積分関数は $\dfrac{\cos x+2\sin x}{g}=1$ なので $A+2B=\dfrac\pi2$。
- $g'(x)=2\cos x-\sin x$ なので $2A-B=\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\dfrac{g'}{g}dx=\Big[\log g\Big]_0^{\frac\pi2}=\log2-\log1=\log2$。
- 連立して解く。$A+2B=\dfrac\pi2$ と $4A-2B=2\log2$ を足して $5A=\dfrac\pi2+2\log2$ より $A=\dfrac{\pi}{10}+\dfrac25\log2$。
- $B=2A-\log2=\dfrac\pi5-\dfrac15\log2$。
(1)(b)
ソ/タチ：1/13ツ/テト：3/13ナニ/ヌネ：16/15ノ/ハヒ：3/26フ/ヘホ：2/13マミ/ムメ：16/15
- 分母を $g=3\sin x+2\cos x+13$ とおく。分子について $2(\cos x+2)+3(\sin x+3)=g$ なので $2C+3D=\dfrac\pi2$。
- $g'=3\cos x-2\sin x=3(\cos x+2)-2(\sin x+3)$ なので $3C-2D=\Big[\log g\Big]_0^{\frac\pi2}=\log\dfrac{16}{15}$。
- $2C+3D=\dfrac\pi2$ の2倍と $3C-2D=\log\dfrac{16}{15}$ の3倍を作って $D$ を消すと $13C=\pi+3\log\dfrac{16}{15}$，$C=\dfrac\pi{13}+\dfrac3{13}\log\dfrac{16}{15}$。
- 同様に $C$ を消して $13D=\dfrac{3\pi}2-2\log\dfrac{16}{15}$，$D=\dfrac{3\pi}{26}-\dfrac2{13}\log\dfrac{16}{15}$。
(2)(a)
アイウ/エオカキ：243/1024
- 2回目以降は「直前と違う目」が出ればよく，確率は毎回 $\dfrac34$。5回分なので $\left(\dfrac34\right)^5=\dfrac{243}{1024}$。
(2)(b)
クケコ/サシスセ：781/1024
- (a)の余事象なので $1-\dfrac{243}{1024}=\dfrac{781}{1024}$。
(2)(c)
ソ/タチツテ：7/1024
- 5回以上続くのは「1〜5回目が同じ」または「2〜6回目が同じ」。それぞれの確率は $\left(\dfrac14\right)^4=\dfrac1{256}$。
- 両方が起こるのは6回すべて同じ目のときで，確率は $\left(\dfrac14\right)^5=\dfrac1{1024}$。
- よって $\dfrac2{256}-\dfrac1{1024}=\dfrac{8-1}{1024}=\dfrac7{1024}$。
(2)(d)
ナニヌ/ネノハヘ：205/1024
- 余事象「どの目も3回以上は続かない」の目の出方の数 $a_n$（$n$ 回投げる）を数える。最後の目が直前と違うなら $3a_{n-1}$ 通り，直前と同じで，その前は違うなら $3a_{n-2}$ 通りなので $a_n=3(a_{n-1}+a_{n-2})$。
- $a_1=4,\ a_2=16$ から $a_3=60,\ a_4=228,\ a_5=864,\ a_6=3276$。
- 求める確率は $1-\dfrac{3276}{4096}=\dfrac{820}{4096}=\dfrac{205}{1024}$。
(3)(a)
ア：1
- $a_4=5^4+5^3(-2)+5^2(-2)^2+5(-2)^3+(-2)^4=625-250+100-40+16=451$。
- $451=6\times75+1$ より余りは1。
(3)(b)
イ/ウ：1/5
- $b\ne c$ なので $a_n=\dfrac{b^{n+1}-c^{n+1}}{b-c}$（等比数列の和の公式）。
- $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b^{n+1}=\dfrac{b^2}{1-b}=\dfrac16$，$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty c^{n+1}=\dfrac{c^2}{1-c}=\dfrac1{20}$。
- 差は $\dfrac16-\dfrac1{20}=\dfrac7{60}$，$b-c=\dfrac7{12}$ なので $\dfrac7{60}\times\dfrac{12}7=\dfrac15$。
(3)(c)
エ/オカ：9/25
- $|x|<1$ のとき $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty nx^{n+1}=\dfrac{x^2}{(1-x)^2}$（$S=\sum nx^n$ とおいて $S-xS$ を作ると出る）。
- $b$ について $\dfrac{1/9}{4/9}=\dfrac14$，$c$ について $\dfrac{1/16}{25/16}=\dfrac1{25}$。差は $\dfrac14-\dfrac1{25}=\dfrac{21}{100}$。
- $\dfrac{21}{100}\times\dfrac{12}{7}=\dfrac{9}{25}$。
類題 大問Ⅱ
空欄に適する解答をマークせよ。ただし，同じ記号の空欄がある場合は同一の値がはいる。
五角形 ABCDE は，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\mathrm{DE}=1,\ \mathrm{EA}=\sqrt3,\ \angle\mathrm B=\angle\mathrm D=90^\circ$ を満たす凸五角形である。
(a)
$\cos\angle\mathrm{ACE}=\dfrac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}$ である。また，五角形 ABCDE の面積は $\dfrac{\boxed{\text{ウ}}+\sqrt{\boxed{\text{エオ}}}}{\boxed{\text{カ}}}$ である。
(b)
$\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\vec p,\ \overrightarrow{\mathrm{CD}}=\vec q$ とすると $|\vec p|=|\vec q|=1,\ \vec p\cdot\vec q=-\dfrac{\sqrt{\boxed{\text{キク}}}}{\boxed{\text{ケ}}}$ である。
ここで $\overrightarrow{\mathrm{CA}}=s\vec p+t\vec q$ とおくと，$\overrightarrow{\mathrm{CB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BA}}=0,\ |\overrightarrow{\mathrm{BA}}|=1,\ \overrightarrow{\mathrm{CD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BA}}>0$ より $s=\boxed{\text{コ}}+\sqrt{\boxed{\text{サシ}}},\ t=\boxed{\text{ス}}$ を得る。
辺 AE の中点を M とすると，$\overrightarrow{\mathrm{CM}}=\dfrac{\boxed{\text{セ}}+\sqrt{\boxed{\text{ソタ}}}}{\boxed{\text{チ}}}(\vec p+\vec q)$ となり，
$\overrightarrow{\mathrm{MB}}=-\dfrac{\boxed{\text{ツ}}+\sqrt{\boxed{\text{テト}}}}{\boxed{\text{ナ}}}\vec p-\dfrac{\boxed{\text{ニ}}+\sqrt{\boxed{\text{ヌネ}}}}{\boxed{\text{ノ}}}\vec q$ となる。
ここで $\overrightarrow{\mathrm{CA}}=s\vec p+t\vec q$ とおくと，$\overrightarrow{\mathrm{CB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BA}}=0,\ |\overrightarrow{\mathrm{BA}}|=1,\ \overrightarrow{\mathrm{CD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BA}}>0$ より $s=\boxed{\text{コ}}+\sqrt{\boxed{\text{サシ}}},\ t=\boxed{\text{ス}}$ を得る。
辺 AE の中点を M とすると，$\overrightarrow{\mathrm{CM}}=\dfrac{\boxed{\text{セ}}+\sqrt{\boxed{\text{ソタ}}}}{\boxed{\text{チ}}}(\vec p+\vec q)$ となり，
$\overrightarrow{\mathrm{MB}}=-\dfrac{\boxed{\text{ツ}}+\sqrt{\boxed{\text{テト}}}}{\boxed{\text{ナ}}}\vec p-\dfrac{\boxed{\text{ニ}}+\sqrt{\boxed{\text{ヌネ}}}}{\boxed{\text{ノ}}}\vec q$ となる。
(c)
五角形 ABCDE と合同な五角形を用いて，隙間も重なりもなく平面を敷き詰める。この敷き詰めでは，各辺は隣り合う2枚の五角形に共有され，辺 AE を共有する隣の五角形は AE の中点 M に関して五角形 ABCDE と点対称であり，点 B には4枚の五角形の直角が集まっている。
辺 AE が鉛直で C が M の右側にあるように座標平面におく。この敷き詰めに含まれる五角形のうち，五角形 ABCDE を平行移動して得られるものを考える。このうち，辺 $\mathrm{A}^{\prime}\mathrm{E}^{\prime}$ の中点 $\mathrm{M}^{\prime}$ が M に最も近く M の右下にあるものを五角形 $\mathrm{A}^{\prime}\mathrm{B}^{\prime}\mathrm{C}^{\prime}\mathrm{D}^{\prime}\mathrm{E}^{\prime}$，辺 $\mathrm{A}^{\prime\prime}\mathrm{E}^{\prime\prime}$ の中点 $\mathrm{M}^{\prime\prime}$ が M に最も近く M の右上にあるものを五角形 $\mathrm{A}^{\prime\prime}\mathrm{B}^{\prime\prime}\mathrm{C}^{\prime\prime}\mathrm{D}^{\prime\prime}\mathrm{E}^{\prime\prime}$ とする。
$\overrightarrow{\mathrm{MM}^{\prime}}=-(\boxed{\text{ハ}}+\sqrt{\boxed{\text{ヒフ}}})\vec p-(\boxed{\text{ヘ}}+\sqrt{\boxed{\text{ホマ}}})\vec q$ であり，
$|\overrightarrow{\mathrm{MM}^{\prime}}|^2=\boxed{\text{ミ}}+\sqrt{\boxed{\text{ムメ}}},\ \ \overrightarrow{\mathrm{MM}^{\prime}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{MM}^{\prime\prime}}=\boxed{\text{モ}}$ である。
また，$\triangle\mathrm{MM}^{\prime}\mathrm{M}^{\prime\prime}$ の面積は $\dfrac{\boxed{\text{ヤ}}+\sqrt{\boxed{\text{ユヨ}}}}{\boxed{\text{ラ}}}$ である。
辺 AE が鉛直で C が M の右側にあるように座標平面におく。この敷き詰めに含まれる五角形のうち，五角形 ABCDE を平行移動して得られるものを考える。このうち，辺 $\mathrm{A}^{\prime}\mathrm{E}^{\prime}$ の中点 $\mathrm{M}^{\prime}$ が M に最も近く M の右下にあるものを五角形 $\mathrm{A}^{\prime}\mathrm{B}^{\prime}\mathrm{C}^{\prime}\mathrm{D}^{\prime}\mathrm{E}^{\prime}$，辺 $\mathrm{A}^{\prime\prime}\mathrm{E}^{\prime\prime}$ の中点 $\mathrm{M}^{\prime\prime}$ が M に最も近く M の右上にあるものを五角形 $\mathrm{A}^{\prime\prime}\mathrm{B}^{\prime\prime}\mathrm{C}^{\prime\prime}\mathrm{D}^{\prime\prime}\mathrm{E}^{\prime\prime}$ とする。
$\overrightarrow{\mathrm{MM}^{\prime}}=-(\boxed{\text{ハ}}+\sqrt{\boxed{\text{ヒフ}}})\vec p-(\boxed{\text{ヘ}}+\sqrt{\boxed{\text{ホマ}}})\vec q$ であり，
$|\overrightarrow{\mathrm{MM}^{\prime}}|^2=\boxed{\text{ミ}}+\sqrt{\boxed{\text{ムメ}}},\ \ \overrightarrow{\mathrm{MM}^{\prime}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{MM}^{\prime\prime}}=\boxed{\text{モ}}$ である。
また，$\triangle\mathrm{MM}^{\prime}\mathrm{M}^{\prime\prime}$ の面積は $\dfrac{\boxed{\text{ヤ}}+\sqrt{\boxed{\text{ユヨ}}}}{\boxed{\text{ラ}}}$ である。
▶ 大問Ⅱ の答えと解説を見る
大問Ⅱ の答えと解説
(a)
ア/イ：1/4ウ：4エオ：15カ：4
- $\triangle\mathrm{ABC}$ と $\triangle\mathrm{CDE}$ は直角二等辺三角形なので $\mathrm{AC}=\mathrm{CE}=\sqrt2$。$\triangle\mathrm{ACE}$ に余弦定理を使って $\cos\angle\mathrm{ACE}=\dfrac{2+2-3}{2\cdot\sqrt2\cdot\sqrt2}=\dfrac14$。
- $\triangle\mathrm{ACE}$ の高さは $\sqrt{2-\frac34}=\dfrac{\sqrt5}{2}$，面積は $\dfrac12\cdot\sqrt3\cdot\dfrac{\sqrt5}2=\dfrac{\sqrt{15}}4$。
- 五角形の面積は $\dfrac12+\dfrac12+\dfrac{\sqrt{15}}4=\dfrac{4+\sqrt{15}}4$。
(b)
キク/ケ：15/4コ：1サシ：15ス：4セ：5ソタ：15チ：2ツ：3テト：15ナ：2ニ：5ヌネ：15ノ：2
- $\angle\mathrm{BCD}=\angle\mathrm{BCA}+\angle\mathrm{ACE}+\angle\mathrm{ECD}=45^\circ+\theta+45^\circ=90^\circ+\theta$（$\cos\theta=\dfrac14$）。よって $\vec p\cdot\vec q=\cos(90^\circ+\theta)=-\sin\theta=-\dfrac{\sqrt{15}}4$。
- $\overrightarrow{\mathrm{BA}}=\overrightarrow{\mathrm{CA}}-\overrightarrow{\mathrm{CB}}=(s-1)\vec p+t\vec q$。$\vec p\cdot\overrightarrow{\mathrm{BA}}=0$ より $(s-1)-\dfrac{\sqrt{15}}4t=0$，つまり $s-1=\dfrac{\sqrt{15}}4t$。
- $|\overrightarrow{\mathrm{BA}}|^2=(s-1)^2+t^2-\dfrac{\sqrt{15}}{2}(s-1)t=\dfrac{15}{16}t^2+t^2-\dfrac{15}{8}t^2=\dfrac{t^2}{16}=1$ より $t=\pm4$。また $\vec q\cdot\overrightarrow{\mathrm{BA}}=(s-1)\vec p\cdot\vec q+t=t\left(1-\dfrac{15}{16}\right)=\dfrac t{16}>0$ より $t=4$，$s=1+\sqrt{15}$。
- 図形は C を通る対称軸について左右対称なので $\overrightarrow{\mathrm{CE}}=t\vec p+s\vec q$。$\overrightarrow{\mathrm{CM}}=\dfrac{\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\overrightarrow{\mathrm{CE}}}2=\dfrac{s+t}2(\vec p+\vec q)=\dfrac{5+\sqrt{15}}2(\vec p+\vec q)$。
- $\overrightarrow{\mathrm{MB}}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}-\overrightarrow{\mathrm{CM}}=\left(1-\dfrac{5+\sqrt{15}}2\right)\vec p-\dfrac{5+\sqrt{15}}2\vec q=-\dfrac{3+\sqrt{15}}2\vec p-\dfrac{5+\sqrt{15}}2\vec q$。
(c)
ハ：3ヒフ：15ヘ：5ホマ：15ミ：4ムメ：15モ：0ヤ：4ユヨ：15ラ：2
- 点 B のまわりには4枚の直角が集まるので，敷き詰めは B を中心とする90°回転で自分自身に重なる（B は点対称の中心でもある）。M も，辺 AE を共有する2枚の五角形の点対称の中心。
- 2つの点対称（中心 B と中心 M）を続けて行うと，$2\overrightarrow{\mathrm{MB}}$ だけの平行移動になる。よって $\overrightarrow{\mathrm{MM}^{\prime}}=2\overrightarrow{\mathrm{MB}}=-(3+\sqrt{15})\vec p-(5+\sqrt{15})\vec q$。
- 同様に $\overrightarrow{\mathrm{MM}^{\prime\prime}}=2\overrightarrow{\mathrm{MD}}$。図形は C と M を結ぶ直線について対称なので，$\mathrm{MM}^{\prime\prime}$ は $\mathrm{MM}^{\prime}$ をこの直線で折り返したもの。さらに B のまわりの90°回転で $\mathrm{MM}^{\prime}$ と $\mathrm{MM}^{\prime\prime}$ が入れ替わるので，2つは直角で長さが等しい（内積は0）。
- 五角形4枚分が，$\mathrm{MM}^{\prime}$ と $\mathrm{MM}^{\prime\prime}$ を2辺とする1周期の正方形になる。その面積は $4\times\dfrac{4+\sqrt{15}}4=4+\sqrt{15}$ なので $|\overrightarrow{\mathrm{MM}^{\prime}}|^2=4+\sqrt{15}$。
- $\triangle\mathrm{MM}^{\prime}\mathrm{M}^{\prime\prime}$ は直角二等辺三角形で，面積は $\dfrac12(4+\sqrt{15})=\dfrac{4+\sqrt{15}}2$。
類題 大問Ⅲ
以下の問いに答えよ。（解答用紙には結果だけでなく，考え方や途中の式も記すこと。）
$f(0)=1$ で，$x\to\infty$ のとき $f(x)\to\infty$ となる連続な増加関数 $f(x)$ が逆関数 $f^{-1}(x)$ を持つとする。このとき，正の整数 $n$ に対して $a_n=f^{-1}(n)$ とし，
$S_n=\begin{cases}0&(n=1)\\ \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}k(a_{k+1}-a_k)&(n\ge2)\end{cases}$
とする。
$S_n=\begin{cases}0&(n=1)\\ \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}k(a_{k+1}-a_k)&(n\ge2)\end{cases}$
とする。
(1)
$f(x)=\sqrt[3]{x+1}$ のとき，$a_2,\ a_3$ を求めよ。
(2)
$f(x)=\sqrt[3]{x+1}$ のとき，$S_n$ を $n$ を用いて表せ。
(3)
$f(x)=2^x$ のとき，$S_n=n\log_2n-\log_2(n!)$ を示せ。
(4)
正の整数 $n$ に対して $n!\le\dfrac{n^n}{2^{\,n-1}}$ を示せ。
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大問Ⅲ の答えと解説
(1)
a₂=7，a₃=26
- $\sqrt[3]{x+1}=n$ を解くと $x=n^3-1$。よって $a_n=n^3-1$ で，$a_2=7,\ a_3=26$。
(2)
S_n = n²(n−1)(3n+1)/4
- $a_{k+1}-a_k=(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1$ なので $S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}k(3k^2+3k+1)=3\sum k^3+3\sum k^2+\sum k$（$k=1,\dots,n-1$）。
- $=3\left\{\dfrac{n(n-1)}2\right\}^2+\dfrac{n(n-1)(2n-1)}2+\dfrac{n(n-1)}2=\dfrac{n(n-1)}4\{3n(n-1)+2(2n-1)+2\}=\dfrac{n(n-1)}4(3n^2+n)=\dfrac{n^2(n-1)(3n+1)}4$。
- $n=1$ のとき $0$ で，定義の $S_1=0$ とも一致する。
(3)
答案例
- $a_n=\log_2n$。$n=1$ のとき $S_1=0$ で，右辺も $1\cdot0-\log_21=0$ なので成り立つ。
- $n\ge2$ のとき $S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}k\log_2(k+1)-\sum_{k=1}^{n-1}k\log_2k$。第1項で $j=k+1$ とおくと $\displaystyle\sum_{j=2}^{n}(j-1)\log_2j$。
- $S_n=\displaystyle\sum_{j=2}^{n}(j-1)\log_2j-\sum_{j=2}^{n-1}j\log_2j=(n-1)\log_2n-\sum_{j=2}^{n-1}\log_2j=(n-1)\log_2n-\log_2\{(n-1)!\}$。
- $\log_2\{(n-1)!\}=\log_2(n!)-\log_2n$ なので $S_n=n\log_2n-\log_2(n!)$。
(4)
答案例
- $k\ge1$ のとき，二項定理（またはベルヌーイの不等式）より $\left(1+\dfrac1k\right)^k\ge1+k\cdot\dfrac1k=2$。
- (3)の和の各項は $k\log_2(k+1)-k\log_2k=k\log_2\left(1+\dfrac1k\right)=\log_2\left(1+\dfrac1k\right)^k\ge\log_22=1$。
- $n\ge2$ のとき $S_n\ge n-1$。これは $n=1$ でも成り立つ（$0\ge0$）。(3)より $n\log_2n-\log_2(n!)\ge n-1$。
- よって $\log_2(n!)\le n\log_2n-(n-1)=\log_2\dfrac{n^n}{2^{n-1}}$ で，$n!\le\dfrac{n^n}{2^{n-1}}$。
※ 類題は、本番の解き方の骨格は残しつつ、数値・設定・図形・問われ方を変えて作っています。大問Ⅱは五角形の辺の長さと角度を変え、大問Ⅲは逆関数を立方根と $2^x$ にして、階乗の不等式の形を変えています。全空欄は、スクリプトで確かめてあります。
30秒 得点診断
本番の過去問、またはそっくり類題セットを70分で解いた結果を選んでください。次にやるべきことを表示します。
保護者の方へ：順天堂大の数学で知っておきたい3つのこと
① 「全部解く」より「取れる所を落とさない」
全3大問・70分で、大問Ⅰ・Ⅱはマーク式、大問Ⅲは記述式です。小問集合と各大問の前半は誘導に乗れば短時間で取れるので、ここを落とさない練習が得点に直結します。② 記述の大問は「書き方」も練習が必要
記述問題は、分かっていても書き方で点が変わります。「何を仮定し、何を使い、何を示したか」を短く書く練習を、答案を見てもらいながら進めると伸びが速くなります。③ 秋からは「答案を見てもらう」
70分で3大問を終える配分は、独学では直しにくい部分です。どこで時間を失ったか、第三者の目で見ると最短で伸びます。よくある質問
Q. 順天堂大学 医学部の数学2024年度は、どの順番で解くのがよいですか？
TMPSのおすすめは、大問Ⅰの小問集合を26分、図形とベクトルの大問Ⅱを20分、記述の大問Ⅲを18分、見直し6分です。Ⅰは小問ごとに答えが確実に出るので先に取り、Ⅱは(a)(b)で五角形の座標・ベクトルをそろえてから(c)へ、Ⅲは(1)(2)から順に書いて(3)(4)の途中点も拾います。
Q. 問題文が載っていなくても、どんな問題か分かりますか？
分かります。著作権に配慮して問題本文・図は掲載していませんが、各小問の最初に「どういう問題か」として、設定・何を答えるか・解答欄の形をTMPSの言葉で説明しています。
Q. 大問Ⅲの記述式はどう書けばよいですか？
この大問は「逆関数から数列を作る」「和を計算する」「対数の和を整理して示す」「不等式を示す」という流れです。ページには答案例を載せています。答案例は1つの書き方で、論理の流れ（何を仮定し、何を使い、何を示したか）が読み手に伝われば別の書き方でも構いません。
Q. そっくり類題セットとは何ですか？
2024年度と同じ3大問・同じ空欄の数と形式で、数値・設定を変えたTMPSオリジナル問題です。本文・設問はすべて新しく作ったもので、全問の答え・解説をこのページに掲載し、本番形式の問題冊子PDFも無料で配布しています。
Q. 解説に誤りを見つけたらどうすればいいですか？
公式LINEからお知らせください。確認のうえ修正し、更新日を記載します。
安心安全・継続更新システム
問題等で誤りを発見された場合、修正しますので、TMPS医学館までLINEを下さい。
受験生・指導者の皆様からのご指摘を真摯に受け止め、最も信頼できる過去問解説・類題ライブラリーとして随時アップデートいたします。
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