金沢医科大学 医学部（AO・推薦）数学
2025年実施（令和8年度）解答・解説

STEP 1　余弦定理で $\cos A \to \sin A$【ア】を求める

$a=BC=8$、$b=CA=6$、$c=AB=4$ とおく。$\triangle ABC$ に余弦定理を用いると

$0^\circ\lt A\lt 180^\circ$ より $\sin A\gt 0$ だから

STEP 2　正弦定理の比で $\sin B$【イ】・$\sin C$【ウ】を即決

正弦定理より $\sin A:\sin B:\sin C=a:b:c=8:6:4$ が成り立つ。したがって

STEP 3　三角形 $ABC$ の面積【エ】

2辺 $b=6,\ c=4$ とその間の角の正弦 $\sin A=\dfrac{\sqrt{15}}{4}$ より

STEP 1　2点が初めて一致する時刻 $T$【オ】

$\triangle ABC$ の周の長さは $AB+BC+CA=4+8+6=18\text{ cm}$。点 $P$（毎秒 $2\text{ cm}$）と点 $Q$（毎秒 $1\text{ cm}$）は反対向きに進むため、2点の進んだ距離の和が周の長さ $18\text{ cm}$ になった瞬間に初めて一致する。

ここで、$0\lt t\lt 6$ において点 $Q$ が進んだ距離は $1\cdot t=t\text{ cm}$ であり、辺 $AC$ の長さは $6\text{ cm}$ だから、$0\lt t\lt 6$ の全区間で点 $Q$ は常に辺 $AC$ 上にあり、$AQ=t$ である。

STEP 2　$0\lt t\leqq 2$ のときの面積 $S$【カ】

辺 $AB$ の長さは $4\text{ cm}$ なので、毎秒 $2\text{ cm}$ で進む点 $P$ は $0\lt t\leqq 2$ のとき辺 $AB$ 上にあり、$AP=2t$。したがって $\angle PAQ=\angle A$ より

STEP 3　$2\lt t\lt 6$ のときの面積 $S$【キ】

$t=2$ で頂点 $B$ を通過した点 $P$ は、$2\lt t\lt 6$ のとき辺 $BC$（長さ $8\text{ cm}$）上にある。$A\to B\to P$ と進んだ距離が $2t\text{ cm}$ だから、頂点 $C$ までの残り距離 $CP$ は

三角形の面積比を用いると、$\triangle APC$ は $\triangle ABC$ と高さを共有し底辺比が $\dfrac{CP}{BC}$、さらに $\triangle APQ$ は $\triangle APC$ と高さを共有し底辺比が $\dfrac{AQ}{AC}$ だから

検算（接続チェック）：【カ】の式に $t=2$ を代入すると $\dfrac{\sqrt{15}}{4}\cdot 4=\sqrt{15}$。【キ】の式に $t=2$ を代入しても $-\dfrac{\sqrt{15}}{8}(4-12)=\sqrt{15}$ となりピタリと一致！さらに $t=6$ で $S=0$ になることも確認できる。

STEP 4　$0\lt t\lt 6$ における最大値【ク】【ケ】

2つの区間でそれぞれ最大値を調べて比較する。

・$0\lt t\leqq 2$ のとき：$S=\dfrac{\sqrt{15}}{4}t^2$ は単調増加なので、$t=2$ で最大値 $\sqrt{15}=\dfrac{8\sqrt{15}}{8}$ をとる。

・$2\lt t\lt 6$ のとき：平方完成すると

軸 $t=3$ は定義域 $2\lt t\lt 6$ の内部に入っており、$t=3$ のとき値 $\dfrac{9\sqrt{15}}{8}$ をとる。

2区間の最大候補を比較すると $\dfrac{9\sqrt{15}}{8}\gt\dfrac{8\sqrt{15}}{8}=\sqrt{15}$ だから、$0\lt t\lt 6$ 全体で $S$ は $t=3$（【ク】）のとき最大値 $\dfrac{9\sqrt{15}}{8}$（【ケ】） をとる。

STEP 0　全事象144通りと共通公式の整理

さいころ $A, B$ の目の出方は $6\times 6=36$ 通り、2枚の硬貨の裏表の出方は $2\times 2=4$ 通りで、全事象は同様に確からしい $36\times 4=144$ 通りである。

硬貨の表の枚数 $c$ が $c=0,1,2$ となる出方はそれぞれ $1$ 通り・$2$ 通り・$1$ 通り なので、各 $c$ に対して条件を満たすさいころの目の組 $(a,b)$ の個数を $N_0,\ N_1,\ N_2$ とすると、求める確率はすべて次の1本の式で計算できる。

(1)(2)(3)前半3問：$a=b=c=1$、$ab=c$、$a=b=c$【コ】【サ】【シ】

(1) $a=b=c=1$ になる確率【コ】：

$c=1$（2通り）のとき、$(a,b)=(1,1)$ の $N_1=1$ 組のみ（$N_0=N_2=0$）。よって

(2) $ab=c$ になる確率【サ】：

$a\geqq 1,\ b\geqq 1$ より $ab\geqq 1$ だから、$c=0$ のとき $ab=0$ を満たす組は $N_0=0$ 組。

・$c=1$ のとき：$ab=1\iff (a,b)=(1,1)$ の $N_1=1$ 組。

・$c=2$ のとき：$ab=2\iff (a,b)=(1,2),(2,1)$ の $N_2=2$ 組。

(3) $a=b=c$ になる確率【シ】：

$a,b\in\{1,2,3,4,5,6\}$ より $c=0$ では不成立（$N_0=0$）。

・$c=1$ のとき：$(a,b)=(1,1)$ の $N_1=1$ 組。

・$c=2$ のとき：$(a,b)=(2,2)$ の $N_2=1$ 組。

(4)(5)(6)後半3問：$a=b^{c+1}$、$a-b=c$、$a\gt b\gt c$【ス】【セ】【ソ】

(4) $a=b^{c+1}$ になる確率【ス】：

・$c=0$ のとき：$a=b^1=b$ より、$(a,b)=(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)$ の $N_0=6$ 組。

・$c=1$ のとき：$a=b^2$ より、$1\leqq a\leqq 6$ を満たすのは $(a,b)=(1,1),(4,2)$ の $N_1=2$ 組。

・$c=2$ のとき：$a=b^3$ より、$1\leqq a\leqq 6$ を満たすのは $(a,b)=(1,1)$（$2^3=8\gt 6$ は範囲外）の $N_2=1$ 組。

(5) $a-b=c$ になる確率【セ】：

$a=b+c$ と書き換えると、$b$ を決めるごとに $a$ が1つ決まる。

・$c=0$ のとき：$a=b$ より $b=1,\dots,6$ の $N_0=6$ 組。

・$c=1$ のとき：$a=b+1$ より $(a,b)=(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5)$ の $N_1=5$ 組。

・$c=2$ のとき：$a=b+2$ より $(a,b)=(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)$ の $N_2=4$ 組。

(6) $a\gt b\gt c$ になる確率【ソ】：

組合せ ${}_n\mathrm{C}_2$ を使うと書き出しゼロで一瞬！
$a\gt b\gt c$ とは、「$c+1$ 以上 $6$ 以下の $(6-c)$ 個の整数の中から、異なる2個を選ぶ（大きい方を自動的に $a$、小さい方を $b$ とする）」ことと同じである。

・$c=0$ のとき：$\{1,2,3,4,5,6\}$ の6個から2個選ぶので $N_0={}_6\mathrm{C}_2=15$ 組。

・$c=1$ のとき：$\{2,3,4,5,6\}$ の5個から2個選ぶので $N_1={}_5\mathrm{C}_2=10$ 組。

・$c=2$ のとき：$\{3,4,5,6\}$ の4個から2個選ぶので $N_2={}_4\mathrm{C}_2=6$ 組。