金沢医科大学 医学部 数学（2024年度1日目）全問題・超図解解説

$\triangle\mathrm{OPQ}$ が存在するとき（$c = 1, 2, 3, 4, 5$）、$\mathrm{OP} = a$、$\mathrm{OQ} = b$、間の角 $\angle\mathrm{POQ} = \dfrac{c\pi}{6}$ より、三角形の面積公式から：

ここで、$c = 1, 2, 3, 4, 5$ に対する $\sin\dfrac{c\pi}{6}$ の値をすべて書き出しておきましょう（これが全設問で大活躍します！）：

• $c = 1, 5$（$30^\circ, 150^\circ$）のとき：$\sin\dfrac{c\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$
• $c = 2, 4$（$60^\circ, 120^\circ$）のとき：$\sin\dfrac{c\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
• $c = 3$（$90^\circ$）のとき：$\sin\dfrac{3\pi}{6} = \sin 90^\circ = 1$

【最大値】 $a, b, \sin\dfrac{c\pi}{6}$ はすべて正なので、それぞれが最大になるとき $S$ も最大になります。
$a$ の最大値は $6$、$b$ の最大値は $6$、$\sin\dfrac{c\pi}{6}$ の最大値は $1$（$c=3$ のとき）より、

【最小値】 それぞれが最小になるとき $S$ も最小になります。
$a$ の最小値は $1$、$b$ の最小値は $1$、$\sin\dfrac{c\pi}{6}$ の最小値は $\dfrac{1}{2}$（$c=1$ または $5$ のとき）より、

「2辺とその間の角」に注目しましょう。$\triangle\mathrm{OPQ}$ が正三角形になるための必要十分条件は、

それぞれの目の出方を数えます：

• $a = b$ となる $(a, b)$ の組は、$(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)$ の $6$ 通り。
• $c = 2$ となる $c$ の目は $1$ 通り。

よって、正三角形ができる $(a, b, c)$ の組は $6 \times 1 = 6$ 通り。全事象は $6^3 = 216$ 通りなので、求める確率は：

どの頂点が直角（$90^\circ$）になるかで、漏れなくダブりなく3つの場合（排反）に分けます！

以上①〜③は互いに排反なので、直角三角形ができる総数は $36 + 3 + 3 = 42$ 通り。
よって求める確率は（$6$ で約分して）：

面積 $S = \dfrac{1}{2}ab\sin\dfrac{c\pi}{6}$ が整数になる条件を、$c$ の値（$c=1,2,3,4,5$）で場合分けして調べます。

• 【ア】 $c = 2, 4$ のとき：
  $\sin\dfrac{c\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ より、$S = \dfrac{\sqrt{3}}{4}ab$。
  $a, b$ は正の整数なので、$S$ は必ず無理数となり、整数になることは絶対にありません（$0$ 通り）。
• 【イ】 $c = 3$（$1$ 通り）のとき：
  $\sin\dfrac{3\pi}{6} = 1$ より、$S = \dfrac{1}{2}ab$。
  これが整数になる $\iff ab$ が偶数になる $\iff$「$a, b$ の少なくとも一方が偶数」です。
  余事象「$a, b$ がともに奇数（$1, 3, 5$ の3通りずつ）」を引くのが最速です！ $$(a, b)\text{ の組} = 6 \times 6 - 3 \times 3 = 36 - 9 = 27\text{ 通り}$$ $c=3$ の $1$ 通りなので、$27 \times 1 = \mathbf{27\text{ 通り}}$。
• 【ウ】 $c = 1, 5$（$2$ 通り）のとき：
  $\sin\dfrac{c\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$ より、$S = \dfrac{1}{4}ab$。
  これが整数になる $\iff ab$ が $4$ の倍数になるときです。
  $1 \sim 6$ の目を次の3グループに分けて考えると一瞬で数えられます：
  ・奇数グループ $\{1, 3, 5\}$（3個）
  ・$4$ の倍数ではない偶数 $\{2, 6\}$（2個）
  ・$4$ の倍数 $\{4\}$（1個）
  $ab$ が $4$ の倍数になるのは次の2パターン（または余事象で求めてもOK）：
  1. $a, b$ の少なくとも一方が $4$ のとき：$6^2 - 5^2 = 36 - 25 = 11$ 通り。
  2. $a, b$ ともに $4$ 以外で、両方とも偶数 $\{2, 6\}$ のとき：$2 \times 2 = 4$ 通り。
  合計して、$(a, b)$ の組は $11 + 4 = 15$ 通り。
  $c = 1, 5$ の $2$ 通りあるので、$15 \times 2 = \mathbf{30\text{ 通り}}$。

以上より、面積が整数になるのは $27 + 30 = 57$ 通り。全事象 $216$ で割って（$3$ で約分）：

$\triangle\mathrm{OPQ}$ において余弦定理を用いると、$\mathrm{PQ}^2$ は次のように表されます：

$\mathrm{PQ} \geqq 9 \iff \mathrm{PQ}^2 \geqq 81$ です。
ここで、$a \leqq 6, b \leqq 6$ なので、$a^2 + b^2 \leqq 36 + 36 = 72$ です。
したがって、$\mathrm{PQ}^2 \geqq 81$ となるためには、$-2ab\cos\dfrac{c\pi}{6} > 0$ すなわち $\cos\dfrac{c\pi}{6} < 0$（鈍角） でなければ絶対に $81$ に届きません！
$\triangle\mathrm{OPQ}$ が存在する $c \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ のうち、$\cos\dfrac{c\pi}{6} < 0$ となるのは $c = 4, 5$ のみです。

以上①・②を合わせて、条件を満たすのは $3 + 6 = 9$ 通り。よって求める確率は（$9$ で約分して）：

直線①：$x - 3y + 6 = 0 \iff y = \dfrac{1}{3}x + 2$ （傾き $m_1 = \dfrac{1}{3}$）
直線②：$x + 2y - 4 = 0 \iff y = -\dfrac{1}{2}x + 2$ （傾き $m_2 = -\dfrac{1}{2}$）

2直線のなす鋭角 $\theta_1$ ($0^\circ \leqq \theta_1 \leqq 90^\circ$) について、$\tan$ の加法定理より：

よって、$\theta_1 = \mathbf{45}^\circ$ ……（ツテ）です。

次に、①と②の交点 $\mathrm{A}$ を求めます。どちらも $y$ 切片が $2$ なので、計算するまでもなく $\mathrm{A}(0, 2)$ です。
また、点 $\mathrm{B}$ は直線②上の点であり、直線③の $y$ 切片が負（①より下側にある平行線）なので、点 $\mathrm{B}$ は点 $\mathrm{A}(0, 2)$ より下側（つまり $x > 0$ の側）にあります。
直線②の傾きは $-\dfrac{1}{2}$ なので、点 $\mathrm{A}(0, 2)$ から $x$ 方向に $+2t$（$t > 0$）進むと、$y$ 方向に $-t$ 進みます。
すなわち、点 $\mathrm{B}$ の座標は $\mathrm{B}(2t, 2 - t)$ と表せます。線分 $\mathrm{AB}$ の長さが $2\sqrt{5}$ より：

ここで、もし $t = -2$ だと $\mathrm{B}(-4, 4)$ となり、①と平行で $\mathrm{B}$ を通る直線③：$y - 4 = \dfrac{1}{3}(x + 4) \iff y = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{16}{3}$ となって $y$ 切片が正になってしまいます。
$t = 2$ のとき、$\mathrm{B}(4, 0)$ となり、①と平行で $\mathrm{B}(4, 0)$ を通る直線③は：

このとき $y$ 切片は $-\dfrac{4}{3} < 0$ で条件を満たします！よって $\mathrm{B}(4, 0)$ ……（ト＝4, ナ＝0）。

$k > 4$ とし、直線 $x = k$ と①、③の交点がそれぞれ $\mathrm{D}, \mathrm{C}$ なので、各点の座標は $k$ を用いて次のように表せます：

• 点 $\mathrm{D}$（直線①上）：$\mathrm{D}\left(k,\ \dfrac{1}{3}k + 2\right)$
• 点 $\mathrm{C}$（直線③上）：$\mathrm{C}\left(k,\ \dfrac{1}{3}k - \dfrac{4}{3}\right)$

注目すべきことに、線分 $\mathrm{CD}$ は $y$ 軸に平行であり、その長さ $\mathrm{CD}$ は $k$ の値によらず一定です！

さらに、直線②を $x = 0$（点 $\mathrm{A}$）から $x = 4$（点 $\mathrm{B}$）までと、$x = 4$ から $x = k$（線分 $\mathrm{CD}$）までに分けて考えます。
点 $\mathrm{B}(4, 0)$ を通り $y$ 軸に平行な直線 $x = 4$ と直線①の交点を $\mathrm{E}$ とすると、①と③は平行なので $\mathrm{BE} = \mathrm{CD} = \dfrac{10}{3}$ です。
四角形 $\mathrm{ABCD}$ は「左側の $\triangle\mathrm{ABE}$（幅 $4 - 0 = 4$）」と「右側の平行四辺形 $\mathrm{EBCD}$（幅 $k - 4$）」に分割できます！

（※別解として、対角線 $\mathrm{BD}$ で $\triangle\mathrm{ABD} + \triangle\mathrm{BCD}$ に分けても同じ式になります！）
この面積が $\dfrac{40}{3}$ であることから：

よって $k = 6$ を代入して、点 $\mathrm{C}, \mathrm{D}$ の座標は：

【面積比 $\triangle\mathrm{ABD} : \triangle\mathrm{BCD}$】
先ほど求めた通り、四角形 $\mathrm{ABCD}$ 全体の面積は $\dfrac{40}{3}$ です。
一方、$\triangle\mathrm{BCD}$ は底辺を鉛直な線分 $\mathrm{CD} = \dfrac{10}{3}$ と見ると、高さは点 $\mathrm{B}(4,0)$ から直線 $x=6$ までの水平距離 $6 - 4 = 2$ です。よって：

したがって、残りの $\triangle\mathrm{ABD}$ の面積は：

よって面積比は：

4頂点の座標 $\mathrm{A}(0, 2), \mathrm{B}(4, 0), \mathrm{C}\left(6, \dfrac{2}{3}\right), \mathrm{D}(6, 4)$ から、方向ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{BD}}$ を求めます：

ベクトルの定数倍は向きの計算（なす角）に影響しないので、簡単な成分の2つのベクトル $\vec{u} = (9, -2)$ と $\vec{v} = (1, 2)$ のなす角として計算しましょう！

• $|\vec{u}| = \sqrt{9^2 + (-2)^2} = \sqrt{81 + 4} = \sqrt{85}$
• $|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$
• 内積 $\vec{u}\cdot\vec{v} = 9 \times 1 + (-2) \times 2 = 9 - 4 = 5$

よって $\cos\theta_2$ は：

$0^\circ \leqq \theta_2 \leqq 90^\circ$ より $\sin\theta_2 \geqq 0$ なので、$\sin^2\theta_2 + \cos^2\theta_2 = 1$ から：

基本ベクトルとして $\vec{a} = \overrightarrow{\mathrm{OA}}, \vec{b} = \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \vec{c} = \overrightarrow{\mathrm{OC}}$ とおきます。
立方体の性質から、底面の対角線の頂点 $\mathrm{D}$ と、その真上の頂点 $\mathrm{G}$ の位置ベクトルは：

点 $\mathrm{K}$ は線分 $\mathrm{DG}$ を $3 : 1$ に外分する点なので、外分点の公式より：

次に、点 $\mathrm{S}, \mathrm{T}$ は直線 $\mathrm{OK}$ 上の点なので、実数 $s, t$ を用いて次のように表せます。
① 点 $\mathrm{S}$（平面 $\mathrm{CEGF}$ との交点）：
平面 $\mathrm{CEGF}$ は立方体の上面（高さ方向 $\vec{c}$ の係数が $1$ となる平面）です！
$\overrightarrow{\mathrm{OS}} = s\overrightarrow{\mathrm{OK}} = s\vec{a} + s\vec{b} + \dfrac{3}{2}s\vec{c}$ において、$\vec{c}$ の係数が $1$ となるので：

② 点 $\mathrm{T}$（平面 $\mathrm{ABC}$ との交点）：
$\overrightarrow{\mathrm{OT}} = t\overrightarrow{\mathrm{OK}} = t\vec{a} + t\vec{b} + \dfrac{3}{2}t\vec{c}$ とおきます。
点 $\mathrm{T}$ が3点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ の定める平面 $\mathrm{ABC}$ 上にあるための必要十分条件は、「$\overrightarrow{\mathrm{OA}}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \overrightarrow{\mathrm{OC}}$ の係数の和が $1$ になること」です！

③ 線分比 $\mathrm{OT} : \mathrm{TS} : \mathrm{SK}$：
$\overrightarrow{\mathrm{OT}} = \dfrac{2}{7}\overrightarrow{\mathrm{OK}} = \dfrac{6}{21}\overrightarrow{\mathrm{OK}}$、$\overrightarrow{\mathrm{OS}} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{OK}} = \dfrac{14}{21}\overrightarrow{\mathrm{OK}}$、$\overrightarrow{\mathrm{OK}} = \dfrac{21}{21}\overrightarrow{\mathrm{OK}}$ より：

後半は「直交座標系」と「線分比（相似比）による高さの変換」のハイブリッド解法を使うと、驚くほど簡単に解けます！

実際に確かめてみましょう。1辺の長さが $2$ の立方体において、$\mathrm{O}\text{-}\mathrm{ABC}$ は直交する3辺が $\mathrm{OA} = \mathrm{OB} = \mathrm{OC} = 2$ の直角三角錐です。
四面体 $\mathrm{O}\text{-}\mathrm{ABC}$ の体積 $V_0$ は：

一方、$\triangle\mathrm{ABC}$ は1辺の長さが $2\sqrt{2}$ の正三角形です！よって $\triangle\mathrm{ABC}$ の面積は：

原点 $\mathrm{O}$ から平面 $\mathrm{ABC}$ に下ろした垂線の長さを $h_{\mathrm{O}}$ とすると、$V_0 = \dfrac{1}{3} \times \triangle\mathrm{ABC} \times h_{\mathrm{O}}$ より：

ここで、直線 $\mathrm{OS}$ と平面 $\mathrm{ABC}$ の交点が $\mathrm{T}$ であり、$\mathrm{OT} : \mathrm{TS} = 6 : 8 = 3 : 4$ なので、相似比から：

そして、三角錐 $\mathrm{S-ABC}$ の体積 $V$ は、底面積が $\triangle\mathrm{ABC} = 2\sqrt{3}$、高さが $\mathrm{SH} = \dfrac{8\sqrt{3}}{9}$（すなわち $V_0$ の $\dfrac{4}{3}$ 倍）なので：

【1】 曲線②が点 $\mathrm{D}(2, 1)$ を通ることから $c$ を決定：
②：$y = \dfrac{6 - x}{x + c}$ に $(x, y) = (2, 1)$ を代入すると、

【2】 点 $\mathrm{D}(2, 1)$ における曲線②の接線の傾きと 接線③の方程式：
$c = 2$ より、曲線②は次のように帯分数化（次数下げ）しておくと、微分も後半の積分も劇的にラクになります！

これを $x$ で微分すると：

よって、点 $\mathrm{D}(2, 1)$ における②の接線の傾きは、$x = 2$ を代入して $-\dfrac{8}{(2+2)^2} = -\dfrac{8}{16} = -\dfrac{1}{2}$ です。
したがって、点 $\mathrm{D}(2, 1)$ における②の接線③の方程式は：

【3】 放物線①の接線との直交条件から $a, b$ を決定：
点 $\mathrm{D}(2, 1)$ における②の接線の傾きが $-\dfrac{1}{2}$ なので、これに直交する①の接線の傾きは $2$ です（傾きの積 $= -1$）。
放物線①：$x = y^2 - ay + b$ の両辺を $y$ で微分すると：

点 $\mathrm{D}(2, 1)$（$y = 1$）において傾き $\dfrac{dy}{dx} = 2 \iff \dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{2}$ なので：

$a = \dfrac{3}{2}, b = \dfrac{5}{2}$ を代入した放物線①の方程式を、$y$ について平方完成します：

基本形 $y^2 = 4px$（ここでは $4p = 1 \iff p = \dfrac{1}{4}$）の焦点は $(p, 0) = \left(\dfrac{1}{4}, 0\right)$ です。
放物線①はそれを $x$ 軸方向に $+\dfrac{31}{16}$、$y$ 軸方向に $+\dfrac{3}{4}$ だけ平行移動したものなので、焦点 $\mathrm{F}$ の座標は：

よって、3点 $\mathrm{O}(0, 0), \mathrm{D}(2, 1), \mathrm{F}\left(\dfrac{35}{16}, \dfrac{3}{4}\right)$ が作る $\triangle\mathrm{ODF}$ の面積は、座標の面積公式 $\dfrac{1}{2}|x_1 y_2 - x_2 y_1|$ より：

放物線①：$x = y^2 - \dfrac{3}{2}y + \dfrac{5}{2}$ と、直線③：$y = -\dfrac{1}{2}x + 2 \iff x = -2y + 4$ の交点の $y$ 座標を求めます。
2式から $x$ を消去すると：

よって、交点の $y$ 座標は $y = -\dfrac{3}{2}$ と $y = 1$ です（$y = 1$ が点 $\mathrm{D}$ に対応しており、計算が正しいことも確認できます！）。
$-\dfrac{3}{2} \leqq y \leqq 1$ において、直線③の方が放物線①より右側（$x$ が大きい側）にあるので、求める面積 $S$ は「$\dfrac{1}{6}$ 公式」を用いて：

……（なにぬ＝125, ねの＝48）

区間 $0 \leqq x \leqq 2$ において、曲線②：$y_2 = \dfrac{6-x}{x+2} = -1 + \dfrac{8}{x+2}$ は、直線③：$y_3 = -\dfrac{1}{2}x + 2$ の上側にあり、どちらも $y \geqq 0$ です。
したがって、求める回転体の体積 $V$ は、「曲線②の回転体の体積 $V_2$」から「直線③の回転体（円錐台）の体積 $V_3$」を引いたものです：

【1】 曲線②の積分 $\int_0^2 y_2^2\,dx$ の計算：

これを $0$ から $2$ まで定積分します：

【2】 直線③の積分 $\int_0^2 y_3^2\,dx$ の計算：

【3】 差をとって体積 $V$ を求める：