この問題のベクトルは $\vec p=(a-b,\ c),\ \vec q=(a,\ b-1)$ です。さいころの目は $1\sim6$ なので $(a,b,c)$ は全部で $6^3=216$ 通り。以下、確率は「条件に合う通り数 ÷ 216」です。
📌 このページの使い方
- 過去問集をお持ちの方：本番と同じ60分で解き、答え一覧で採点してから解説へ
- お持ちでない方：各大問の「どういう問題か」を読めば、問題の中身がそのまま分かります
- 最後にそっくり類題セット（PDF版あり）を60分で解き、初見でも同じ解き方ができるか確かめる
※ 著作権に配慮し、入試問題の本文・図は掲載していません。空欄の記号（ア・イ・…）は、本番の解答欄との対応を示すためのものです。※ 答えはTMPSが独立に導き、スクリプトで検算したものです（公式の解答は参照していません）。
⚠️ 問題等で誤りを発見された場合、修正しますので、TMPS医学館までLINEを下さい。（迅速に確認・更新いたします）
LINEで誤りを連絡3分で分かる 2025年度の金沢医科大の数学
- ✅ 全4大問・試験時間60分。すべて空欄に数字や符号を入れるマーク式で、途中の記述はありません。分数は既約分数、根号の中は最小の自然数で答える指示があります。
- ✅ 第1問はさいころ3個とベクトルの確率。ベクトルの大きさ・垂直・平行・なす角が鈍角、の4つを「条件に合う目の組を数える」形で答えます。内積の式を一度作れば、あとは因数分解で絞り込めます。
- ✅ 第2問は放物線の接線、第3問は群に分けた数列、第4問は円と放物線の面積。どれも「定義→係数や位置を決める→面積・平均・分散を求める」と進む誘導で、前半を落とさなければ後半の計算も追えます。
- ✅ 差がつくのは「数え上げの丁寧さ」と「計算の正確さ」。第1問の場合分け、第2問の三角形の面積比、第4問の扇形の面積は、手順を落ち着いて追えるかで分かれます。
Yuiちゃん
60分で4大問って、かなり急ぎそうです…。
ニックニ先生
空欄は多いですが、どの大問も前半は「基本の式を立てる」「数値を求める」平易な設定です。第3問のように公式で素早く満点が狙える大問から着手し、丁寧さを要する第1問の数え上げは残り時間を見ながら落ち着いて解きましょう。この作戦だけで非常に安定したペースで進められます。Yuiちゃん
空欄が多いと、どこで間違えたか分からなくなりそうです。ニックニ先生
ですから途中式は必ず手元に残してください。たとえ空欄の答えが合っていても、過程が曖昧だと次は落としてしまいますよ。特にマーク式は、約分や根号の整理の確認まで含めて1問だ。60分の立ち回りマップ
時間はTMPSの目安です。解く順番と「捨てどころ」をセットで覚えておきましょう。
🧭 おすすめの解く順番
第3問 → 第4問 → 第2問 → 第1問（数え上げ）→ 見直し3分
第3問は公式がそろえば短時間で取れ、第4問は図を描けば計算が軽い大問です。第1問は数え上げで時間が溶けやすいので、(1)(2)の前半だけ先に取って、残りは最後に回す手もあります。順番を入れ替えても、各大問の目標時間は変えない方がペースを保てます。
本番の答え一覧（採点用）
解説を読む前の採点用です。すべての空欄を、記号計算（sympy）と全数探索・数値計算のスクリプトで独立に確かめています（結果は下の注記）。
第1問
(1) アイ 61(1) ウ 1(1) エ／オカ 2／27(2) キ／クケ 5／72(2) コ／サシス 1／108(3) セ／ソタ 1／36
第2問
チ 2ツ 3テ 6トナ 29ニ 6ヌ 7ネノ／ハ 16／3ヒフ 16ヘ・ホ・マ 1・6・9
第3問
(1) ミ 7(1) ム 8(2) メ・モ・ヤ 2・2・1(3) ユ 2（n の指数 2）(3) ラ／リ 4／3（n の指数 2）(3) レ／ロ 1／3(4) ワヲ 18
第4問
あ 4い／う 3／2え 2お・か 2・3き／く 4／3け・こ／さ 2・3／3し／す 3／2せ 3そ・た／ち 4・3／3
※ 検算：本番の全空欄を、sympy（記号計算）と全数探索・数値計算で確かめ、すべて一致しました。分数は既約分数、根号の中は最小の自然数にした形です。公式の解答は参照していません。
採点したら → 30秒の得点診断へ第1問 さいころ3個とベクトル ── 内積の式を先に作り、因数分解で目の組を絞る
3個のさいころの目 $a,b,c$ から平面ベクトル $\vec p,\vec q$ を作り、大きさ・垂直・平行・なす角が鈍角、という4つの条件の確率を答える問題です。216通りを闇雲に調べるのではなく、条件を式にして絞り込むのがコツです。
現場戦略試験会場でのリアルな立ち回り（第1問）
⏱ 目標時間 & 死守ライン目標15分（(1)4分・(2)6分・(3)3分、見直し2分）。空欄は6か所分。(1)は式を1本立てるだけなので、最大・最小で5分以上使わない。
⚠️ 損切り・警戒ライン(2)の「垂直」「平行」は数え上げが長くなりやすい。因数分解で絞ってから数える。5分を超えたら(3)に進む（(3)は(2)の変形をそのまま使える）。
💡 初手の思考トリガー最初の一手は成分を書き出して、$|\vec p|^2$・内積・平行の式を3本作ること。以後は、この3本の式の値や符号だけを見る。
準備ベクトルの成分と、3つの式
$$|\vec p|^2=(a-b)^2+c^2,\qquad \vec p\cdot\vec q=a(a-b)+c(b-1),\qquad p_xq_y-p_yq_x=(a-b)(b-1)-ac$$
大きさは1番目、垂直は内積が0、平行は3番目（成分の外積）が0、鈍角は内積が負、と使い分けます。
(1)大きさの最大・最小と、$|\vec p|=5$ になる確率（空欄アイ・ウ・エ／オカ）
📝 どういう問題か？
3つの目を動かして $|\vec p|$ の最大・最小を求め、さらに大きさがちょうど5になる確率を答える。
- アイ：$|\vec p|$ が最大になるときの $|\vec p|=\sqrt{アイ}$ の根号の中（2桁の整数）
- ウ：$|\vec p|$ が最小になるときの $|\vec p|$ の値（1桁の整数）
- エ／オカ：$|\vec p|=5$ になる確率（既約分数）
最大：$|\vec p|^2=(a-b)^2+c^2$ は、$|a-b|$ と $c$ をどちらも大きくするほど大きくなります。$|a-b|$ の最大は5（$(a,b)=(6,1),(1,6)$）、$c$ の最大は6。
$$|\vec p|^2=5^2+6^2=61\quad\Rightarrow\quad |\vec p|=\sqrt{61}$$
最小：$a=b$ で第1成分が0、$c=1$ で第2成分が最小になり、$|\vec p|=1$。
$|\vec p|=5$：$(a-b)^2+c^2=25$ を、$c$ ごとに調べます。
| $c$ | $(a-b)^2$ | $a,b$ の組 | 通り数 |
|---|---|---|---|
| 5 | 0 | $a=b$ | 6 |
| 4 | 9 | $|a-b|=3$：$(1,4),(2,5),(3,6)$ とその逆 | 6 |
| 3 | 16 | $|a-b|=4$：$(1,5),(2,6)$ とその逆 | 4 |
| 1, 2, 6 | 24, 21, −11 | 平方数にならないので なし | 0 |
$$6+6+4=16\ \text{通り}\quad\Rightarrow\quad\frac{16}{216}=\frac{2}{27}$$
🎯 (1) の答え
アイ：61ウ：1エ／オカ：2／27
⚠️ 最大を「$a=6,\ b=1$ だから $a-b=5$、$c=6$」と見つけたら、根号の中は $25+36=61$。$\sqrt{61}$ は最小の自然数のまま答える（約分できる平方因数はない）。
(2)垂直になる確率と平行になる確率（空欄キ／クケ・コ／サシス）
📝 どういう問題か？
内積が0になる目の組と、成分の外積が0になる目の組を、それぞれ数える。
- キ／クケ：$\vec p\perp\vec q$ になる確率（既約分数）
- コ／サシス：$\vec p\parallel\vec q$ になる確率（既約分数。分母は3桁）
垂直：$a(a-b)+c(b-1)=0$。まず $b=1$ のとき $a(a-1)=0$ で $a=1$、$c$ は何でもよいので 6通り（$(1,1,c)$）。
$b\ge2$ のとき、右辺・左辺の符号から $a<b$ で、$c(b-1)=a(b-a)$。ここで次の因数分解を使います。
$$a(b-a)-(b-1)=(a-1)(b-a-1)\ \ge 0\qquad(1\le a\le b-1)$$
$c\ge1$ なので $a(b-a)\ge b-1$ が必要で、等しい $c=1$ になるのは $(a-1)(b-a-1)=0$、すなわち $a=1$ または $a=b-1$。$c\ge2$ だと $a(b-a)\ge2(b-1)$ が必要ですが、$b\le6$ では $a(b-a)$ の最大値（$b=6$ で9）がこれに届きません。
| 条件 | 目の組 $(a,b,c)$ | 通り数 |
|---|---|---|
| $b=1$ | $(1,1,c)$，$c=1\sim6$ | 6 |
| $b\ge2,\ a=1,\ c=1$ | $(1,b,1)$，$b=2\sim6$ | 5 |
| $b\ge3,\ a=b-1,\ c=1$ | $(2,3,1),(3,4,1),(4,5,1),(5,6,1)$ | 4 |
$$6+5+4=15\ \text{通り}\quad\Rightarrow\quad\frac{15}{216}=\frac{5}{72}$$
平行：$(a-b)(b-1)=ac$。右辺は正なので $a>b\ge2$ で、$c\ge1$ から $(a-b)(b-1)\ge a$ が必要です。$b$ ごとに確かめます。
| $b$ | 条件 $(a-b)(b-1)\ge a$ | $a$ と $c$ |
|---|---|---|
| 2 | $a-2\ge a$ | 成り立たない |
| 3 | $2(a-3)\ge a\ \Rightarrow\ a\ge6$ | $a=6$：$6=6c$ より $c=1$ |
| 4 | $3(a-4)\ge a\ \Rightarrow\ a\ge6$ | $a=6$：$6=6c$ より $c=1$ |
| 5 | $a\ge\dfrac{20}{3}$ で $a\le6$ に反する | なし |
| 6 | $a>6$ になる | なし |
$$(a,b,c)=(6,3,1),\ (6,4,1)\ \Rightarrow\ \frac{2}{216}=\frac{1}{108}$$
🎯 (2) の答え
キ／クケ：5／72コ／サシス：1／108
⚠️ 垂直の「$b=1$」を忘れない。$b=1$ のとき $\vec q=(a,0)$ で、$a=1$ なら $\vec p=(0,c)$ が $\vec q=(1,0)$ と直交する。$c$ は1〜6のどれでもよいので6通りになる。
(3)なす角が鈍角になる確率（空欄セ／ソタ）
📝 どういう問題か？
内積が負になる目の組を数える。(2)で作った変形がそのまま使える。
- セ／ソタ：$\vec p$ と $\vec q$ のなす角が鈍角になる確率（既約分数）
鈍角 ⇔ $\vec p\cdot\vec q<0$ ⇔ $a(b-a)>c(b-1)$。$b\le a$ だと左辺が0以下で成り立たないので $a<b$。
(2)と同じく、$c\ge2$ だと $a(b-a)>2(b-1)$ が必要で、$b\le6$ ではありえません。よって $c=1$ で、$a(b-a)>b-1$ すなわち $(a-1)(b-a-1)>0$、つまり $a\ge2$ かつ $b\ge a+2$。
| $a$ | $b$ | 通り数 |
|---|---|---|
| 2 | 4, 5, 6 | 3 |
| 3 | 5, 6 | 2 |
| 4 | 6 | 1 |
| 5, 6 | なし | 0 |
$$3+2+1=6\ \text{通り}\quad\Rightarrow\quad\frac{6}{216}=\frac{1}{36}$$
🎯 (3) の答え
セ／ソタ：1／36
Yuiちゃん
数え上げのときに、どうやって数えもれを防げばいいですか？ニックニ先生
闇雲に「全部書き出す」前に、まずは数式で必要条件を絞り込みましょう。今回は $(a-1)(b-a-1)$ という因数分解が現れた時点で、$c=1$ に限定されることが論理的に確定します。絞り込めた根拠を数式で手元に残しておけば、数え漏れは絶対に防げますよ。(2)(3)の結果を別の視点から検算する余裕も生まれます。ニックニ先生の総整理表
第1問：ベクトルと確率の型
| 小問 | 型 | 着眼点 |
|---|---|---|
| 式づくり | 3つの式 | $|\vec p|^2$、内積 $a(a-b)+c(b-1)$、外積 $(a-b)(b-1)-ac$ を最初に書く |
| (1) | 最大・最小と特定の値 | 最大は $|a-b|$ と $c$ を最大に。大きさ5は $c$ ごとの表 |
| (2) | 垂直・平行 | $b=1$ を先に処理。$a(b-a)-(b-1)=(a-1)(b-a-1)$ で $c=1$ に絞る |
| (3) | 鈍角 | 内積が負。(2)の因数分解を再利用して $a\ge2,\ b\ge a+2$ |
TMPSコーチング診断
🩺【自己診断】第1問で手が止まった人への処方箋
- 式づくり成分を間違える → $\vec p=(a-b,c)$、$\vec q=(a,b-1)$ を書き写してから、内積と外積を別々に展開する
- (1)最大が決まらない → $|a-b|$ の最大5と $c$ の最大6を同時に取れるか確かめる
- (2)数えるのが長い → $b=1$ と $b\ge2$ に分け、$(a-1)(b-a-1)$ の因数分解で $c=1$ に絞る
- (3)(2)の結果がなくなる → 鈍角は内積<0。等号が不等号に変わっただけなので、同じ因数分解を使う
第2問 放物線と2本の接線 ── 判別式で接線を求め、「重解」でもう1つの放物線も決める
点Aから放物線に引いた2本の接線の方程式を求め、さらにその2本に同時に接する別の放物線 ③ を決めて、面積と三角形の面積比を答える問題です。「接する ⇔ 判別式が0」を2回使うのが骨格です。
現場戦略試験会場でのリアルな立ち回り（第2問）
⏱ 目標時間 & 死守ライン目標17分（接線4分・③の係数4分・面積3分・三角形の面積6分）。接線と ③ の係数は前半で確実に取る。
⚠️ 損切り・警戒ライン三角形の面積比（最後の3空欄）は座標が決まってから機械的にできる。座標が間違っていると全滅するので、点B・C・Dの座標を一度見直してから計算する。
💡 初手の思考トリガー最初の一手はAを通る傾き $k$ の直線を立て、放物線との連立で判別式を0にすること。接点を使うより、傾きが直接出る。
(接線)点Aからの2本の接線（空欄チ・ツ・テ・トナ）
📝 どういう問題か？
点A(4, −5)から、放物線 $y=-x^2+10x-33$ に引いた2本の接線の方程式を求める。
- チ・ツ：①の式 $y=-チx+ツ$（傾きが負の接線）
- テ・トナ：②の式 $y=テx-トナ$（傾きが正の接線。トナは2桁）
Aを通る傾き $k$ の直線は $y=k(x-4)-5$。放物線と連立して整理します。
$$-x^2+10x-33=k(x-4)-5\ \Rightarrow\ x^2+(k-10)x+(28-4k)=0$$
接する条件は判別式が0：
$$(k-10)^2-4(28-4k)=k^2-4k-12=(k-6)(k+2)=0\quad\Rightarrow\quad k=6,\ -2$$
$k=-2$：$y=-2(x-4)-5=-2x+3$（①）。$k=6$：$y=6(x-4)-5=6x-29$（②）。
🎯 接線の答え
チ：2ツ：3テ：6トナ：29
⚠️ 「接点を $t$ とおいて $y=f'(t)(x-t)+f(t)$ に $A$ を代入」でも解けるが、2次方程式 $t^2-8t+12=0$ のあとに接線を作る手間が増える。傾き $k$ を直接おくと、判別式の計算だけで済む。
(③)放物線 ③ の係数（空欄ニ・ヌ）
📝 どういう問題か？
放物線 $y=x^2+mx+n$ が、①と②の両方に接するように $m,n$ を決める。
- ニ：$m=-ニ$（1桁）
- ヌ：$n=ヌ$（1桁）
③と直線 $y=sx+c$ が接する条件は、$x^2+(m-s)x+(n-c)=0$ が重解をもつこと：$(m-s)^2=4(n-c)$。①（$s=-2,\ c=3$）と②（$s=6,\ c=-29$）に使います。
$$(m+2)^2=4(n-3),\qquad (m-6)^2=4(n+29)$$
2式を引くと $n$ が消えて、
$$(m+2)^2-(m-6)^2=16m-32=4(n-3)-4(n+29)=-128\ \Rightarrow\ m=-6$$
$(m+2)^2=16=4(n-3)$ より $n=7$。③は $y=x^2-6x+7$。②の式でも $(m-6)^2=144=4(n+29)=144$ となり、確かめになります。
🎯 ③ の答え
ニ：6ヌ：7
(面積)①②③で囲まれた部分の面積（空欄ネノ／ハ）
📝 どういう問題か？
2本の接線と放物線 ③ で囲まれる部分の面積を求める。
- ネノ／ハ：①，②，③で囲まれた部分の面積（分子2桁・分母1桁の既約分数）
接点は、重解 $x=-\dfrac{m-s}{2}$ より ①：$x=\dfrac{s-m}{2}=2$、②：$x=\dfrac{6+6}{2}=6$。接点を B$(2,-1)$、C$(6,7)$ とします。①と②の交点はAで、$x=4$。
$2\le x\le4$ では「③の上、①の下」、$4\le x\le6$ では「③の上、②の下」の差を積分します。差はどちらも「接点で重解になる」ので平方の形になります。
$$\int_2^4(x-2)^2dx+\int_4^6(x-6)^2dx=\frac83+\frac83=\frac{16}{3}$$
🎯 面積の答え
ネノ／ハ：16／3
⚠️ 検算に使える公式：放物線 $y=x^2+\cdots$ と2本の接線で囲まれる面積は $\dfrac{(\text{接点の }x\text{ 座標の差})^3}{12}$。ここでは $\dfrac{4^3}{12}=\dfrac{16}{3}$。ただし本番では、まず積分で出してから、この公式で確かめるのが安全。
(三角形)三角形ABCの面積と、△ABD:△BCD:△CAD（空欄ヒフ・ヘ・ホ・マ）
📝 どういう問題か？
接点B・C と点A、③の頂点Dを結んでできる三角形の面積と、その比を求める。
- ヒフ：△ABC の面積（2桁の整数）
- ヘ・ホ・マ：③の頂点D について、△ABD:△BCD:△CAD を最も簡単な整数比にしたもの（それぞれ1桁）
③は $y=(x-3)^2-2$ なので、頂点は D$(3,-2)$。座標は A$(4,-5)$，B$(2,-1)$，C$(6,7)$，D$(3,-2)$。三角形の面積は、ベクトル $\vec u=(u_1,u_2),\ \vec v=(v_1,v_2)$ を2辺として $\dfrac12|u_1v_2-u_2v_1|$ で出します。
| 三角形 | 2辺のベクトル | 面積 |
|---|---|---|
| △ABC | $\overrightarrow{AB}=(-2,4),\ \overrightarrow{AC}=(2,12)$ | $\frac12|-24-8|=16$ |
| △ABD | $\overrightarrow{AB}=(-2,4),\ \overrightarrow{AD}=(-1,3)$ | $\frac12|-6+4|=1$ |
| △BCD | $\overrightarrow{BC}=(4,8),\ \overrightarrow{BD}=(1,-1)$ | $\frac12|-4-8|=6$ |
| △CAD | $\overrightarrow{CA}=(-2,-12),\ \overrightarrow{CD}=(-3,-9)$ | $\frac12|18-36|=9$ |
$$\triangle\mathrm{ABD}:\triangle\mathrm{BCD}:\triangle\mathrm{CAD}=1:6:9,\qquad 1+6+9=16=\triangle\mathrm{ABC}$$
🎯 三角形の答え
ヒフ：16ヘ・ホ・マ：1・6・9
⚠️ 3つの小三角形の和が△ABC になることは、点Dが△ABCの内部にあるときの検算。和が合わないときは、座標かどれかの面積を疑う。
Yuiちゃん
接線を求めるのに、傾き $k$ をおく方法と接点 $t$ をおく方法、どちらがいいですか？ニックニ先生
曲線の外部の点を通る接線は、傾きを $k$ と置く手法が極めて有効です。判別式 $D=0$ が $k$ の2次方程式になり、一挙に2本の傾きが得られます。逆に「放物線上の点における接線」であれば、微分係数を用いるのが最速です。与えられた通過点が「曲線上の点か、外部の点か」を見極めて解法を選択しましょう。ニックニ先生の総整理表
第2問：放物線と接線の型
| 項目 | 型 | 着眼点 |
|---|---|---|
| 接線 | 外の点から | $y=k(x-4)-5$ と連立して判別式 $=0$ |
| ③の係数 | 2接線に接する | 接する条件 $(m-s)^2=4(n-c)$ を2本分、差を取って $n$ を消す |
| 面積 | 放物線と接線 | 接点を境に、差が平方の形になる。公式 $\frac{(\Delta x)^3}{12}$ は検算に |
| 三角形 | 座標の面積 | 2辺のベクトルで $\frac12|u_1v_2-u_2v_1|$。小三角形の和＝△ABC で検算 |
TMPSコーチング診断
🩺【自己診断】第2問で手が止まった人への処方箋
- 接線判別式が合わない → $y=k(x-4)-5$ を放物線に代入し、$x^2$ の係数を正にそろえてから判別式をとる
- ③の係数連立が重い → ①②を別々に接する条件にして、引き算で $n$ を消す
- 面積積分区間が不安 → 接点の $x$ 座標と交点Aの $x$ 座標を図に書き、$[2,4]$ と $[4,6]$ で分ける
- 三角形面積比が合わない → 点B・C・Dの座標を再確認。和が16になるか確かめる
第3問 群に分けた奇数の列 ── 「平均は中央」「分散は等間隔の公式」で一気に決める
奇数を小さい順に並べて、第 $n$ 群が $2n$ 個の項になるよう区切った群数列です。99がどこにあるか、第 $n$ 群の初項、平均、分散、標準偏差が一定値を超える最小の $n$を順に答えます。
現場戦略試験会場でのリアルな立ち回り（第3問）
⏱ 目標時間 & 死守ライン目標15分。群数列の型どおりに進めば、平均までは5分で取れる。分散と最後の不等式（計4空欄）まで取りきって15分。
⚠️ 損切り・警戒ライン分散を「$\sum x^2-\bar x^2$」で定義どおりに展開し始めたら損切り。等間隔の数の分散は公式1本で出る（下で説明）。
💡 初手の思考トリガー最初の一手は第 $n$ 群より前の項数を式にすること。第 $k$ 群は $2k$ 個なので、第 $(n-1)$ 群までで $n(n-1)$ 個。
(群の位置)99がある群と、群の中での位置（空欄ミ・ム）
📝 どういう問題か？
奇数 $1,3,5,\dots$ を、第 $k$ 群が $2k$ 個になるように区切ったとき、99がどの群の何番目にあるかを答える。
- ミ：99は第ミ群
- ム：その群の ム 番目の項
奇数の第 $j$ 項は $2j-1$。99は $2j-1=99$ より 第50項です。第 $m$ 群までの項数の合計は $2(1+2+\cdots+m)=m(m+1)$。
| $m$ | 第 $m$ 群までの項数 $m(m+1)$ |
|---|---|
| 6 | 42 |
| 7 | 56 |
$42<50\le56$ なので、99は第7群。第7群の中では $50-42=8$ 番目。
🎯 (群の位置) の答え
ミ：7ム：8
(初項・平均)第 $n$ 群の初項と平均（空欄メ・モ・ヤ・ユ・ヨ）
📝 どういう問題か？
第 $n$ 群の最初の項を $n$ の式で表し、群の項の平均を求める。
- メ・モ・ヤ：第 $n$ 群の最初の項 $=メ\,n^{モ}-メ\,n+ヤ$ の形の整数
- ユ（とその指数）：第 $n$ 群の項の平均 $=ユ\,n^{2}$ の形
第 $n$ 群の前には $n(n-1)$ 個の項があるので、初項は奇数の第 $\{n(n-1)+1\}$ 項：
$$2\{n(n-1)+1\}-1=2n^2-2n+1$$
第 $n$ 群は $2n$ 個で公差2の等差数列。末項は $2n^2-2n+1+2(2n-1)=2n^2+2n-1$。平均は（初項＋末項）÷2：
$$\frac{(2n^2-2n+1)+(2n^2+2n-1)}{2}=2n^2$$
🎯 (初項・平均) の答え
初項：$2n^2-2n+1$（メ=2，モ=2，ヤ=1）平均：$2n^2$（ユ=2，指数2）
⚠️ 初項を「$n$ 番目の群の1番目」と考えて $2n-1$ としない。前の群の項数 $n(n-1)$ が先。$n=1$ で1、$n=2$ で5（第2群は5,7,9,11）、$n=3$ で13、と小さい $n$ で確かめる。
(分散)第 $n$ 群の分散（空欄ラ／リ・レ／ロ）
📝 どういう問題か？
第 $n$ 群の $2n$ 個の項の分散を $n$ の式で表す。
- ラ／リ：分散 $=\dfrac{ラ}{リ}n^{2}-\dfrac{レ}{ロ}$ の $n^2$ の係数（既約分数）
- レ／ロ：定数項の分数（既約分数）
平均が $2n^2$ で、各項は $2n^2\pm1,\ 2n^2\pm3,\ \dots,\ 2n^2\pm(2n-1)$ と平均から対称に並ぶので、分散は「平均からのずれの2乗の平均」：
$$\frac1n\sum_{k=1}^{n}(2k-1)^2=\frac1n\cdot\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}=\frac{4n^2-1}{3}=\frac43n^2-\frac13$$
検算：公差 $d$、項数 $N$ の等差数列の分散は $\dfrac{d^2(N^2-1)}{12}$。$d=2,\ N=2n$ なら $\dfrac{4(4n^2-1)}{12}=\dfrac{4n^2-1}{3}$ で一致します。
🎯 (分散) の答え
ラ／リ：4／3レ／ロ：1／3
⚠️ $\sum(2n^2-2n+2k-1)^2$ のように初項から展開すると、$n^4$ の項が出て必ず崩れる。平均 $2n^2$ からのずれ（$\pm1,\pm3,\dots$）で見ると、$n^4$ は出てこない。
(標準偏差)標準偏差が20を超える最小の $n$（空欄ワヲ）
📝 どういう問題か？
標準偏差 $=\sqrt{\text{分散}}$ が20を超える最小の $n$ を求める。
- ワヲ：標準偏差が20より大きくなる最小の自然数 $n$（2桁）
$\sqrt{\dfrac{4n^2-1}{3}}>20$ は、両辺が正なので2乗して
$$\frac{4n^2-1}{3}>400\ \Rightarrow\ 4n^2>1201\ \Rightarrow\ n^2>300.25$$
| $n$ | $n^2$ | 判定 |
|---|---|---|
| 17 | 289 | 300.25以下 → 不適 |
| 18 | 324 | 300.25を超える → 適 |
🎯 (標準偏差) の答え
ワヲ：18
⚠️ $\sqrt{300}\approx17.3$ なので、17では足りず18。$n$ は整数なので「17.3より大きい最小の整数」は18。四捨五入で17にしない。
Yuiちゃん
分散の公式は覚えていないと使えませんか？ニックニ先生
公式を丸暗記していなくてもその場で即座に導出できますよ。等差数列のデータは、平均を原点に平行移動すると $\pm1,\pm3,\dots$ の対称な配置になります。偏差の2乗平均が分散ですので、奇数の2乗和の公式さえあれば導けます。公式の暗記が得意な方は $d^2(N^2-1)/12$ を検算用の強力な武器として活用してください。ニックニ先生の総整理表
第3問：群数列＋統計の型
| 項目 | 型 | 着眼点 |
|---|---|---|
| 群の位置 | 累積項数 | 第 $m$ 群までの項数 $m(m+1)$ と比べる |
| 初項 | 前の群の項数 | $n(n-1)$ 個の次の項 → $2n^2-2n+1$ |
| 平均 | 等差数列の平均 | （初項＋末項）÷2。中央の値＝$2n^2$ |
| 分散 | 対称なずれ | $\frac1n\sum(2k-1)^2=\frac{4n^2-1}{3}$ |
| 標準偏差 | 不等式 | 2乗して $n^2>300.25$ → 18 |
TMPSコーチング診断
🩺【自己診断】第3問で手が止まった人への処方箋
- 群の位置合計項数が合わない → 第 $m$ 群まででは $2(1+2+\cdots+m)=m(m+1)$。$m=1$ で2を確かめる
- 初項式が合わない → $n=1,2,3$ で1・5・13になるか確かめる
- 分散展開が崩れる → 平均 $2n^2$ からのずれ $\pm1,\pm3,\dots$ に直す
- 標準偏差不等式の向き → 2乗しても正の数どうしなので向きは変わらない。$n=17,18$ を代入して確認
第4問 円と放物線と接線 ── 「円の接線」から点Aを決め、面積は積分で素直に出す
原点を中心とする円に直線 $x+\sqrt3y=8$ が接し、その接点Aを通る放物線 $y^2=4px$ が出てきます。点Aの座標 → 円の半径 → 放物線の係数 → 2つの面積と、誘導にそって前から決まります。
現場戦略試験会場でのリアルな立ち回り（第4問）
⏱ 目標時間 & 死守ライン目標10分。点A・半径・放物線の係数（6空欄）は4分で終わる。面積2つは、積分の式を立てれば計算は短い。
⚠️ 損切り・警戒ライン面積(2つ目)の領域がつかめないときは、図を描いてから。式を書く前に、どの曲線の上か下かを確かめる。
💡 初手の思考トリガー最初の一手は「接点は、原点から接線に下ろした垂線の足」。接線 $x+\sqrt3y=8$ の法線方向は $(1,\sqrt3)$ なので、$A=\lambda(1,\sqrt3)$ とおく。
(点Aと円・放物線)点Aの座標、半径、放物線の係数（空欄え・お・か・あ・い／う）
📝 どういう問題か？
直線 $x+\sqrt3y=8$ が接する円の接点Aの座標、円の半径、Aを通る放物線の係数を求める。
- え・お・か：点Aの座標 $A(え,\ お\sqrt{か})$
- あ：円の半径 $r=あ$
- い／う：放物線 $y^2=4px$ の $p=\dfrac{い}{う}$（既約分数）
接点は原点から接線に下ろした垂線の足なので $A=\lambda(1,\sqrt3)$。これが $x+\sqrt3y=8$ の上にあるから
$$\lambda(1+3)=8\ \Rightarrow\ \lambda=2\ \Rightarrow\ A(2,\ 2\sqrt3)$$
半径は原点とAの距離：$r=\sqrt{4+12}=4$。放物線 $y^2=4px$ がAを通るので $12=4p\cdot2$ より $p=\dfrac32$（$y^2=6x$）。
🎯 (点Aと円・放物線) の答え
え：2お：2か：3あ：4い／う：3／2
⚠️ 円の方程式がまだ分かっていなくても、接点は垂線の足と使えば座標が出る。「円の式を未知数 $r$ とおいて連立」でも解けるが、判別式の計算が増える。
(面積①)円と放物線で囲まれた部分の面積（空欄き／く・け・こ／さ）
📝 どういう問題か？
円の弧・放物線・$y$ 軸で囲まれる部分（$0\le x\le2$）の面積を求める。
- き／く・け・こ・さ：面積 $=\dfrac{き}{く}\pi-\dfrac{け\sqrt{こ}}{さ}$ の形
第1象限で、円の上半分 $y=\sqrt{16-x^2}$ が放物線 $y=\sqrt{6x}$ の上にあるのは $0\le x\le2$。面積は2つの積分の差です。
$$\int_0^2\sqrt{16-x^2}\,dx-\int_0^2\sqrt{6x}\,dx$$
円の部分：$\int_0^2\sqrt{16-x^2}dx$ は、半径4の円で $x=0$ から $x=2$ までの面積。直角三角形（底辺2、高さ $2\sqrt3$）と扇形（中心角 $\dfrac\pi6$）に分けると
$$\frac12\cdot2\cdot2\sqrt3+\frac12\cdot4^2\cdot\frac\pi6=2\sqrt3+\frac{4\pi}{3}$$
放物線の部分：$\int_0^2\sqrt6\,x^{1/2}dx=\sqrt6\cdot\dfrac23\cdot2^{3/2}=\dfrac23\sqrt6\cdot2\sqrt2=\dfrac{8\sqrt3}{3}$。
$$2\sqrt3+\frac{4\pi}{3}-\frac{8\sqrt3}{3}=\frac43\pi-\frac{2\sqrt3}{3}$$
🎯 (面積①) の答え
き／く：4／3け：2こ：3さ：3
⚠️ 扇形の中心角は $\sin\theta=\dfrac12$ より $\dfrac\pi6$（Aの位置から $x$ 軸方向を測ると $\dfrac\pi3$ ではない）。図でどの角を使うか確かめる。
(接線と面積②)放物線の点Aでの接線と、囲まれた部分の面積（空欄し・す・せ・そ・た・ち）
📝 どういう問題か？
放物線のAでの接線の式を求め、その接線と放物線と $x$ 軸で囲まれる面積を求める。
- し・す・せ：接線 $y=\dfrac{\sqrt{し}}{す}x+\sqrt{せ}$
- そ・た・ち：放物線・その接線・$x$ 軸で囲まれた部分の面積 $=\dfrac{そ\sqrt{た}}{ち}$
$y=\sqrt{6x}$ より $y'=\dfrac{\sqrt6}{2\sqrt x}$。$x=2$ で $\dfrac{\sqrt6}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt3}{2}$。接線は
$$y-2\sqrt3=\frac{\sqrt3}{2}(x-2)\ \Rightarrow\ y=\frac{\sqrt3}{2}x+\sqrt3$$
この接線と $x$ 軸の交点は $x=-2$。囲まれる部分は、接線の下側（$-2\le x\le2$）から放物線の下側（$0\le x\le2$）を引いた面積です。
$$\int_{-2}^{2}\Bigl(\frac{\sqrt3}{2}x+\sqrt3\Bigr)dx-\int_0^2\sqrt{6x}\,dx=4\sqrt3-\frac{8\sqrt3}{3}=\frac{4\sqrt3}{3}$$
🎯 (接線と面積②) の答え
し：3す：2せ：3そ：4た：3ち：3
⚠️ 接線の下側の面積は、$x$ 軸上の線分 $[-2,2]$ を底辺、$x=2$ での高さ $2\sqrt3$ とする直角三角形なので $\dfrac12\cdot4\cdot2\sqrt3=4\sqrt3$。積分しなくても確かめられる。
Yuiちゃん
面積の問題では、いつ積分を使えばいいですか？ニックニ先生
境界が円弧や放物線などの曲線で囲まれ、初等幾何で一発算出できない領域こそ微積分の出番です。ただし円が絡む図形では、「扇形と三角形の和差に分解する」ことで面倒な置換積分を回避して瞬時に面積を求められます。今回の $\int\sqrt{16-x^2}dx$ はまさにその典型例ですね。ニックニ先生の総整理表
第4問：円・放物線・接線の型
| 項目 | 型 | 着眼点 |
|---|---|---|
| 点A | 円の接点 | 原点から接線に下ろした垂線の足 $A=\lambda(1,\sqrt3)$ |
| 半径・$p$ | 座標から | $r=OA=4$、$12=4p\cdot2$ より $p=\frac32$ |
| 面積① | 円−放物線 | 円は扇形＋三角形。$\frac43\pi-\frac{2\sqrt3}{3}$ |
| 接線・面積② | 微分と積分 | 傾き $\frac{\sqrt3}{2}$。接線の下側−放物線の下側 $=\frac{4\sqrt3}{3}$ |
TMPSコーチング診断
🩺【自己診断】第4問で手が止まった人への処方箋
- 点A座標が出ない → 接点は原点から接線への垂線の足。$A=\lambda(1,\sqrt3)$ を接線の式に代入
- 半径・p放物線の式がわからない → 放物線 $y^2=4px$ にA(2, $2\sqrt3$)を代入
- 面積①円の部分が計算できない → 三角形＋扇形に分ける。中心角は $\dfrac\pi6$
- 面積②領域がつかめない → 接線が $x$ 軸と交わる点（−2）を図に書き、「接線の下側−放物線の下側」と整理
TMPS ORIGINAL
金沢医科大2025型 そっくり類題セット
金沢医科大2025型 そっくり類題セット
（全4大問・解答解説つき）
2025年度の本番と同じ4大問・同じ小問構成で、数値と設定を変えたTMPSオリジナル問題です。式を先に作って使い切る力と、計算の正確さの練習に使ってください。
試験時間の目安 60分さいころとベクトル・放物線の接線・群数列・円と放物線
📄 本番形式の問題冊子PDFをダウンロード（全5ページ）
印刷して本番と同じように60分で解けます。解答・解説はこのページの下に掲載しています。
※ 金沢医科大学の入試問題ではありません。本文・設問・人物・団体（架空）はすべてTMPS医学館が作成したオリジナルで、出典のある引用ではありません。
類題 第1問
3個のさいころA，B，Cを同時に投げ，出た目をそれぞれ $a,\ b,\ c$ とする。これらの値に対して，平面上の2つのベクトル $\vec{p}=(a-b,\ a+1)$ と $\vec{q}=(a,\ c)$ を考える。
(1)
$|\vec{p}|$ が最大になるとき，$|\vec{p}|=\sqrt{\boxed{\text{アイ}}}$ であり，$|\vec{p}|$ が最小になるとき，$|\vec{p}|=$ウ である。また，$|\vec{p}|=3$ になる確率は $\dfrac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オカ}}}$ である。
(2)
$\vec{p}$ と $\vec{q}$ が垂直になる確率は $\dfrac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{クケ}}}$ であり，$\vec{p}$ と $\vec{q}$ が平行になる確率は $\dfrac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サシス}}}$ である。
(3)
$\vec{p}$ と $\vec{q}$ のなす角が鈍角になる確率は $\dfrac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソタ}}}$ である。
▶ 第1問 の答えと解説を見る
第1問 の答えと解説
(1)
アイ：74ウ：2エ/オカ：1/36
- $|\vec p|^2=(a-b)^2+(a+1)^2$。2つの平方の和なので，どちらも大きくしたい。$a=6,\ b=1$ で $5^2+7^2=74$（$a=1,\ b=6$ だと $25+4=29$ で小さい）。
- 最小は $a=b=1$ のとき $0^2+2^2=4$ で，$|\vec p|=2$。
- $|\vec p|^2=9$ になるのは，$(a+1)^2\le9$ より $a\le2$。$a=1$ なら $(1-b)^2=5$ で整数にならず，$a=2$ なら $(2-b)^2=0$ で $b=2$。$c$ は何でもよいので6通りで，$\dfrac{6}{216}=\dfrac{1}{36}$。
(2)
キ/クケ：1/72コ/サシス：1/108
- 垂直は $\vec p\cdot\vec q=a(a-b)+(a+1)c=0$，すなわち $a(b-a)=(a+1)c$。$a$ と $a+1$ は互いに素なので $b-a=(a+1)k$，$c=ak$（$k$ は正の整数）。
- $k=1$：$b=2a+1\le6$ より $(a,b,c)=(1,3,1),\ (2,5,2)$。$k=2$：$b=3a+2\le6$ より $(1,5,2)$。$k\ge3$ は $b>6$。合計3通りで $\dfrac{3}{216}=\dfrac{1}{72}$。
- 平行は $(a-b)c-(a+1)a=0$，すなわち $c(a-b)=a(a+1)$。$a$ を1から順に調べると，成り立つのは $(a,b,c)=(2,1,6),\ (3,1,6)$ の2通りだけ。$\dfrac{2}{216}=\dfrac{1}{108}$。
(3)
セ/ソタ：1/18
- 鈍角は $\vec p\cdot\vec q<0$，すなわち $a(b-a)>(a+1)c$。$a$ ごとに数える。
- $a=1$：$b-1>2c$ で $c=1$ なら $b=4,5,6$，$c=2$ なら $b=6$（計4）。$a=2$：$2(b-2)>3c$ で $c=1$ なら $b=4,5,6$，$c=2$ なら $b=6$（計4）。$a=3$：$3(b-3)>4c$ で $c=1$ なら $b=5,6$，$c=2$ なら $b=6$（計3）。$a=4$：$c=1$ のとき $b=6$ のみ（計1）。$a\ge5$ は0。
- 合計 $4+4+3+1=12$ 通りで $\dfrac{12}{216}=\dfrac{1}{18}$。
類題 第2問
点 A$(3,\ -13)$ から放物線 $y=-x^2+4x-20$ に引いた，2本の接線の方程式は
$y=-$チ$x+$ツ ……① と $y=$テ$x-$トナ ……②
である。次に，$m,\ n$ を定数とする。放物線 $y=x^2+mx+n$ ……③ が①と②に同時に接するとき，$m=-$ニ，$n=$ヌ である。このとき，①，②および③で囲まれた部分の面積は $\dfrac{\boxed{\text{ネノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}$ である。また，③と①の接点をB，③と②の接点をCとするとき，$\triangle\mathrm{ABC}$ の面積は ヒフ である。さらに，③の頂点をDとするとき，$\triangle\mathrm{ABD},\ \triangle\mathrm{BCD},\ \triangle\mathrm{CAD}$ の面積を最も簡単な整数比で表すと，
$\triangle\mathrm{ABD}:\triangle\mathrm{BCD}:\triangle\mathrm{CAD}=$ヘ$:$ホ$:$マ である。
である。次に，$m,\ n$ を定数とする。放物線 $y=x^2+mx+n$ ……③ が①と②に同時に接するとき，$m=-$ニ，$n=$ヌ である。このとき，①，②および③で囲まれた部分の面積は $\dfrac{\boxed{\text{ネノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}$ である。また，③と①の接点をB，③と②の接点をCとするとき，$\triangle\mathrm{ABC}$ の面積は ヒフ である。さらに，③の頂点をDとするとき，$\triangle\mathrm{ABD},\ \triangle\mathrm{BCD},\ \triangle\mathrm{CAD}$ の面積を最も簡単な整数比で表すと，
$\triangle\mathrm{ABD}:\triangle\mathrm{BCD}:\triangle\mathrm{CAD}=$ヘ$:$ホ$:$マ である。
▶ 第2問 の答えと解説を見る
第2問 の答えと解説
チ：6ツ：5テ：2トナ：19ニ：8ヌ：6ネノ/ハ：16/3ヒフ：16ヘ：9ホ：6マ：1
- 接点の $x$ 座標を $t$ とすると，接線は $y=(-2t+4)(x-t)+(-t^2+4t-20)$。これが $(3,-13)$ を通る条件は $t^2-6t+5=0$ で，$t=1,\ 5$。
- $t=5$：傾き $-6$，接点 $(5,-25)$ より $y=-6x+5$（①）。$t=1$：傾き $2$，接点 $(1,-17)$ より $y=2x-19$（②）。
- ③が直線 $y=sx+c$ に接する条件は，$x^2+(m-s)x+(n-c)=0$ が重解をもつこと：$(m-s)^2=4(n-c)$。①：$(m+6)^2=4(n-5)$，②：$(m-2)^2=4(n+19)$。2式を引くと $16m+32=-96$ なので $m=-8$。これを①の式に入れて $4=4(n-5)$，$n=6$（③は $y=x^2-8x+6$）。
- ③と①の接点は $x=1$，③と②の接点は $x=5$。囲まれた面積は $\displaystyle\int_1^3(x-1)^2dx+\int_3^5(x-5)^2dx=\dfrac83+\dfrac83=\dfrac{16}{3}$。
- $\mathrm{A}(3,-13),\ \mathrm{B}(1,-1),\ \mathrm{C}(5,-9),\ \mathrm{D}(4,-10)$。$\triangle\mathrm{ABC}=\dfrac12|(-2)(4)-(12)(2)|=16$。$\triangle\mathrm{ABD}=\dfrac12|(-2)(3)-(12)(1)|=9$，$\triangle\mathrm{BCD}=\dfrac12|(4)(-9)-(-8)(3)|=6$，$\triangle\mathrm{CAD}=\dfrac12|(-2)(-1)-(-4)(-1)|=1$（合計16）。比は $9:6:1$。
類題 第3問
4で割って2余る正の整数を小さい順に並べた数列があり，次のように区画に分けられている。自然数 $m$ に対して，第 $m$ 番目の区画に含まれる $m$ 個の項を第 $m$ 群とよぶ。$2\ |\ 6,\ 10\ |\ 14,\ 18,\ 22\ |\ 26,\ 30,\ 34,\ 38\ |\ 42,\ \cdots$（左から順に第1群，第2群，第3群，第4群，……）。この数列について，以下の問いに答えよ。
(1)
134 というデータは，第ミ群に含まれ，この群の第ム項目である。
(2)
第 $n$ 群の第1項目のデータは，メ$n^2-$モ$n+$ヤ で表される。
(3)
第 $n$ 群に含まれる $n$ 個のデータの平均値は ユ$n^{\boxed{\text{ヨ}}}$ であり，分散は $\dfrac{\boxed{\text{ラ}}}{\boxed{\text{リ}}}n^{\boxed{\text{ル}}}-\dfrac{\boxed{\text{レ}}}{\boxed{\text{ロ}}}$ である。
(4)
第 $n$ 群に含まれる $n$ 個のデータの標準偏差が30を超える最小の $n$ の値は ワヲ である。
▶ 第3問 の答えと解説を見る
第3問 の答えと解説
(1)
ミ：8ム：6
- 数列の第 $k$ 項は $4k-2$。$4k-2=134$ より $k=34$ で，134は第34項。
- 第 $n$ 群の末項までの項数は $1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$。$n=7$ で28，$n=8$ で36なので，34番目は第8群。第7群までで28項あるので，第8群の $34-28=6$ 項目。
(2)
メ：2モ：2ヤ：2
- 第 $n$ 群の1つ前までの項数は $\dfrac{(n-1)n}{2}$ なので，第 $n$ 群の第1項は数列の第 $\dfrac{n(n-1)}{2}+1$ 項。
- $4\left\{\dfrac{n(n-1)}{2}+1\right\}-2=2n(n-1)+2=2n^2-2n+2$。
(3)
ユ：2ヨ：2ラ/リ：4/3ル：2レ/ロ：4/3
- 第 $n$ 群は公差4の等差数列で $n$ 項。平均は「初項と末項の平均」なので，初項 $2n^2-2n+2$，末項 $=$ 初項 $+4(n-1)=2n^2+2n-2$ より $\dfrac{(2n^2-2n+2)+(2n^2+2n-2)}{2}=2n^2$。
- 連続する $n$ 項の等差数列（公差 $d$）の分散は $\dfrac{d^2(n^2-1)}{12}$。$d=4$ なので $\dfrac{16(n^2-1)}{12}=\dfrac43n^2-\dfrac43$。
(4)
ワヲ：27
- 標準偏差が30を超えるのは分散が900を超えるとき：$\dfrac43(n^2-1)>900$，すなわち $n^2>676=26^2$。
- $n=26$ のときはちょうど900（標準偏差30）で「超える」ではないので，最小の $n$ は27。
類題 第4問
$p$ を定数，$r$ を正の定数とする。曲線 $y^2=4px\ \ (y\ge0)$ ……① と半円 $x^2+y^2=r^2\ \ (y\ge0)$ ……② が点Aで交わり，Aにおける②の接線の方程式が $x+\sqrt3\,y-4=0$ であるとする。
このとき，$r=$あ，$p=\dfrac{\boxed{\text{い}}}{\boxed{\text{う}}}$ であり，Aの座標は （え，お$\sqrt{\boxed{\text{か}}}$） である。また，①と②および $y$ 軸で囲まれた部分の面積は $\dfrac{\boxed{\text{き}}}{\boxed{\text{く}}}\pi-\dfrac{\boxed{\text{け}}\sqrt{\boxed{\text{こ}}}}{\boxed{\text{さ}}}$ である。
次に，Aにおける①の接線は $y=\dfrac{\sqrt{\boxed{\text{し}}}}{\boxed{\text{す}}}\,(x+$せ$)$ ……③ の方程式で表され，①と③および $x$ 軸で囲まれた部分の面積は $\dfrac{\boxed{\text{そ}}\sqrt{\boxed{\text{た}}}}{\boxed{\text{ち}}}$ である。
次に，Aにおける①の接線は $y=\dfrac{\sqrt{\boxed{\text{し}}}}{\boxed{\text{す}}}\,(x+$せ$)$ ……③ の方程式で表され，①と③および $x$ 軸で囲まれた部分の面積は $\dfrac{\boxed{\text{そ}}\sqrt{\boxed{\text{た}}}}{\boxed{\text{ち}}}$ である。
▶ 第4問 の答えと解説を見る
第4問 の答えと解説
あ：2い/う：3/4え：1お/か：1/3き/く：1/3け・こ/さ：1・3/6し/す：3/2せ：1そ・た/ち：1・3/3
- 半円の接線は $x_0x+y_0y=r^2$（Aを $(x_0,y_0)$ とする）。これが $x+\sqrt3y=4$ と同じなので $(x_0,y_0)=\lambda(1,\sqrt3)$，$\lambda(1+3)=4$ より $\lambda=1$。A$(1,\sqrt3)$，$r^2=1+3=4$ で $r=2$。
- Aは①上にあるので $3=4p\cdot1$，$p=\dfrac34$。
- $y$ 軸・半円・放物線で囲まれた部分の面積は $\displaystyle\int_0^1\left(\sqrt{4-x^2}-\sqrt3\sqrt x\right)dx$。$\displaystyle\int_0^1\sqrt{4-x^2}dx=\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\pi}{3}$，$\displaystyle\int_0^1\sqrt3\sqrt xdx=\dfrac{2\sqrt3}{3}$ より $\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\sqrt3}{6}$。
- ①は $y=\sqrt3\sqrt x$ で，Aでの傾きは $\dfrac{\sqrt3}{2\sqrt x}=\dfrac{\sqrt3}{2}$。接線は $y-\sqrt3=\dfrac{\sqrt3}{2}(x-1)$，整理して $y=\dfrac{\sqrt3}{2}(x+1)$。
- ③と $x$ 軸の交点は $x=-1$。③の下側の面積 $\dfrac12\cdot2\cdot\sqrt3=\sqrt3$ から，放物線の下側 $\dfrac{2\sqrt3}{3}$ を引いて $\dfrac{\sqrt3}{3}$。
※ 類題は、本番の解き方の骨格は残しつつ、数値・設定を変えて作っています。第4問は、接線の式の最後の形を「$y=\frac{\sqrt{し}}{す}(x+せ)$」に変えてあります（空欄の数は同じ）。全空欄は、スクリプトで確かめてあります。
30秒 得点診断
本番の過去問、またはそっくり類題セットを60分で解いた結果を選んでください。次にやるべきことを表示します。
保護者の方へ：金沢医科大の数学で知っておきたい3つのこと
① 「全部解く」より「取れる所を落とさない」
全4大問・60分で、すべて空欄に数字や符号を入れる形式です。各大問の前半は誘導に乗れば短時間で取れるので、ここを落とさない練習が得点に直結します。② 計算力と「答えの形」の差がそのまま点差に
分数は既約分数、根号の中は最小の自然数、という指示があります。計算が合っていても形が違えば0点。途中式を省略せず、最後に形を確かめる習慣が効きます。③ 秋からは「答案を見てもらう」
60分で4大問を終える配分は、独学では直しにくい部分です。どこで時間を失ったか、第三者の目で見ると最短で伸びます。よくある質問
Q. 金沢医科大学 医学部の数学2025年度（一般選抜 前期・1月30日実施分）は、どの順番で解くのがよいですか？
TMPSのおすすめは、第3問（数列）→ 第4問 → 第2問 → 第1問 → 見直しの順です。目標時間は、第1問15分、第2問17分、第3問15分、第4問10分、見直し3分。第1問は場合分けの数え上げで時間が溶けやすいので最後に回し、公式で速く取れる第3問から入るのが安全です。どの大問も空欄が前から順に埋まる誘導なので、前半を落とさないことが大切です。
Q. 問題文が載っていなくても、どんな問題か分かりますか？
分かります。著作権に配慮して問題本文・図は掲載していませんが、各大問の最初に「どういう問題か」として、設定・何を答えるか・解答欄の形をTMPSの言葉で説明しています。
Q. 解答の形式（マーク式）で気をつけることは？
2025年度は全4大問が空欄に数字や符号を入れるマーク式で、分数は既約分数、根号の中は最小の自然数で答える指示があり、マークしない場合や複数マークした場合は0点という注意書きもありました。計算が合っても約分や根号の整理を忘れると0点なので、最後に「既約か」「根号の中が最小か」を必ず確認します。
Q. そっくり類題セットとは何ですか？
2025年度と同じ4大問・同じ空欄の数と形式で、数値・設定を変えたTMPSオリジナル問題です。本文・設問はすべて新しく作ったもので、全問の答え・解説をこのページに掲載し、本番形式の問題冊子PDFも無料で配布しています。
Q. 解説に誤りを見つけたらどうすればいいですか？
公式LINEからお知らせください。確認のうえ修正し、更新日を記載します。
安心安全・継続更新システム
問題等で誤りを発見された場合、修正しますので、TMPS医学館までLINEを下さい。
受験生・指導者の皆様からのご指摘を真摯に受け止め、最も信頼できる過去問解説・類題ライブラリーとして随時アップデートいたします。
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