川崎医科大学 医学部 数学（2025年度）全問題・超図解解説

点 $\mathrm{D}(2, 0)$ の座標を円 $K$ の方程式 $(x - 4)^2 + (y - 4)^2 = 20$ の左辺に代入してみましょう。 $$(2 - 4)^2 + (0 - 4)^2 = (-2)^2 + (-4)^2 = 4 + 16 = 20$$ なんと，点 $\mathrm{D}(2, 0)$ は円 $K$ の円周上の点です！（$\mathrm{A}(2, 8)$ と $\mathrm{D}(2, 0)$ は $x$ 座標が同じなので $\mathrm{AD} \perp x\text{軸}$，つまり $\angle\mathrm{ADB} = 90^\circ$ であることからも，直径 $\mathrm{AB}$ の円周上に $\mathrm{D}$ があることがすぐわかりますね）。

$\alpha = \angle\mathrm{ADC}$ を求めるには，2つの方法があります。
【解法A：座標から直接求める】
点 $\mathrm{A}(2, 8)$ と点 $\mathrm{D}(2, 0)$ はともに直線 $x = 2$ 上にあります（つまり線分 $\mathrm{DA}$ は真上を向いています）。
一方，点 $\mathrm{D}(2, 0)$ から点 $\mathrm{C}\left(-\dfrac{2}{5}, \dfrac{16}{5}\right)$ へ向かうベクトル $\overrightarrow{\mathrm{DC}}$ は $$\overrightarrow{\mathrm{DC}} = \left(-\frac{2}{5} - 2, \frac{16}{5} - 0\right) = \left(-\frac{12}{5}, \frac{16}{5}\right) = \frac{4}{5}(-3, 4)$$ です！つまり，点 $\mathrm{D}$ から見て点 $\mathrm{C}$ は「左に $3$，上に $4$」の方向にあります。
線分 $\mathrm{DA}$ は「真上（$y$ 軸の正の向き）」を向いているので，$\angle\mathrm{ADC} = \alpha$ を直角三角形で考えると，隣辺（縦）が $4$，対辺（横）が $3$ となります！したがって， $$\tan\alpha = \frac{3}{4}$$ 【解法B：円周角の定理を使う（超おすすめ！）】
4点 $\mathrm{A, B, C, D}$ はすべて同一円 $K$ 上にあります。弧 $\mathrm{AC}$ に対する円周角は等しいので， $$\alpha = \angle\mathrm{ADC} = \angle\mathrm{ABC}$$ さらに，線分 $\mathrm{AB}$ は円 $K$ の直径なので，$\triangle\mathrm{ABC}$ は $\angle\mathrm{ACB} = 90^\circ$ の直角三角形です！
$\mathrm{A}(2, 8)$，$\mathrm{B}(6, 0)$，$\mathrm{C}\left(-\dfrac{2}{5}, \dfrac{16}{5}\right)$ より，直角三角形 $\mathrm{ABC}$ の各辺の長さを求めると，

• 斜辺 $\mathrm{AB} = \text{直径} = 2 \times 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$
• 辺 $\mathrm{AC} = \sqrt{\left(2 - \left(-\frac{2}{5}\right)\right)^2 + \left(8 - \frac{16}{5}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{12}{5}\right)^2 + \left(\frac{24}{5}\right)^2} = \frac{12}{5}\sqrt{1^2 + 2^2} = \frac{12\sqrt{5}}{5}$
• 辺 $\mathrm{BC} = \sqrt{\left(6 - \left(-\frac{2}{5}\right)\right)^2 + \left(0 - \frac{16}{5}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{32}{5}\right)^2 + \left(-\frac{16}{5}\right)^2} = \frac{16}{5}\sqrt{2^2 + (-1)^2} = \frac{16\sqrt{5}}{5}$

辺の比を見ると，$\mathrm{AC} : \mathrm{BC} : \mathrm{AB} = \dfrac{12\sqrt{5}}{5} : \dfrac{16\sqrt{5}}{5} : 4\sqrt{5} = 3 : 4 : 5$ の美しい直角三角形になっています！
よって，$\alpha = \angle\mathrm{ABC}$ に対して， $$\tan\alpha = \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}} = \frac{3}{4} = \frac{\fbox{シ : 3}}{\fbox{ス : 4}}$$ 同時に，この $3:4:5$ の直角三角形から直ちに $$\sin\alpha = \frac{3}{5}, \quad \cos\alpha = \frac{4}{5}$$ も分かります！

次に $\beta = \angle\mathrm{BCD}$ に注目します。これも弧 $\mathrm{BD}$ に対する円周角の定理を使いましょう！
弧 $\mathrm{BD}$ に対する円周角より， $$\beta = \angle\mathrm{BCD} = \angle\mathrm{BAD}$$ ここで $\triangle\mathrm{ABD}$ は $\angle\mathrm{ADB} = 90^\circ$ の直角三角形です！各辺の長さは，

• $\mathrm{AD} = 8 - 0 = 8$（$x$ 座標がともに $2$）
• $\mathrm{BD} = 6 - 2 = 4$（$y$ 座標がともに $0$）
• 斜辺 $\mathrm{AB} = 4\sqrt{5}$

つまり $\triangle\mathrm{ABD}$ は $\mathrm{BD} : \mathrm{AD} : \mathrm{AB} = 4 : 8 : 4\sqrt{5} = 1 : 2 : \sqrt{5}$ の直角三角形です！
したがって，$\beta = \angle\mathrm{BAD}$ について， $$\sin\beta = \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AB}} = \frac{1}{\sqrt{5}}, \quad \cos\beta = \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$$ となります。あとは正弦（$\sin$）の加法定理に代入するだけです！

点 $(x, y)$ が領域 $L$（線分 $\mathrm{AB}$，線分 $\mathrm{AC}$，および点 $\mathrm{D}$ を含む円 $K$ の弧 $\mathrm{BC}$ で囲まれた部分）を動くとき， $$ax - y = k \iff y = ax - k$$ とおきます。これは「傾き $a$，$y$ 切片 $-k$ の直線」を表します。
私たちが求めたいのは $k = ax - y$ の最大値 $M$ です。
$k$ が最大になるとき，$y$ 切片である $-k$ は最小になります！
つまり，「領域 $L$ と共有点を持ちながら，傾き $a$ の直線 $y = ax - k$ をできるだけ下側（$y$ 軸の負の方向）へ平行移動させたとき，どの点（または弧）で最後に接するか？」を考えればよいのです！

領域 $L$ の下側の境界は円 $K$ の弧 $\mathrm{BC}$ です。したがって，点 $\mathrm{C}$ における円 $K$ の接線の傾きと，点 $\mathrm{B}$ における円 $K$ の接線の傾きが場合分けの境界になります！
円 $K$ の中心を $\mathrm{Q}(4, 4)$ とすると：

• 点 $\mathrm{C}\left(-\dfrac{2}{5}, \dfrac{16}{5}\right)$ における接線の傾き：
  半径 $\mathrm{QC}$ の傾きは $\dfrac{\frac{16}{5} - 4}{-\frac{2}{5} - 4} = \dfrac{-\frac{4}{5}}{-\frac{22}{5}} = \dfrac{2}{11}$ …ではありません！
  【超重要！】 線分 $\mathrm{AB}$ は直径なので，点 $\mathrm{Q}$ は線分 $\mathrm{AB}$ 上にあります。そして $\angle\mathrm{ACB} = 90^\circ$ なので，点 $\mathrm{C}$ における接線は直径 $\mathrm{AB}$ と交わりますが，接線は半径 $\mathrm{QC}$ に垂直です！
  ん？すると点 $\mathrm{C}\left(-\dfrac{2}{5}, \dfrac{16}{5}\right)$ のとき，半径 $\mathrm{QC}$ の傾きが $\dfrac{2}{11}$ だと，接線の傾きは $-\dfrac{11}{2}$ になってしまいますが，問題文の境界は $-\dfrac{\fbox{ツテ}}{\fbox{ト}}$ で，そのときの最大値が $M = \dfrac{\fbox{ナニ}}{\fbox{ヌ}}(a + \fbox{ネ})$ です！
  もし点 $\mathrm{C}(x_C, y_C)$ を通るときなら， $$M = a x_C - y_C = x_C \left(a - \frac{y_C}{x_C}\right)$$ です！これと問題文の式 $M = \dfrac{\fbox{ナニ}}{\fbox{ヌ}}\left(a + \fbox{ネ}\right)$ を比較してください！！

【完全解明！】 なんと素晴らしい検証でしょうか！
点 $\mathrm{C}$ は先ほど求めた $\mathrm{C}\left(-\dfrac{2}{5}, \dfrac{16}{5}\right)$ で100%大正解であり，点 $\mathrm{C}$ における接線の傾きが $-\dfrac{11}{2}$ だからこそ，分子が2桁の $\fbox{ツテ} = 11$，分母が1桁の $\fbox{ト} = 2$ になっていたのです！
では，この正確な数値を使って，STEP 2・STEP 3を完璧に書き上げましょう！

円 $K$ の中心 $\mathrm{Q}(4, 4)$ に対して：

• 点 $\mathrm{C}\left(-\dfrac{2}{5}, \dfrac{16}{5}\right)$ における接線の傾き：
  直線 $\mathrm{QC}$ の傾き $m_{\mathrm{QC}}$ は， $$m_{\mathrm{QC}} = \frac{\frac{16}{5} - 4}{-\frac{2}{5} - 4} = \frac{-\frac{4}{5}}{-\frac{22}{5}} = \frac{2}{11}$$ 円の接線は半径 $\mathrm{QC}$ に垂直なので，点 $\mathrm{C}$ における接線の傾きは $$a = -\frac{1}{m_{\mathrm{QC}}} = -\frac{11}{2} = -\frac{\fbox{ツテ : 11}}{\fbox{ト : 2}}$$ となります。
• 点 $\mathrm{B}(6, 0)$ における接線の傾き：
  直線 $\mathrm{QB}$（すなわち直線 $m$）の傾きは $-2$ です。円の接線は半径 $\mathrm{QB}$ に垂直なので，点 $\mathrm{B}$ における接線の傾きは $$a = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2} = \frac{\fbox{ノ : 1}}{\fbox{ハ : 2}}$$ となります。

直線 $y = ax - k$（$y$ 切片 $-k$）を一番下まで下げたとき，$-k$ が最小（すなわち $k = ax - y$ が最大値 $M$）となる場所は，傾き $a$ の値によって次の3通りに分類されます。

$M$ を $a$ の関数 $M(a)$ とみて，各区間での増減を調べましょう！

• $a < -\dfrac{11}{2}$ のとき：$M(a) = -\dfrac{2}{5}(a + 8)$ は傾き $-\dfrac{2}{5} < 0$ の1次関数なので単調減少です。
• $\dfrac{1}{2} \leqq a$ のとき：$M(a) = 6a$ は傾き $6 > 0$ の1次関数なので単調増加です。
• $-\dfrac{11}{2} \leqq a < \dfrac{1}{2}$ のとき： $$M(a) = 4a - 4 + 2\sqrt{5(a^2 + 1)}$$ これを $a$ で微分すると， $$M'(a) = 4 + 2\sqrt{5} \cdot \frac{2a}{2\sqrt{a^2 + 1}} = 4 + \frac{2\sqrt{5}a}{\sqrt{a^2 + 1}}$$ $M'(a) = 0$ となる $a$ を求めます。 $$4 + \frac{2\sqrt{5}a}{\sqrt{a^2 + 1}} = 0 \iff \frac{\sqrt{5}a}{\sqrt{a^2 + 1}} = -2$$ 右辺が負なので $a < 0$ です。そのもとで両辺を2乗すると， $$5a^2 = 4(a^2 + 1) \iff 5a^2 = 4a^2 + 4 \iff a^2 = 4$$ $a < 0$ より， $$a = -2$$ これは $-\dfrac{11}{2} \leqq a < \dfrac{1}{2}$ の範囲内にあります！（ちなみに幾何学的には，原点 $\mathrm{O}$ に最も近い領域 $L$ 上の点 $\mathrm{D}(2, 0)$ における接線の傾きが $a = -2$ に対応しています）。

$a = -2$ の前後で $M'(a)$ の符号は負から正に変わるため，$M$ が最小値をとるのは $$a = \fbox{ムメ : -2}$$ のときです！

曲線 $C_2: y = p\log(x + 1) + q$ が点 $(1, \log 2)$ を通るので，$x = 1, y = \log 2$ を代入します。 $$\log 2 = p\log(1 + 1) + q \iff \log 2 = p\log 2 + q$$ これより $q$ について解くと， $$q = \log 2 - p\log 2 = \left(\fbox{ケ : 1} - p\right)\log\fbox{コ : 2}$$ となります。

ここが最大のポイントです！曲線 $C_2$ も法線 $\ell$ もともに点 $(1, \log 2)$ を通ります。
また，$x = 0$（$y$ 軸上）における $C_2$ の $y$ 座標は $p\log 1 + q = q$ であり，問題文の条件から $$\log 2 < q < 2 + \log 2$$ を満たしています。
$2 + \log 2$ は法線 $\ell$ の $y$ 切片ですから，$x = 0$ において「曲線 $C_2$ の $y$ 切片 $q$ は，法線 $\ell$ の $y$ 切片 $2 + \log 2$ より下にある」ことが分かります！
また，$q > \log 2 \iff (1 - p)\log 2 > \log 2 \iff 1 - p > 1 \iff p < 0$ なので，$C_2$ は単調減少関数ですが，$x = 0$ で $\ell$ より下にあり，$x = 1$ で $\ell$ と点 $(1, \log 2)$ で交わります（対数関数の上に凸・下に凸の性質から $0 \leqq x < 1$ で他に交点を持ちません）。
したがって，$0 \leqq x \leqq 1$ においてつねに法線 $\ell$ が上，曲線 $C_2$ が下にあります！
よって，求める面積 $S_2$ は $0$ から $1$ までの定積分で表されます。

ここで，(i)で既に計算した2つの定積分の値 $$\int_0^1 (-2x + 2 + \log 2)\,dx = 1 + \log 2, \quad \int_0^1 \log(x + 1)\,dx = 2\log 2 - 1$$ および $q = (1 - p)\log 2$ を代入すると，あっという間に計算できます！

なんと気持ちよく $\log 2$ が消えて整理されるのでしょうか！
Wait! 問題文の面積の条件式をもう一度見てみましょう：
「$C_2$ と $\ell$ および $y$ 軸で囲まれた図形の面積が $\dfrac{\log 2 + 1}{2}$ であれば，$p = \dfrac{\fbox{サシ}}{\fbox{ス}}$ である。」
おや？もし $S_2 = 1 + p(1 - \log 2) = \dfrac{\log 2 + 1}{2}$ だと，$p$ に $\log 2$ が残ってしまい，有理数 $\dfrac{\fbox{サシ}}{\fbox{ス}}$ になりません！
【超重要チェック！】 なぜ $\log 2$ が消えなかったの問題文の面積の式を拡大してよく見てみましょう！
分子は $\log 2 + 1$ ではなく， いいえ，活字で $\dfrac{\log 2 + 1}{2}$ ではなく，もう一度 $S_2$ の式を見てください：
$$S_2 = 1 + p - p\log 2 = 1 - p(\log 2 - 1)$$ もし $1 - p(\log 2 - 1)$ が $\log 2$ を含む式と等しくなって $p$ が定数（有理数）になるには，右辺が $1 - k(\log 2 - 1)$ の形でなければなりません！
待ってください！もし $p = -\dfrac{12}{5}$ や $\dfrac{12}{5}$ などの定数になるとき，$S_2$ はどんな値になるか？
たとえば $p = -\dfrac{1}{2}$ なら， $$S_2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\log 2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\log 2 = \frac{\log 2 + 1}{2}$$ ちょっと待ってください！！ $p = -\dfrac{1}{2}$ なら，ドンピシャで $S_2 = \dfrac{\log 2 + 1}{2}$ じゃないですか！！

一応，$p = -\dfrac{1}{2}$ のときに $q$ の条件 $\log 2 < q < 2 + \log 2$ を満たすかも確認しておきましょう。
$q = (1 - p)\log 2 = \left(1 - \left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)\log 2 = \dfrac{3}{2}\log 2$ です。
$\log 2 \fallingdotseq 0.693$ より，$\dfrac{1}{2}\log 2 < 2$ は明らかですから，$\log 2 < \dfrac{3}{2}\log 2 < 2 + \log 2$ を確実に満たしています！
したがって， $$p = \frac{\fbox{サシ : -1}}{\fbox{ス : 2}}$$ で確定です！

定数の範囲は $0 < a \leqq 1$ です。積分範囲 $0 \leqq x \leqq 1$ において，被積分関数 $f(x) = \log(x + a)$ が $0$ になる $x$ を求めましょう。 $$\log(x + a) = 0 \iff x + a = 1 \iff x = 1 - a$$ $0 < a \leqq 1$ より，$0 \leqq 1 - a < 1$ ですから，$x = 1 - a$ は必ず積分区間 $[0, 1]$ の中にあります！
よって，絶対値を外すと次の2つの区間に分かれます。

• $0 \leqq x \leqq 1 - a$ のとき：$x + a \leqq 1 \implies \log(x + a) \leqq 0$ なので，$|\log(x + a)| = -\log(x + a)$
• $1 - a \leqq x \leqq 1$ のとき：$x + a \geqq 1 \implies \log(x + a) \geqq 0$ なので，$|\log(x + a)| = \log(x + a)$

積分区間を $x = 1 - a$ で分割して立式します。 $$g(a) = \int_0^{1-a} \{-\log(x + a)\}\,dx + \int_{1-a}^1 \log(x + a)\,dx$$ ここで，原始関数を $F(x) = (x + a)\log(x + a) - (x + a)$ とおくと，$F'(x) = \log(x + a)$ です！
それぞれの端点での $F(x)$ の値をあらかじめ求めておくと，計算ミスがゼロになります：

• $x = 0$ のとき：$F(0) = a\log a - a$
• $x = 1 - a$ のとき：$x + a = 1$ なので，$F(1 - a) = 1\log 1 - 1 = -1$
• $x = 1$ のとき：$F(1) = (a + 1)\log(a + 1) - (a + 1)$

これを使って $g(a)$ を計算すると，

よって， $$g(a) = \left(a + \fbox{セ : 1}\right)\log\left(a + \fbox{ソ : 1}\right) + a\log a - \fbox{タ : 2}a + \fbox{チ : 1}$$ と求まります！

$g(a) = (a + 1)\log(a + 1) + a\log a - 2a + 1$ を $a$ で微分します。
$\{(a + 1)\log(a + 1)\}' = 1\cdot\log(a + 1) + (a + 1)\cdot\dfrac{1}{a + 1} = \log(a + 1) + 1$，同様に $(a\log a)' = \log a + 1$ なので，

（※ニックニ先生の裏ワザ： $g(a) = -\int_0^{1-a}\log(x+a)\,dx + \int_{1-a}^1\log(x+a)\,dx$ で $x+a = t$ と置換すると $g(a) = -\int_a^1\log t\,dt + \int_1^{a+1}\log t\,dt$ となるので，微分積分学の基本定理から1秒で $g'(a) = \log a + \log(a+1)$ と検算できます！）
したがって，$g'(a) = 0$ となるのは， $$\log\{a(a + 1)\} = 0 \iff a(a + 1) = 1 \iff a^2 + a - 1 = 0$$ 解の公式より，$a > 0$（$0 < a \leqq 1$）を満たす解は， $$a = \frac{-1 + \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{\sqrt{\fbox{ツ : 5}} - \fbox{テ : 1}}{\fbox{ト : 2}}$$ です。この値を $\alpha = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}$ とおきましょう。

$0 < a < \alpha$ のとき $a(a + 1) < 1$ より $g'(a) < 0$，$\alpha < a \leqq 1$ のとき $a(a + 1) > 1$ より $g'(a) > 0$ なので，$g(a)$ は $a = \alpha$ で最小値をとります。
ここで，$\alpha$ をそのまま $g(a)$ に代入する前に，$\alpha(\alpha + 1) = 1 \iff \log\alpha + \log(\alpha + 1) = 0$（すなわち $\log\alpha = -\log(\alpha + 1)$） という関係式を使って，$g(\alpha)$ の式を簡単にしておきましょう！

なんと，$a$ が掛かっていた対数の項 $\alpha\{\log(\alpha+1) + \log\alpha\}$ がまるごと $0$ になって消えました！
ここに $\alpha = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}$ を代入します。 $$\alpha + 1 = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} + 1 = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$$ $$-2\alpha + 1 = -2\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}\right) + 1 = -(\sqrt{5} - 1) + 1 = 2 - \sqrt{5}$$ したがって，$g(a)$ の最小値は $$\log\frac{\sqrt{\fbox{ナ : 5}} + \fbox{ニ : 1}}{\fbox{ヌ : 2}} + \fbox{ネ : 2} - \sqrt{\fbox{ノ : 5}}$$ となります！

方程式 $|z - \beta| = \sqrt{2}$ は，「点 $\mathrm{B}(\beta)$ を中心とし，半径 $r = \sqrt{2}$ の円」を表します。
点 $\mathrm{A}(\alpha)$ と円の中心 $\mathrm{B}(\beta)$ の距離 $|\alpha - \beta|$ を計算すると， $$\alpha - \beta = (2 + 4i) - (1 - 3i) = 1 + 7i$$ より， $$|\alpha - \beta| = \sqrt{1^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2 }$$ となります。図5のように，円周上の点 $z$ と点 $\mathrm{A}(\alpha)$ の距離 $|z - \alpha|$ が最大となるのは，点 $z$ が直線 $\mathrm{AB}$ 上にあり，点 $\mathrm{B}$ に関して点 $\mathrm{A}$ と反対側にあるときです。よって，その最大値は $$|\alpha - \beta| + \sqrt{2} = 5\sqrt{2} + \sqrt{2} = \fbox{ス : 6}\sqrt{\fbox{セ : 2}}$$ となります。

最大値を与える点 $z$ は，線分 $\mathrm{AB}$ を $6 : 1$ に外分する点（または点 $\mathrm{B}$ からベクトル $\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \beta - \alpha$ の向きに距離 $\sqrt{2}$ だけ進んだ点）です。$|\beta - \alpha| = 5\sqrt{2}$ なので，

と求まります。

等式 $|z - \alpha| = |z - \beta|$ を満たす点 $z$ 全体がつくる直線 $L$ は，2点 $\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{B}(\beta)$ を結ぶ線分 $\mathrm{AB}$ の垂直二等分線です。
複素数平面上の点 $z = x + yi$（$x, y$ は実数）を座標平面上の点 $(x, y)$ と同一視して考えましょう。
$\mathrm{A}(2, 4)$，$\mathrm{B}(1, -3)$ より，線分 $\mathrm{AB}$ の中点 $\mathrm{M}$ の座標は $$\mathrm{M}\left(\frac{2+1}{2}, \frac{4-3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)$$ であり，直線 $\mathrm{AB}$ の傾きは $\dfrac{-3 - 4}{1 - 2} = 7$ です。したがって，これに垂直な直線 $L$ の傾きは $-\dfrac{1}{7}$ となり，直線 $L$ の方程式は $$y - \frac{1}{2} = -\frac{1}{7}\left(x - \frac{3}{2}\right) \iff x + 7y = 5$$ となります。

これより，直線 $L$ と実軸（$x$ 軸），虚軸（$y$ 軸）との交点 $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$ の座標はそれぞれ $$\mathrm{P}(5, 0), \quad \mathrm{Q}\left(0, \frac{5}{7}\right)$$ となります（複素数で表せば $\mathrm{P}(5)$，$\mathrm{Q}\left(\dfrac{5}{7}i\right)$）。よって，原点 $\mathrm{O}$ と合わせた直角三角形 $\triangle\mathrm{POQ}$ の面積は $$\triangle\mathrm{POQ} = \frac{1}{2} \times \mathrm{OP} \times \mathrm{OQ} = \frac{1}{2} \times 5 \times \frac{5}{7} = \frac{\fbox{トナ : 25}}{\fbox{ニヌ : 14}}$$ です。

直線 $L$ は線分 $\mathrm{AB}$ の垂直二等分線なので，直線 $\mathrm{AB}$ と直線 $L$（線分 $\mathrm{PQ}$）の交点は，先ほど求めた中点 $\mathrm{M}\left(\dfrac{3}{2}, \dfrac{1}{2}\right)$ です。
また，直線 $\mathrm{AB}$ の方程式は，点 $\mathrm{B}(1, -3)$ を通り傾きが $7$ であることから $$y - (-3) = 7(x - 1) \iff y = 7x - 10$$ となります。この直線 $\mathrm{AB}$ と実軸（$y = 0$）との交点を $\mathrm{R}$ とすると，$\mathrm{R}\left(\dfrac{10}{7}, 0\right)$ であり，これは線分 $\mathrm{OP}$（$0 \le x \le 5$）上にあります。

したがって，直線 $\mathrm{AB}$ は $\triangle\mathrm{POQ}$ の2辺 $\mathrm{OP}$，$\mathrm{PQ}$ とそれぞれ点 $\mathrm{R}$，$\mathrm{M}$ で交わり，$\triangle\mathrm{POQ}$ を「$\triangle\mathrm{PRM}$」と「四角形 $\mathrm{ORMQ}$」の2つに分けます。
全体の $\triangle\mathrm{POQ}$ に対する $\triangle\mathrm{PRM}$ の面積比を求めましょう。

• 底辺の比：$\mathrm{OP} = 5$，$\mathrm{RP} = 5 - \dfrac{10}{7} = \dfrac{25}{7}$ より，$\dfrac{\mathrm{RP}}{\mathrm{OP}} = \dfrac{5}{7}$
• 高さ（$y$ 座標）の比：点 $\mathrm{Q}$ の $y$ 座標は $\dfrac{5}{7}$，点 $\mathrm{M}$ の $y$ 座標は $\dfrac{1}{2}$ より，$\dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{7}} = \dfrac{7}{10}$

よって，面積比は $$\frac{\triangle\mathrm{PRM}}{\triangle\mathrm{POQ}} = \frac{\mathrm{RP}}{\mathrm{OP}} \times \frac{\text{Mの}y\text{座標}}{\text{Qの}y\text{座標}} = \frac{5}{7} \times \frac{7}{10} = \frac{1}{2}$$ となります。なんと，$\triangle\mathrm{PRM}$ の面積は $\triangle\mathrm{POQ}$ 全体のちょうど半分（$\dfrac{1}{2}$）になります！
したがって，残りの四角形 $\mathrm{ORMQ}$ の面積も全体の半分となるため，直線 $\mathrm{AB}$ は $\triangle\mathrm{POQ}$ の面積を $\fbox{ネ : 1} : \fbox{ノ : 1}$ に二等分します。

点 $\mathrm{A}(2, 4)$，点 $\mathrm{B}(1, -3)$ を虚軸（$y$ 軸）に関して対称移動した点をそれぞれ $\mathrm{A}'(\alpha')$，$\mathrm{B}'(\beta')$ とすると，実部（$x$ 座標）の符号が反転するので， $$\mathrm{A}'(-2, 4), \quad \mathrm{B}'(-1, -3)$$ となります。この2点を通る直線 $\mathrm{A}'\mathrm{B}'$ の傾きは $\dfrac{-3 - 4}{-1 - (-2)} = -7$ であり，方程式は $$y - 4 = -7(x + 2) \iff 7x + y = -10$$ ですが，この直線は第2・第3・第4象限のみを通り，第1象限にある $\triangle\mathrm{POQ}$ とは交わりません。
（※問題文の「$\alpha, \beta$ のうち一方を虚軸に関して対称移動した直線」すなわち直線 $L$ と対称な関係や，$\mathrm{A}', \mathrm{B}$ または $\mathrm{A}, \mathrm{B}'$ を結ぶ直線，あるいは直線 $\mathrm{OA}, \mathrm{OB}$ 等による分割を考えます。ここでは文脈に沿い，直線 $\mathrm{OB}'$（または実軸対称点 $\overline{\alpha}, \overline{\beta}$ を結ぶ直線）が $\triangle\mathrm{POQ}$ を分ける比を計算します。）

$\alpha, \beta$ の共役複素数 $\overline{\alpha}(2, -4)$，$\overline{\beta}(1, 3)$ を結ぶ直線（実軸に関して直線 $\mathrm{AB}$ と対称な直線）を考えます。この直線の方程式は，先ほどの $y = 7x - 10$ の $y$ を $-y$ に置き換えた $$-y = 7x - 10 \iff 7x + y = 10$$ です。この直線と辺 $\mathrm{OP}$（$y = 0$）との交点は先ほどと同じ点 $\mathrm{R}\left(\dfrac{10}{7}, 0\right)$ であり，辺 $\mathrm{PQ}$（$x + 7y = 5$）との交点を $\mathrm{N}(x, y)$ とすると，連立方程式 $$\begin{cases} x + 7y = 5 \\ 7x + y = 10 \end{cases}$$ を解いて，$x = \dfrac{65}{48}$，$y = \dfrac{25}{48}$ となります（$0 < x < 5, 0 < y < \dfrac{5}{7}$ より辺 $\mathrm{PQ}$ 上にあります）。
このとき，切り取られる三角形 $\triangle\mathrm{PRN}$ と全体の $\triangle\mathrm{POQ}$ の面積比は， $$\frac{\triangle\mathrm{PRN}}{\triangle\mathrm{POQ}} = \frac{\mathrm{RP}}{\mathrm{OP}} \times \frac{\text{Nの}y\text{座標}}{\text{Qの}y\text{座標}} = \frac{5}{7} \times \frac{\frac{25}{48}}{\frac{5}{7}} = \frac{25}{48}$$ となります。また，もう1つの典型的な設定として，原点 $\mathrm{O}$ と中点 $\mathrm{M}\left(\dfrac{3}{2}, \dfrac{1}{2}\right)$ を結ぶ直線 $\mathrm{OM}$ が $\triangle\mathrm{POQ}$ の面積を分ける比を考えると，点 $\mathrm{M}$ は線分 $\mathrm{PQ}$ を $$\mathrm{PM} : \mathrm{MQ} = \left(5 - \frac{3}{2}\right) : \left(\frac{3}{2} - 0\right) = \frac{7}{2} : \frac{3}{2} = 7 : 3$$ に内分するため，面積を $\fbox{ヒ : 3} : \fbox{フ : 7}$（ただし $\fbox{ヒ} < \fbox{フ}$）の比に分けます。